Ляпуновская устойчивость

редактировать
Эта статья посвящена асимптотической устойчивости нелинейных систем. Для устойчивости линейных систем см экспоненциальной устойчивости.

Можно обсудить различные типы устойчивости решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы. Самый важный тип - это вопрос об устойчивости решений вблизи точки равновесия. Об этом может говорить теория Александра Ляпунова. Проще говоря, если решения, которые начинаются из вблизи точку равновесия пребывания вблизи навсегда, то это Ляпунова. Более того, если она устойчива по Ляпунову и все решения, которые начинаются вблизи, сходятся к, то она асимптотически устойчива. Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость убывания, т. Е. Оценку того, насколько быстро решения сходятся. Идея устойчивости по Ляпунову может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость, которая касается поведения различных, но «близких» решений дифференциальных уравнений. Устойчивость от входа к состоянию (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами. Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} Икс е {\ displaystyle x_ {e}}

В ограниченной задаче трех тел орбиты Ляпунова - это изогнутые траектории вокруг лагранжевой точки, которые полностью лежат в плоскости двух первичных тел, в отличие от гало-орбит и орбит Лиссажу, которые также движутся выше и ниже плоскости.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 История
  • 2 Определение для систем с непрерывным временем
    • 2.1 Система отклонений
    • 2.2 Второй метод устойчивости Ляпунова
  • 3 Определение для систем с дискретным временем
  • 4 Устойчивость для линейных моделей пространства состояний
  • 5 Стабильность для систем с входами
  • 6 Пример
  • 7 Лемма Барбалата и устойчивость нестационарных систем
  • 8 См. Также
  • 9 ссылки
  • 10 Дальнейшее чтение

История

Устойчивость по Ляпунову названа в честь Александра Михайловича Ляпунова, русского математика, защитившего в 1892 году диссертацию «Общая проблема устойчивости движения в Харьковском университете». А.М. Ляпунов был пионером в успешной попытке разработать глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамические системы по сравнению с широко распространенным локальным методом их линеаризации относительно точек равновесия. Его работы, первоначально опубликованные на русском языке, а затем переведенные на французский, долгие годы не привлекали особого внимания. Математическая теория устойчивости движения, основанная А.М. Ляпуновым, значительно опередила время для ее внедрения в науку и технику. Более того, сам Ляпунов не нашел применения в этой области, его собственное внимание было уделено устойчивости вращающихся жидких масс с астрономическими приложениями. У него не было докторантов, которые следили за исследованиями в области стабильности, и его собственная судьба была ужасно трагичной из-за русской революции 1917 года. На несколько десятилетий теория стабильности канула в полное забвение. Российско-советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930-е годы, был первым, кто осознал невероятные масштабы открытия, сделанного А.М. Ляпуновым. Вклад Н.Г. Четаева в теорию был настолько значительным, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым преемником Ляпунова и следующим по очереди научным потомком в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно резко возрос в период холодной войны, когда было обнаружено, что так называемый «второй метод Ляпунова» (см. Ниже) применим к устойчивости аэрокосмических систем наведения, которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. С тех пор появилось большое количество публикаций в литературе по управлению и системам. В последнее время концепция показателя Ляпунова (связанная с Первым методом Ляпунова обсуждения устойчивости) вызвала широкий интерес в связи с теорией хаоса. Методы устойчивости Ляпунова также применялись для нахождения равновесных решений в задачах распределения трафика.

Определение для систем с непрерывным временем

Рассмотрим автономную нелинейную динамическую систему

Икс ˙ знак равно ж ( Икс ( т ) ) , Икс ( 0 ) знак равно Икс 0 {\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х (т)), \; \; \; \; х (0) = х_ {0}},

где обозначает вектор состояния системы, открытое множество, содержащее начало координат, и является непрерывным векторным полем на. Предположим, что в точке равновесия так, что тогда Икс ( т ) D р п {\ Displaystyle х (т) \ в {\ mathcal {D}} \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}} D {\ displaystyle {\ mathcal {D}}} ж : D р п {\ displaystyle f: {\ mathcal {D}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}} D {\ displaystyle {\ mathcal {D}}} ж {\ displaystyle f} Икс е {\ displaystyle x_ {e}} ж ( Икс е ) знак равно 0 {\ displaystyle f (x_ {e}) = 0}

  1. Это равновесие называется устойчивым по Ляпунову, если для каждого существует такое, что, если, то для каждого, что у нас есть. ϵ gt; 0 {\ displaystyle \ epsilongt; 0} δ gt; 0 {\ displaystyle \ deltagt; 0} Икс ( 0 ) - Икс е lt; δ {\ Displaystyle \ | х (0) -x_ {е} \ | lt;\ дельта} т 0 {\ Displaystyle т \ geq 0} Икс ( т ) - Икс е lt; ϵ {\ Displaystyle \ | х (т) -x_ {е} \ | lt;\ эпсилон}
  2. Равновесие указанной системы называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что если, то. δ gt; 0 {\ displaystyle \ deltagt; 0} Икс ( 0 ) - Икс е lt; δ {\ Displaystyle \ | х (0) -x_ {е} \ | lt;\ дельта} Lim т Икс ( т ) - Икс е знак равно 0 {\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} \ | x (t) -x_ {e} \ | = 0}
  3. Равновесие указанной системы называется экспоненциально устойчивым, если оно асимптотически устойчиво и существует такое, что если, то для всех. α gt; 0 , β gt; 0 , δ gt; 0 {\ Displaystyle \ альфаgt; 0, \ бетаgt; 0, \ дельтаgt; 0} Икс ( 0 ) - Икс е lt; δ {\ Displaystyle \ | х (0) -x_ {е} \ | lt;\ дельта} Икс ( т ) - Икс е α Икс ( 0 ) - Икс е е - β т {\ displaystyle \ | x (t) -x_ {e} \ | \ leq \ alpha \ | x (0) -x_ {e} \ | e ^ {- \ beta t}} т 0 {\ Displaystyle т \ geq 0}

Концептуально значения приведенных выше терминов следующие:

  1. Устойчивость равновесия по Ляпунову означает, что решения, начинающиеся «достаточно близко» к равновесию (на некотором расстоянии от него), навсегда остаются «достаточно близкими» (на расстоянии от него). Обратите внимание, что это должно быть верно для любого, кого вы хотите выбрать. δ {\ displaystyle \ delta} ϵ {\ displaystyle \ epsilon} ϵ {\ displaystyle \ epsilon}
  2. Асимптотическая устойчивость означает, что решения, которые начинаются достаточно близко, не только остаются достаточно близкими, но и в конечном итоге сходятся к равновесию.
  3. Экспоненциальная стабильность означает, что решения не только сходятся, но фактически сходятся быстрее, чем или, по крайней мере, так же быстро, как определенная известная скорость. α Икс ( 0 ) - Икс е е - β т {\ Displaystyle \ альфа \ | х (0) -x_ {е} \ | е ^ {- \ бета т}}

Траектория привлекательна (локально), если Икс ( т ) знак равно ϕ ( т ) {\ Displaystyle х (т) = \ фи (т)}

Икс ( т ) - ϕ ( т ) 0 {\ Displaystyle \ | х (т) - \ фи (т) \ | \ rightarrow 0} в качестве т {\ Displaystyle т \ rightarrow \ infty}

для всех траекторий, которые начинаются достаточно близко к, и глобально привлекательными, если это свойство выполняется для всех траекторий. Икс ( т ) {\ Displaystyle х (т)} ϕ ( т ) {\ Displaystyle \ phi (т)}

То есть, если x принадлежит внутренней части своего устойчивого многообразия, оно асимптотически устойчиво, если одновременно притягивает и устойчиво. (Есть примеры, показывающие, что аттракцион не означает асимптотической устойчивости. Такие примеры легко создать, используя гомоклинические связи. )

Если якобиан динамической системы в состоянии равновесия оказывается матрицей устойчивости (т. Е. Если действительная часть каждого собственного значения строго отрицательна), то состояние равновесия является асимптотически устойчивым.

Система отклонений

Вместо рассмотрения устойчивости только вблизи точки равновесия (постоянного решения) можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения. Однако можно свести более общий случай к равновесию, заменив переменные, называемые «системой отклонений». Определим, подчиняясь дифференциальному уравнению: Икс ( т ) знак равно Икс е {\ Displaystyle х (т) = х_ {е}} Икс ( т ) знак равно ϕ ( т ) {\ Displaystyle х (т) = \ фи (т)} у знак равно Икс - ϕ ( т ) {\ Displaystyle у = х- \ фи (т)}

у ˙ знак равно ж ( т , у + ϕ ( т ) ) - ϕ ˙ ( т ) знак равно грамм ( т , у ) {\ Displaystyle {\ точка {у}} = е (т, у + \ фи (т)) - {\ точка {\ фи}} (т) = г (т, у)}.

Это больше не автономная система, но она имеет гарантированную точку равновесия, устойчивость которой эквивалентна устойчивости исходного решения. у знак равно 0 {\ displaystyle y = 0} Икс ( т ) знак равно ϕ ( т ) {\ Displaystyle х (т) = \ фи (т)}

Второй метод устойчивости Ляпунова

Ляпунов в своей оригинальной работе 1892 года предложил два метода демонстрации устойчивости. Первый метод развивал решение в серии, которая затем была доказана сходимостью в определенных пределах. Второй метод, который теперь называется критерием устойчивости Ляпунова или прямым методом, использует функцию Ляпунова V (x), которая имеет аналогию с потенциальной функцией классической динамики. Он вводится следующим образом для системы, имеющей точку равновесия в. Рассмотрим такую ​​функцию, что Икс ˙ знак равно ж ( Икс ) {\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х)} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} V : р п р {\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}

  • V ( Икс ) знак равно 0 {\ Displaystyle V (х) = 0} если и только если Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0}
  • V ( Икс ) gt; 0 {\ Displaystyle V (х)gt; 0} если и только если Икс 0 {\ Displaystyle х \ neq 0}
  • V ˙ ( Икс ) знак равно d d т V ( Икс ) знак равно я знак равно 1 п V Икс я ж я ( Икс ) знак равно V ж ( Икс ) 0 {\ displaystyle {\ dot {V}} (x) = {\ frac {d} {dt}} V (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial V} { \ partial x_ {i}}} f_ {i} (x) = \ nabla V \ cdot f (x) \ leq 0}для всех значений. Примечание: для асимптотической устойчивости, для не требуется. Икс 0 {\ Displaystyle х \ neq 0} V ˙ ( Икс ) lt; 0 {\ Displaystyle {\ точка {V}} (х) lt;0} Икс 0 {\ Displaystyle х \ neq 0}

Тогда V (x) называется функцией Ляпунова, и система устойчива по Ляпунову (заметьте, что это требуется; в противном случае, например, «докажет», что она локально устойчива). Дополнительное условие, называемое «правильность» или «радиальная неограниченность», требуется для заключения глобальной стабильности. Аналогично следует глобальная асимптотическая устойчивость (ГАС). V ( 0 ) знак равно 0 {\ Displaystyle V (0) = 0} V ( Икс ) знак равно 1 / ( 1 + | Икс | ) {\ Displaystyle V (х) = 1 / (1+ | х |)} Икс ˙ ( т ) знак равно Икс {\ Displaystyle {\ точка {х}} (т) = х}

Этот метод анализа легче визуализировать, думая о физической системе (например, вибрирующей пружине и массе) и учитывая энергию такой системы. Если система со временем теряет энергию и энергия никогда не восстанавливается, то в конечном итоге система должна остановиться и достичь некоторого конечного состояния покоя. Это конечное состояние называется аттрактором. Однако найти функцию, которая дает точную энергию физической системы, может быть сложно, а для абстрактных математических систем, экономических систем или биологических систем концепция энергии может быть неприменима.

Осознание Ляпунова состояло в том, что устойчивость может быть доказана, не требуя знания истинной физической энергии, при условии, что функция Ляпунова удовлетворяет указанным выше ограничениям.

Определение для систем с дискретным временем

Определение для систем с дискретным временем почти идентично определению для систем с непрерывным временем. Приведенное ниже определение обеспечивает это с использованием альтернативного языка, обычно используемого в большинстве математических текстов.

Пусть ( X, d) - метрическое пространство, а f  : X → X - непрерывная функция. Точка x в X называется устойчивой по Ляпунову, если

ϵ gt; 0   δ gt; 0   у Икс   [ d ( Икс , у ) lt; δ п N   d ( ж п ( Икс ) , ж п ( у ) ) lt; ϵ ] . {\ Displaystyle \ forall \ epsilongt; 0 \ существует \ deltagt; 0 \ forall y \ in X \ left [d (x, y) lt;\ delta \ Rightarrow \ forall n \ in \ mathbf {N} \ d \ left (f ^ {n} (x), f ^ {n} (y) \ right) lt;\ epsilon \ right].}

Будем говорить, что х является асимптотически устойчивым, если оно принадлежит внутренности своего стабильного набора, ИЭ, если,

δ gt; 0 [ d ( Икс , у ) lt; δ Lim п d ( ж п ( Икс ) , ж п ( у ) ) знак равно 0 ] . {\ displaystyle \ exists \ deltagt; 0 \ left [d (x, y) lt;\ delta \ Rightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} d \ left (f ^ {n} (x), f ^ {n } (y) \ right) = 0 \ right].}

Устойчивость линейных моделей в пространстве состояний

Линейное пространство состояния модели

Икс ˙ знак равно А Икс {\ displaystyle {\ dot {\ textbf {x}}} = A {\ textbf {x}}},

где конечная матрица, асимптотически устойчива (на самом деле, экспоненциально устойчивым ), если все действительные части собственных значений в отрицательные. Это условие эквивалентно следующему: А {\ displaystyle A} А {\ displaystyle A}

А Т M + M А {\ displaystyle A ^ {\textf {T}} M + MA}

отрицательно определена для некоторой положительно определенной матрицы. (Соответствующая функция Ляпунова есть.) M знак равно M Т {\ Displaystyle М = М ^ {\textf {T}}} V ( Икс ) знак равно Икс Т M Икс {\ Displaystyle V (х) = х ^ {\textf {T}} Mx}

Соответственно, дискретная по времени линейная модель пространства состояний

Икс т + 1 знак равно А Икс т {\ displaystyle {\ textbf {x}} _ {t + 1} = A {\ textbf {x}} _ {t}}

является асимптотически устойчивым (фактически, экспоненциально устойчивым), если все собственные значения имеют модуль меньше единицы. А {\ displaystyle A}

Это последнее условие было обобщено на переключаемые системы: линейная переключаемая система с дискретным временем (управляемая набором матриц) { А 1 , , А м } {\ displaystyle \ {A_ {1}, \ dots, A_ {m} \}}

Икс т + 1 знак равно А я т Икс т , А я т { А 1 , , А м } {\ displaystyle {{\ textbf {x}} _ {t + 1}} = A_ {i_ {t}} {\ textbf {x}} _ {t}, \ quad A_ {i_ {t}} \ in \ {A_ {1}, \ dots, A_ {m} \}}

является асимптотически устойчивым (фактически, экспоненциально устойчивым), если совместный спектральный радиус множества меньше единицы. { А 1 , , А м } {\ displaystyle \ {A_ {1}, \ dots, A_ {m} \}}

Стабильность для систем с входами

Система с входами (или элементами управления) имеет вид

Икс ˙ знак равно ж ( Икс , ты ) {\ displaystyle {\ dot {\ textbf {x}}} = {\ textbf {f}} ({\ textbf {x}}, {\ textbf {u}})}

где (обычно зависящий от времени) вход u (t) может рассматриваться как функция управления, внешнего входа, стимула, возмущения или вынуждающей функции. Было показано, что вблизи точки равновесия, устойчивой по Ляпунову, система остается устойчивой при малых возмущениях. Для больших входных возмущений изучение таких систем является предметом теории управления и применяется в технике управления. Для систем с входами необходимо количественно оценить влияние входов на стабильность системы. Основными двумя подходами к этому анализу являются устойчивость BIBO (для линейных систем ) и устойчивость от входа к состоянию (ISS) (для нелинейных систем ).

Пример

В этом примере показана система, в которой функция Ляпунова может использоваться для доказательства устойчивости по Ляпунову, но не может показать асимптотическую устойчивость. Рассмотрим следующее уравнение, основанное на уравнении осциллятора Ван дер Поля с измененным членом трения:

у ¨ + у - ε ( у ˙ 3 3 - у ˙ ) знак равно 0. {\ displaystyle {\ ddot {y}} + y- \ varepsilon \ left ({\ frac {{\ dot {y}} ^ {3}} {3}} - {\ dot {y}} \ right) = 0.}

Позволять

Икс 1 знак равно у , Икс 2 знак равно у ˙ {\ displaystyle x_ {1} = y, x_ {2} = {\ dot {y}}}

так что соответствующая система

Икс ˙ 1 знак равно Икс 2 , Икс ˙ 2 знак равно - Икс 1 + ε ( Икс 2 3 3 - Икс 2 ) . {\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ dot {x}} _ {1} = x_ {2}, \\ amp; {\ dot {x}} _ {2} = - x_ {1} + \ varepsilon \ left ({\ frac {x_ {2} ^ {3}} {3}} - {x_ {2}} \ right). \ end {align}}}

Источник - единственная точка равновесия. Выберем в качестве функции Ляпунова Икс 1 знак равно 0 ,   Икс 2 знак равно 0 {\ Displaystyle x_ {1} = 0, \ x_ {2} = 0}

V знак равно 1 2 ( Икс 1 2 + Икс 2 2 ) {\ displaystyle V = {\ frac {1} {2}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ right)}

что явно положительно определено. Его производная

V ˙ знак равно Икс 1 Икс ˙ 1 + Икс 2 Икс ˙ 2 знак равно Икс 1 Икс 2 - Икс 1 Икс 2 + ε Икс 2 4 3 - ε Икс 2 2 знак равно ε Икс 2 4 3 - ε Икс 2 2 . {\ displaystyle {\ dot {V}} = x_ {1} {\ dot {x}} _ {1} + x_ {2} {\ dot {x}} _ {2} = x_ {1} x_ {2 } -x_ {1} x_ {2} + \ varepsilon {\ frac {x_ {2} ^ {4}} {3}} - \ varepsilon {x_ {2} ^ {2}} = \ varepsilon {\ frac { x_ {2} ^ {4}} {3}} - \ varepsilon {x_ {2} ^ {2}}.}

Кажется, что если параметр положительный, стабильность асимптотическая для Но это неверно, поскольку не зависит от и будет 0 всюду на оси. Равновесие устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически. ε {\ Displaystyle \ varepsilon} Икс 2 2 lt; 3. {\ displaystyle x_ {2} ^ {2} lt;3.} V ˙ {\ displaystyle {\ dot {V}}} Икс 1 {\ displaystyle x_ {1}} Икс 1 {\ displaystyle x_ {1}}

Лемма Барбалата и устойчивость нестационарных систем

Предположим, что f является функцией только времени.

  • Наличие не означает, что есть предел в. Например,. ж ˙ ( т ) 0 {\ Displaystyle {\ точка {f}} (т) \ к 0} ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} т {\ Displaystyle т \ к \ infty} ж ( т ) знак равно грех ( пер ( т ) ) , т gt; 0 {\ Displaystyle е (т) = \ грех (\ пер (т)), \; тgt; 0}
  • Имея приближается к пределу, не означает, что. Например,. ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} т {\ Displaystyle т \ к \ infty} ж ˙ ( т ) 0 {\ Displaystyle {\ точка {f}} (т) \ к 0} ж ( т ) знак равно грех ( т 2 ) / т , т gt; 0 {\ Displaystyle е (т) = \ грех \ влево (т ^ {2} \ вправо) / т, \; тgt; 0}
  • Имея ограниченную снизу и убывающую (), следует, что она сходится к пределу. Но не сказано, как это сделать. ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} ж ˙ 0 {\ displaystyle {\ dot {f}} \ leq 0} ж ˙ 0 {\ displaystyle {\ dot {f}} \ to 0} т {\ Displaystyle т \ к \ infty}

Лемма Барбалата гласит:

Если имеет конечный предел при и если равномерно непрерывен (или ограничен), то при. ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} т {\ Displaystyle т \ к \ infty} ж ˙ {\ displaystyle {\ dot {f}}} ж ¨ {\ displaystyle {\ ddot {f}}} ж ˙ ( т ) 0 {\ Displaystyle {\ точка {f}} (т) \ к 0} т {\ Displaystyle т \ к \ infty}

Альтернативный вариант выглядит следующим образом:

Пусть и. Если и, то при п [ 1 , ) {\ Displaystyle р \ в [1, \ infty)} q ( 1 , ] {\ Displaystyle д \ в (1, \ infty]} ж L п ( 0 , ) {\ Displaystyle е \ в L ^ {p} (0, \ infty)} ж ˙ L q ( 0 , ) {\ displaystyle {\ dot {f}} \ in L ^ {q} (0, \ infty)} ж ( т ) 0 {\ displaystyle f (t) \ to 0} т . {\ displaystyle t \ to \ infty.}

В следующей форме лемма верна и в векторнозначном случае:

Позвольте быть равномерно непрерывной функцией со значениями в банаховом пространстве и предположим, что имеет конечный предел при. Тогда как. ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} E {\ displaystyle E} 0 т ж ( τ ) d τ {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau} т {\ Displaystyle т \ к \ infty} ж ( т ) 0 {\ displaystyle f (t) \ to 0} т {\ Displaystyle т \ к \ infty}

Следующий пример взят со страницы 125 книги Слотина и Ли « Прикладное нелинейное управление».

Рассмотрим неавтономную систему

е ˙ знак равно - е + грамм ш ( т ) {\ Displaystyle {\ точка {е}} = - е + г \ cdot ш (т)}
грамм ˙ знак равно - е ш ( т ) . {\ displaystyle {\ dot {g}} = - e \ cdot w (t).}

Это не автономно, потому что вход является функцией времени. Предположим, что вход ограничен. ш {\ displaystyle w} ш ( т ) {\ Displaystyle ш (т)}

Принимая дает V знак равно е 2 + грамм 2 {\ Displaystyle V = е ^ {2} + г ^ {2}} V ˙ знак равно - 2 е 2 0. {\ displaystyle {\ dot {V}} = - 2e ^ {2} \ leq 0.}

Это говорит о том, что по первым двум условиям и, следовательно, и ограничены. Но это ничего не говорит о сходимости к нулю. Более того, теорема об инвариантном множестве не может быть применена, потому что динамика не автономна. V ( т ) V ( 0 ) {\ Displaystyle V (т) \ leq V (0)} е {\ displaystyle e} грамм {\ displaystyle g} е {\ displaystyle e}

Используя лемму Барбалата:

V ¨ знак равно - 4 е ( - е + грамм ш ) {\ displaystyle {\ ddot {V}} = - 4e (-e + g \ cdot w)}.

Это ограничено, потому что, и ограничены. Отсюда следует as и следовательно. Это доказывает, что ошибка сходится. е {\ displaystyle e} грамм {\ displaystyle g} ш {\ displaystyle w} V ˙ 0 {\ displaystyle {\ dot {V}} \ to 0} т {\ Displaystyle т \ к \ infty} е 0 {\ displaystyle e \ to 0}

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

В эту статью включены материалы из асимптотически стабильной версии PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Последняя правка сделана 2023-03-19 04:20:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте