Гипергеометрическая функция

Термин «гипергеометрическая функция» иногда относится к обобщенной гипергеометрической функции. Для других гипергеометрических функций см. Также.

В математике гауссова или обычная гипергеометрическая функция 2 F 1 ( a, b ; c ; z) - это специальная функция, представленная гипергеометрическим рядом, которая включает в себя множество других специальных функций в качестве конкретных или предельных случаев. Это решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (ОДУ). Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в это уравнение.

Систематические списки некоторых из многих тысяч опубликованных идентичностей, включающих гипергеометрическую функцию, см. В справочных работах Erdélyi et al. (1953) и Olde Daalhuis (2010). Не существует известной системы для организации всех идентичностей; действительно, не существует известного алгоритма, который может генерировать все идентичности; известен ряд различных алгоритмов, которые генерируют различные серии идентификаторов. Теория алгоритмического открытия идентичностей остается активной темой исследований. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( помощь )

• 1 История
• 2 Гипергеометрический ряд
• 3 формулы дифференцирования
• 4 Особые случаи
• 5 Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
  • 5.1 Решения в особых точках
  • 5.2 24 решения Куммера
  • 5.3 Q-форма
  • 5.4 Карты треугольника Шварца
  • 5.5 Группа монодромии
• 6 Интегральные формулы
  • 6.1 тип Эйлера
  • 6.2 Интеграл Барнса
  • 6.3 преобразование Джона
• 7 смежные отношения Гаусса
  • 7.1 Непрерывная дробь Гаусса
• 8 формулы преобразования
  • 8.1 Дробно-линейные преобразования
  • 8.2 Квадратичные преобразования
  • 8.3 Преобразования высшего порядка
• 9 Значения в особых точках z
  • 9.1 Специальные значения при z  = 1
  • 9.2 Теорема Куммера ( z  = −1)
  • 9.3 Значения при z  = 1/2
  • 9.4 Прочие моменты
• 10 См. Также
• 11 Источники
• 12 Внешние ссылки

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Уоллисом в его книге 1655 года « Бесконечная арифметика».

Гипергеометрические ряды изучал Леонард Эйлер, но первое полное систематическое рассмотрение дал Карл Фридрих Гаусс  ( 1813 г.).

Исследования девятнадцатого века включали исследования Эрнста Куммера  ( 1836 г.) и фундаментальную характеристику гипергеометрической функции Бернхардом Риманом  ( 1857 г.) с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.

Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для 2 F 1 ( z), рассмотренное на комплексной плоскости, может быть охарактеризовано (на сфере Римана ) его тремя регулярными особенностями.

Случаи, когда решениями являются алгебраические функции, были найдены Германом Шварцем ( список Шварца ).

Гипергеометрическая функция определена для | z | lt;1 по степенному ряду

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = 1 + {\ frac {ab} {c}} {\ frac {z} { 1!}} + {\ Frac {a (a + 1) b (b + 1)} {c (c + 1)}} {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + \ Cdots. }$

Оно не определено (или бесконечно), если c равно неположительному целому числу. Здесь ( q) n - (восходящий) символ Поххаммера, который определяется следующим образом:

${\ displaystyle (q) _ {n} = {\ begin {cases} 1 amp; n = 0 \\ q (q + 1) \ cdots (q + n-1) amp; ngt; 0 \ end {cases}}}$

Серия завершается, если a или b является неположительным целым числом, и в этом случае функция сводится к полиному:

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} (- 1) ^ {n} {\ binom {m} {n}} {\ frac {(b) _ {n}} {(c) _ {n}}} z ^ {n}.}$

Для сложных аргументов z с | z | ≥ 1 его можно аналитически продолжить по любому пути в комплексной плоскости, избегающему точек ветвления 1 и бесконечности.

При c → - m, где m - целое неотрицательное число, имеем 2 F 1 ( z) → ∞. Деление на величину Т ( гр) от гамма - функции, мы имеем предел:

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to -m} {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)} {\ Gamma (c)}} = {\ frac { (a) _ {m + 1} (b) _ {m + 1}} {(m + 1)!}} z ^ {m + 1} {} _ {2} F_ {1} (a + m + 1, b + m + 1; m + 2; z)}$

2 F 1 ( z) является наиболее обычным типом обобщенных гипергеометрических рядов p F q и часто обозначается просто F ( z).

Используя тождество, показано, что ${\ Displaystyle (а) _ {п + 1} = а (а + 1) _ {п}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = {\ frac {ab} {c}} \ {} _ {2 } F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z)}$

и в более общем плане

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} \ {} _ {2} F_ {1} (a + n, b + n; c + n; z)}$

В частном случае, мы имеем ${\ displaystyle c = a + 1}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + 1; z) = {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (b, a; a + 1; z) = {\ frac {a ((1-z) ^ {- b} - {} _ {2} F_ {1} (a, b ; 1 + a; z))} {z}}}$

Многие из общих математических функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции или как ее предельные случаи. Вот некоторые типичные примеры:

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} \ left (1,1; 2; -z \ right) amp; = {\ frac {\ ln (1 + z)} {z}} \ \ _ {2} F_ {1} (a, b; b; z) amp; = (1-z) ^ {- a}, \ quad (\ forall b) \\ _ {2} F_ {1} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}}; {\ frac {3} {2}}; z ^ {2} \ right) amp; = {\ frac {\ arcsin (z)} {z}} \\\, _ {2} F_ {1} \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3 } {2}}; - {\ frac {27x ^ {2}} {4}} \ right) amp; = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {\ frac {3x {\ sqrt {3}}) + {\ sqrt {27x ^ {2} +4}}} {2}}} - {\ sqrt [{3}] {\ frac {2} {3x {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {27x) ^ {2} +4}}}}}} {x {\ sqrt {3}}}} \\\ конец {выровнено}}}$

Когда a = 1 и b = c, ряд сводится к простому геометрическому ряду, т. Е.

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} \ left (1, b; b; z \ right) amp; = 1 + z + z ^ {2} + z ^ {3} + z ^ {4} + \ cdots \ end {align}}}$

отсюда и название гипергеометрический. Эту функцию можно рассматривать как обобщение геометрического ряда.

Функция вырожденная гипергеометрическая (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\ Displaystyle M (a, c, z) = \ lim _ {b \ to \ infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; b ^ {- 1} z)}$

поэтому все функции, которые являются частными его случаями, такие как функции Бесселя, могут быть выражены как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство часто используемых функций математической физики.

Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с 3 регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, 1-a; c; z) = \ Gamma (c) z ^ {\ tfrac {1-c} {2}} (1-z) ^ {\ tfrac {c-1} {2}} P _ {- a} ^ {1-c} (1-2z)}$

Несколько ортогональных многочленов, в том числе многочлены Якоби P^{(α, β)} _{nи их особые случаи полиномов Лежандра, полиномы Чебышева, многочлены Гегенбауэра можно записать в терминах гипергеометрических функций с помощью}

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- n, \ alpha +1+ \ beta + n; \ alpha +1; x) = {\ frac {n!} {(\ alpha +1) _ {n}}} P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (1-2x)}$

Другие полиномы, специальные случаи включают Кравчук полиномы, полиномы Майкснера, Meixner-Поллачек полиномы.

Эллиптические модульные функции иногда могут быть выражены как функции, обратные отношениям гипергеометрических функций, аргументы которых a, b, c равны 1, 1/2, 1/3,... или 0. Например, если

${\ displaystyle \ tau = {\ rm {i}} {\ frac {{} _ {2} F_ {1} {\ bigl (} {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} { 2}}; 1; 1-z {\ bigr)}} {{} _ {2} F_ {1} {\ bigl (} {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2 }}; 1; z {\ bigr)}}}}$

тогда

${\ Displaystyle г = \ каппа ^ {2} (\ тау) = {\ гидроразрыва {\ тета _ {2} (\ тау) ^ {4}} {\ тета _ {3} (\ тау) ^ {4} }}}$

- эллиптическая модулярная функция от τ, где

${\ displaystyle \ theta _ {2} (\ tau) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} e ^ {\ pi i \ tau (n + 1/2) ^ {2}}, \ quad \ theta _ {3} (\ tau) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} e ^ {\ pi i \ tau n ^ {2}}}$.

Неполные бета-функции B x ( p, q) связаны соотношением

${\ displaystyle B_ {x} (p, q) = {\ tfrac {x ^ {p}} {p}} {} _ {2} F_ {1} (p, 1-q; p + 1; x) }$

В полные эллиптические интегралы К и Е определяются

${\ Displaystyle К (к) = {\ tfrac {\ pi} {2}} \, _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} { 2}}; 1; k ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle E (k) = {\ tfrac {\ pi} {2}} \, _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1}) {2}}; 1; k ^ {2} \ right)}$

Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера

${\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left [c- (a + b + 1) z \ right] {\ frac {dw } {dz}} - ab \, w = 0.}$

который имеет три регулярные особые точки : 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольных регулярных особых точки дается дифференциальным уравнением Римана. Любое дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.

Решения в особых точках

Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда 2 F 1 ( a, b ; c ; z). Уравнение имеет два линейно независимых решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно есть два специальных решения вида x ^s, умноженного на голоморфную функцию от x, где s - один из двух корней указательного уравнения, а x - локальная переменная, равная нулю. в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как показано ниже.

Вокруг точки z  = 0 два независимых решения, если c не является целым неположительным числом,

${\ Displaystyle \, _ {2} F_ {1} (а, б; в; г)}$

и, при условии, что c не является целым числом,

${\ displaystyle z ^ {1-c} \, _ {2} F_ {1} (1 + ac, 1 + bc; 2-c; z)}$

Если c - неположительное целое число 1− m, то первое из этих решений не существует и должно быть заменено на Второе решение не существует, когда c является целым числом больше 1 и равно первому решению, или его замена, когда c - любое другое целое число. Поэтому, когда c является целым числом, для второго решения необходимо использовать более сложное выражение, равное умножению первого решения на ln ( z) плюс еще один ряд по степеням z, включающий дигамма-функцию. См. Подробности в Olde Daalhuis (2010). ${\ displaystyle z ^ {m} F (a + m, b + m; 1 + m; z).}$ Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( помощь )

Вокруг z  = 1, если c  -  a  -  b не целое число, у одного есть два независимых решения

${\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + a + bc; 1-z)}$

а также

${\ displaystyle (1-z) ^ {cab} \; _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1 + cab; 1-z)}$

Вокруг z  = ∞, если a  -  b не является целым числом, одно имеет два независимых решения

${\ displaystyle z ^ {- a} \, _ {2} F_ {1} \ left (a, 1 + ac; 1 + ab; z ^ {- 1} \ right)}$

а также

${\ displaystyle z ^ {- b} \, _ {2} F_ {1} \ left (b, 1 + bc; 1 + ba; z ^ {- 1} \ right).}$

Опять же, когда не выполняются условия нецелостности, существуют другие более сложные решения.

Любые 3 из 6 вышеупомянутых решений удовлетворяют линейному соотношению, поскольку пространство решений двумерно, что дает (⁶ _{3) = 20 линейных соотношений между ними, называемых формулами связи.}

24 решения Куммера

Фуксово уравнение второго порядка с n особыми точками имеет группу симметрий, действующих (проективно) на его решениях, изоморфную группе Кокстера D n порядка n ! 2 ^{n −1}. Для гипергеометрического уравнения n = 3, поэтому группа имеет порядок 24 и изоморфна симметрической группе в 4 точках и была впервые описана Куммером. Изоморфизм с симметрической группой является случайным и не имеет аналога для более чем трех особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на трех точках (действующих как перестановки трех особых точек) посредством Клейн 4-группа (чей элементы меняют знаки разностей показателей в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, переводящими решение F ( a, b ; c ; z) в одно из

${\ displaystyle (1-z) ^ {- a} F \ left (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ right)}$

${\ Displaystyle F (a, b; 1 + a + bc; 1-z)}$

${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} F \ left (ca, b; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ right)}$

которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой в 4 точках 1, 2, 3, 4. (Первая и третья из них фактически равны F ( a, b ; c ; z), а второе - независимое решение дифференциального уравнения.)

Применение преобразований Куммера 24 = 6 × 4 к гипергеометрической функции дает приведенные выше решения 6 = 2 × 3, соответствующие каждому из 2 возможных показателей в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} \, {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c ; z) \ \ \ {\ text {преобразование Эйлера}}}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} \, {} _ {2} F_ {1} (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}}) \ \ \ {\ text {преобразование Пфаффа}}}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} \, {} _ {2} F_ {1} (ca, b; c; {\ tfrac {z} {z-1}}) \ \ \ {\ text {преобразование Пфаффа}}}$

Q-форма

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dz ^ {2}}} + Q (z) u (z) = 0}$

сделав замену w = uv и исключив член первой производной. Считается, что

${\ Displaystyle Q = {\ гидроразрыва {z ^ {2} [1- (ab) ^ {2}] + z [2c (a + b-1) -4ab] + c (2-c)} {4z ^ {2} (1-z) ^ {2}}}}$

а v дается решением

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ log v (z) = - {\ frac {cz (a + b + 1)} {2z (1-z)}} = - {\ frac {c } {2z}} - {\ frac {1 + a + bc} {2 (z-1)}}}$

который

${\ Displaystyle v (z) = z ^ {- c / 2} (1-z) ^ {(cab-1) / 2}.}$

Q-форма важна по отношению к производной Шварца ( Hille 1976, стр. 307–401).

Карты треугольника Шварца

Смотрите также: функция треугольника Шварца

Треугольник Шварца карты или Шварц сек -функции являются отношениями пар решений.

${\ displaystyle s_ {k} (z) = {\ frac {\ phi _ {k} ^ {(1)} (z)} {\ phi _ {k} ^ {(0)} (z)}}}$

где k - одна из точек 0, 1, ∞. Обозначение

${\ Displaystyle D_ {к} (\ лямбда, \ му, \ Nu; z) = s_ {k} (z)}$

также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связности становятся преобразованиями Мёбиуса на треугольных отображениях.

Обратите внимание, что каждое отображение треугольника является правильным в точке z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, причем

${\ displaystyle s_ {0} (z) = z ^ {\ lambda} (1 + {\ mathcal {O}} (z))}$

${\ Displaystyle s_ {1} (z) = (1-z) ^ {\ mu} (1 + {\ mathcal {O}} (1-z))}$

а также

${\ displaystyle s _ {\ infty} (z) = z ^ {\ nu} (1 + {\ mathcal {O}} ({\ tfrac {1} {z}})).}$

В частном случае А, р и v, с реальным, 0 ≤ X, р, ν lt;1, то S-карты являются конформные отображения по верхней полуплоскости Н к треугольников на сфере Римана, ограниченных дугами окружностей. Это отображение является обобщением на отображение Шварца-Кристоффеля до треугольников с круглыми дугами. Особые точки 0,1 и ∞ отправлены в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.

Кроме того, в случае λ = 1 / p, μ = 1 / q и ν = 1 / r для целых чисел p, q, r треугольник разбивает сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, λ + μ + ν - 1 положительно, равно нулю или отрицательно; а s-отображения являются функциями, обратными автоморфным функциям для группы треугольников 〈p,  q,  r〉 = ∆ ( p,  q,  r).

Группа монодромии

Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения меняются при аналитическом продолжении по путям в плоскости z, которые возвращаются в ту же точку. То есть, когда путь огибает сингулярность 2 F 1, значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной точки.

Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия - это отображение (гомоморфизм групп):

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbf {C} \ setminus \ {0,1 \}, z_ {0}) \ to {\ text {GL}} (2, \ mathbf {C})}$

где π 1 - фундаментальная группа. Другими словами, монодромия - это двумерное линейное представление фундаментальной группы. Группа монодромии уравнения является образом этого отображения, т. Е. Группой, порожденной матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы можно явно вычислить в терминах показателей в особых точках. Если (α, α '), (β, β') и (γ, γ ') - показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z 0 около 0, петли вокруг 0 ​​и 1 имеют матрицы монодромии

${\ displaystyle g_ {0} = {\ begin {pmatrix} e ^ {2 \ pi i \ alpha} amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {2 \ pi i \ alpha ^ {\ prime}} \ end {pmatrix}} \, \, \,}$ а также ${\ displaystyle \, \, \, g_ {1} = {\ begin {pmatrix} {\ mu e ^ {2 \ pi i \ beta} -e ^ {2 \ pi i \ beta ^ {\ prime}} \ над \ mu -1} amp; {\ mu (e ^ {2 \ pi i \ beta} -e ^ {2 \ pi i \ beta ^ {\ prime}}) \ over (\ mu -1) ^ {2} } \\ e ^ {2 \ pi i \ beta ^ {\ prime}} - e ^ {2 \ pi i \ beta} amp; {\ mu e ^ {2 \ pi i \ beta ^ {\ prime}} - e ^ {2 \ pi i \ beta} \ over \ mu -1} \ end {pmatrix}},}$

куда

${\ Displaystyle \ му = {\ грех \ пи (\ альфа + \ бета ^ {\ простое} + \ гамма ^ {\ простое}) \ грех \ пи (\ альфа ^ {\ простое} + \ бета + \ гамма ^ {\ prime}) \ over \ sin \ pi (\ alpha ^ {\ prime} + \ beta ^ {\ prime} + \ gamma ^ {\ prime}) \ sin \ pi (\ alpha + \ beta + \ gamma ^ {\основной })}.}$

Если 1- a, c - a - b, a - b - нецелые рациональные числа со знаменателями k, l, m, то группа монодромии конечна тогда и только тогда, когда, см . Список Шварца или алгоритм Ковачича. ${\ displaystyle 1 / k + 1 / l + 1 / mgt; 1}$

Тип Эйлера

Если B - бета-функция, то

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (b, cb) \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {b-1} (1-x) ^ {cb-1} (1-zx) ^ {- a} \, dx \ qquad \ Re (c)gt; \ Re (b)gt; 0,}$

при условии, что z не является действительным числом, таким, что оно больше или равно 1. и может быть доказано путем разложения (1 -  zx) ^{- a} с помощью биномиальной теоремы и последующего интегрирования по почеркам для z с абсолютным значением меньше 1, и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z - действительное число, большее или равное 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, потому что (1 -  zx) равно нулю в некоторой точке опоры интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определенным. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.

Другие представления, соответствующие другим ветвям, даются путем взятия того же подынтегрального выражения, но путем интегрирования в виде замкнутого цикла Похгаммера, охватывающего особенности в различных порядках. Такие пути соответствуют действию монодромии.

Интеграл Барнса

Барнс использовал теорию вычетов для вычисления интеграла Барнса

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {\ Gamma (a + s) \ Gamma (b + s) \ Гамма (-s)} {\ Gamma (c + s)}} (- z) ^ {s} \, ds}$

в качестве

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (c)}} \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

где проведен контур для отделения полюсов 0, 1, 2... от полюсов - a, - a  - 1,..., - b, - b  - 1,.... Это верно до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.

Преобразование Джона

Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как преобразование Джона ( Гельфанд, Гиндикин и Граев, 2003, 2.1.2).

Шесть функций

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a \ pm 1, b; c; z), \ quad {} _ {2} F_ {1} (a, b \ pm 1; c; z), \ quad {} _ {2} F_ {1} (a, b; c \ pm 1; z)}$

называются смежными с 2 F 1 ( a, b ; c ; z). Гаусс показал, что 2 F 1 ( a, b ; c ; z) может быть записано как линейная комбинация любых двух его смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a, b, c и z. Это дает

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} 6 \\ 2 \ end {pmatrix}} = 15}$

отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части

${\ displaystyle {\ begin {align} z {\ frac {dF} {dz}} amp; = z {\ frac {ab} {c}} F (a +, b +, c +) \\ amp; = a (F (a +) -F) \\ amp; = b (F (b +) - F) \\ amp; = (c-1) (F (c -) - F) \\ amp; = {\ frac {(ca) F (a-) + (a-c + bz) F} {1-z}} \\ amp; = {\ frac {(cb) F (b -) + (b-c + az) F} {1-z}} \ \ amp; = z {\ frac {(ca) (cb) F (c +) + c (a + bc) F} {c (1-z)}} \ end {выровнено}}}$

где F = 2 F 1 ( a, b ; c ; z), F ( a +) = 2 F 1 ( a + 1, b ; c ; z) и т. д. Повторное применение этих соотношений дает линейную связь над C (z) между любыми тремя функциями вида

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a + m, b + n; c + l; z),}$

где m, n и l - целые числа.

Непрерывная дробь Гаусса

Основная статья: непрерывная дробь Гаусса

Гаусс использовал отношения смежности, чтобы дать несколько способов записать частное двух гипергеометрических функций в виде непрерывной дроби, например:

${\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}} = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {{\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + {\ cfrac {{\ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + {\ cfrac {{\ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + {\ cfrac {{\ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} \ ddots}}}}}}}}}}}$

Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при разных значениях аргумента z.

Дробно-линейные преобразования

Преобразование Эйлера есть

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c; z).}$

Отсюда следует, комбинируя два преобразования Пфаффа

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- b} {} _ {2} F_ {1} \ left (b, ca; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ right)}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z) ^ {- a} {} _ {2} F_ {1} \ left (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ right)}$

которые, в свою очередь, следуют из интегрального представления Эйлера. О расширении первого и второго преобразований Эйлера см. Rathie amp; Paris (2007) и Rakha amp; Rathie (2011). Его также можно записать как линейную комбинацию

${\ Displaystyle {\ begin {align} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c, z) = {} amp; {\ frac {\ Gamma (c) \ Gamma (cab)} {\ Gamma (ca) \ Gamma (cb)}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a + b + 1-c; 1-z) \\ [6pt] amp; {} + {\ frac { \ Gamma (c) \ Gamma (a + bc)} {\ Gamma (a) \ Gamma (b)}} (1-z) ^ {cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1 + cab; 1-z). \ End {align}}}$

Квадратичные преобразования

Если два из чисел 1 -  c, c  - 1, a  -  b, b  -  a, a  +  b  -  c, c  -  a  -  b равны или одно из них равно 1/2, то происходит квадратичное преобразование числа гипергеометрическая функция, связывающая ее с другим значением z, связанным квадратным уравнением. Первые примеры были даны Куммером (1836 г.), а полный список - Гурса (1881 г.). Типичный пример:

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 2b; z) = (1-z) ^ {- {\ frac {a} {2}}} {} _ {2} F_ { 1} \ left ({\ tfrac {1} {2}} a, b - {\ tfrac {1} {2}} a; b + {\ tfrac {1} {2}}; {\ frac {z ^ { 2}} {4z-4}} \ right)}$

Преобразования высшего порядка

Если 1− c, a - b, a + b - c различаются знаками или два из них равны 1/3 или −1/3, то существует кубическое преобразование гипергеометрической функции, связывающее ее с другим значением z, связанным с кубическим уравнением. Первые примеры были приведены Гурса (1881 г.). Типичный пример:

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {3} {2}} a, {\ tfrac {1} {2}} (3a-1); a + {\ tfrac {1 } {2}}; - {\ tfrac {z ^ {2}} {3}} \ right) = (1 + z) ^ {1-3a} \, {} _ {2} F_ {1} \ left (a - {\ tfrac {1} {3}}, a; 2a; 2z (3 + z ^ {2}) (1 + z) ^ {- 3} \ right)}$

Есть также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только в том случае, если a, b и c - определенные рациональные числа ( Vidunas 2005). Например,

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {4}}, {\ tfrac {3} {8}}; {\ tfrac {7} {8}}; z \ right) (z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {1/16} = {} _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac { 1} {48}}, {\ tfrac {17} {48}}; {\ tfrac {7} {8}}; {\ tfrac {-432z (z-1) ^ {2} (z + 1) ^ {8}} {(z ^ {4} -60z ^ {3} + 134z ^ {2} -60z + 1) ^ {3}}} \ right).}$

См. Slater (1966, приложение III), где приведен список формул суммирования в особых точках, большинство из которых также встречается у Bailey (1935). Гессель и Стэнтон (1982) дают дальнейшие оценки по большему количеству пунктов. Koepf (1995) показывает, как большинство этих идентичностей можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.

Специальные значения при z  = 1

Теорема суммирования Гаусса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса, является тождеством

${\ Displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; 1) = {\ frac {\ Gamma (c) \ Gamma (cab)} {\ Gamma (ca) \ Gamma (cb)} }, \ qquad \ Re (c)gt; \ Re (a + b)}$

которое следует из интегральной формулы Эйлера, полагая z  = 1. Оно включает тождество Вандермонда как частный случай.

В частном случае, когда, ${\ displaystyle a = -m}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- m, b; c; 1) = {\ frac {(cb) _ {m}} {(c) _ {m}}}}$

Формула Дугалла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд при z  = 1.

Теорема Куммера ( z  = −1)

Есть много случаев, когда гипергеометрические функции можно вычислить при z  = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z  = −1 на z  = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичный пример - теорема Куммера, названная в честь Эрнста Куммера :

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; -1) = {\ frac {\ Gamma (1 + ab) \ Gamma (1 + {\ tfrac {1} {2) }} а)} {\ Gamma (1 + a) \ Gamma (1 + {\ tfrac {1} {2}} ab)}}}$

которое следует из квадратичных преобразований Куммера

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} (a, b; 1 + ab; z) amp; = (1-z) ^ {- a} \; _ {2} F_ {1} \ left ({\ frac {a} {2}}, {\ frac {1 + a} {2}} - b; 1 + ab; - {\ frac {4z} {(1-z) ^ {2}) }} \ right) \\ amp; = (1 + z) ^ {- a} \, _ {2} F_ {1} \ left ({\ frac {a} {2}}, {\ frac {a + 1 } {2}}; 1 + ab; {\ frac {4z} {(1 + z) ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}$

и теорему Гаусса, положив  в первом тождестве z = −1. Для обобщения суммирования Куммера см. Lavoie, Grondin amp; Rathie (1996).

Значения при z  = 1/2

Вторая теорема Гаусса о суммировании:

${\ displaystyle _ {2} F_ {1} \ left (a, b; {\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + a + b \ right); {\ tfrac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + a + b \ right))} {\ Гамма ({\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + a) \ right) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + b \ right))}}.}$

Теорема Бейли

${\ displaystyle _ {2} F_ {1} \ left (a, 1-a; c; {\ tfrac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} { 2}} c) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + c \ right))} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ left (c + a \ right)) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ left (1 + ca \ right))}}.}$

Об обобщениях второй теоремы суммирования Гаусса и теоремы суммирования Бейли см. Lavoie, Grondin amp; Rathie (1996).

Прочие моменты

Есть много других формул, дающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Gessel amp; Stanton (1982) и Koepf (1995). Некоторые типичные примеры приведены

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ left (a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {x ^ {2}} {4 (x-1)} } \ right) = {\ frac {(1-x) ^ {a} + (1-x) ^ {- a}} {2}},}$

который можно переформулировать как

${\ displaystyle T_ {a} (\ cos x) = {} _ {2} F_ {1} \ left (a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2 }} (1- \ cos x) \ right) = \ cos (ax)}$

всякий раз, когда −π lt; x lt;π и T - (обобщенный) многочлен Чебышева.

• Ряд Аппеля, 2-переменное обобщение гипергеометрических рядов
• Базовый гипергеометрический ряд, отношение членов которого является периодической функцией индекса
• Двусторонний гипергеометрический ряд p H p подобен обобщенному гипергеометрическому ряду, но суммируется по всем целым числам.
• Биномиальный ряд 1 F 0
• Конфлюэнтный гипергеометрический ряд 1 F 1 ( a ; c ; z)
• Эллиптический гипергеометрический ряд, где отношение членов является эллиптической функцией индекса
• Гипергеометрический интеграл Эйлера, интегральное представление 2 F 1
• H-функция Фокса, расширение G-функции Мейера
• Функция Фокса – Райта, обобщение обобщенной гипергеометрической функции.
• Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
• Общая гипергеометрическая функция, введенная И. М. Гельфандом.
• Обобщенный гипергеометрический ряд p F q, где отношение членов является рациональной функцией индекса
• Геометрический ряд, где соотношение членов является константой
• Функция Гойна, решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
• Функция Хорна, 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда от двух переменных
• Ряд Гумберта 7 гипергеометрических функций от 2 переменных
• Гипергеометрическое распределение, дискретное распределение вероятностей
• Гипергеометрическая функция матричного аргумента, многомерное обобщение гипергеометрического ряда
• Функция Кампе де Ферие, гипергеометрические ряды двух переменных
• Гипергеометрический ряд Лауричеллы, гипергеометрический ряд трех переменных
• E-функция МакРоберта, расширение обобщенного гипергеометрического ряда p F q на случай p gt; q +1.
• G-функция Мейера, расширение обобщенного гипергеометрического ряда p F q на случай p gt; q +1.
• Модульный гипергеометрический ряд, завершающая форма эллиптического гипергеометрического ряда
• Тета-гипергеометрические ряды, особый вид эллиптических гипергеометрических рядов.
• Конформные блоки Вирасоро, специальные функции в двумерной конформной теории поля, которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.

• Эндрюс, Джордж Э. ; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Энциклопедия математики и ее приложений. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-62321-6. Руководство по ремонту   1688958.
• Бейли, WN (1935). Обобщенные гипергеометрические ряды (PDF). Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинального (PDF) на 24.06.2017. Проверено 23 июля 2016.
• Beukers, Frits (2002), гипергеометрическая функция Гаусса. (конспекты лекций с обзором основ, а также карты треугольников и монодромия)
• Olde Daalhuis, Адри Б. (2010), «Гипергеометрическая функция», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5, MR   2723248
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF). Vol. I. Нью-Йорк - Торонто - Лондон: ISBN McGraw – Hill Book Company, Inc.   978-0-89874-206-0. Руководство по ремонту   0058756. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
• Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN   0-521-83357-4.
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Общие исследования серии бесконечных   "${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ х + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} ~ x ~ x + {\ t_dv {и т. д.}}}$. Commentationes societatis regiae scientificarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2.
• Гельфанд И.М.; Гиндикин, С.Г., Граев, М.И. (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии. Переводы математических монографий. 220. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN   978-0-8218-2932-5. MR   2000133.
• Гессель, Ира и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал СИАМ по математическому анализу. 13 (2): 295–308. DOI : 10.1137 / 0513021. ISSN   0036-1410. Руководство по ремонту   0647127.
• Гурса, Эдуар (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 10: 3–142. Проверено 16 октября 2008.
• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах. Сан-Диего: Academic Press. ISBN   0-12-336170-2. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области. Дувр. ISBN   0-486-69620-0.
• Инс, Э.Л. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения. Dover Publications.
• Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 39. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-10455-1. Руководство по ремонту   0668700.
• Кёпф, Вольфрам (1995). «Алгоритмы m-кратного гипергеометрического суммирования». Журнал символических вычислений. 20 (4): 399–417. DOI : 10.1006 / jsco.1995.1056. ISSN   0747-7171. Руководство по ремонту   1384455.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Uber die hypergeometrische Reihe  "${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ cdot \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} x ^ {2} + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) (\ alpha +2) \ beta (\ beta +1) (\ beta + 2)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ gamma (\ gamma +1) (\ gamma +2)}} x ^ {3} + \ cdots}$. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 15: 39–83, 127–172. ISSN   0075-4102.
• Lavoie, JL; Grondin, F.; Рати, АК (1996). «Обобщения теоремы Уиппла о сумме 3 F 2 ». J. Comput. Прил. Математика. 72: 293–300.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Веттерлинг, В. Т. и Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.13. Гипергеометрические функции». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-88068-8.
• Ракха, Массачусетс; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc. 48 (1): 151–156.
• Рати, Арджун К.; Париж, РБ (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Дальний Восток J. Math. Sci. 27 (1): 43–48.
• Риман, Бернхард (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Functionen". Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке). Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3–22.(Отпечаток этой статьи можно найти в «Все публикации Римана» (PDF).)
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Руководство по ремонту   0107026.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-06483-X. Руководство по ремонту   0201688. (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )
• Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений. 178: 473–487. arXiv : математика / 0310436. DOI : 10.1016 / j.cam.2004.09.053.
• Уолл, HS (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей. D. Van Nostrand Company, Inc.
• Уиттакер, ET и Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств. Брауншвейг - Висбаден: Фридр. Vieweg amp; Sohn. ISBN   3-528-06925-2. Руководство по ремонту   1453580.

• "Гипергеометрическая функция", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций ( Оксфордский университет, кандидатская диссертация)
• Марко Петковсек, Герберт Уилф и Дорон Цайльбергер, Книга "A = B" (свободно загружаемая)
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипергеометрическая функция". MathWorld.