Сливающаяся гипергеометрическая функция

В математике сливающейся гипергеометрической функцией является решение конфлюэнтного гипергеометрического уравнения, которое является вырожденной формой гипергеометрического дифференциального уравнения, где две из трех регулярных особенностей сливаются в нерегулярную сингулярность. Термин конфлюэнтный относится к слиянию особых точек семейств дифференциальных уравнений; confluere в переводе с латыни означает «течь вместе». Существует несколько общих стандартных форм конфлюэнтных гипергеометрических функций:

• функция Куммера (конфлюэнтная гипергеометрическая) M (a, b, z), введенная Куммером (1837), является решением дифференциального уравнения Куммера . Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Существует другая и несвязанная функция Куммера с тем же именем.
• функция Трикоми (сливающаяся гипергеометрическая) U (a, b, z), введенная Франческо Трикоми ( 1947), иногда обозначаемый Ψ (a; b; z), является еще одним решением уравнения Куммера. Это также известно как конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.
• Функции Уиттекера (для Эдмунд Тейлор Уиттакер ) являются решениями уравнения Уиттекера .
• Кулоновская волна функции являются решениями уравнения кулоновской волны . Функции Куммера, функции Уиттекера и волновые функции Кулона по существу одинаковы и отличаются друг от друга только элементарными функциями и заменой переменных.

Содержание

• 1 Уравнение Куммера
  • 1.1 Другие уравнения
• 2 Интегральные представления
• 3 Асимптотика
• 4 Отношения
  • 4.1 Смежные отношения
  • 4.2 Преобразование Куммера
• 5 Теорема умножения
• 6 Связь с многочленами Лагерра и аналогичными представлениями
• 7 Особые случаи
• 8 Применение к непрерывным дробям
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Уравнение Куммера

Уравнение Куммера можно записать как:

$zd\; 2\; wdz\; 2\; +\; (b\; -\; z)\; dwdz\; -\; aw\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; (bz)\; \{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dz\}\}\; -\; aw\; =\; 0,\}$

с регулярной особой точкой при z = 0 и нерегулярной особой точкой при z = ∞. Он имеет два (обычно) линейно независимых решений M (a, b, z) и U (a, b, z).

Функция Куммера первого рода M представляет собой обобщенный гипергеометрический ряд, введенный в (Kummer 1837), задаваемый выражением:

$M\; (a,\; b,\; z)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; a\; (N)\; znb\; (N)\; N!\; Знак\; равно\; 1\; F\; 1\; (a;\; b;\; z),\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{(n)\}\; z\; ^\; \{n\}\}\; \{b\; ^\; \{(n)\}\; n!\}\}\; =\; \{\}\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{1\}\; (a;\; b;\; z),\}$

где:

$a\; (0)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{(0)\}\; =\; 1,\}$

$a\; (n)\; =\; a\; (a\; +\; 1)\; (a\; +\; 2)\; \cdots \; (a\; +\; n\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{(\; n)\}\; =\; a\; (a\; +\; 1)\; (a\; +\; 2)\; \backslash \; cdots\; (a\; +\; n-1)\; \backslash ,,\}$

- это возрастающий факториал. Другое общее обозначение этого решения - Φ (a, b, z). Рассматриваемый как функция от a, b или z с двумя другими постоянными, это определяет целую функцию от a или z, за исключением случаев, когда b = 0, −1, −2,... Как функция от b является аналитической за исключением полюсов в неположительных целых числах.

Некоторые значения a и b дают решения, которые могут быть выражены через другие известные функции. См. # Особые случаи. Когда a - неположительное целое число, функция Куммера (если она определена) является обобщенным полиномом Лагерра.

Так же, как конфлюэнтное дифференциальное уравнение является пределом гипергеометрического дифференциального уравнения как особая точка в 1 перемещается к особой точке в ∞, конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть задана как предел гипергеометрической функции

$M\; (a,\; c,\; z)\; =\; lim\; b\; \to \; \infty \; 2\; F\; 1\; (a,\; b;\; c;\; z\; /\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; c,\; z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{b\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\}\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{1\}\; (a,\; b;\; c;\; z\; /\; b)\}$

и многие свойства конфлюэнтной гипергеометрической функции являются предельными случаями свойств гипергеометрической функции.

Поскольку уравнение Куммера имеет второй порядок, должно быть другое, независимое решение. указательное уравнение метода Фробениуса говорит нам, что наименьшая степень решения степенного ряда уравнения Куммера равна либо 0, либо 1 - b. Если мы позволим w (z) быть

$w\; (z)\; =\; z\; 1\; -\; bv\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (z)\; =\; z\; ^\; \{1-b\}\; v\; (z)\}$

, тогда дифференциальное уравнение дает

$z\; 2\; -\; bd\; 2\; vdz\; 2\; +\; 2\; (1\; -\; b)\; z\; 1\; -\; bdvdz\; -\; b\; (1\; -\; b)\; z\; -\; bv\; +\; (b\; -\; z)\; [z\; 1\; -\; bdvdz\; +\; (1\; -\; b)\; z\; -\; bv]\; -\; az\; 1\; -\; bv\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{2-b\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; v\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; 2\; (1-b)\; z\; ^\; \{1\; -b\}\; \{\backslash \; frac\; \{dv\}\; \{dz\}\}\; -\; b\; (1-b)\; z\; ^\; \{-\; b\}\; v\; +\; (bz)\; \backslash \; left\; [z\; ^\; \{1-b\}\; \{\backslash \; frac\; \{dv\}\; \{dz\}\}\; +\; (1-b)\; z\; ^\; \{-\; b\}\; v\; \backslash \; right]\; -az\; ^\; \{1-b\}\; v\; =\; 0\}$

которое после деления z и упрощения становится

$zd\; 2\; vdz\; 2\; +\; (\; 2\; -\; b\; -\; z)\; dvdz\; -\; (a\; +\; 1\; -\; b)\; v\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; v\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; (2-bz)\; \{\backslash \; frac\; \{dv\}\; \{dz\}\}\; -\; (a\; +\; 1-b)\; v\; =\; 0.\}$

Это означает, что zM (a + 1 - b, 2 - b, z) является решением, если b не целое число больше 1, так же как M (a, b, z) является решением, если b не является целым числом меньше 1. Мы также можем использовать вырожденную гипергеометрическую функцию Трикоми U (a, b, z), введенную формулой Франческо Трикоми (1947), иногда обозначается Ψ (a; b; z). Это комбинация двух указанных выше решений, определяемых формулой

$U\; (a,\; b,\; z)\; =\; \Gamma \; (1\; -\; b)\; \Gamma \; (a\; +\; 1\; -\; b)\; M\; (a,\; b,\; z)\; +\; \Gamma \; (b\; -\; 1)\; \Gamma \; (a)\; z\; 1\; -\; b\; M\; (a\; +\; 1\; -\; b,\; 2\; -\; b,\; z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (a,\; b,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1-b)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a\; +\; 1-b)\}\}\; M\; (a,\; b,\; z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (b-1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a)\}\}\; z\; ^\; \{1-b\}\; M\; (a\; +\; 1-b,\; 2-b,\; z).\}$

Хотя это выражение не определено для целого числа b, его преимущество состоит в том, что его можно продолжить до любого целого числа b по непрерывности. В отличие от функции Куммера, которая представляет собой целую функцию от z, U (z) обычно имеет сингулярность в нуле. Например, если b = 0 и a ≠ 0, то Γ (a + 1) U (a, b, z) - 1 асимптотически относительно az ln z, когда z стремится к нулю. Но см. # Особые случаи для некоторых примеров, когда это целая функция (многочлен).

Обратите внимание, что решение zM (a + 1 - b, 2 - b, z) уравнения Куммера такое же, как решение U (a, b, z), см. # преобразование Куммера.

Для большинства комбинаций действительных или комплексных a и b функции M (a, b, z) и U (a, b, z) независимы, и если b - целое неположительное число, то M (a, b, z) не существует, тогда мы сможем использовать zM (a + 1 − b, 2 − b, z) в качестве второго решения. Но если a - целое неположительное число и b - не целое неположительное число, то U (z) делится на M (z). В этом случае также zM (a + 1 − b, 2 − b, z) можно использовать в качестве второго решения, если оно существует и отличается. Но когда b является целым числом больше 1, этого решения не существует, а если b = 1, то оно существует, но кратно U (a, b, z) и M (a, b, z). случаях существует второе решение следующей формы и действительное для любого действительного или комплексного a и любого положительного целого числа b, кроме случаев, когда a является положительным целым числом меньше b:

$M\; (a,\; b,\; z)\; ln\; \; z\; +\; z\; 1\; -\; б\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; С\; kzk\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; \backslash \; ln\; z\; +\; z\; ^\; \{1-b\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; C\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\}$

Когда a = 0, мы также можем использовать:

$\int \; -\; \infty \; z\; (-\; u)\; -\; beudu.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{z\}\; (-\; u)\; ^\; \{-\; b\}\; e\; ^\; \{u\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; u.\}$

Когда b = 1, это экспоненциальный интеграл E1(−z).

Аналогичная проблема возникает, когда a − b - отрицательное целое число, а b - целое число меньше 1. В этом случае M (a, b, z) не существует, а U (a, b, z) делится на zM (a + 1 − b, 2 − b, z). Второе решение имеет вид:

$z\; 1\; -\; b\; M\; (a\; +\; 1\; -\; b,\; 2\; -\; b,\; z)\; ln\; \; z\; +\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; C\; kzk\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{1-b\; \}\; M\; (a\; +\; 1-b,\; 2-b,\; z)\; \backslash \; ln\; z\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; C\_\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\}$

Другие уравнения

Сливающиеся гипергеометрические функции могут использоваться для решения расширенного сливающегося гипергеометрического уравнения, общая форма которого имеет следующий вид:

$zd\; 2\; wdz\; 2\; +\; (b\; -\; z)\; dwdz\; -\; (\sum \; m\; =\; 0\; M\; amzm)\; w\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; (bz)\; \{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dz\}\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{M\; \}\; a\_\; \{m\}\; z\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right)\; w\; =\; 0\}$

Обратите внимание, что для M = 0 или когда суммирование включает только один член, оно сводится к обычному конфлюэнтному гипергеометрическому уравнению.

Таким образом, сливающиеся гипергеометрические функции могут использоваться для решения «большинства» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, все переменные коэффициенты которых являются линейными функциями от z, поскольку они могут быть преобразованы в расширенное сливающееся гипергеометрическое уравнение. Рассмотрим уравнение:

$(A\; +\; B\; z)\; d\; 2\; wdz\; 2\; +\; (C\; +\; D\; z)\; dwdz\; +\; (E\; +\; F\; z)\; w\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; +\; Bz)\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{\; 2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; (C\; +\; Dz)\; \{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dz\}\}\; +\; (E\; +\; Fz)\; w\; =\; 0\}$

Сначала мы перемещаем регулярное сингулярное число точка на 0, используя замену A + Bz ↦ z, которая преобразует уравнение в:

$zd\; 2\; wdz\; 2\; +\; (C\; +\; D\; z)\; dwdz\; +\; (E\; +\; F\; z)\; w\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; (C\; +\; Dz)\; \{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dz\}\}\; +\; (E\; +\; Fz)\; w\; =\; 0\}$

с новыми значениями C, D, E и F. Затем мы используем замену:

$z\; \mapsto \; 1\; D\; 2-4\; F\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{\; 2\}\; -4F\}\}\}\; z\}$

и умножьте уравнение на тот же коэффициент, получив:

$zd\; 2\; wdz\; 2\; +\; (C\; +\; DD\; 2\; -\; 4\; F\; z)\; dwdz\; +\; (ED\; 2\; -\; 4\; F\; +\; FD\; 2–4\; F\; z)\; вес\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{dz\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (C\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\}\; z\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{dw\}\; \{dz\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{F\}\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\; z\; \backslash \; right)\; w\; =\; 0\}$

, решение которого равно

$exp\; \; (-\; (1\; +\; DD\; 2\; -\; 4\; F)\; z\; 2)\; w\; (z),\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; w\; (\; z),\}$

где w (z) - решение уравнения Куммера с

$a\; =\; (1\; +\; DD\; 2\; -\; 4\; F)\; C\; 2\; -\; ED\; 2\; -\; 4\; F,\; b\; =\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{D\; ^\; \{2\}\; -4F\}\}\},\; \backslash \; qquad\; b\; =\; C.\}$

Обратите внимание, что квадратный корень может давать мнимое или комплексное число. Если он равен нулю, необходимо использовать другое решение, а именно

$exp\; \; (-\; 1\; 2\; D\; z)\; w\; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Dz\; \backslash \; справа)\; w\; (z),\}$

где w (z) - конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция, удовлетворяющая

$zw\; ″\; (z)\; +\; C\; w\; \prime \; (z)\; +\; (E\; -\; 1\; 2\; CD)\; вес\; (z)\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; zw\; \text{'}\text{'}\; (z)\; +\; Cw\; \text{'}(z)\; +\; \backslash \; left\; (E\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; CD\; \backslash \; right)\; w\; (z)\; =\; 0.\}$

Как отмечено ниже, даже уравнение Бесселя может быть решено с использованием конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Интегральные представления

Если Re b>Re a>0, M (a, b, z) можно представить в виде интеграла

$M\; (a,\; b,\; z)\; =\; \Gamma \; (б)\; \Gamma \; (a)\; \Gamma \; (b\; -\; a)\; \int \; 0\; 1\; ezuua\; -\; 1\; (1\; -\; u)\; b\; -\; a\; -\; 1\; du.\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (b)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a)\; \backslash \; Gamma\; (ba)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; e\; ^\; \{zu\}\; u\; ^\; \{a-1\}\; (1-u)\; ^\; \{ba-1\}\; \backslash ,\; du.\}$

, таким образом, M (a, a + b, it) является характеристической функцией элемента бета-распределение. Для a с положительной действительной частью U можно получить с помощью интеграла Лапласа

$U\; (a,\; b,\; z)\; =\; 1\; \Gamma \; (a)\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; ztta\; -\; 1\; (1\; +\; t)\; b\; -\; a\; -\; 1\; dt,\; (Re\; \; a>0)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; b,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-zt\}\; t\; ^\; \{a-1\}\; (1\; +\; t)\; ^\; \{ba-1\}\; \backslash ,\; dt,\; \backslash \; quad\; (\backslash \; operatorname\; \{Re\}\; \backslash \; a>0)\}$

Интеграл справа определяет решение полуплоскость 0 < Re z < π/2.

Их также можно представить в виде интегралов Барнса

$M\; (a,\; b,\; z)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \Gamma \; (b)\; \Gamma \; (a)\; \int \; -\; i\; \infty \; i\; \infty \; \Gamma \; (-\; s)\; \Gamma \; (a\; +\; s)\; \Gamma \; (b\; +\; s)\; (-\; z)\; sds\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (b)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; i\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{i\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (-s)\; \backslash \; Gamma\; (a\; +\; s)\}\; \{\; \backslash \; Gamma\; (b\; +\; s)\}\}\; (-\; z)\; ^\; \{s\}\; ds\}$

где контур переходит к одной стороне полюсов графа Γ (−s) и к другой стороне полюсов графа Γ (a + s).

Асимптотическое поведение

Если решение уравнения Куммера является асимптотическим до степени z при z → ∞, тогда степень должна быть −a. Фактически, это так для решения Трикоми U (a, b, z). Его асимптотическое поведение при z → ∞ можно вывести из интегральных представлений. Если z = x ∈ R, то замена переменных в интеграле с последующим расширением биномиального ряда и его формальным интегрированием по членам приводит к асимптотическому ряду расширение, действительное при x → ∞:

$U\; (a,\; b,\; x)\; \sim \; x\; -\; a\; 2\; F\; 0\; (a,\; a\; -\; b\; +\; 1;;\; -\; 1\; x),\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; b,\; x)\; \backslash \; sim\; x\; ^\; \{-\; a\}\; \backslash ,\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (a,\; a-b\; +\; 1;\; \backslash ,;\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $2\; F\; 0\; (\cdot ,\; \cdot ;;\; -\; 1\; /\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \_\; \{2\}\; F\_\; \{0\}\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; ;;\; -\; 1\; /\; x)\}$- это обобщенный гипергеометрический ряд с 1 в качестве главного члена, который, как правило, нигде не сходится, но существует как формальный степенной ряд от 1 / x. Это асимптотическое разложение также верно для комплексного z вместо действительного x, с | arg z | < 3π/2.

Асимптотика решения Куммера при больших | z | является:

$M\; (a,\; b,\; z)\; \sim \; \Gamma \; (b)\; (ezza\; -\; b\; \Gamma \; (a)\; +\; (-\; z)\; -\; a\; \Gamma \; (b\; -\; a))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; \backslash \; sim\; \backslash \; Gamma\; (b)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{z\}\; z\; ^\; \{ab\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(-z)\; ^\; \{-\; a\}\}\; \{\; \backslash \; Gamma\; (ba)\}\}\; \backslash \; right)\}$

Степени z взяты с использованием −3π / 2 < arg z ≤ π/2. The first term is not needed when Γ(b − a) is finite, that is when b − a is not a non-positive integer and the real part of z goes to negative infinity, whereas the second term is not needed when Γ(a) is finite, that is, when a is a not a non-positive integer and the real part of z goes to positive infinity.

Всегда существует какое-то решение уравнения Куммера, асимптотическое к ez ^ при z → −∞. Обычно это будет комбинация M (a, b, z) и U (a, b, z), но также может быть выражена как e (−1) U (b - a, b, −z).

Отношения

Есть много отношений между функциями Куммера для различных аргументов и их производных. В этом разделе приводится несколько типичных примеров.

Смежные отношения

Для заданного M (a, b, z) четыре функции M (a ± 1, b, z), M (a, b ± 1, z) называются прилегает к M (a, b, z). Функцию M (a, b, z) можно записать как линейную комбинацию любых двух ее смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a, b и z. Это дает (. 2) = 6 отношений, задаваемых путем идентификации любых двух строк в правой части

$zd\; M\; dz\; =\; zab\; M\; (a\; +,\; b\; +)\; =\; a\; (M\; (a\; +)\; -\; M)\; =\; (b\; -\; 1)\; (M\; (b\; -)\; -\; M)\; =\; (b\; -\; a)\; M\; (a\; -)\; +\; (a\; -\; b\; +\; z)\; M\; =\; z\; (a\; -\; b)\; M\; (b\; +)\; /\; b\; +\; z\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; z\; \{\backslash \; frac\; \{dM\}\; \{dz\}\}\; =\; z\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; M\; (a\; +,\; b\; +)\; =\; a\; (M\; (a\; +)\; -\; M)\; \backslash \backslash \; =\; (b-1)\; (M\; (b\; -)\; -\; M)\; \backslash \backslash \; =\; (ba)\; M\; (a\; -)\; +\; (a-b\; +\; z)\; M\; \backslash \backslash \; =\; z\; (ab)\; M\; (\; b\; +)\; /\; b\; +\; zM\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В обозначениях выше M = M (a, b, z), M (a +) = M (a + 1, b, z), и так далее.

Многократное применение этих соотношений дает линейную связь между любыми тремя функциями формы M (a + m, b + n, z) (и их высшими производными), где m, n - целые числа.

Аналогичные соотношения существуют для U.

преобразование Куммера

Функции Куммера также связаны преобразованиями Куммера:

$M\; (a,\; b,\; z)\; =\; ez\; M\; (b\; -\; a,\; b,\; -\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (a,\; b,\; z)\; =\; e\; ^\; \{z\}\; \backslash ,\; M\; (ba,\; b,\; -z)\}$

$U\; (a,\; b,\; z)\; знак\; равно\; Z\; 1\; -\; б\; U\; (1\; +\; a\; -\; b,\; 2\; -\; b,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; b,\; z)\; =\; z\; ^\; \{1-b\}\; U\; \backslash \; left\; (1\; +\; ab,\; 2-b,\; z\; \backslash \; right)\}$.

Теорема умножения

Верны следующие теоремы умножения :

$U\; (a,\; b,\; z)\; =\; e\; (1\; -\; t)\; z\; \sum \; i\; =\; 0\; (t\; -\; 1)\; izii!\; U\; (а,\; b\; +\; я,\; z\; t)\; знак\; равно\; e\; (1\; -\; t)\; z\; t\; b\; -\; 1\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; (1\; -\; 1\; t)\; я\; я!\; U\; (а\; -\; я,\; б\; -\; я,\; z\; t).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; U\; (a,\; b,\; z)\; =\; e\; ^\; \{(1-t)\; z\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{(t-1)\; ^\; \{i\}\; z\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; U\; (a,\; b\; +\; i,\; zt)\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{(1-t)\; z\}\; t\; ^\; \{b-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; U\; (ai,\; bi,\; zt).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Связь с полиномами Лагерра и аналогичными представлениями

В терминах полиномов Лагерра функции Куммера имеют несколько расширений, например

$M\; (a,\; b,\; xyx\; -\; 1)\; =\; (1\; -\; Икс)\; a\; \cdot \; \sum \; на\; (N)\; b\; (N)\; L\; N\; (b\; -\; 1)\; (y)\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; left\; (a,\; b,\; \{\backslash \; frac\; \{xy\}\; \{x-1\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (1-x)\; ^\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{(n)\}\}\; \{b\; ^\; \{(n)\}\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(b-\; 1)\}\; (y)\; x\; ^\; \{n\}\}$(Erdélyi et al. 1953, 6.12)

Особые случаи

Функции, которые могут быть выражены как частные случаи конфлюэнтной гипергеометрической функции, включают:

• Некоторые элементарные функции, где слева сторона не определена, если b - неположительное целое число, но правая часть по-прежнему является решением соответствующего уравнения Куммера:

$M\; (0,\; b,\; z)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (0,\; b,\; z)\; =\; 1\}$

$U\; (0,\; c,\; z)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (0,\; c,\; z)\; =\; 1\}$

$M\; (b,\; b,\; z)\; =\; ez\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (b,\; b,\; z)\; знак\; равно\; е\; ^\; \{z\}\}$

$U\; (a,\; a,\; z)\; =\; ez\; \int \; z\; \infty \; u\; -\; ae\; -\; udu\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; a,\; z)\; =\; e\; ^\; \{\; z\}\; \backslash \; int\; \_\; \{z\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; u\; ^\; \{-\; a\}\; e\; ^\; \{-\; u\}\; du\}$(многочлен, если a - целое неположительное число)

$U\; (\; 1,\; b,\; z)\; \Gamma \; (b\; -\; 1)\; +\; M\; (1,\; b,\; z)\; \Gamma \; (b)\; =\; z\; 1\; -\; bez\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{U\; (1,\; b,\; z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\; b-1)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{M\; (1,\; b,\; z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (b)\}\}\; =\; z\; ^\; \{1-b\}\; e\; ^\; \{z\}\}$

$M\; (n,\; b,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (n,\; b,\; z)\}$для целого неположительного числа n - это обобщенный многочлен Лагерра.

$U\; (n,\; c,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (п,\; с,\; z)\}$для целого неположительного числа n является кратным обобщенному многочлену Лагерра, равным $\Gamma \; (1\; -\; c)\; \Gamma \; (n\; +\; 1\; -\; c)\; M\; (n,\; c,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; Gamma\; (1-c)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1-c)\}\}\; M\; (n,\; c,\; z)\}$, если последний существует.

$U\; (c\; -\; n,\; c,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (cn,\; c,\; z)\}$, когда n является положительным целым числом, является замкнутой формой со степенями z, равными $\Gamma \; (c\; -\; 1)\; \Gamma \; (c\; -\; n)\; z\; 1\; -\; c\; M\; (1\; -\; n,\; 2\; -\; c,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; Gamma\; (c-1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (cn)\}\; \}\; z\; ^\; \{1-c\}\; M\; (1-n,\; 2-c,\; z)\}$, если последний существует.

$U\; (a,\; a\; +\; 1,\; z)\; =\; z\; -\; a\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; U\; (a,\; a\; +\; 1,\; z)\; =\; z\; ^\; \{-\; a\}\}$

$U\; (-\; n,\; -\; 2\; n,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (-n,\; -2n,\; z)\}$для целого неотрицательного числа n является полиномом Бесселя (см. Ниже).

$M\; (1,\; 2,\; z)\; =\; (ez\; -\; 1)\; /\; z,\; M\; (1,\; 3,\; z)\; =\; 2\; !\; (ez\; -\; 1\; -\; z)\; /\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (1,2,\; z)\; =\; (e\; ^\; \{z\}\; -1)\; /\; z,\; \backslash \; \backslash \; M\; (1,3,\; z)\; =\; 2!\; (e\; ^\; \{z\}\; -1-z)\; /\; z\; ^\; \{2\}\}$etc.

Использование отношения смежности $a\; M\; (a\; +)\; =\; (a\; +\; z)\; M\; +\; z\; (a\; -\; b)\; M\; (b\; +)\; /\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; aM\; (a\; +)\; =\; (a\; +\; z)\; M\; +\; z\; (ab)\; M\; (b\; +)\; /\; b\}$получаем, например $M\; (2,\; 1,\; z)\; =\; (1\; +\; z)\; ez.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (2,1,\; z)\; =\; (1\; +\; z)\; e\; ^\; \{z\}.\}$

• Функция Бейтмана
• Функции Бесселя и многие связанные функции, такие как функции Эйри, функции Кельвина, функции Ганкеля. Например, в частном случае b = 2a функция сводится к функции Бесселя :

$1\; F\; 1\; (a,\; 2\; a,\; x)\; =\; ex\; /\; 2\; 0\; F\; 1\; (;\; a\; +\; 1\; 2;\; x\; 2\; 16)\; =\; ex\; /\; 2\; (x\; 4)\; 1/2\; -\; a\; \Gamma \; (a\; +\; 1\; 2)\; I\; a\; -\; 1/2\; (x\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{1\}\; (a,\; 2a,\; x)\; =\; e\; ^\; \{x\; /\; 2\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{0\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (;\; a\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{2\}\};\; \{\backslash \; tfrac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{16\}\}\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{x\; /\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{x\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; 2-a\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (a\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; I\_\; \{a-1/2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\}$

Эта идентичность иногда также упоминается как вторая трансформация Куммера. Аналогично

$U\; (a,\; 2\; a,\; x)\; =\; ex\; /\; 2\; \pi \; x\; 1/2\; -\; a\; K\; a\; -\; 1/2\; (x\; /\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (a,\; 2a,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{x\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; x\; ^\; \{1/2-a\}\; K\_\; \{a-1/2\}\; (x\; /\; 2),\}$

Когда a является неположительное целое число, это равно 2θ -a (x / 2), где θ - это многочлен Бесселя.

• Функция ошибок может быть выражена как

$erf\; (x)\; знак\; равно\; 2\; \pi \; \int \; 0\; xe\; -\; t\; 2\; dt\; =\; 2\; x\; \pi \; 1\; F\; 1\; (1\; 2,\; 3\; 2,\; -\; x\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\}\; dt\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{2x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; \{\}\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\},\; -x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

• Волновая функция Кулона
• Функции Каннингема
• Экспоненциальный интеграл и связанные функции, такие как синусоидальный интеграл, логарифмический интеграл
• Полиномы Эрмита
• Неполная гамма-функция
• Полиномы Лагерра
• Функция параболического цилиндра (или функция Вебера)
• Функция Пуассона – Шарлье
• Функции Торонто
• Функции Уиттекера M κ, μ (z), W κ, μ (z) являются решениями уравнения Уиттекера, которые могут быть выражены через функции Куммера M и U по

$M\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; знак\; равно\; e\; -\; z\; 2\; z\; \mu \; +\; 1\; 2\; M\; (\mu \; -\; \kappa \; +\; 1\; 2,\; 1\; +\; 2\; \mu ;\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; kappa,\; \backslash \; mu\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; tfrac\; \{z\}\; \{2\}\}\}\; z\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; M\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; kappa\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1\; +\; 2\; \backslash \; mu;\; z\; \backslash \; right)\}$

$W\; \kappa ,\; \mu \; (z)\; =\; e\; -\; z\; 2\; z\; \mu \; +\; 1\; 2\; U\; (\mu \; -\; \kappa \; +\; 1\; 2,\; 1\; +\; 2\; \mu ;\; г)\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; \_\; \{\backslash \; kap\; pa,\; \backslash \; mu\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; tfrac\; \{z\}\; \{2\}\}\}\; z\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; U\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; kappa\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1\; +\; 2\; \backslash \; mu;\; z\; \backslash \; right)\}$

• Общий p-й необработанный момент (p не обязательно целое число) может быть выражен как

$E\; \; [\; |\; N\; (\mu ,\; \sigma \; 2)\; |\; p]\; =\; (2\; \sigma \; 2)\; p\; /\; 2\; \Gamma \; (1\; +\; p\; 2)\; \pi \; 1\; F\; 1\; (-\; p\; 2,\; 1\; 2,\; -\; \mu \; 2\; 2\; \sigma \; 2)\; E\; \; [N\; (\mu ,\; \sigma \; 2)\; p]\; =\; (-\; 2\; \sigma \; 2)\; п\; /\; 2\; U\; (-\; п\; 2,\; 1\; 2,\; -\; \mu \; 2\; 2\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; |\; N\; \backslash \; left\; (\backslash \; му,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{p\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{p\; /\; 2\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\; +\; p\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; \{\}\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{p\}\; \{2\}\; \},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [N\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{p\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; (-2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{p\; /\; 2\}\; U\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{p\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

Во второй формуле второе отрезание ветви функции может быть выбрано умножением на (−1).

Применение к непрерывным дробям

Путем применения ограничивающего аргумента к Непрерывная дробь Гаусса можно показать, что

$M\; (a\; +\; 1,\; b\; +\; 1,\; z)\; M\; (a,\; b,\; z)\; =\; 1\; 1\; -\; b\; -\; ab\; (b\; +\; 1)\; z\; 1\; +\; а\; +\; 1\; (б\; +\; 1)\; (б\; +\; 2)\; г\; 1\; -\; b\; -\; a\; +\; 1\; (b\; +\; 2)\; (b\; +\; 3)\; z\; 1\; +\; a\; +\; 2\; (b\; +\; 3)\; (b\; +\; 4)\; z\; 1\; -\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{M\; (a\; +\; 1,\; b\; +\; 1,\; z)\}\; \{M\; (a,\; b,\; z)\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{ba\}\; \{b\; (b\; +\; 1)\}\}\; z\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; 1\}\; \{(b\; +\; 1)\; (b\; +\; 2)\}\}\; z\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b-a\; +\; 1)\; \}\; \{(b\; +\; 2)\; (b\; +\; 3)\}\}\; z\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; 2\}\; \{(b\; +\; 3)\; (b\; +\; 4)\}\}\; z\}\; \{1\; -\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

и что эта непрерывная дробь равномерно сходится к мероморфной функции от z в каждой ограниченной области, не содержащей полюса.

Примечания

1. ^Кампос, LMBC (2001). «О некоторых решениях расширенного конфлюэнтного гипергеометрического дифференциального уравнения». Журнал вычислительной и прикладной математики. Эльзевир. 137 : 177–200. doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00706-8.
2. ^Andrews, G.E.; Askey, R.; Рой, Р. (2001). Специальные функции. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521789882..
3. ^Это получено из Абрамовица и Стегуна (см. Ссылку ниже), стр. 508, где дан полный асимптотический ряд. Они меняют знак экспоненты в exp (iπa) в правой полуплоскости, но это несущественно, так как там можно пренебречь членом, иначе a является целым числом и знак не имеет значения.

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Чистова, Е.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции. Vol. I. Нью-Йорк-Торонто-Лондон: МакГроу-Хилл Бук Компани, Инк. MR 0058756.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1837). "De Integrationibus quibusdam Definitis et seriebus infinitis". Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 1837 (17): 228–242. doi : 10.1515 / crll.1837.17.228. ISSN 0075-4102. S2CID 121351583.
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Сливающиеся гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. MR 0107026.
• Трикоми, Франческо Г. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Серия 4 (на итальянском). 26 : 141–175. doi : 10.1007 / bf02415375. ISSN 0003-4622. MR 0029451. S2CID 119860549.
• Трикоми, Франческо Г. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (на итальянском языке). 1 . Рим: Edizioni cremonese. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936.
• Oldham, K.B.; Myland, J.; Спаниер, Дж. (2010). Атлас функций: с экватором, калькулятор функций Атласа. Атлас функций. Springer Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-48807-3. Проверено 23 августа 2017 г.

Внешние ссылки

• Сливающиеся гипергеометрические функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
• гипергеометрическая функция Куммера на сайте Wolfram Functions
• Гипергеометрическая функция Трикоми на сайте Wolfram Functions