Базовый гипергеометрический ряд

редактировать

В математике, базовый гипергеометрический ряд или q-гипергеометрический серия, являются q-аналогом обобщениями обобщенного гипергеометрического ряда, и, в свою очередь, обобщаются на эллиптический гипергеометрический ряд. Ряд x n называется гипергеометрическим, если отношение последовательных членов x n + 1 /xnявляется рациональной функцией от n. Если отношение следующих друг за другом членов является рациональной функцией от q, то ряд называется основным гипергеометрическим рядом. Число q называется базовым.

Базовый гипергеометрический ряд 2φ1(q, q; q; q, x) впервые был рассмотрен Эдуардом Гейне (1846). Он становится гипергеометрическим рядом F (α, β; γ; x) в пределе, когда основание q равно 1.

Содержание

1 Определение
2 Простой ряд
3 q-биномиальная теорема
- 3.1 Биномиальная теорема Коши
4 Тождество Рамануджана
5 Контурный интеграл Ватсона
6 Версия матрицы
7 См. Также
8 Примечания
9 Внешние ссылки
10 Ссылки

Определение

Существует две формы основных гипергеометрических рядов: односторонний базовый гипергеометрический ряд φ и более общий двусторонний базовый гипергеометрический ряд ψ. Односторонний базовый гипергеометрический ряд определяется как

j ϕ k [a 1 a 2… a j b 1 b 2… b k; q, z] = ∑ n = 0 ∞ (a 1, a 2,…, aj; q) n (b 1, b 2,…, bk, q; q) n ((- 1) nq (n 2)) 1 + к - jzn {\ displaystyle \; _ {j} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {j} \\ b_ {1 } b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} \ left ((- 1) ^ {n} q ^ {n \ choose 2} \ right) ^ {1 + kj} z ^ {n}}

\; _ {{j}} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a _ {{j}} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a _ {{j}}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}, q; q) _ {n} }} \ left ((- 1) ^ {n} q ^ {{n \ choose 2}} \ right) ^ {{1 + kj}} z ^ {n}

где

(a 1, a 2,…, am ; q) n = (a 1; q) n (a 2; q) n… (am; q) n {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n} \ ldots (a_ {m}; q) _ {n}}

(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n} \ ldots (a_ {m}; q) _ {n}

(a; q) N знак равно ∏ К знак равно 0 N - 1 (1 - aqk) = (1 - a) (1 - aq) (1 - aq 2) ⋯ (1 - aqn - 1) {\ displaystyle (a ; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}

(a; q) _ {n} = \ прод _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) \ cdots ( 1-aq ^ {{n-1}})

- это факториал со сдвигом q. Наиболее важный частный случай - это когда j = k + 1, когда оно становится

k + 1 ϕ k [a 1 a 2… a k a k + 1 b 1 b 2… b k; q, z] = ∑ n = 0 ∞ (a 1, a 2,…, a k + 1; q) n (b 1, b 2,…, b k, q; q) n z n. {\ displaystyle \; _ {k + 1} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {k} a_ {k + 1} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k + 1}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}, q; q) _ {n }}} z ^ {n}.}

\; _ {{k + 1} } \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a _ {{k}} a _ {{k + 1}} \\ b_ {1} b_ {2 } \ ldots b _ {{k}} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a _ {{k + 1}}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}, q; q) _ {n }}} z ^ {n}.

Этот ряд называется сбалансированным, если a 1... a k + 1 = b 1...b k q. Эта серия называется хорошо сбалансированной, если a 1 q = a 2b1=... = a k + 1 bk, и очень хорошо сбалансированной, если дополнительно a 2 = -a 3 = qa 1. Односторонний базовый гипергеометрический ряд является q-аналогом гипергеометрического ряда, поскольку

lim q → 1 j ϕ k [q a 1 q a 2… q a j q b 1 q b 2… q b k; q, (q - 1) 1 + k - j z] = j F k [a 1 a 2… a j b 1 b 2… b k; z] {\ displaystyle \ lim _ {q \ to 1} \; _ {j} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} q ^ {a_ {1}} q ^ {a_ {2} } \ ldots q ^ {a_ {j}} \\ q ^ {b_ {1}} q ^ {b_ {2}} \ ldots q ^ {b_ {k}} \ end {matrix}}; q, (q-1) ^ {1 + kj} z \ right] = \; _ {j} F_ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {j} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; z \ right]}

{\ displaystyle \ lim _ {q \ to 1} \; _ {j} \ phi _ {k} \ осталось [{\ b начать {матрицу} q ^ {a_ {1}} q ^ {a_ {2}} \ ldots q ^ {a_ {j}} \\ q ^ {b_ {1}} q ^ {b_ {2}} \ ldots q ^ {b_ {k}} \ end {matrix}}; q, (q-1) ^ {1 + kj} z \ right] = \; _ {j} F_ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {j} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; z \ right]}

удерживает (Koekoek Swarttouw (1996) ошибка harvtxt: нет target: CITEREFKoekoekSwarttouw1996 (help )).. двусторонний базовый гипергеометрический ряд, соответствующий двустороннему гипергеометрическому ряду, определяется как

j ψ k [a 1 a 2… ajb 1 b 2… bk; q, z] = ∑ n = - ∞ ∞ (a 1, a 2,…, aj; q) n (b 1, b 2,…, bk; q) n ((- 1) nq (n 2)) к - jzn. {\ displaystyle \; _ {j} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {j} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} \ left ((- 1) ^ {n} q ^ {n \ choose 2} \ right) ^ {kj} z ^ {n}.}

\; _ {j} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {j} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k }; q) _ {n}}} \ left ((- 1) ^ {n} q ^ {{n \ choose 2}} \ right) ^ {{kj}} z ^ {n}.

Самый важный частный случай - это когда j = k, когда он становится

k ψ k [ a 1 a 2… akb 1 b 2… bk; q, z] = ∑ n = - ∞ ∞ (a 1, a 2,…, a k; q) n (b 1, b 2,…, b k; q) n z n. {\ displaystyle \; _ {k} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {k} \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}.}

\; _ {k} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {k } \\ b_ {1} b_ {2} \ ldots b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} { \ frac {(a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}.

Односторонний ряд может быть получен как частный случай двустороннего, установив одну из переменных b равной q, по крайней мере, когда ни одна из переменных a не является степенью q, поскольку все члены с n < 0 then vanish.

Простой ряд

Некоторые простые выражения ряда включают

z 1 - q 2 ϕ 1 [qqq 2; q, z] знак равно z 1 - q + z 2 1 - q 2 + z 3 1 - q 3 +… {\ displaystyle {\ frac {z} {1-q}} \; _ {2} \ phi _ { 1} \ left [{\ begin {matrix} q \; q \\ q ^ {2} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3}}} + \ ldots}

{\ frac {z} {1-q}} \; _ {{2}} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q \; q \\ q ^ {2} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2 }}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3}}} + \ ldots

z 1 - q 1/2 2 ϕ 1 [qq 1/2 q 3/2; q, z] знак равно z 1 - q 1/2 + z 2 1 - q 3/2 + z 3 1 - q 5/2 +… {\ displaystyle {\ frac {z} {1-q ^ {1/2 }}} \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q \; q ^ {1/2} \\ q ^ {3/2} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q ^ {1/2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {3/2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {5/2}}} + \ ldots}

{\ frac {z} { 1-q ^ {{1/2}}}} \; _ {{2}} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q \; q ^ {{1/2}} \\ q ^ {{3/2}} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q ^ {{1/2}}}} + {\ frac { z ^ {2}} {1-q ^ {{3/2}}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {{5/2}}}} + \ ldots

2 ϕ 1 [q - 1 - q; q, z] = 1 + 2 z 1 + q + 2 z 2 1 + q 2 + 2 z 3 1 + q 3 +…. {\ displaystyle \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q \; - 1 \\ - q \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = 1 + {\ frac {2z} {1 + q}} + {\ frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {\ frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + \ ldots.}

\; _ {{ 2}} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q \; - 1 \\ - q \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = 1 + {\ frac {2z } {1 + q}} + {\ frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {\ frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + \ ldots.

q-биномиальная теорема

q-биномиальная теорема (впервые опубликованная в 1811 году Генрихом Августом Роте ) утверждает, что

1 ϕ 0 (a; q, z) знак равно (az; q) ∞ (z; q) ∞ = ∏ n = 0 ∞ 1 - aqnz 1 - qnz {\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac {(az; q) _ {\ infty}} {(z; q) _ {\ infty}}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1-aq ^ {n} z} {1-q ^ {n} z}}}

\; _ {{1}} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac { (az; q) _ {\ infty}} {(z; q) _ {\ infty}}} = \ prod _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {1-aq ^ {n } z} {1-q ^ {n} z}}

который следует многократным применением тождества

1 ϕ 0 (a; q, z) = 1 - az 1 - z 1 ϕ 0 (a; q, qz). {\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac {1-az} {1-z}} \; _ {1} \ phi _ {0} ( a; q, qz).}

\; _ {{1}} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac {1-az} { 1-z}} \; _ {{1}} \ phi _ {0} (a; q, qz).

Частный случай a = 0 тесно связан с q-экспоненциальной.

теоремой о биноме Коши

Теорема о биноме Коши является частным случаем q-биномиальная теорема.

∑ n = 0 N ynqn (n + 1) / 2 [N n] q = ∏ k = 1 N (1 + yqk) (| q | < 1) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} y ^ {n} q ^ {n (n + 1) / 2} {\ begin {bmatrix} N \\ n \ end {bmatrix}} _ {q} = \ prod _ {k = 1} ^ {N} \ left (1 + yq ^ {k} \ right) \ qquad (| q | <1)}

Тождество Рамануджана

Шриниваса Рамануджан дал тождество

1 ψ 1 [ab; q, z] = ∑ n = - ∞ ∞ (a; q) n (b; q) nzn = (b / a, q, q / az, az; q) ∞ (b, b / az, q / a, z; q) ∞ {\ displaystyle \; _ {1} \ psi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} a \\ b \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(b / a, q, q / az, az; q) _ {\ infty}} {(b, b / az, q / a, z; q) _ {\ infty}}}}

\; _ {1} \ psi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} a \\ b \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} {\ frac {(a; q) _ { n}} {(b; q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(b / a, q, q / az, az; q) _ {\ infty}} {(b, b / az, q / a, z; q) _ {\ infty}}}

действителен для | q | < 1 and |b/a| < |z| < 1. Similar identities for $6 ψ 6 {\ displaystyle \; _ {6} \ psi _ {6}}$ $\; _ {6} \ psi _ {6}$ были заданы Бейли. Такие тождества можно понимать как обобщения теоремы о тройном произведении Якоби, которую можно записать с помощью q-se отображается как

∑ n = - ∞ ∞ q n (n + 1) / 2 z n = (q; q) ∞ (- 1 / z; q) ∞ (- z q; q) ∞. {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty}.}

\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} q ^ {{n (n + 1) / 2}} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty } \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty}.

Кен Оно дает соответствующий формальный степенной ряд

A (z; q) знак равно def 1 1 + z n знак равно 0 ∞ (z; q) n (- zq; q) nzn = ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 nqn 2. {\ displaystyle A (z; q) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} {\ frac {1} {1 + z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z; q) _ {n}} {(- zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ { n} z ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.}

A (z; q) {\ stackrel {{\ rm {{def}) }}} {=}} {\ frac {1} {1 + z}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(z; q) _ {n}} {( -zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} z ^ {{2n}} q ^ { {n ^ {2}}}.

Контурный интеграл Ватсона

Как аналог интеграла Барнса для гипергеометрического ряда, Уотсон показал, что

2 ϕ 1 (a, b; c; q, z) = - 1 2 π i (a, b; q) ∞ (q, c; q) ∞ ∫ - i ∞ я ∞ (qqs, cqs; q) ∞ (aqs, bqs; q) ∞ π (- z) s sin ⁡ π sds {\ displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (a, b; c; q, z) = {\ frac {-1} {2 \ pi i}} {\ frac {(a, b; q) _ {\ infty}} {(q, c; q) _ {\ infty}} } \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ frac {(qq ^ {s}, cq ^ {s}; q) _ {\ infty}} {(aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {\ infty}}} {\ frac {\ pi (-z) ^ {s}} {\ sin \ pi s}} ds}

{} _ {2} \ phi _ {1} (a, b; c; q, z) = {\ frac {-1} {2 \ pi i}} {\ frac {(a, b; q) _ {\ infty}} {(q, c; q) _ {\ infty}}} \ int _ {{- i \ infty}} ^ {{i \ infty}} {\ frac {(qq ^ {s}, cq ^ {s}; q) _ {\ infty}} {(aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {\ infty}}} {\ frac { \ pi (-z) ^ {s}} {\ sin \ pi s}} ds

где полюса $( aqs, bqs; q) ∞ {\ displaystyle (aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {\ infty}}$ $(aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {\ infty}$ лежат слева от контура, а остальные полюса лежат на право. Аналогичный контурный интеграл существует для r + 1 φr. Этот контурный интеграл дает аналитическое продолжение основной гипергеометрической функции по z.

Версия матрицы

Базовая гипергеометрическая матричная функция может быть определена следующим образом:

2 ϕ 1 (A, B; C; q, z): = ∑ n = 0 ∞ ( A; q) n (B; q) n (C; q) n (q; q) nzn, (A; q) 0: = 1, (A; q) n: = ∏ k = 0 n - 1 ( 1 - А qk). {\ displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (A, B; C; q, z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(A; q) _ {n} (B; q) _ {n}} {(C; q) _ {n} (q; q) _ {n}}} z ^ {n}, \ quad (A; q) _ { 0}: = 1, \ quad (A; q) _ {n}: = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-Aq ^ {k}).}

{\ displaystyle {} _ {2} \ phi _ {1} (A, B; C; q, z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(A; q) _ {n} (B; q) _ {n}} {(C; q) _ {n} ( q; q) _ {n}}} z ^ {n}, \ quad (A; q) _ {0}: = 1, \ quad (A; q) _ {n}: = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-Aq ^ {k}).}

Проверка соотношения показывает, что эта матричная функция абсолютно сходится.

См. также

Примечания

Внешние ссылки

Wolfram Mathworld - q-Hypergeometric Функции.

Ссылки

Andrews, GE (2010), «q-гипергеометрические и связанные функции», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
WN Бейли, Обобщенные гипергеометрические ряды, (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, Cambridge University Press, Кембридж.
Уильям YC Чен и Эми Фу, Полуконечные формы двустороннего основного Hypergeometric Series (2004)
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
Сильви Кортил и Джереми Лавджой, Перегородки Фробениуса и комбинаторика Рамануджана $1 ψ 1 {\ displaystyle \, _ {1} \ psi _ {1}}$ $\, _ {1} \ psi _ {1}$ Суммирование
Хорошо, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения, Mathematical Surveys and Monographs, 27, Providence, RI: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 0956465
Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовая гипергеометрическая серия, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Cambridge University Press, doi : 10.2277 / 0521833574, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719
Гейне, Эдуард (1846), "Über die Reihe $1 + (q α - 1) (q β - 1) (q - 1) (q γ - 1) x + (q α - 1) (q α + 1 - 1) (q β - 1) ( q β + 1 - 1) (q - 1) (q 2 - 1) (q γ - 1) (q γ + 1 - 1) x 2 + display {\ displaystyle 1 + {\ frac {(q ^ {\ альфа} -1) (q ^ {\ beta} -1)} {(q-1) (q ^ {\ gamma} -1)}} x + {\ frac {(q ^ {\ alpha} -1) ( q ^ {\ alpha +1} -1) (q ^ {\ beta} -1) (q ^ {\ beta +1} -1)} {(q-1) (q ^ {2} -1) ( q ^ {\ gamma} -1) (q ^ {\ gamma +1} -1)}} x ^ {2} + \ cdots}$ $1 + {\ frac {(q ^ {\ alpha} - 1) (q ^ {\ beta} -1)} {(q-1) (q ^ {\ gamma} -1)}} x + {\ frac {(q ^ {\ alpha} -1) (q ^ { {\ alpha +1}} - 1) (q ^ {\ beta} -1) (q ^ {{\ beta +1}} - 1)} {(q-1) (q ^ {2} -1) (q ^ {\ gamma} -1) (q ^ {{\ gamma +1}} - 1)}} x ^ {2} + \ cdots$ ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32 : 210–212
Виктор Кац, Покман Чунг, Квантовое исчисление, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8

Эндрюс, Г.Е., Эски, Р. и Рой, Р. (1999). Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений. ons, volume 71, Cambridge University Press.
Эдуард Гейне, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
Эдуард Гейне, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.