Тройное произведение Якоби

В математике Тройное произведение Якоби является математическим тождеством:

$\prod \; m\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; x\; 2\; m)\; (1\; +\; x\; 2\; m\; -\; 1\; y\; 2)\; (1\; +\; x\; 2\; m\; -\; 1\; y\; 2)\; =\; \sum \; N\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; Иксn\; 2\; Y\; 2\; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{м\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1-x\; ^\; \{2m\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; +\; x\; ^\; \{2m\; -1\}\; y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2m-1\}\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; y\; ^\; \{2n\},\}$

для комплексных чисел x и y с | x | < 1 and y ≠ 0.

Он был представлен Якоби (1829) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

Тождество тройного произведения Якоби - это Тождество Макдональда для аффинной корневой системы типа A 1 и является формулой знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца – Муди.

• 1 Свойства
• 2 Доказательство
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

В основе доказательства Якоби лежит теорема Эйлера о пятиугольных числах, которая сама по себе частный случай идентичности тройного продукта Якоби.

Пусть $x\; =\; qq\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; q\; \{\backslash \; sqrt\; \{q\}\}\}$и $y\; 2\; =\; -\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{q\}\}\}$. Тогда имеем

$\varphi \; (q)\; =\; m\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; q\; m)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; n\; q\; 3\; n\; 2\; -\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (q)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1-q\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3n\; ^\; \{2\}\; -n\}\; \{2\}\}.\}$

Тройное произведение Якоби также позволяет использовать тета-функцию Якоби записывается как бесконечное произведение следующим образом:

Пусть $x\; =\; ei\; \pi \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\}$и $y\; =\; ei\; \pi \; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\; z\}.\}$

Тогда тета-функция Якоби

$\vartheta \; (z;\; \tau )\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; e\; \pi \; in\; 2\; \tau \; +\; 2\; \pi \; inz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; nz\}\}$

можно записать в виде

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; y\; 2\; nxn\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; y\; ^\; \{2n\}\; x\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}.\}$

Используя идентичность тройного продукта Якоби, мы можем написать тета-функцию как произведение

$\vartheta \; (z;\; \tau )\; =\; \prod \; m\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; e\; 2\; m\; \pi \; i\; \tau )\; [1\; +\; e\; (2\; m\; -\; 1)\; \pi \; i\; \tau \; +\; 2\; \pi \; iz]\; [1\; +\; e\; (2\; m\; -\; 1)\; \pi \; i\; \tau \; -\; 2\; \pi \; iz].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; (z;\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2m\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; [1\; +\; e\; ^\; \{(2m-1)\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; tau\; +2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; z\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [1\; +\; e\; ^\; \{(2m-\; 1)\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; tau\; -2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; z\}\; \backslash \; right].\}$

Существует множество различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Он принимает краткую форму, когда выражается в терминах символов q-Поххаммера :

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; qn\; (n\; +\; 1)\; 2\; zn\; =\; (q;\; q)\; \infty \; (-\; 1\; z;\; q)\; \infty \; (-\; zq;\; q)\; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; (\; q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{z\}\};\; q\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; (-\; zq;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\},\}$

где $(a;\; q)\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (a;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$- бесконечный символ q-Поххаммера.

Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для его можно записать как

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; an\; (n\; +\; 1)\; 2\; bn\; (n\; -\; 1)\; 2\; =\; (-\; a;\; ab)\; \infty \; (-\; b;\; ab)\; \infty \; (\; ab;\; ab)\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \backslash ;\; b\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\}\; \{2\}\}\; =\; (-\; a;\; ab)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; (-\; b;\; ab)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ;\; (ab;\; ab)\; \_\; \{\backslash \; infty\}.\}$

Пусть $fx\; (y)\; =\; \prod \; m\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; x\; 2\; m)\; (1\; +\; x\; 2\; m\; -\; 1\; y\; 2)\; (1\; +\; x\; 2\; m\; -\; 1\; y\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (1-x\; ^\; \{2m\})\; (1\; +\; x\; ^\; \{2m-1\}\; y\; ^\; \{2\})\; (1\; +\; x\; ^\; \{2m-1\}\; y\; ^\; \{-\; 2\})\}$тогда $fx\; (xy)\; =\; 1\; +\; x\; -\; 1\; y\; -\; 2\; 1\; +\; xy\; 2\; fx\; (y)\; =\; x\; -\; 1\; y\; -\; 2\; fx\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; (xy)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 2\}\}\; \{1\; +\; xy\; ^\; \{2\}\}\}\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 2\}\; f\_\; \{x\}\; (y)\}$. Поскольку f x мероморфен для | y |>0 у него есть серия Лорана $fx\; (y)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; cn\; (x)\; y\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{2n\}\}$, которое удовлетворяет $\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; cn\; (x)\; x\; 2\; n\; +\; 1\; y\; 2\; n\; =\; xfx\; (xy)\; знак\; равно\; Y\; -\; 2\; fx\; (Y)\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; cn\; +\; 1\; (x)\; y\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; (x)\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; y\; ^\; \{2n\}\; =\; xf\_\; \{x\}\; (xy)\; =\; y\; ^\; \{-\; 2\}\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; y\; ^\; \{2n\}\}$так, что $cn\; +\; 1\; (x)\; =\; cn\; (x)\; x\; 2\; n\; +\; 1\; =\; c\; 0\; (x)\; x\; (\; п\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; c\_\; \{n\}\; (x)\; x\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; =\; c\_\; \{0\}\; (x)\; x\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; ^\; \{\; 2\}\}\}$и, следовательно,

$fx\; (y)\; =\; c\; 0\; (x)\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; xn\; 2\; y\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\; (y)\; =\; c\_\; \{0\; \}\; (x)\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\; y\; ^\; \{2n\}\}$

Оценка $c\; 0\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; (x)\}$является более техническим, один из способов - установить y = 1 и показать числитель и знаменатель $1\; c\; 0\; (e\; 2\; i\; \pi \; z)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; e\; 2\; i\; \pi \; n\; 2\; z\; \prod \; m\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; e\; 2\; i\; \pi \; mz)\; (1\; +\; e\; 2\; i\; \pi \; (2\; m\; -\; 1)\; z)\; 2\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\_\; \{0\}\; (e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; z\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; n\; ^\; \{2\}\; z\}\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (1-e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; mz\})\; (1\; +\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; (2m-1)\; z\}))\; ^\; \{2\}\}\}\}$имеют вес 1/2 модульный при $z\; \mapsto \; -\; 1\; 4\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\; 4z\}\}\}$, поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, частное должно быть постоянным, так что $c\; 0\; (x)\; =\; c\; 0\; (0)\; =\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; (x)\; =\; c\_\; \{0\}\; (0)\; =\; 1\}$.

Простое доказательство дает G. Э. Эндрюс на основе двух тождеств Эйлера. Об аналитическом случае см. Апостол, первое издание которого было опубликовано в 1976 году. Также см. Ссылки ниже, где приведено доказательство, основанное на физике Борчердса.

• См. Главу 14, теорема 14.6 из Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы, (1994) Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латинском), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, перепечатано Кембриджем University Press 2012
• Карлитц, L (1962), Заметка о тета-формуле Якоби, Американское математическое общество
• Райт, EM (1965), " Перечислительное доказательство тождества Якоби », Журнал Лондонского математического общества, Лондонское математическое общество : 55–57, doi : 10.1112 / jlms / s1-40.1. 55

1. ^Эндрюс, Джордж Э. (1965-0 2-01). «Простое доказательство тождества тройного произведения Якоби». Труды Американского математического общества. 16 (2): 333. doi : 10.1090 / S0002-9939-1965-0171725-X. ISSN 0002-9939.