Полиномы Чебышева

редактировать

Последовательность полиномов

Полиномы Чебышева - это две последовательности полиномов, связанных с синусом и косинусные функции, обозначенные как T n (x) и U n (x). Их можно определить несколькими способами, которые имеют одинаковый конечный результат; в этой статье полиномы определяются, начиная с тригонометрических функций :

Полиномы Чебышева первого рода (T n) задаются как
Tn(cos (θ)) = cos (n θ).
Аналогичным образом определим полиномы Чебышева второго рода (U n) как
Un(cos (θ)) sin (θ) = sin ((n + 1) θ).

Эти определения не являются полиномами как таковыми, но, используя различные триггерные тождества, они могут быть преобразованы в полиномиальные Например, для n = 2 формулу T 2 можно преобразовать в многочлен с аргументом x = cos (θ), используя формулу двойного угла:

cos ⁡ (2 θ) = 2 соз 2 ⁡ (θ) - 1 {\ displaystyle \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ {2} (\ theta) -1}{\displaystyle \cos(2\theta)=2\cos ^{2}(\theta)-1}

Заменяя термины в формуле на определения, приведенные выше, мы получаем

T2(x) = 2 x - 1.

Остальные T n (x) определяются аналогично, где для многочленов второго рода (U n) мы должны использовать формулу де Муавра, чтобы получить sin (n θ) как sin (θ) ti является полиномом от cos (θ). Например,

грех ⁡ (3 θ) = (4 соз 2 ⁡ (θ) - 1) грех ⁡ (θ) {\ displaystyle \ sin (3 \ theta) = (4 \ cos ^ {2} (\ theta) -1) \, \ sin (\ theta)}{\ display стиль \ sin (3 \ theta) = (4 \ cos ^ {2} (\ theta) -1) \, \ sin (\ theta)}

дает

U2(x) = 4x - 1.

После преобразования в полиномиальную форму T n (x) и U n (x) называются полиномами Чебышева первого и второго рода соответственно.

Важным и удобным свойством T n (x) является то, что они ортогональны по отношению к внутреннему произведению

⟨f ( Икс), г (Икс)⟩ знак равно ∫ - 1 1 е (Икс) г (Икс) dx 1 - Икс 2, {\ Displaystyle {\ bigl \ langle} \, е (х), \, г (х) \, {\ bigr \ rangle} ~ = ~ \ int _ {- 1} ^ {1} \, f (x) \, g (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\, { \ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} ~,}{ \ Displaystyle {\ bigl \ langle} \, е (х), \, г (х) \, {\ bigr \ rangle} ~ = ~ \ int _ {- 1} ^ {1} \, f (x) \, g (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\, {\ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} ~,}

и U n (x) ортогональны по отношению к другому аналогичному внутреннему продукту продукт, указанный ниже. Это следует из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева

(1 - x 2) y ″ - xy ′ + n 2 y = 0, {\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - x \, y '+ n ^ {2} \, y = 0 ~,}{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0~,}
(1 - x 2) y ″ - 3 xy ′ + n (n + 2) y = 0, {\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 3 \, x \, y '+ n \, (n + 2) \, y = 0 ~,}{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3\,x\,y'+n\,(n+2)\,y=0~,}

которые являются Дифференциальные уравнения Штурма – Лиувилля. Общей чертой таких дифференциальных уравнений является выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева - это решения этих уравнений.)

Полиномы Чебышева T n - это полиномы с максимально возможным старшим коэффициентом, у которых абсолютное значение на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются "экстремальными" многочленами для многих других свойств.

Многочлены Чебышева важны в теории приближений, потому что корни T n (x), которые также называются узлами Чебышева, используются в качестве точек согласования для оптимизации полиномиальной интерполяции. Результирующий полином интерполяции сводит к минимуму проблему явления Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению к непрерывной функции при максимальной норме, также называется критерием «минимакс ». Это приближение непосредственно приводит к методу квадратур Кленшоу – Кертиса.

. Эти многочлены были названы в честь Пафнутого Чебышева. Буква T используется из-за альтернативной транслитерации имени Чебышев как Чебышев, Чебышев (французский) или Чебышев (немецкий).

Содержание

  • 1 Определение
    • 1.1 Тригонометрическое определение
    • 1.2 Определение уравнения Пелла
    • 1.3 Произведение многочленов Чебышева
  • 2 Отношения между двумя видами многочленов Чебышева
  • 3 Явные выражения
  • 4 Свойства
    • 4.1 Симметрия
    • 4.2 Корни и экстремумы
    • 4.3 Дифференцирование и интегрирование
    • 4.4 Ортогональность
    • 4.5 Минимальная ∞-норма
    • 4.6 Другие свойства
    • 4.7 Обобщенные многочлены Чебышева
  • 5 Примеры
    • 5.1 Первый вид
    • 5.2 Второй вид
  • 6 В качестве базиса
    • 6.1 Пример 1
    • 6.2 Пример 2
    • 6.3 Частичные суммы
    • 6.4 Полином в форме Чебышева
  • 7 Сдвинутых многочленов Чебышева
  • 8 Развернутых многочленов
  • 9 См. Также
  • 10 Ссылки
  • 11 Источники
  • 12 Внешние ссылки

Определение

График первых пяти T n многочлены Чебышева первого рода

Многочлены Чебышева первого рода получаются из рекуррентного соотношения

T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T n + 1 (x) = 2 x T n (x) - Т п - 1 (х). {\ Displaystyle {\ begin {align} T_ {0} (x) = 1 \\ T_ {1} (x) = x \\ T_ {n + 1} (x) = 2x \, T_ {n } (x) -T_ {n-1} (x) ~. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)=1\\T_{1}(x)=x\\T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)~.\end{aligned}}}

Обычная производящая функция для T n равна

∑ п знак равно 0 ∞ Т n (Икс) tn знак равно 1 - тх 1 - 2 тх + т 2. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {1-tx} {1-2tx + t ^ {2}}} ~.}{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} ( х) t ^ {n} = {\ гидроразрыва {1-tx} {1-2tx + t ^ {2}}} ~.}
Доказательство —
Определим G ≡ ∑ n = 0 ∞ T n (x) tn = T 0 (x) + t T 1 (x) + ∑ n = 2 ∞ T n (x) tn = 1 + tx + ∑ n = 0 ∞ T n + 2 (x) tn + 2 = 1 + tx + ∑ n = 0 ∞ (2 x T n + 1 (x) - T n (x)) tn + 2 = 1 + tx + ∑ n = 0 ∞ 2 x T n + 1 (x) tn + 2 - ∑ n = 0 ∞ T n (x) tn + 2 = 1 + tx + 2 tx ∑ n = 0 ∞ T n + 1 (x) tn + 1 - t 2 ∑ n = 0 ∞ T n (x) tn = 1 + tx + 2 tx (∑ n = 0 ∞ T n (x) tn - 1) - t 2 ∑ n = 0 ∞ T n (x) tn = 1 + tx + 2 tx (G - 1) - t 2 G = 1 + tx + 2 tx G - 2 tx - t 2 GG - 2 tx G + t 2 G = 1 + tx - 2 tx G = 1 - tx 1 - 2 tx + t 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Define}} \ quad G \ Equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ { n} (x) t ^ {n} \\ = T_ {0} (x) + tT_ {1} (x) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n + 2} (x) t ^ {n + 2} \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (2xT_ {n + 1} (x) -T_ {n} (x)) t ^ {n + 2} \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2xT_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n + 2} \\ = 1 + tx + 2tx \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1 } -t ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = 1 + tx + 2tx (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} -1) -t ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n } \\ = 1 + tx + 2tx (G-1) -t ^ {2} G \\ = 1 + tx + 2txG-2tx-t ^ {2} G \\ G-2txG + t ^ {2 } G = 1 + tx-2tx \\ G = {\ frac {1-tx} {\, 1-2tx + t ^ {2} \,}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Define}} \ quad G \ Equiv \ сумма _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = T_ {0} (x) + tT_ {1} (x) + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n + 2} (x) t ^ {n + 2} \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (2xT_ {n + 1} (x) -T_ {n} (x)) t ^ {n + 2 } \\ = 1 + tx + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2xT_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } T_ {n} (x) t ^ {n + 2} \\ = 1 + tx + 2tx \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n + 1} (x) t ^ {n +1} -t ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = 1 + tx + 2tx (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} -1) -t ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) t ^ {n} \\ = 1 + tx + 2tx (G-1) -t ^ {2} G \\ = 1 + tx + 2txG-2tx-t ^ {2} G \\ G-2txG + t ^ {2} G = 1 + tx-2tx \\ G = {\ frac {1-tx} {\, 1-2tx + t ^ {2} \,}} \ end {align}}}

Есть несколько других производящие функции для полиномов Чебышева; экспоненциальная производящая функция равна

∑ n = 0 ∞ T n (x) t n n! Знак равно 1 2 (е т (х - х 2 - 1) + е т (х + х 2 - 1)) = е т х cosh ⁡ (т х 2 - 1). {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T_ {n} (x) \, {\ frac {\; t ^ {n} \,} {n!}} = {\ frac {1 } {2}} \ left (\, e ^ {\, t \, \ left (\, x - {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} \, \ right) \,} + e ^ {t \, \ left (\, x + {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} \, \ right)} \, \ right) = e ^ {t \, x} \, \ cosh \ left (\, t \, {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} \, \ right) ~.}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {\;t^{n}\,}{n!}}={\frac {1}{2}}\left(\,e^{\,t\,\left(\,x-{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,\right)\,}+e^{t\,\left(\,x+{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,\right)}\,\right)=e^{t\,x}\,\cosh \left(\,t\,{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,\right)~.}

Производящая функция, имеющая отношение к двумерной теории потенциала и мультипольное расширение равно

∑ n = 1 ∞ T n (x) tnn = ln ⁡ (1 1-2 tx + t 2). {\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} \, T_ {n} (x) \, {\ frac {\; t ^ {n} \,} {n}} = \ ln \ left ({\ frac {1} {\, {\ sqrt {1-2 \, t \, x + t ^ {2} \,}} \,}} \ right) ~.}{\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} \, T_ {n} (x) \, {\ frac {\; t ^ {n} \,} {n}} = \ ln \ left ({\ frac {1} {\, {\ sqrt {1-2 \, t \, x + t ^ {2} \,}} \,}} \ right) ~.}
График первые пять U n многочлены Чебышева второго рода

Многочлены Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением

U 0 (x) = 1 U 1 (х) знак равно 2 x U n + 1 (x) = 2 x U n (x) - U n - 1 (x). {\ Displaystyle {\ begin {align} U_ {0} (x) = 1 \\ U_ {1} (x) = 2x \\ U_ {n + 1} (x) = 2x \, U_ {n } (x) -U_ {n-1} (x) ~. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} U_ {0} (x) = 1 \\ U_ {1} (x) = 2x \\ U_ {n +1} (x) = 2x \, U_ {n} (x) -U_ {n-1} (x) ~. \ End {align}}}

Обратите внимание, что два набора рекуррентных отношений идентичны, за исключением T 1 (x) = x { \ displaystyle ~ T_ {1} (x) = x ~}{\displaystyle ~T_{1}(x)=x~}vs. U 1 (x) = 2 x. {\ displaystyle ~ U_ {1} (x) = 2x ~.}{\ displ aystyle ~ U_ {1} (x) = 2x ~.} Обычная производящая функция для U n равна

∑ n = 0 ∞ U n (x) tn = 1 1 - 2 tx + t 2; {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} U_ {n} (x) \, t ^ {n} = {\ frac {1} {\, 1-2tx + t ^ {2} \,}} ~;}{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} U_ {n} (x) \, t ^ {n} = {\ frac {1} {\, 1-2tx + t ^ {2} \,}} ~;}

экспоненциальная производящая функция равна

∑ n = 0 ∞ U n (x) tnn! знак равно е т х (сш ⁡ (т х 2 - 1) + х х 2 - 1 зп (т х 2 - 1)). {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \, U_ {n} (x) {\ frac {\; t ^ {n} \,} {n!}} = e ^ {tx} \ left (\ ch \ left (\, t \, {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} \, \ right) + {\ frac {x} {\, {\ sqrt {x ^ { 2} -1 \,}} \,}} \ sinh \ left (\, t \, {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} \, \ right) \, \ right) ~.}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,U_{n}(x){\frac {\;t^{n}\,}{n!}}=e^{tx}\left(\cosh \left(\,t\,{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,\right)+{\frac {x}{\,{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,}}\sinh \left(\,t\,{\sqrt {x^{2}-1\,}}\,\right)\,\right)~.}

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, многочлены Чебышева первого рода можно определить как уникальные многочлены, удовлетворяющие

T n (x) = {cos ⁡ (n arccos ⁡ x) если | х | ≤ 1 cosh ⁡ (n arcosh ⁡ x), если x ≥ 1 (- 1) n cosh ⁡ (n arcosh ⁡ (- x)), если x ≤ - 1 {\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ begin { case} \ cos {\ big (} \, n \ arccos x \, {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ | x | \ leq 1 \\\ cosh {\ big (} n \ OperatorName {arcosh} x {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ x \ geq 1 \\ (- 1) ^ {n} \ cosh {\ big (} n \ operatorname {arcosh} (- x) {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ x \ leq -1 \ end {cases}}}{\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ begin {cases} \ cos {\ big (} \, n \ arccos x \, {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ | x | \ leq 1 \\\ cosh {\ big (} n \ operatorname {arcosh} x {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ x \ geq 1 \\ (- 1) ^ {n} \ cosh {\ big (} n \ operatorname {arcosh} (-x) {\ big)} \ quad {\ text {if}} ~ x \ leq -1 \ end {cases}}}

или, другими словами, как уникальные многочлены, удовлетворяющие

T n ( соз ⁡ θ) знак равно соз ⁡ (N θ) {\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos (n \ theta)}{\displaystyle T_{n}(\cos \theta)=\cos(n\theta)}

для n = 0, 1, 2, 3,... который с технической точки зрения является вариантом (эквивалентным транспонированием) уравнения Шредера. То есть T n (x) функционально сопряжено с n x, кодифицированным в свойстве вложенности ниже. Далее сравните с полиномами распространения в разделе ниже.

Многочлены второго рода удовлетворяют:

U n - 1 (cos ⁡ θ) ⋅ sin ⁡ θ = sin ⁡ (n θ), {\ displaystyle U_ {n-1} (\, \ cos \ theta \,) \ cdot \ sin \ theta = \ sin (n \ theta) ~,}{\ displaystyle U_ {n -1} (\, \ соз \ тета \,) \ cdot \ грех \ тета = \ грех (п \ тета) ~,}

или

U n (cos ⁡ θ) = sin ⁡ ((n + 1) θ) sin ⁡ θ, {\ Displaystyle U_ {n} (\, \ соз \ тета \,) = {\ гидроразрыва {\ sin {\ big (} \, (п {+} 1) \, \ theta \, {\ big)}} {\ sin \ theta}} ~,}{\displaystyle U_{n}(\,\cos \theta \,)={\frac {\sin {\big (}\,(n{+}1)\,\theta \,{\big)}}{\sin \theta }}~,}

который структурно очень похож на ядро ​​Дирихле Dn(x):

D n (x) = sin ⁡ ((2 n + 1) х 2) грех ⁡ х 2 = U 2 n (соз ⁡ х 2). {\ displaystyle D_ {n} (x) = {\ frac {\ sin \ left (\, (2n {+} 1) {\ dfrac {x} {2}} \, \ right)} {\ sin {\ dfrac {\, x \,} {2}}}} = U_ {2n} \ left (\, \ cos {\ frac {\, x \,} {2}} \, \ right) ~.}{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left(\,(2n{+}1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {\,x\,}{2}}}}=U_{2n}\left(\,\cos {\frac {\,x\,}{2}}\,\right)~.}

То, что cos nx является многочленом n-й степени от cos x, можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы де Муавра. Действительная часть другой стороны - это многочлен от cos x и sin x, в котором все степени sin x четны и, таким образом, заменяются тождеством cos x + sin x = 1. По тем же соображениям sin nx является мнимым часть полинома, в которой все степени sin x нечетны, и, таким образом, если одна из них исключена, оставшиеся могут быть заменены, чтобы создать полином (n-1) -й степени от cos x.

Идентичность весьма полезна в сочетании с формулой рекурсивного генерирования, поскольку она позволяет вычислить косинус любого целого кратного угла исключительно в терминах косинуса основного угла.

Вычисление первых двух многочленов Чебышева:

T 0 (cos ⁡ θ) = cos ⁡ 0 θ = 1 {\ displaystyle T_ {0} (\ cos \ theta) = \ cos 0 \ theta = 1}{\ displaystyle T_ {0} (\ cos \ theta) = \ cos 0 \ theta = 1}

и

T 1 (cos ⁡ θ) = cos ⁡ θ, {\ displaystyle T_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta,}{\ displaystyle T_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta,}

легко определить, что

cos ⁡ 2 θ = 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 = 2 cos 2 ⁡ θ - 1 cos ⁡ 3 θ = 2 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ - cos ⁡ θ = 4 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ, {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ cos 2 \ theta = 2 \ cos \ theta \ cos \ theta -1 = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 \\\ cos 3 \ theta = 2 \ cos \ theta \ cos 2 \ theta - \ cos \ theta = 4 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ cos 2 \ theta = 2 \ cos \ theta \ cos \ theta -1 = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 \\\ cos 3 \ theta = 2 \ cos \ theta \ cos 2 \ theta - \ соз \ тета = 4 \ соз ^ {3} \ тета -3 \ соз \ тета, \ конец {выровнено}}}

и так далее.

Два непосредственных следствия - это идентичность композиции (или свойство вложенности, определяющее полугруппу )

T n (T m (x)) = T nm (x); {\ displaystyle T_ {n} {\ big (} \, T_ {m} (x) \, {\ big)} = T_ {nm} (x) ~;}{\displaystyle T_{n}{\big (}\,T_{m}(x)\,{\big)}=T_{nm}(x)~;}

и выражение комплексного возведения в степень в терминах Чебышева многочлены: задано z = a + bi,

zn = | z | n (cos ⁡ (n arccos ⁡ a | z |) + i sin ⁡ (n arccos ⁡ a | z |)) = | z | n T n (a | z |) + ib | z | n - 1 U n - 1 (a | z |). {\ displaystyle {\ begin {align} z ^ {n} = | z | ^ {n} \ left (\ cos \ left (n \ arccos {\ frac {a} {| z |}} \ right) + i \ sin \ left (\, n \, \ arccos {\ frac {a} {\, | z | \,}} \ right) \, \ right) \\ = | z | ^ {n} T_ {n} \ left ({\ frac {a} {\, | z | \,}} \ right) + ib | z | ^ {n-1} \ U_ {n-1} \ left ({\ frac {a} {\, | z | \,}} \ right) ~. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} z ^ {n} = | z | ^ {n} \ left (\ cos \ left (n \ arccos {\ frac {a} {| z |}} \ right) + i \ sin \ left (\, n \, \ arccos {\ frac {a} {\, | z | \,}} \ right) \, \ right) \\ = | z | ^ {n} T_ {n} \ left ({\ frac {a} {\, ​​| z | \,}} \ right) + ib | z | ^ {n-1} \ U_ {n-1} \ left ({\ frac {a} {\, ​​| z | \,}} \ right) ~. \ end {align}}}

Определение уравнения Пелла

Многочлены Чебышева также могут быть определены как решения уравнения Пелла

T n (x) 2 - (x 2 - 1) U n - 1 (x) 2 знак равно 1 {\ displaystyle T_ {n} (x) ^ {2} - \ left (\, x ^ {2} -1 \, \ right) U_ {n-1} (x) ^ {2} = 1}{\ displaystyle T_ {n} (x) ^ {2} - \ left (\, x ^ {2} -1 \, \ right) U_ {n-1} (x) ^ {2} = 1}

в кольце R [x]. Таким образом, они могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелла взятия степеней фундаментального решения:

T n (x) + U n - 1 (x) x 2 - 1 = (x + x 2 - 1) п. {\ displaystyle T_ {n} (x) + U_ {n-1} (x) \, {\ sqrt {x ^ {2} -1 \,}} = \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2) } -1 \,}} \ right) ^ {n} ~.}{\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1\,}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1\,}}\right)^{n}~.}

Произведения полиномов Чебышева

При работе с полиномами Чебышева довольно часто встречаются произведения двух из них. Эти произведения могут быть сведены к комбинациям полиномов Чебышева с более низкой или более высокой степенью, и заключительные утверждения о продукте сделать легче. Предполагается, что в дальнейшем индекс m больше или равен индексу n и n не является отрицательным. Для многочленов Чебышева первого рода произведение увеличивается до

2 T m (x) T n (x) = T m + n (x) + T | м - п | (x) {\ displaystyle 2T_ {m} (x) T_ {n} (x) = T_ {m + n} (x) + T_ {| mn |} (x)}2T_{m}(x)T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)

, что является аналогом теорема сложения

2 соз ⁡ α соз ⁡ β = соз ⁡ (α + β) + соз ⁡ (α - β) {\ Displaystyle 2 \ соз \ альфа \, \ соз \ бета = \ соз (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta)}{\ displaystyle 2 \ cos \ alpha \, \ cos \ beta = \ cos (\ alpha + \ бета) + \ соз (\ альфа - \ бета)}

с тождествами

α ≡ m arccos ⁡ x и β ≡ n arccos ⁡ x. {\ displaystyle \ alpha \ Equiv m \ arccos x \ quad {\ text {and}} \ quad \ beta \ Equiv n \ arccos x ~.}{\displaystyle \alpha \equiv m\arccos x\quad {\text{ and }}\quad \beta \equiv n\arccos x~.}

Для n = 1 это приводит к уже известной формуле повторения, просто устроены по-разному, и при n = 2 оно образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных многочленов Чебышева (в зависимости от четности наименьшего m), что позволяет проектировать функции с заданными свойствами симметрии. Из этого разложения произведения можно заключить еще три полезные формулы для вычисления полиномов Чебышева:

T 2 n (x) = 2 T n 2 (x) - T 0 (x) = 2 T n 2 (x) - 1 T 2 n + 1 (x) = 2 T n + 1 (x) T n (x) - T 1 (x) = 2 T n + 1 (x) T n (x) - x T 2 n - 1 (x) = 2 T n - 1 (x) T n (x) - T 1 (x) = 2 T n - 1 (x) T n (x) - x {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {2n} (x) = 2 \, T_ {n} ^ {2} (x) -T_ {0} (x) = 2T_ {n} ^ {2} (x) -1 \\ T_ {2n + 1} (x) = 2 \, T_ {n + 1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) = 2 \, T_ {n + 1} (x) \, T_ {n} (x) -x \\ T_ {2n-1} (x) = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -x \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено } T_ {2n} (x) = 2 \, T_ {n} ^ {2} (x) -T_ {0} (x) = 2T_ {n} ^ {2} (x) -1 \\ T_ {2n + 1} (x) = 2 \, T_ {n + 1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) = 2 \, T_ {n + 1} (x) \, T_ {n} (x) -x \\ T_ {2n-1} (x) = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -x \ end {align}}}

Для многочленов Чебышева второго рода произведения могут быть записаны как:

U m (x) U n (x) = ∑ k = 0 n U m - n + 2 k (x) = ∑ p = m - n шаг 2 m + n U p (x). {\ Displaystyle U_ {m} (x) \, U_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \, U_ {m-n + 2k} (x) = \ sum _ { \ underset {\, {\ text {step 2}} \,} {p = mn}} ^ {m + n} U_ {p} (x) ~.}{\ displaystyle U_ {m} (x) \, U_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \, U_ {m-n + 2k} (x) = \ sum _ {\ underset {\, {\ text {step 2}} \,} {p = mn}} ^ {m + n} U_ {p} (x) ~.}

для m ≥ n.

Таким образом, как и выше, при n = 2 рекуррентная формула для многочленов Чебышева второго рода сводится для обоих типов симметрии к

U m + 2 (x) = U 2 (x) U м (Икс) - U м (Икс) - U м - 2 (Икс) знак равно U м (Икс) (U 2 (Икс) - 1) - U м - 2 (Икс), {\ Displaystyle U_ {м + 2 } (x) = U_ {2} (x) \, U_ {m} (x) -U_ {m} (x) -U_ {m-2} (x) = U_ {m} (x) \, { \ big (} U_ {2} (x) -1 {\ big)} - U_ {m-2} (x) ~,}{\ displaystyle U_ {m + 2} (x) = U_ {2} (x) \, U_ {m} (x) -U_ {m} (x) -U_ { m-2} (x) = U_ {m} (x) \, {\ big (} U_ {2} (x) -1 {\ big)} - U_ {m-2} (x) ~,}

в зависимости от того, начинается ли m с 2 или 3.

Отношения между двумя типами полиномов Чебышева

Полиномы Чебышева первого и второго видов соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽn(P, Q) и Ũ n (P, Q) с параметрами P = 2x и Q = 1:

U ~ n (2 x, 1) = U n - 1 (x), V ~ n (2 x, 1) = 2 T n ( Икс). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {U}} _ {n} (2x, 1) = U_ {n-1} (x) ~, \\ {\ tilde {V}} _ {n } (2x, 1) = 2 \, T_ {n} (x) ~. \ End {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x)~,\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\,T_{n}(x)~.\end{aligned}}}

Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре взаимных рекуррентных уравнений:

T n + 1 (х) = х Т п (х) - (1 - х 2) U n - 1 (х), U n + 1 (х) = х U n (х) + Т п + 1 (х). {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n + 1} (x) = x \, T_ {n} (x) - (1-x ^ {2}) \, U_ {n-1} (x) ~, \\ U_ {n + 1} (x) = x \, U_ {n} (x) + T_ {n + 1} (x) ~. \ End {align}}}{ \ Displaystyle {\ begin {align} T_ {n + 1} (x) = x \, T_ {n} (x) - (1-x ^ {2}) \, U_ {n-1} (x) ~, \\ U_ {n + 1} (x) = x \, U_ {n} (x) + T_ {n + 1} (x) ~. \ End {align}}}

Чебышевский полиномы первого и второго рода также связаны следующими соотношениями:

T n (x) = 1 2 (U n (x) - U n - 2 (x)). Т n (x) = U n (x) - x U n - 1 (x). U n (x) = 2 ∑ odd j n T j (x) для нечетных n. U n (x) = 2 ∑ even j n T j (x) - 1 для четного n. {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n} (x) = {\ frac {1} {2}} {\ big (} \, U_ {n} (x) -U_ {n-2} ( x) \, {\ big)} ~. \\ T_ {n} (x) = U_ {n} (x) -x \, U_ {n-1} (x) ~. \\ U_ { n} (x) = 2 \, \ sum _ {{\ text {odd}} j} ^ {n} T_ {j} (x) {\ text {for odd}} n ~. \\ U_ { n} (x) = 2 \, \ sum _ {{\ text {even}} j} ^ {n} T_ {j} (x) -1 {\ text {for even}} n ~. \ end { выровнены}}}{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}\,U_{n}(x)-U_{n-2}(x)\,{\big)}~.\\T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x)~.\\U_{n}(x)=2\,\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x){\text{ for odd }}n~.\\U_{n}(x)=2\,\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)-1{\text{ for even }}n~.\end{aligned}}}

Рекуррентное соотношение производной полиномов Чебышева может быть получено из этих соотношений:

2 T n (x) = 1 n + 1 ddx T n + 1 (x) - 1 n - 1 ddx T n - 1 (x) n = 2, 3,… {\ displaystyle 2 \, T_ {n} (x) = {\ frac {1} {\, n + 1 \,}} \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} T_ {n + 1} (x) - {\ frac {1} {\, n-1 \,}} \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, T_ {n-1} (x) \ qquad n = 2,3, \ ldots}{\ displaystyle 2 \, T_ {n} (x) = {\ frac {1} {\, n + 1 \,}} \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} T_ {n + 1} (x) - {\ frac {1} {\, n-1 \,} } \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, T_ {n-1} (x) \ qquad n = 2,3, \ ldots}

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева равны

T n (x) 2 - T n - 1 (x) T n + 1 (x) = 1 - x 2>0 для - 1 < x < 1 and U n ( x) 2 − U n − 1 ( x) U n + 1 ( x) = 1>0. {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n} (x) ^ {2} -T_ {n-1} (x) \, T_ {n + 1} (x) = 1-x ^ {2}>0 {\ text {for}} - 1 0 ~. \ End {выровнено}}}{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0 {\ text {for}} - 1 <x<1{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)=1>0 ~. \ End {выровнено }}}

Интегральные отношения являются

∫ - 1 1 T n (y) dy (y - x) 1 - y 2 = π U n - 1 (x), ∫ - 1 1 1 - y 2 U n - 1 (y) dyy - Икс = - π T N (Икс) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {T_ {n} (y) \, \ mathrm {d} y} { \, (yx) \, {\ sqrt {1-y ^ {2} \,}} \,}} = \ pi \, U_ {n-1} (x) ~, \\\ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {{\ sqrt {\, 1-y ^ {2} \,}} \, U_ {n-1} (y) \, \ mathrm {d} y \,} { yx}} = - \ pi \, T_ {n} (x) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)\,\mathrm {d} y}{\,(y-x)\,{\sqrt {1-y^{2}\,}}\,}}=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\\int _{-1}^{1}{\frac {{\sqrt {\,1-y^{2}\,}}\,U_{n-1}(y)\,\mathrm {d} y\,}{y-x}}=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}

где интегралы считаются главным значением.

Явные выражения

Разные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям, таким как:

T n (x) = {cos ⁡ (n arccos ⁡ x) для | x | ≤ 1 1 2 ((x - x 2 - 1) n + (х + x 2 - 1) n) для | х | ≥ 1 = {cos ⁡ (n arccos ⁡ x) для - 1 ≤ x ≤ 1 ch ⁡ (n arcosh ⁡ x) для 1 ≤ x (- 1) n ch ⁡ (n arcosh ⁡ (- x)) для x ≤ - 1 T n (x) = ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (n 2 k) (x 2 - 1) kxn - 2 k = xn ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (n 2 k) (1 - x - 2) К знак равно N 2 ∑ К знак равно 0 ⌊ N 2 ⌋ (- 1) К (N - К - 1)! к! (п - 2 к)! (2 x) n - 2 k, если n>0 = n ∑ k = 0 n (- 2) k (n + k - 1)! (п - к)! (2 к)! (1 - x) k для n>0 = 2 F 1 (- n, n; 1 2; 1 2 (1 - x)) {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n} (x) = { \ begin {case} \ cos (n \ arccos x) \ qquad {\ text {for}} ~ | x | \ leq 1 \\\\ {\ dfrac {1} {2}} {\ bigg (} { \ Big (} x - {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {\ Big)} ^ {n} + {\ Big (} x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {\ Big)} ^ {n} {\ bigg)} \ qquad {\ text {for}} ~ | x | \ geq 1 \\\ end {cases}} \\\\ = {\ begin {cases} \ cos (n \ arccos x) \ qquad \ quad {\ text {for}} ~ -1 \ leq x \ leq 1 \\\\\ cosh (n \ operatorname {arcosh} x) \ qquad \ quad {\ текст {for}} ~ 1 \ leq x \\\\ (- 1) ^ {n} \ cosh {\ big (} n \ operatorname {arcosh} (-x) {\ big)} \ qquad \ quad { \ text {for}} ~ x \ leq -1 \\\ end {case}} \\\\\\ T_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor { \ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n} {2k}} \ left (x ^ {2} -1 \ right) ^ {k} x ^ {n-2k} \\ = x ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n} {2k}} \ left (1 -x ^ {- 2} \ right) ^ {k} \\ = {\ frac {n} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2 }} \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ frac {(nk-1)!} {k! (n-2k)!}} ~ (2x) ^ {n-2k} \ qquad \ qquad {\ text {for}} ~ n>0 \\\\ = n \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 2) ^ {k} {\ frac {(n + k-1)!} {(nk)! (2k)!}} (1-x) ^ {k} \ qquad \ qquad ~ {\ text {for}} ~ n>0 \ \\\ = {} _ {2} F_ {1} \ left (-n, n; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2}} (1-x) \ справа) \\\ конец {выровнен}}}{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad {\text{ for }}~|x|\leq 1\\\\{\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big)}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big)}^{n}{\bigg)}\qquad {\text{ for }}~|x|\geq 1\\\end{cases}}\\\\={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad {\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad {\text{ for }}~1\leq x\\\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big)}\qquad \quad {\text{ for }}~x\leq -1\\\end{cases}}\\\\\\T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0 \\\\ = n \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 2) ^ {k} {\ frac {( n + k-1)!} {(nk)! (2k)!}} (1-x) ^ {k} \ qquad \ qquad ~ {\ text {for}} ~ n>0 \\\\ = {} _ {2} F_ {1} \ left (-n, n; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2}} (1-x) \ right) \\\ end {align}}}

с обратным

xn = 2 1 - n ∑ ′ j = 0, n - jevenn ⁡ (nn - j 2) T j (x), {\ displaystyle x ^ {n} = 2 ^ {1-n} \ mathop {{\ sum} '} _ {j = 0, \, nj \, \ mathrm {even}} ^ {n} {\ binom {n} {\ tfrac {nj} {2}}} T_ {j} (x),}{\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0,\,n-j\,\mathrm {even} }^{n}{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}T_{j}(x),}

где штрих у символа суммы указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появляется.

U n (x) = (x + x 2 - 1) n + 1 - (x - x 2 - 1) n + 1 2 x 2 - 1 = ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (n + 1 2 k + 1) (x 2 - 1) kxn - 2 k = xn ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (n + 1 2 k + 1) (1 - x - 2) k = ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (2 k - (n + 1) k) (2 x) n - 2 k для n>0 = ∑ k = 0 ⌊ n 2 ⌋ (- 1) k (n - kk) (2 x) n - 2 k для n>0 = ∑ k = 0 n (- 2) k (n + k + 1)! (п - к)! (2 к + 1)! (1 - x) k для n>0 = (n + 1) 2 F 1 (- n, n + 2; 3 2; 1 2 (1 - x)) {\ displaystyle {\ begin {align} U_ {n } (x) = {\ frac {\ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) ^ {n + 1} - \ left (x - {\ sqrt {x ^ {2 } -1}} \ right) ^ {n + 1}} {2 {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n + 1} {2k + 1}} \ left (x ^ {2} -1 \ right) ^ {k} x ^ {n -2k} \\ = x ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n + 1} { 2k + 1}} \ left (1-x ^ {- 2} \ right) ^ {k} \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2} } \ right \ rfloor} {\ binom {2k- (n + 1)} {k}} ~ (2x) ^ {n-2k} {\ text {for}} ~ n>0 \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} {k}} ~ (2x) ^ {n-2k} {\ text {for}} ~ n>0 \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 2) ^ {k} {\ frac {(n + k + 1)!} {(Nk)! (2k + 1)!}} (1-x) ^ {k} {\ text {for}} ~ n>0 \\ = (n + 1) \ {} _ {2} F_ {1} \ left (-n, n + 2; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {1} {2}} (1-x) \ right) \\\ конец {выровнен}}}{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}{\text{ for }}~n>0 \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} {k}} ~ (2x) ^ {n-2k} {\ text {for}} ~ n>0 \\ = \ sum _ {k = 0} ^ { п } (- 2) ^ {k} {\ frac {(n + k + 1)!} {(Nk)! (2k + 1)!}} (1-x) ^ {k} {\ text {для }} ~ n>0 \\ = (n + 1) \ {} _ {2} F_ {1} \ left (-n, n + 2; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {1} {2}} (1-x) \ right) \\\ конец {выровненный}}}

где 2F1- это гипергеометрическая функция.

Свойства

Симметрия

T n (- x) = (- 1) n T n (x) = {T n (x) для четного n - T n (x) для нечетного n U n (- x) = (- 1) n U n (x) = {U n (x) для четного n - U n (x) для n нечетного {\ displaystyle {\ begin {выровнено} T_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} T_ {n} (x) \ \\\ = {\ begin {cases} T_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \\\\ - T_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {odd}} \ end {case}} \\\\\\ U_ {n} (- x) = (- 1) ^ { n} U_ {n} (x) \\\\ = {\ begin {cases} U_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \ \\\ - U_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {odd}} \ end {case}} \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} T_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} T_ {n } (x) \\\\ = {\ begin {cases} T_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \\\\ - T_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {odd}} \ end {cases}} \\\\\\ U_ {n} (- x) = ( -1) ^ {n} U_ {n} (x) \\\\ = {\ begin {cases} U_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \\\\ - U_ {n} (x) \ quad ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {odd}} \ end {case}} \\\ end {выровнено} }}

То есть полиномы Чебышева четного порядка имеют четную симму попробуйте и содержат только четные степени x. Многочлены Чебышева нечетного порядка имеют нечетную симметрию и содержат только нечетные степени x.

Корни и экстремумы

Многочлен Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней, называемых корнями Чебышева, в интервале [−1, 1]. Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева, потому что они используются как узлы при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что

cos ⁡ ((2 k + 1) π 2) = 0 {\ displaystyle \ cos \ left ((2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0}{\ displaystyle \ cos \ left ((2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0}

можно показать, что корни T n равны

xk = cos ⁡ (π (k + 1/2) n), k = 0,…, n - 1. {\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {\ pi (k + 1/2)} {n}} \ right), \ quad k = 0, \ ldots, n-1.}{\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {\ pi (k +1/2)} {n}} \ right), \ quad k = 0, \ ldots, n-1.}

Аналогично, корни U n равны

xk = cos ⁡ (kn + 1 π), k = 1,…, n. {\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k} {n + 1}} \ pi \ right), \ quad k = 1, \ ldots, n.}x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k} {n + 1}} \ pi \ right), \ quad k Знак равно 1, \ ldots, n.

экстремумы из T n на интервале −1 ≤ x ≤ 1 расположены в

xk = cos ⁡ (kn π), k = 0,…, n. {\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k} {n}} \ pi \ right), \ quad k = 0, \ ldots, n.}{\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k } {n}} \ pi \ right), \ quad k = 0, \ l точки, n.}

Одно уникальное свойство чебышевских полиномы первого рода состоят в том, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения, равные −1 или 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критических значения, определяющее свойство многочленов Шабата. И первый, и второй виды полиномов Чебышева имеют экстремумы на концах, задаваемые следующим образом:

T n (1) = 1 {\ displaystyle T_ {n} (1) = 1}{\ displaystyle T_ {n} (1) = 1}
T n (- 1) Знак равно (- 1) n {\ displaystyle T_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}}T_{n}(-1)=(-1)^{n}
U n (1) = n + 1 {\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1}{\ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1}
U n (- 1) = (- 1) n (n + 1). {\ displaystyle U_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n} \, (n + 1) ~.}{\ displaystyle U_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n} \, (n + 1) ~.}

Дифференцирование и интегрирование

Производные полиномов могут быть меньше чем прямолинейно. Дифференцируя полиномы в их тригонометрической форме, можно показать, что:

d T ndx = n U n - 1 d U ndx = (n + 1) T n + 1 - x U nx 2 - 1 d 2 T ndx 2 знак равно nn T n - x U n - 1 x 2 - 1 знак равно n (n + 1) T n - U nx 2 - 1. {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} T_ {n}} {\ mathrm {d} x}} = nU_ {n-1} \\ {\ frac {\ mathrm {d } U_ {n}} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {(n + 1) T_ {n + 1} -xU_ {n}} {x ^ {2} -1}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T_ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = n {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x ^ {2} -1}} = n {\ frac {(n + 1) T_ {n} -U_ {n}} {x ^ {2} -1}}. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}

Последние две формулы могут быть затруднительны в числовом отношении из-за деления на ноль (0/0 неопределенная форма, в частности) при x = 1 и x = −1. Можно показать, что:

d 2 T n d x 2 | x = 1 = n 4 - n 2 3, d 2 T n d x 2 | Икс = - 1 знак равно (- 1) N N 4 - N 2 3. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left. {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T_ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ right | _ {x = 1} \! \! = {\ Frac {n ^ {4} -n ^ {2}} {3}}, \\\ left. {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {2} T_ {n }} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ right | _ {x = -1} \! \! = (- 1) ^ {n} {\ frac {n ^ {4} -n ^ {2}} {3}}. \ End {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}
Доказательство -

Вторая производная от полинома Чебышева первого рода равна

T n ″ = nn T n - x U n - 1 x 2 - 1 {\ displaystyle T '' _ {n} = n {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x ^ {2} -1}}}T''_{n}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}

, который при оценке, как показано выше, создает проблему, поскольку неопределенно при x = ± 1. Поскольку функция является полиномом, (все) производные должны существовать для всех действительных чисел, поэтому ограничение приведенного выше выражения должно дать желаемое значение:

T n ″ (1) = lim x → 1 nn T n - x U n - 1 x 2 - 1 {\ displaystyle T '' _ {n} (1) = \ lim _ {x \ to 1} n {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1 }} {x ^ {2} -1}}}T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}

где пока рассматривается только x = 1. Разложим знаменатель на множители:

T n ″ (1) = lim x → 1 nn T n - x U n - 1 (x + 1) (x - 1) = lim x → 1 nn T n - x U n - 1 х - 1 х + 1. {\ displaystyle T '' _ {n} (1) = \ lim _ {x \ to 1} n {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {(x + 1) (x-1)}} = \ lim _ {x \ to 1} n {\ frac {\; {\ dfrac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x-1}} \;} {x + 1} }.}{\displaystyle T''_{n}(1)=\lim _{x\to 1}n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{(x+1)(x-1)}}=\lim _{x\to 1}n{\frac {\;{\dfrac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}\;}{x+1}}.}

Поскольку предел в целом должен существовать, предел числителя и знаменателя должны существовать независимо, и

T n ″ (1) = n lim x → 1 n T n - x U n - 1 x - 1 lim x → 1 (x + 1) знак равно n 2 lim x → 1 n T n - x U n - 1 x - 1. {\ displaystyle T '' _ {n} (1) = n {\ frac {\ displaystyle {\ lim _ {x \ to 1}} {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x -1}}} {\ displaystyle {\ lim _ {x \ to 1}} (x + 1)}} = {\ frac {n} {2}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac { nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x-1}}.}{\displaystyle T''_{n}(1)=n{\frac {\displaystyle {\lim _{x\to 1}}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}}{\displaystyle {\lim _{x\to 1}}(x+1)}}={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x-1}}.}

Знаменатель (все еще) ограничивается нулем, что означает, что числитель должен ограничиваться нулем, то есть U n - 1 (1) = nT n (1) = n, что будет полезно позже. Поскольку числитель и знаменатель ограничиваются нулем, применяется правило Л'Опиталя :

T n ″ (1) = n 2 lim x → 1 ddx (n T n - x U n - 1) ddx (x - 1) = n 2 lim x → 1 ddx (n T n - x U n - 1) = n 2 lim x → 1 (n 2 U n - 1 - U n - 1 - xddx (U n - 1)) = n 2 (n 2 U n - 1 (1) - U n - 1 (1) - lim x → 1 xddx (U n - 1)) = n 4 2 - n 2 2 - 1 2 lim x → 1 ddx (n U n - 1) = n 4 2 - n 2 2 - T n ″ (1) 2 T n ″ (1) = n 4 - n 2 3. {\ displaystyle {\ begin {align} T '' _ {n} (1) = {\ frac {\, n \,} {2}} \, \ lim _ {x \ to 1} \, {\ frac {\, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, \ left (n \, T_ {n} -x \, U_ {n-1} \ справа) \,} {\, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, (x-1) \,}} \\ = {\ frac { n} {2}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, \ left (n \, T_ {n} -x \, U_ {n-1} \ right) \\ = {\ frac {n} {2}} \ lim _ {x \ to 1} \ left (\; n ^ {2} \, U_ { n-1} -U_ {n-1} -x {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, \ left (U_ {n-1} \ right) \; \ right) \\ = {\ frac {n} {2}} \ left (\, n ^ {2} \, U_ {n-1} (1) -U_ {n-1} (1) - \ lim _ {x \ to 1} x \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, \ left (U_ {n-1} \ right) \, \ right) \\ = {\ frac {\; n ^ {4} \,} {2}} - {\ frac {\, \; n ^ {2} \,} {2}} - { \ frac {1} {\, 2 \,}} \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {\ mathrm {d}} {\, \ mathrm {d} x \,}} \, \ left ( n \, U_ {n-1} \ right) \\ = {\ frac {\; n ^ {4} \,} {2}} - {\ frac {\; n ^ {2} \,} { 2}} - {\ frac {\, T '' _ {n} (1) \,} {2}} \\ T '' _ {n} (1) = {\ frac {\, n ^ { 4} -n ^ {2} \,} {3}} ~. \\\ end {выравнивание}}{\displaystyle {\begin{aligned}T''_{n}(1)={\frac {\,n\,}{2}}\,\lim _{x\to 1}\,{\frac {\,{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(n\,T_{n}-x\,U_{n-1}\right)\,}{\,{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,(x-1)\,}}\\={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(n\,T_{n}-x\,U_{n-1}\right)\\={\frac {n}{2}}\lim _{x\to 1}\left(\;n^{2}\,U_{n-1}-U_{n-1}-x{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(U_{n-1}\right)\;\right)\\={\frac {n}{2}}\left(\,n^{2}\,U_{n-1}(1)-U_{n-1}(1)-\lim _{x\to 1}x\,{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(U_{n-1}\right)\,\right)\\={\frac {\;n^{4}\,}{2}}-{\frac {\,\;n^{2}\,}{2}}-{\frac {1}{\,2\,}}\lim _{x\to 1}{\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} x\,}}\,\left(n\,U_{n-1}\right)\\={\frac {\;n^{4}\,}{2}}-{\frac {\;n^{2}\,}{2}}-{\frac {\,T''_{n}(1)\,}{2}}\\T''_{n}(1)={\frac {\,n^{4}-n^{2}\,}{3}}~.\\\end{aligned}}}

Доказательство для x = −1 аналогично, с тем фактом, что T n (- 1) = (−1) важно.

Действительно, имеет место следующая более общая формула:

d p T n d x p | Икс знак равно ± 1 знак равно (± 1) N + р ∏ К знак равно 0 п - 1 N 2 - К 2 2 К + 1. {\ displaystyle \ left. {\ frac {d ^ {p} T_ {n}} {dx ^ {p}}} \ right | _ {x = \ pm 1} \! \! = (\ pm 1) ^ {n + p} \ prod _ {k = 0} ^ {p-1} {\ frac {\, n ^ {2} -k ^ {2} \,} {2k + 1}} ~.}{\ displaystyle \ left. {\ frac {d ^ {p} T_ {n}} {dx ^ {p}}} \ right | _ {x = \ pm 1} \! \! = (\ pm 1) ^ {n + p} \ prod _ {k = 0} ^ {p-1} {\ frac {\, n ^ {2} -k ^ {2} \,} {2k + 1}} ~.}

Этот последний результат очень полезен при численном решении задач на собственные значения.

dpdxp T n (x) = 2 pn ∑ ′ 0 ≤ k ≤ n - p, n - p - k даже ⁡ (n + p - k 2-1 n - p - k 2) (n + p + к 2 - 1)! (п - р + к 2)! T К (Икс), п ≥ 1, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {p}} {\, \ mathrm {d} x ^ {p} \,}} T_ {n} (х) = 2 ^ {p} \, n \ mathop {{\ sum} '} _ {0 \ leq k \ leq np, \, npk {\ text {even}}} {\ binom {{\ frac {\, n + pk \,} {2}} - 1} {\ frac {\, npk \,} {2}}} {\ frac {\ left ({\ frac {\, n + p + k \,} { 2}} - 1 \ right)!} {\, \ Left ({\ frac {\, n-p + k \,} {2}} \ right)! \,}} \, T_ {k} (x) ~, \ qquad p \ geq 1 ~,}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\,\mathrm {d} x^{p}\,}}T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p,\,n-p-k{\text{ even }}}{\binom {{\frac {\,n+p-k\,}{2}}-1}{\frac {\,n-p-k\,}{2}}}{\frac {\left({\frac {\,n+p+k\,}{2}}-1\right)!}{\,\left({\frac {\,n-p+k\,}{2}}\right)!\,}}\,T_{k}(x)~,\qquad p\geq 1~,}

где штрих у символов суммирования означает, что член, вносимый k = 0, должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.

Concerning integration, the first derivative of the Tnimplies that

∫ U n d x = T n + 1 n + 1 {\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {\,T_{n+1}\,}{n+1}}}{\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {\,T_{n+1}\,}{n+1}}}

and the recurrence relation for the first kind polynomials involving derivatives establishes that for n ≥ 2

∫ T n d x = 1 2 ( T n + 1 n + 1 − T n − 1 n − 1) = n T n + 1 n 2 − 1 − x T n n − 1. {\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left(\,{\frac {\,T_{n+1}\,}{n+1}}-{\frac {\,T_{n-1}\,}{n-1}}\,\right)={\frac {\,n\,T_{n+1}\,}{n^{2}-1}}-{\frac {\,x\,T_{n}\,}{n-1}}~.}{\ displaystyle \ int T_ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \, \ left (\, {\ frac {\, T_ {n + 1} \,} {n + 1}} - {\ frac {\, T_ {n-1} \,} {n-1}} \, \ right) = {\ frac {\, n \, T_ { n + 1} \,} {n ^ {2} -1}} - {\ frac {\, x \, T_ {n} \,} {n-1}} ~.}

The latter formula can be further manipulated to express the integral of Tnas a function of Chebyshev polynomials of the first kind only:

∫ T n d x = n n 2 − 1 T n + 1 − 1 n − 1 T 1 T n = n n 2 − 1 T n + 1 − 1 2 ( n − 1) ( T n + 1 + T n − 1) = 1 2 ( n + 1) T n + 1 − 1 2 ( n − 1) T n − 1. {\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}={\frac {n}{\,n^{2}-1\,}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{\,2(n-1)\,}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})={\frac {1}{\,2(n+1)\,}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{\,2(n-1)\,}}\,T_{n-1}~.}{\ displaystyle \ int T_ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {n} {n ^ {2} -1}} T_ {n + 1} - {\ frac {1 } {n-1}} T_ {1} T_ {n} = {\ frac {n} {\, n ^ {2} -1 \,}} \, T_ {n + 1} - {\ frac {1 } {\, 2 (n-1) \,}} \, (T_ {n + 1} + T_ {n-1}) = {\ frac {1} {\, 2 (n + 1) \,} } \, T_ {n + 1} - {\ frac {1} {\, 2 (n-1) \,}} \, T_ {n-1} ~.}

Furthermore, we have

∫ − 1 1 T n ( x) d x = { ( − 1) n + 1 1 − n 2 if n ≠ 1 0 if n = 1. {\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\,(-1)^{n}+1\,}{\,1-n^{2}\,}}\quad {\text{ if }}~n\neq 1\\0\quad {\text{ if }}~n=1\end{cases}}~.}{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\,(-1)^{n}+1\,}{\,1-n^{2}\,}}\quad {\text{ if }}~n\neq 1\\0\quad {\text{ if }}~n=1\end{cases}}~.}

Orthogonality

Both Tnand Unform a sequence of orthogonal polynomials. The polynomials of the first kind Tnare orthogonal with respect to the weight

1 1 − x 2, {\displaystyle {\frac {1}{\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,}}~,}{\ displaystyle {\ frac {1} {\, {\ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} ~,}

on the interval [−1, 1], i.e. we have:

∫ − 1 1 T n ( x) T m ( x) d x 1 − x 2 = { 0 if n ≠ m, π if n = m = 0, π 2 if n = m ≠ 0. {\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,}}={\begin{cases}~~0\quad ~{\text{ if }}~n\neq m~,\\\\~\pi \quad ~{\text{ if }}~n=m=0~,\\\\~{\frac {\pi }{2}}\quad ~{\text{ if }}~n=m\neq 0~.\end{cases}}}{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} T_ {n} (x) \, T_ {m} (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\, {\ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} = {\ begin { case} ~~ 0 \ quad ~ {\ text {if}} ~ n \ neq m ~, \\\\ ~ \ pi \ quad ~ {\ text {if}} ~ n = m = 0 ~, \ \\\ ~ {\ frac {\ pi} {2}} \ quad ~ {\ text {if}} ~ n = m \ neq 0 ~. \ end {cases}}}

This can be proven by letting x = cos θ and using the defining identity Tn(cos θ) = cos nθ.

Similarly, the polynomials of the second kind Unare orthogonal with respect to the weight

1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}\,}}}{\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2} \,}}}

on the interval [−1, 1], i.e. we have:

∫ − 1 1 U n ( x) U m ( x) 1 − x 2 d x = { 0 if n ≠ m, π 2 if n = m. {\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}~~0\quad ~{\text{ if }}~n\neq m~,\\~{\frac {\,\pi \,}{2}}\quad ~{\text{ if }}~n=m~.\end{cases}}}{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}~~0\quad ~{\text{ if }}~n\neq m~,\\~{\frac {\,\pi \,}{2}}\quad ~{\text{ if }}~n=m~.\end{cases}}}

(The measure √1 − x dx is, to within a normalizing constant, the Wigner semicircle distribution.)

The Tnalso satisfy a discrete orthogonality condition:

∑ k = 0 N − 1 T i ( x k) T j ( x k) = { 0 if i ≠ j, N if i = j = 0, N 2 if i = j ≠ 0, {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}~0\quad ~{\text{ if }}~i\neq j~,\\~N\quad ~{\text{ if }}~i=j=0~,\\~{\frac {\,N\,}{2}}\quad ~{\text{ if }}~i=j\neq 0~,\end{cases}}}{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {T_ {i} (x_ {k}) \, T_ {j} (x_ {k})} = {\ begin {cases} ~ 0 \ quad ~ {\ text {if}} ~ i \ neq j ~, \\ ~ N \ quad ~ {\ text {if}} ~ i = j = 0 ~, \\ ~ {\ frac {\, N \,} {2}} \ quad ~ {\ text {if}} ~ i = j \ neq 0 ~, \ end {cases}}}

where N is any integer greater than i+j, and the xkare the N Chebyshev nodes (see above) of TN(x):

x k = cos ⁡ ( π 2 k + 1 2 N) for k = 0, 1, …, N − 1. {\displaystyle x_{k}=\cos \left(\,\pi \,{\frac {\,2k+1\,}{2N}}\,\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots,N-1~.}{\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left (\, \ pi \, {\ frac {\, 2k + 1 \,} {2N}} \, \ right) \ quad ~ {\ text {for}} ~ k = 0,1, \ dots, N-1 ~.}

For the polynomials of the second kind and any integer N>i+j with the same Chebyshev nodes xk, there are similar sums:

∑ k = 0 N − 1 U i ( x k) U j ( x k) ( 1 − x k 2) = { 0 if i ≠ j, N 2 if i = j, {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}~0\quad {\text{ if }}~i\neq j~,\\~{\frac {\,N\,}{2}}\quad ~{\text{ if }}~i=j~,\end{cases}}}{\ display style \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (x_ {k}) \, U_ {j} (x_ {k}) \ left (1-x_ {k} ^ {2 } \ right)} = {\ begin {cases} ~ 0 \ quad {\ text {if}} ~ i \ neq j ~, \\ ~ {\ frac {\, N \,} {2}} \ quad ~ {\ text {if}} ~ i = j ~, \ end {cases}}}

and without the weight function:

∑ k = 0 N − 1 U i ( x k) U j ( x k) = { 0 if i ≢ j ( mod 2), N ⋅ ( 1 + min { i, j }) if i ≡ j ( mod 2). {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}~0\quad ~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}}~,\\~N\cdot (1+\min\{i,j\})\quad ~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}~.\end{cases}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}~0\quad ~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}}~,\\~N\cdot (1+\min\{i,j\})\quad ~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}~.\end{cases}}}

For any integer N>i+j, based on the N zeros of UN(x):

y k = cos ⁡ ( π k + 1 N + 1) for k = 0, 1, …, N − 1, {\displaystyle y_{k}=\cos \left(\,\pi \,{\frac {k+1}{\,N+1\,}}\,\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots,N-1~,}{\displaystyle y_{k}=\cos \left(\,\pi \,{\frac {k+1}{\,N+1\,}}\,\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots,N-1~,}

one can get the sum:

∑ k = 0 N − 1 U i ( y k) U j ( y k) ( 1 − y k 2) = { 0 if i ≠ j, N + 1 2 if i = j, {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}~0\quad ~{\text{ if }}i\neq j~,\\~{\frac {\,N+1\,}{2}}\quad ~{\text{ if }}i=j~,\end{cases}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}~0\quad ~{\text{ if }}i\neq j~,\\~{\frac {\,N+1\,}{2}}\quad ~{\text{ if }}i=j~,\end{cases}}}

and again without the weight function:

∑ k = 0 N − 1 U i ( y k) U j ( y k) = {0, если i ≢ j (mod 2), (min {i, j} + 1) (N - max {i, j}), если i ≡ j (mod 2). {\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (y_ {k}) \, U_ {j} (y_ {k})} = {\ begin {cases} ~ 0 \ quad ~ {\ text {if}} ~ я \ not \ Equiv j {\ pmod {2}} ~, \\ ~ {\ big (} \ min \ {i, j \} + 1 {\ big) } {\ big (} N- \ max \ {i, j \} {\ big)} \ quad ~ {\ text {if}} ~ i \ Equiv j {\ pmod {2}} ~. \ end { case}}}{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (y_ {k}) \, U_ {j} (y_ {k})} = {\ begin {cases} ~ 0 \ quad ~ {\ text {if}} ~ i \ not \ Equiv j {\ pmod {2}} ~, \\ ~ {\ big (} \ min \ {i, j \} + 1 {\ big)} {\ big (} N- \ max \ {i, j \} {\ big)} \ quad ~ {\ text {if}} ~ i \ Equiv j {\ pmod {2}} ~. \ end {ases}}}

Минимальная ∞-норма

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 (monic многочленов),

f ( Икс) знак равно 1 2 N - 1 T N (Икс) {\ Displaystyle F (х) = {\ гидроразрыва {1} {\, 2 ^ {п-1} \,}} \, T_ {п} (х) }{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} { \, 2 ^ {n-1} \,}} \, T_ {n} (x)}

тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [-1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно

1 2 n - 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}}{\ frac {1} {2 ^ {n-1}}}

и | f (x) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при

x = cos ⁡ k π n для 0 ≤ k ≤ n. {\ displaystyle x = \ cos {\ frac {k \ pi} {n}} \ quad {\ text {for}} 0 \ leq k \ leq n.}{\ displaystyle x = \ cos {\ frac {k \ pi} {n}} \ quad {\ text {for}} 0 \ leq k \ leq n.}
Доказательство -

Предположим что w n (x) - многочлен степени n с ведущим коэффициентом 1 с максимальным абсолютным значением на интервале [−1,1] меньше 1/2.

Определить

fn (x) = 1 2 n - 1 T n (x) - wn (x) {\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {1} {\, 2 ^ {n-1} \, }} \, T_ {n} (x) -w_ {n} (x)}{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)}

Потому что в крайних точках T n мы имеем

| w n (x) | < | 1 2 n − 1 T n ( x) | f n ( x)>0 для x = cos ⁡ 2 k π n, где 0 ≤ 2 k ≤ nfn (x) < 0 for x = cos ⁡ ( 2 k + 1) π n where 0 ≤ 2 k + 1 ≤ n {\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)>0 \ qquad {\ text {for}} ~ x = \ cos {\ frac {2k \ pi} { n}} ~ {\ text {where}} 0 \ leq 2k \ leq n \\ f_ {n} (x) <0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)>0 \ qquad {\ text {for}} ~ x = \ cos {\ frac {2k \ pi} {n}} ~ {\ text {where}} 0 \ leq 2k \ leq n \\ f_ {n} (x) <0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}

Из теоремы о промежуточном значении, f n (x) имеет не менее n корней. Однако это невозможно, поскольку f n (x) является многочленом степени n - 1, поэтому основная теорема алгебры подразумевает, что у него не более n - 1 корней.

Замечание: По теореме Эквиосколции среди всех многочленов степени ≤ n многочлен f минимизирует || f || ∞ на [−1,1], если и только если имеется n + 2 точек −1 ≤ x 0< x1<... < xn + 1 ≤ 1 таких, что | f (x i) | = || f || ∞.

Конечно, нулевой многочлен на интервале [−1,1] может быть найден сам по себе и минимизирует ∞-норму.

Однако выше | f | достигает своего максимума только n + 1 раз, потому что мы ищем лучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Другие свойства

Многочлены Чебышева являются частным случаем ультрасферических или многочленов Гегенбауэра, которые сами по себе являются частным случаем многочленов Якоби :

T n (x) = n 2 lim q → 0 1 q C n (q) (x), если n ≥ 1, U n (x) = n + 1 (n + 1 2 n) P n (1 2, 1 2) (х) = n + 1 (n + 1 2 n) C n (1) (x). {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n} (x) = {\ frac {n} {2}} \ lim _ {q \ to 0} {\ frac {1} {\, q \,} } \, C_ {n} ^ {(q)} (x) \ qquad ~ {\ text {if}} ~ n \ geq 1 ~, \\\\ U_ {n} (x) = {\ frac { n + 1} {\, {n + {\ tfrac {1} {2}} \ choose n} \,}} P_ {n} ^ {({\ tfrac {1} {2}}, {\ frac {1 } {2}})} (x) = {\ frac {n + 1} {\, {n + {\ tfrac {1} {2}} \ choose n} \,}} C_ {n} ^ {(1)} (x) ~. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} T_ {n} (x) = {\ frac {n} {2}} \ lim _ {q \ to 0} {\ frac {1} {\, q \,}} \, C_ {n} ^ {(q)} (x) \ qquad ~ {\ text {if}} ~ n \ geq 1 ~, \\\\ U_ {n} (x) = {\ frac {n + 1} {\, {n + {\ tfrac {1} {2}} \ choose n} \,}} P_ {n} ^ {({\ tfrac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}})} (x) = {\ frac {n + 1} {\, {n + {\ tfrac {1} {2}} \ choose n} \,}} C_ {n } ^ {(1)} (x) ~. \ End {align}}}

Для любого неотрицательного целого n, T n (x) и U n (x) оба являются полиномами от степень n. Они являются четными или нечетными функциями от x, поскольку n четное или нечетное, поэтому, когда они записываются как полиномы от x, они имеют только четные или нечетные члены степени соответственно. Фактически,

T 2 n (x) = T n (2 x 2 - 1) = 2 T n (x) 2 - 1 {\ displaystyle T_ {2n} (x) = T_ {n} \ left ( 2x ^ {2} -1 \ right) = 2T_ {n} (x) ^ {2} -1}{\ displaystyle T_ {2n} (x) = T_ {n } \ left (2x ^ {2} -1 \ right) = 2T_ {n} (x) ^ {2} -1}

и

2 x U n (1-2 x 2) = (- 1) n U 2 п + 1 (х). {\ displaystyle 2xU_ {n} \ left (\, 1-2x ^ {2} \, \ right) = (- 1) ^ {n} \, U_ {2n + 1} (x) ~.}{\ displaystyle 2xU_ {n} \ left (\, 1- 2x ^ {2} \, \ right) = (- 1) ^ {n} \, U_ {2n + 1} (x) ~.}

Старший коэффициент T n равен 2, если 1 ≤ n, и 1, если 0 = n.

Tnявляются частным случаем кривых Лиссажу с отношением частот, равным n.

Некоторые последовательности полиномов, такие как полиномы Люка (Ln), полиномы Диксона (Dn), полиномы Фибоначчи (Fn), связаны с полиномами Чебышева T n и U n.

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению

T j (x) T k (x) = 1 2 (T j + k (x) + T | k - j | (x)), ∀ J, К ≥ 0, {\ Displaystyle T_ {j} (x) \, T_ {k} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\, T_ {j + k } (x) + T_ {| kj |} (x) \, \ right) \,, \ qquad \ forall j, k \ geq 0 ~,}{\displaystyle T_{j}(x)\,T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\,T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\,\right)\,,\qquad \forall j,k\geq 0~,}

что легко доказывается из продукта-в -сумма для косинуса. Многочлены второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению

T j (x) U k (x) = {1 2 (U j + k (x) + U k - j (x)), если k ≥ j - 1, 1 2 (U j + k (x) - U j - k - 2 (x)), если k ≤ j - 2. {\ displaystyle T_ {j} (x) \, U_ {k} (x) = {\ begin {cases} {\ tfrac {1} {2}} \ left (\, U_ {j + k} (x) + U_ {kj} (x) \, \ right), \ quad ~ {\ text {if}} ~ k \ geq j-1 ~, \\\\ {\ tfrac {1} {2}} \ left (\, U_ {j + k} (x) -U_ {jk-2} (x) \, \ right), \ quad ~ {\ text {if}} ~ k \ leq j-2 ~. \ End {case}}}{\ displaystyle T_ {j} (x) \, U_ {k} (x) = {\ begin {cases} {\ tfrac {1} {2}} \ left (\, U_ {j + k} ( x) + U_ {kj} (x) \, \ right), \ quad ~ {\ text {if}} ~ k \ geq j-1 ~, \\\\ {\ tfrac {1} {2}} \ left (\, U_ {j + k} (x) -U_ {jk-2} (x) \, \ right), \ quad ~ {\ text {if}} ~ k \ leq j-2 ~. \ end {c ases}}}

(с определением U −1 ≡ 0 по соглашению).

Аналогично формуле

T n (cos ⁡ θ) = cos ⁡ (n θ), {\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos (n \ theta) ~,}{\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos (n \ theta) ~,}

имеем аналогичную формулу

T 2 n + 1 (sin ⁡ θ) = (- 1) n sin ⁡ ((2 n + 1) θ). {\ Displaystyle T_ {2n + 1} (\ sin \ theta) = (- 1) ^ {n} \ sin {\ big (} \, (2n + 1) \ theta \, {\ big)} ~.}{\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta)=(-1)^{n}\sin {\big (}\,(2n+1)\theta \,{\big)}~.}

Для x ≠ 0,

T n (x + x - 1 2) = xn + x - n 2 {\ displaystyle T_ {n} \ left ({\ frac {\, x + x ^ {- 1} \,} {2}} \ right) = {\ frac {\, x ^ {n} + x ^ {- n} \,} {2}}}{\ displaystyle T_ {n} \ left ( {\ frac {\, x + x ^ {- 1} \,} {2}} \ right) = {\ frac {\, x ^ {n} + x ^ {- n} \,} {2}} }

и

xn = T n (Икс + Икс - 1 2) + Икс - Икс - 1 2 U N - 1 (Икс + Икс - 1 2), {\ Displaystyle x ^ {n} = T_ {n} \ left (\, {\ frac { \, x + x ^ {- 1} \,} {2}} \, \ right) + {\ frac {\, xx ^ {- 1} \,} {2}} U_ {n-1} \ left (\, {\ frac {\, x + x ^ {- 1} \,} {2}} \, \ right) ~,}{\displaystyle x^{n}=T_{n}\left(\,{\frac {\,x+x^{-1}\,}{2}}\,\right)+{\frac {\,x-x^{-1}\,}{2}}U_{n-1}\left(\,{\frac {\,x+x^{-1}\,}{2}}\,\right)~,}

что следует из того факта, что это верно по определению для x = e.

Определите

C n (x) ≡ 2 T n (x 2). {\ Displaystyle C_ {n} (x) \ Equiv 2T_ {n} \ left (\, {\ frac {\, x \,} {2}} \, \ right) ~.}{\ displaystyle C_ {n } (х) \ Equiv 2T_ {n} \ left (\, {\ frac {\, x \,} {2}} \, \ right) ~.}

Тогда C n (x) и C m (x) - коммутирующие многочлены:

C n (C m (x)) = C m (C n (x)), {\ displaystyle C_ {n} {\ big (} \, C_ {m} (x) \, {\ big)} = C_ {m} {\ big (} \, C_ {n} (x) \, {\ big) } ~,}{\ displaystyle C_ {n} {\ big (} \, C_ {m} (x) \, {\ big)} = C_ {m} {\ big (} \, C_ {n} (x) \, {\ big)} ~,}

как видно из свойства абелева вложенности, указанного выше.

Обобщенные многочлены Чебышева

Обобщенные многочлены Чебышева T a определяются как

T a (cos ⁡ x) = 2 F 1 (a, - a; 1 2; 1 2 (1 - соз ⁡ х)) = соз ⁡ ах, x ∈ (- π, π), {\ displaystyle T_ {a} (\ cos x) = {} _ {2} F_ {1} \ left (\, a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2}} (1- \ cos x) \, \ right) = \ cos ax \,, \ qquad x \ in (- \ pi, \ pi) ~,}{ \ Displaystyle T_ {a} (\ соз х) = {} _ {2} F_ {1} \ left (\, a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} { 2}} (1- \ соз х) \, \ справа) = \ соз ах \,, \ qquad х \ в (- \ пи, \ пи) ~,}

где a не обязательно является целым числом, а 2F1(a, b; c; z) - гипергеометрическая функция Гаусса ; например, T 1/2 (x) = 1 + x 2 {\ displaystyle T_ {1/2} (x) = {\ sqrt {\ frac {1 + x} {2}}}}{\ displaystyle T_ {1/2} (х) = {\ sqrt { \ frac {1 + x} {2}}}} . Разложение в степенной ряд

T a (x) = cos ⁡ (π a 2) + a ∑ j = 1 (2 x) j 2 j cos ⁡ (π (a - j) 2) (a + j - 2 2 j - 1) {\ displaystyle T_ {a} (x) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) + a \ sum _ {j = 1} {\ frac { (2x) ^ {j}} {2j}} \ cos \ left (\, {\ frac {\, \ pi \, (aj) \,} {2}} \, \ right) {{\ frac {\, a + j-2 \,} {2}} \ choose j-1}}{\ displaystyle T_ {a} (x) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi a} {2}} \ right) + a \ sum _ {j = 1} {\ frac {(2x) ^ {j} } {2j}} \ cos \ left (\, {\ frac {\, \ pi \, (aj) \,} {2}} \, \ right) {{\ frac {\, a + j-2 \,} {2}} \ choose j-1}}

сходится для x ∈ [- 1, 1]. {\ displaystyle x \ in [-1,1] ~.}{\ displaystyle x \ in [ -1,1] ~.}

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области −1 < x < 1: The flat T0, T 1, T 2, T 3, T 4 и T 5.

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода OEIS : A028297

T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2 x 2 - 1 T 3 (x) = 4 x 3 - 3 x T 4 (x) = 8 x 4 - 8 x 2 + 1 T 5 (x) = 16 x 5 - 20 x 3 + 5 x T 6 (x) = 32 x 6 - 48 x 4 + 18 x 2 - 1 T 7 (x) = 64 x 7 - 112 x 5 + 56 x 3 - 7 x T 8 (x) = 128 x 8 - 256 x 6 + 160 x 4 - 32 x 2 + 1 T 9 (x) = 256 x 9 - 576 x 7 + 432 x 5 - 120 x 3 + 9 x T 10 (x) = 512 x 10 - 1280 x 8 + 1120 x 6 - 400 x 4 + 50 x 2 - 1 T 11 (x) = 1024 x 11 - 2816 x 9 + 2816 x 7 - 1232 x 5 + 220 x 3 - 11 x {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {0} (x) = 1 \\ T_ {1} (x) = x \\ T_ {2} (x) = 2x ^ {2} -1 \\ T_ {3} (x) = 4x ^ {3} -3x \\ T_ {4} (x) = 8x ^ {4} -8x ^ {2} +1 \\ T_ {5} (x) = 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x \\ T_ {6} (x) = 32x ^ {6} -48x ^ {4} + 18x ^ {2} -1 \\ T_ {7} (x) = 64x ^ {7} -112x ^ {5} + 56x ^ {3 } -7x \\ T_ {8} (x) = 128x ^ {8} -256x ^ {6} + 160x ^ {4} -32x ^ {2} +1 \\ T_ {9} (x) = 256x ^ {9} -576x ^ {7} + 432x ^ {5} -120x ^ {3} + 9x \\ T_ {10} (x) = 512x ^ {10} -1280x ^ {8} + 1120x ^ {6} -400x ^ {4} + 50x ^ {2} -1 \\ T_ {11} (x) = 1024x ^ {11} -2816x ^ {9} + 2816x ^ {7} -1232x ^ {5 } + 220x ^ {3} -11x \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} T_ {0} (x) = 1 \\ T_ {1} (x) = x \\ T_ {2} (x) = 2x ^ {2} -1 \\ T_ {3} (x) = 4x ^ {3} -3x \\ T_ {4} (x) = 8x ^ {4} -8x ^ {2} +1 \\ T_ {5} (x) = 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x \\ T_ {6} (x) = 32x ^ {6} -48x ^ {4} + 18x ^ {2} -1 \\ T_ {7} (x) = 64x ^ {7} -112x ^ {5} + 56x ^ {3} -7x \\ T_ {8} (x) = 128x ^ { 8} -256x ^ {6} + 160x ^ {4} -32x ^ {2} +1 \\ T_ {9} (x) = 256x ^ {9} -576x ^ {7} + 432x ^ {5} -120x ^ {3} + 9x \\ T_ {10} (x) = 512x ^ {10} -1280x ^ {8} + 1120x ^ {6} -400x ^ {4} + 50x ^ {2} -1 \\ T_ {11} (x) = 1024x ^ {11} -2816x ^ {9} + 2816x ^ {7} -1232x ^ {5} + 220x ^ {3} -11x \ end {выровнено}}}

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области −1 < x < 1: The flat U0, U 1, U 2, U 3, U 4 и U 5. Хотя на изображении не видно, U n (1) = n + 1 и U n (−1) = (n + 1) (- 1).

первые несколько полиномов Чебышева второго рода: OEIS : A053117

U 0 (x) = 1 U 1 (x) = 2 x U 2 (x) = 4 x 2 - 1 U 3 (x) = 8 x 3 - 4 x U 4 (x) = 16 x 4 - 12 x 2 + 1 U 5 (x) = 32 x 5 - 32 x 3 + 6 x U 6 (x) = 64 x 6 - 80 x 4 + 24 x 2 - 1 U 7 (x) = 128 x 7 - 192 x 5 + 80 x 3 - 8 x U 8 (x) = 256 x 8 - 448 x 6 + 240 x 4 - 40 x 2 + 1 U 9 (x) = 512 x 9 - 1024 x 7 + 672 x 5 - 160 x 3 + 10 x {\ displaystyle {\ begin {align} U_ {0} (x) = 1 \\ U_ {1} (x) = 2x \\ U_ {2} (x) = 4x ^ {2} -1 \\ U_ {3} (x) = 8x ^ {3} -4x \\ U_ { 4} (x) = 16x ^ {4} -12x ^ {2} +1 \\ U_ {5} (x) = 32x ^ {5} -32x ^ {3} + 6x \\ U_ {6} (x) = 64x ^ {6} -80x ^ {4} + 24x ^ {2} -1 \\ U_ {7} (x) = 128x ^ {7} -192x ^ {5} + 80x ^ { 3} -8x \\ U_ {8} (x) = 256x ^ {8} -448x ^ {6} + 240x ^ {4} -40x ^ {2} +1 \\ U_ {9} (x) = 512x ^ {9} -1024x ^ {7} + 672x ^ {5} -160x ^ {3} + 10x \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} U_ {0} (x) = 1 \\ U_ {1} (x) = 2x \\ U_ {2} (x) = 4x ^ {2} -1 \ \ U_ {3} (x) = 8x ^ {3} -4x \\ U_ {4} (x) = 16x ^ {4} -12x ^ {2} +1 \\ U_ {5} (x) = 32x ^ {5} -32x ^ {3} + 6x \\ U_ {6} (x) = 64x ^ {6} -80x ^ {4} + 24x ^ {2} -1 \\ U_ {7 }(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^ {4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{ aligned}}}

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху) y = −xH (−x), где H - ступенчатая функция Хевисайда, и (внизу) 5-я частичная сумма его разложения Чебышёва. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева множество полиномов Чебышева образуют ортонормированный базис, так что функция в том же пространстве может быть выражена на −1 ≤ x ≤ 1 через разложение:

f (x) = ∑ n = 0 ∞ an T n (x). {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} T_ {n} (x).}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).

Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты a n могут быть легко определены посредством применения внутреннего произведения. Эта сумма называется рядом Чебышева или разложением Чебышева .

Поскольку ряд Чебышева связан с рядом Фурье по косинусу заменой переменных, все теоремы, тождества и т. д., применимые к ряду Фурье, имеют аналог Чебышева. Эти атрибуты включают:

  • Многочлены Чебышева образуют полную ортогональную систему.
  • Ряд Чебышева сходится к f (x), если функция кусочно гладкий и непрерывный. Требование гладкости может быть ослаблено в большинстве случаев - до тех пор, пока существует конечное число разрывов в f (x) и ее производных.
  • При разрыве ряд сходится к среднему правому и левые пределы.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от ряда Фурье, делает полиномы Чебышева важным инструментом в числовом анализе ; например, они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения, используемыми в спектральном методе, часто в пользу тригонометрических рядов из-за более быстрой сходимости для непрерывных функций (феномен Гиббса все еще остается проблема).

Пример 1

Рассмотрим чебышёвское разложение log (1 + x). Можно выразить

log ⁡ (1 + x) = ∑ n = 0 ∞ a n T n (x). {\ displaystyle \ log (1 + x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}{\ displaystyle \ log (1 + x) = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}

Можно найти коэффициенты a n либо посредством применения внутреннего продукта , либо с помощью условия дискретной ортогональности. Для внутреннего произведения

∫ - 1 + 1 T m (x) log ⁡ (1 + x) 1 - x 2 dx = ∑ n = 0 ∞ an ∫ - 1 + 1 T m (x) T n ( x) 1 - x 2 dx, {\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \, {\ frac {\, T_ {m} (x) \, \ log (1 + x) \,} {\, ​​{\ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} \, \ mathrm {d} x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ int _ {- 1} ^ {+ 1} {\ frac {T_ {m} (x) \, T_ {n} (x)} {\, {\ sqrt {1-x ^ {2} \,}} \,}} \, \ mathrm {d} x ~,}{\displaystyle \int _{-1}^{+1}\,{\frac {\,T_{m}(x)\,\log(1+x)\,}{\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\,{\sqrt {1-x^{2}\,}}\,}}\,\mathrm {d} x~,}

что дает

an = {- log ⁡ 2 для n = 0, - 2 (- 1) nn для n>0. {\ displaystyle a_ {n} = {\ begin {cases} - \ log 2 \ quad {\ text {for}} ~ n = 0 ~, \\ {\ frac {\, - 2 (-1) ^ { n} \,} {n}} \ quad {\ text {for}} ~ n>0 ~. \ end {ases}}}{\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log 2\quad {\text{ for }}~n=0~,\\{\frac {\,-2(-1)^{n}\,}{n}}\quad {\text{ for }}~n>0 ~. \ end {ases}}}

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемая функция не может быть вычислена, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для приближенных коэффициентов,

an ≈ 2 - δ 0 n N ∑ k = 0 N - 1 T n (xk) log ⁡ (1 + xk), {\ displaystyle a_ {n} \ приблизительно {\ frac {\, 2- \ delta _ {0n} \,} {N}} \, \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} T_ {n } (x_ {k}) \, \ log (1 + x_ {k}) ~,}{\ displaystyle a_ {n} \ приблизительно {\ frac {\, 2- \ delta _ {0n} \,} {N}} \, \ sum _ {k = 0} ^ {N -1} T_ {n} (x_ {k}) \, \ log (1 + x_ {k}) ~,}

где δ ij - дельта-функция Кронекера, а x k - N нулей Гаусса – Чебышева для T N (x):

xk = cos ⁡ (π (k + 1 2) N). {\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left (\, {\ frac {\ pi \ left (\, k + {\ tfrac {1} {2}} \, \ right)} {N}} \, \ right).}{\displaystyle x_{k}=\cos \left(\,{\frac {\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\,\right)}{N}}\,\right).}

Для любого N эти приближенные коэффициенты ts обеспечивают точное приближение к функции при x k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞, таким образом представляя функцию точно во всех точках в [−1,1]. Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

Это позволяет нам очень эффективно вычислять приблизительные коэффициенты a n с помощью дискретного косинусного преобразования

an ≈ 2 - δ 0 n N ∑ k = 0 N - 1 соз ⁡ (п π (k + 1 2) N) журнал ⁡ (1 + xk). {\ displaystyle a_ {n} \ приблизительно {\ frac {2- \ delta _ {0n}} {N}} \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} \ cos \ left (\, {\ frac {n \ pi \, \ left (\, k + {\ tfrac {1} {2}} \, \ right)} {N}} \, \ right) \ log (1 + x_ {k}) ~.}{\displaystyle a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(\,{\frac {n\pi \,\left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\,\right)}{N}}\,\right)\log(1+x_{k})~.}

Пример 2

Другой пример:

(1 - x 2) α = - 1 π Γ (1 2 + α) Γ (α + 1) + 2 1-2 α ∑ n = 0 (- 1) n (2 α α - n) T 2 n (x) = 2-2 α ∑ n = 0 (- 1) n (2 α + 1 α - n) U 2 n (x). {\ displaystyle {\ begin {align} (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha} ~ = ~ - {\ frac {1} {\, {\ sqrt {\ pi \,}} \,} } \, {\ frac {\, \ Gamma \ left (\, {\ tfrac {1} {2}} + \ alpha \, \ right) \,} {\ Gamma (\, \ alpha +1 \,) }} + 2 ^ {1-2 \ alpha} \, \ sum _ {n = 0} (- 1) ^ {n} \, {2 \ alpha \ choose \ alpha -n} \, T_ {2n} ( x) \\ ~ = ~ 2 ^ {- 2 \ alpha} \, \ sum _ {n = 0} (- 1) ^ {n} \, {2 \ alpha +1 \ choose \ alpha -n} \, U_ {2n} (x) ~. \ End {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} (1-x ^ {2}) ^ {\ alpha} ~ = ~ - {\ frac {1} {\, {\ sqrt {\ pi \,}} \,}} \, {\ frac {\, \ Gamma \ left (\, {\ tfrac {1} {2}} + \ alpha \, \ right) \,} {\ Gamma (\, \ alpha +1 \,)}} + 2 ^ {1-2 \ alpha} \, \ sum _ { п = 0} (- 1) ^ {п} \, {2 \ альфа \ ch oose \ alpha -n} \, T_ {2n} (x) \\ ~ = ~ 2 ^ {- 2 \ alpha} \, \ sum _ {n = 0} (- 1) ^ {n} \, { 2 \ альфа +1 \ выбрать \ альфа -n} \, U_ {2n} (x) ~. \ End {align}}}

Частичные суммы

Частичные суммы

f (x) = ∑ n = 0 ∞ an T n (x) {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} T_ {n} (x)}е (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} a_ {n} T_ {n} (x)

очень полезны в приближении различные функции и в решении дифференциальных уравнений (см. спектральный метод ). Два общих метода определения коэффициентов a n - это использование внутреннего произведения, как в метод Галеркина, и использование коллокации, который связан с интерполяцией.

В качестве интерполянта N коэффициентов (N - 1) -й частичной суммы обычно получают на точках Чебышева – Гаусса – Лобатто (или сетке Лобатто), что приводит к ошибка и позволяет избежать явления Рунге, связанного с однородной сеткой. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома наивысшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется выражением:

x k = - cos ⁡ (k π N - 1); k = 0, 1,…, N - 1. {\ Displaystyle х_ {к} = - \ соз \ влево (\, {\ гидроразрыва {\, к \ пи \,} {\, N-1 \,}} \, \ вправо) \,; \ qquad k = 0,1, \ dots, N-1 ~.}{\ displaystyl e x_ {k} = - \ cos \ left (\, {\ frac {\, k \ pi \,} {\, N-1 \,}} \, \ right) \,; \ qquad k = 0, 1, \ точки, N-1 ~.}

Многочлен в форме Чебышева

Произвольный многочлен степени N можно записать через многочлены Чебышева первого рода. Такой многочлен p (x) имеет вид

p (x) = ∑ n = 0 N a n T n (x). {\ displaystyle p (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}{\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)~.}

Многочлены в форме Чебышева можно вычислить с помощью Clenshaw алгоритм.

Сдвинутые многочлены Чебышева

Сдвинутые многочлены Чебышева первого рода определяются как

T n ∗ (x) = T n (2 x - 1). {\ displaystyle T_ {n} ^ {*} (x) = T_ {n} (2x-1) ~.}{\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1)~.}

Когда аргумент полинома Чебышева находится в диапазоне 2x - 1 ∈ [−1, 1] аргумент сдвинутого многочлена Чебышева равен x ∈ [0, 1]. Точно так же можно определить сдвинутые многочлены для общих интервалов [a, b].

Многочлены распространения

Полиномы распространения представляют собой изменение масштаба сдвинутых многочленов Чебышева первого рода, так что диапазон также равен [0, 1]. То есть

S n (x) = 1 - T n (1-2 x) 2. {\ displaystyle S_ {n} (x) = {\ frac {\, 1-T_ {n} (1-2x) \,} {2}} ~.}{\displaystyle S_{n}(x)={\frac {\,1-T_{n}(1-2x)\,}{2}}~.}

См. также

Литература

Источники

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-14 09:05:37
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте