Сингулярность (математика)

редактировать

Точка, в которой функция, кривая или другой математический объект не ведет себя регулярно

В математика, сингулярность в общем случае является точкой, в которой данный математический объект не определен, или точкой, в которой математический объект перестает быть хорошо управляемым в некоторых конкретных образом, например, отсутствие дифференцируемости или аналитичности.

Например, вещественная функция

f (x) = 1 x {\ displaystyle f (x) = { \ frac {1} {x}}}

f (x) = {\ frac {1} {x}}

имеет сингулярность в $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , где кажется, что он «взрывается» до $± ∞ {\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ и поэтому не определен. абсолютное значение функция $g (x) = | х | {\ displaystyle g (x) = | x |}$ ${\ displaystyle g (x) = | x |}$ также имеет сингулярность в x = 0, поскольку он не дифференцируемым здесь.

алгебраическая кривая, определяемая как ${(x, y): y 3 - x 2 = 0} {\ displaystyle \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \ }}$ ${\ displaystyle \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \}}$ в системе координат $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ имеет особенность (называемую куспидом ) в $(0, 0) {\ displaystyle (0,0)}$ $( 0,0)$ . Об особенностях алгебраической геометрии см. особая точка алгебраического многообразия. Об особенностях в дифференциальной геометрии см. теория сингулярностей.

Содержание

1 Реальный анализ
- 1.1 Координатные сингулярности
2 Комплексный анализ
- 2.1 Изолированные особенности
- 2.2 Неизолированные особенности
- 2.3 Точки ветвления
3 Конечная сингулярность
4 Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра
5 См. Также
6 Ссылки

Реальный анализ

In реального анализа, сингулярности являются либо разрывами, либо разрывами производной (иногда также разрывами производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I, который имеет два подтипа, и тип II, который также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).

Чтобы описать способ использования этих двух типов ограничений, предположим, что $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ является функцией действительного аргумента $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и для любого значения его аргумента, скажем, $c {\ displaystyle c}$ $c$ , тогда предел для левой руки, $f (c -) {\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ , и правый предел, $f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$ , определяются следующим образом:

f (c -) = lim x → cf (x) {\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

f ( c ^ {-}) = \ lim _ {{x \ to c}} f (x)

, ограничено

x < c {\displaystyle x

x <c

f (c +) = lim x → cf (x) {\ displaystyle f ( c ^ {+}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

f (c ^ {+}) = \ lim _ {{x \ to c}} f (x)

, ограничено

x>c {\ displaystyle x>c}

x>c

Значение $f (c -) {\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ - значение, которое функция $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ стремится к тому, как значение $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к $c {\ displaystyle c}$ $c$ снизу, и значение $f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$ - это значение, которое функция $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ стремится к тому, что значение $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к $c {\ displaystyle c}$ $c$ сверху, независимо от фактического значения функция имеет в точке, где $x = c {\ displaystyle x = c}$ $х = с$ .

Есть некоторые функции, для которых эти ограничения вообще не существуют. Например, функция

g (x) = sin ⁡ (1 x) {\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}

g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)

выполняет не стремится ни к чему, поскольку $x {\ displaystyle x}$ $x$ приближается к $c = 0 {\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ . Пределы в этом случае не бесконечны, а скорее undefined : нет значения, на котором устанавливается $g (x) {\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ . Заимствуя из сложного анализа, это иногда называют существенной сингулярностью.

. Возможные случаи при заданном значении $c {\ displaystyle c}$ $c$ для аргумента следующие.

A точка непрерывности - значение $c {\ displaystyle c}$ $c$ , для которого $f (c -) = f (c) = f (c +) { \ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})$ , как и следовало ожидать от гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если $c {\ displaystyle c}$ $c$ не является точкой непрерывности, то разрыв возникает в $c {\ displaystyle c}$ $c$ .
A тип I разрыв возникает, когда оба е (с -) {\ displaystyle f (c ^ {-})}и f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {+})}существуют и конечны, но также применяется по крайней мере одно из следующих трех условий:
- $f (c -) ≠ f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})$ ;
- $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ не определено для случая $x = c {\ displaystyle x = c}$ $х = с$ ; или
- $f (c) {\ displaystyle f (c)}$ $f (c)$ имеет определенное значение, которое, однако, не соответствует значению двух пределов.

Разрывы типа I могут быть дополнительно выделяется как один из следующих подтипов:

A скачкообразный разрыв возникает, когда $f (c -) ≠ f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})$ , независимо от того, определено ли $f (c) {\ displaystyle f (c)}$ $f (c)$ , и независимо от его значения, если оно
A устранимый разрыв возникает, когда $f (c -) = f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})$ , также независимо от того, определено ли $f (c) {\ displaystyle f (c)}$ $f (c)$ , и независимо от его значения, если оно определено (но не соответствует

A тип II нарушение непрерывности возникает, когда либо f (c -) {\ displaystyle f (c ^ {-})}, либо f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {+})}не существует (возможно, оба). Он имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно:
- бесконечный разрыв - это особый случай, когда либо левый, либо правый предел не существует, особенно потому, что он бесконечен, а другой предел либо также бесконечен, либо представляет собой некоторое точно определенное конечное число. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, если ее график имеет вертикальную асимптоту.
- существенная особенность - это термин, заимствованный из комплексного анализа (см. Ниже). Это тот случай, когда один или другой ограничивает $f (c -) {\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ или $f (c +) {\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$ не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв. Существенные особенности не имеют предела, даже если допустимые ответы расширены, чтобы включать $± ∞ {\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ .

В реальном анализе сингулярность или разрыв является свойством только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, считаются принадлежащими производной, а не исходной функции.

Координатные особенности

A Координатная сингулярность возникает, когда явная сингулярность или разрыв возникает в одной системе координат, которую можно удалить, выбрав другую систему координат. Примером этого является кажущаяся сингулярность на широте 90 градусов в сферических координатах . Объект, движущийся строго на север (например, по линии 0 градусов долготы) по поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера, прыжок с долготы 0 на долготу 180 градусов). Этот разрыв, однако, только очевиден; это артефакт выбранной системы координат, которая является сингулярной на полюсах. Другая система координат устранила бы очевидную неоднородность (например, заменив представление широты / долготы представлением n-vector ).

Комплексный анализ

В комплексном анализе существует несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.

Изолированные особенности

Предположим, что U является открытым подмножеством комплексных чисел C, причем точка a является элементом U, и что f - комплексная дифференцируемая функция, определенная в некоторой окрестности вокруг a, за исключением a: U \ {a}, тогда:

Точка a является устранимой особенностью функции f, если существует голоморфная функция g, определенная на всем U, такая что f (z) = g (z) для всех z в U \ {a}. Функция g является непрерывной заменой функции f.
Точка a является полюсом или несущественной особенностью f, если существует голоморфная функция g, определенная на U с g ( а) ненулевое и натуральное число n такое, что f (z) = g (z) / (z - a) для всех z в U \ {a}. Наименьшее такое число n называется порядком полюса. Сама производная в несущественной особенности имеет несущественную особенность с n, увеличенным на 1 (за исключением случая, когда n равно 0, так что особенность устранима).
Точка a является существенной особенность функции f, если она не является ни устранимой особенностью, ни полюсом. Точка a является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечно много степеней отрицательной степени.

Неизолированные особенности

Кроме изолированных особенностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. Они называются неизолированными сингулярностями и бывают двух типов:

точки скопления : предельные точки изолированных особенностей. Если все они являются полюсами, несмотря на допущение расширений серии Лорана для каждого из них, то такое расширение невозможно на его пределе.
Естественные границы : любой неизолированный набор (например, кривая), на которых функции не могут быть аналитически продолжены вокруг (или вне их, если они являются замкнутыми кривыми в сфере Римана ).

Точки ветвления

Точки ветвления обычно являются результатом многозначная функция, например $z {\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ $\ sqrt {z}$ или $log ⁡ (z) {\ displaystyle \ log (z)}$ $\ log (z)$ , которые определены в определенной ограниченной области, чтобы функция могла быть однозначной в пределах области. Разрез - это линия или кривая, исключенные из области, чтобы ввести техническое разделение между прерывистыми значениями. функции. Когда разрез действительно требуется, функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза ветви. Форма разреза ветки является вопросом выбора, даже если она должна соединять ct две разные точки ветвления (например, $z = 0 {\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ и $z = ∞ {\ displaystyle z = \ infty}$ $z = \ infty$ для $журнал ⁡ (z) {\ displaystyle \ log (z)}$ $\ log (z)$ ), которые закреплены на месте.

Сингулярность с конечным временем

обратная функция, демонстрирующая гиперболический рост.

A сингулярность с конечным временем, возникает, когда одна входная переменная - время, а выходная переменная увеличивается к бесконечности за конечное время. Они важны в кинематике и УЧП (Уравнения с частными производными ) - бесконечности не возникают физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшими сингулярностями за конечное время являются степенные законы для различных показателей в виде $x - α, {\ displaystyle x ^ {- \ alpha},}$ $x ^ {{- \ alpha}},$ из которых Простейшим является гиперболический рост, где показатель степени равен (отрицательному) 1: $x - 1. {\ displaystyle x ^ {- 1}.}$ $x ^ {{-1}}.$ Точнее, чтобы получить сингулярность в положительный момент времени с течением времени (чтобы результат увеличивался до бесконечности), вместо этого используется $(t 0 - t) - α {\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- \ alpha}}$ $(t_ {0} -t) ^ {{- \ alpha}}$ (используя t для времени, меняя направление на $- t {\ displaystyle -t}$ $-t$ , чтобы время увеличивалось до бесконечности, и сдвиг сингулярности вперед от 0 до фиксированного времени $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ ).

Примером может служить отскок неупругого шара по плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, в котором та же самая часть кинетической энергии теряется при каждом отскоке, частота отскоков становится бесконечной, поскольку мяч останавливается за конечное время. К другим примерам особенностей конечного времени относятся различные формы парадокса Пенлеве (например, тенденция мелка скакать при перетаскивании по доске) и то, как скорость прецессии монеты , вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности, прежде чем резко остановиться (как было исследовано с помощью игрушки Диск Эйлера ).

Гипотетические примеры включают шуточное «Уравнение Судного дня » Хайнца фон Ферстера (упрощенные модели дают бесконечное человеческое население за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра

В алгебраической геометрии, особенность алгебраического многообразия - это точка многообразия, где касательное пространство не может быть определено правильно. Простейшим примером особенностей являются пересекающиеся кривые. Но есть и другие типы особенностей, такие как куспиды. Например, уравнение y - x = 0 определяет кривую, которая имеет острие в начале координат x = y = 0. Можно определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не может быть таким же, как у определение в других точках. Фактически, в этом случае ось x представляет собой «двойную касательную».

Для аффинных и проективных многообразий особенности - это точки, в которых матрица Якоби имеет ранг , который равен ниже, чем в других точках разновидности.

Может быть дано эквивалентное определение в терминах коммутативной алгебры, которое распространяется на абстрактные разновидности и схемы : точка является особой, если локальное кольцо в этой точке не является обычным локальным кольцом.