Многолинейная форма

В абстрактной алгебре и полилинейной алгебре, полилинейная форма на векторном пространстве над полем является карта ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f \ двоеточие V ^ {k} \ to K}$

то есть отдельно K - линейная в каждом из K аргументов. В более общем смысле можно определить полилинейные формы на модуле над коммутативным кольцом. В остальной части статьи, однако, будут рассмотрены только полилинейные формы в конечномерных векторных пространствах.

Полилинейная k -форма на над называется ( ковариантным) k -тензором, а векторное пространство таких форм обычно обозначается или. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {k} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {k} (V)}$

• 1 Тензорное произведение
• 2 Примеры
  • 2.1 Билинейные формы
  • 2.2 Чередующиеся полилинейные формы
    • 2.2.1 Внешний вид продукта
  • 2.3 Дифференциальные формы
    • 2.3.1 Определение дифференциальных k -форм и построение 1-форм
    • 2.3.2 Основные операции над дифференциальными k -формами
    • 2.3.3 Интегрирование дифференциальных форм и теорема Стокса для цепей
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Учитывая k -тензор и ℓ- тензор, произведение, известное как тензорное произведение, может быть определено свойством ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {T}} ^ {k} (V)}$${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {T}} ^ {\ ell} (V)}$${\ displaystyle f \ otimes g \ in {\ mathcal {T}} ^ {k + \ ell} (V)}$

${\ Displaystyle (е \ время g) (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}, v_ {k + 1}, \ ldots, v_ {k + \ ell}) = f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) g (v_ {k + 1}, \ ldots, v_ {k + \ ell}),}$

для всех. Тензорное произведение полилинейных форм не является коммутативным; однако он билинейный и ассоциативный: ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {k + \ ell} \ in V}$

${\ displaystyle f \ otimes (ag_ {1} + bg_ {2}) = a (f \ otimes g_ {1}) + b (f \ otimes g_ {2})}$, ${\ displaystyle (af_ {1} + bf_ {2}) \ otimes g = a (f_ {1} \ otimes g) + b (f_ {2} \ otimes g),}$

а также

${\ displaystyle (f \ otimes g) \ otimes h = f \ otimes (g \ otimes h).}$

Если образует основу для n -мерного векторного пространства и является соответствующей дуальной базой для двойственного пространства, то произведения с образуют основу для. Следовательно, имеет размерность. ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle (\ фи ^ {1}, \ ldots, \ фи ^ {п})}$${\ Displaystyle V ^ {*} = {\ mathcal {T}} ^ {1} (V)}$${\ Displaystyle \ phi ^ {я_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ phi ^ {i_ {k}}}$${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1}, \ ldots, i_ {k} \ leq n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {k} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {k} (V)}$${\ Displaystyle п ^ {к}}$

Билинейные формы

Основная статья: Билинейная форма

Если, называется билинейной формой. Знакомый и важный пример (симметричной) билинейной формы - стандартный внутренний продукт (скалярный продукт) векторов. ${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle f: V \ times V \ to K}$

Чередующиеся полилинейные формы

Основная статья: Переменная полилинейная карта

Важным классом полилинейных форм являются чередующиеся полилинейные формы, которые обладают дополнительным свойством:

${\ displaystyle f (x _ {\ sigma (1)}, \ ldots, x _ {\ sigma (k)}) = \ operatorname {sgn} (\ sigma) f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}),}$

где - перестановка и обозначает ее знак (+1, если четное, –1, если нечетное). Как следствие, чередующиеся полилинейные формы антисимметричны относительно замены любых двух аргументов (т. Е., И): ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbf {N} _ {k} \ to \ mathbf {N} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$ ${\ Displaystyle \ sigma (p) = q, \ sigma (q) = p}$${\ Displaystyle \ сигма (я) = я, 1 \ Leq я \ Leq к, я \ neq p, q}$

${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {p}, \ ldots, x_ {q}, \ ldots, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ ldots, x_ {q}, \ ldots, x_ {p}, \ ldots, x_ {k}).}$

С дополнительной гипотезой о том, что характеристика поля не равна 2, установка подразумевает в качестве следствия, что ; то есть форма имеет значение 0, если два ее аргумента равны. Обратите внимание, однако, что некоторые авторы используют это последнее условие как определяющее свойство чередующихся форм. Это определение подразумевает свойство, данное в начале раздела, но, как отмечалось выше, обратная импликация верна только тогда, когда. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x_ {p} = x_ {q} = x}$${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x, \ ldots, x, \ ldots, x_ {k}) = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {char} (K) \ neq 2}$

Переменные полилинейные к -форма на протяжении называется multicovector степени к или K -covector и векторного пространство таких переменных форм, подпространство, как правило, обозначаются, или, используя обозначения для изоморфных к - я внешней степени из ( сопряженное пространство из),. Следует отметить, что линейные функционалы (полилинейные 1-формы более) тривиально переменного, так что, в то время как, по соглашению, 0-формы определяются как скаляры:. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {k} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {k} (V)}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ ${\ displaystyle V}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} V ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {1} (V) = {\ mathcal {T}} ^ {1} (V) = V ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {0} (V) = {\ mathcal {T}} ^ {0} (V) = \ mathbf {R}}$

Детерминанта на матрицах, рассматриваются как аргумент функция из векторов - столбцов, является важным примером формы переменного полилинейной. ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle n}$

Внешний продукт

Тензорное произведение чередующихся полилинейных форм, вообще говоря, больше не чередуется. Однако суммируя все перестановки тензорного произведения с учетом четности каждого члена, можно определить внешнее произведение ( также известное как произведение клина) мультивекторов, так что если и, то: ${\ Displaystyle \ клин}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {A}} ^ {k} (V)}$${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {A}} ^ {\ ell} (V)}$${\ Displaystyle е \ клин г \ ин {\ mathcal {A}} ^ {к + \ ell} (V)}$

${\ displaystyle (е \ клин g) (v_ {1}, \ ldots, v_ {k + \ ell}) = {\ frac {1} {k! \ ell!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ { k + \ ell}} (\ operatorname {sgn} (\ sigma)) f (v _ {\ sigma (1)}, \ ldots, v _ {\ sigma (k)}) g (v _ {\ sigma (k + 1) }, \ ldots, v _ {\ sigma (k + \ ell)}),}$

где сумма берется по множеству всех перестановок над элементами. Внешний продукт бывает билинейным, ассоциативным и градуированно-чередующимся: если и то. ${\ Displaystyle к + \ ell}$${\ Displaystyle S_ {к + \ ell}}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {A}} ^ {k} (V)}$${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {A}} ^ {\ ell} (V)}$${\ Displaystyle е \ клин g = (- 1) ^ {к \ ell} г \ клин f}$

Учитывая основу для и двойственного базиса для, внешних продуктов, с формой основой. Следовательно, размерность для п - мерного является. ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle (\ фи ^ {1}, \ ldots, \ фи ^ {п})}$${\ Displaystyle V ^ {*} = {\ mathcal {A}} ^ {1} (V)}$${\ Displaystyle \ фи ^ {я_ {1}} \ клин \ cdots \ клин \ фи ^ {я_ {к}}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k} \ Leq N}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {k} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {k} (V)}$${\ displaystyle V}$${\ textstyle {\ tbinom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! \, k!}}}$

Дифференциальные формы

Основная статья: Дифференциальная форма

Дифференциальные формы - это математические объекты, построенные с помощью касательных пространств и полилинейных форм, которые во многих отношениях ведут себя как дифференциалы в классическом смысле. Несмотря на то, что дифференциалы полезны в концептуальном и вычислительном плане, они основаны на плохо определенных понятиях бесконечно малых величин, разработанных на ранних этапах истории исчисления. Дифференциальные формы обеспечивают математически строгую и точную основу для модернизации этой давней идеи. Дифференциальные формы особенно полезны в многомерном исчислении (анализе) и дифференциальной геометрии, поскольку они обладают свойствами преобразования, которые позволяют интегрировать их на кривых, поверхностях и их многомерных аналогах ( дифференцируемые многообразия ). Одним из далеко идущих приложений является современная формулировка теоремы Стокса, радикальное обобщение фундаментальной теоремы исчисления на более высокие измерения.

Приведенный ниже синопсис в основном основан на Спиваке (1965) и Ту (2011).

Определение дифференциальных k -форм и построение 1-форм

Чтобы определить дифференциальные формы на открытых подмножествах, нам сначала понадобится понятие касательного пространства к at, обычно обозначаемое или. Векторное пространство может быть определено наиболее удобно как набор элементов (, с фиксированным) с векторным сложением и скалярным умножением, определяемым соответственно с помощью и. Более того, если является стандартной базой для, то является аналогичной стандартной базой для. Другими словами, каждое касательное пространство можно просто рассматривать как копию (набора касательных векторов), основанную на точке. Совокупность (дизъюнктное объединение) касательных пространств at вообще называется касательным расслоением к и обычно обозначается. Хотя данное определение здесь приведено простое описание касательного пространства, есть и другие, более сложные конструкции, которые лучше подходят для определения касательных пространств гладких многообразий в целом ( см статьи на касательных пространствах для деталей). ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle T_ {p} \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle v_ {p}}$${\ displaystyle v \ in \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle v_ {p} + w_ {p}: = (v + w) _ {p}}$${\ Displaystyle а \ cdot (v_ {p}): = (а \ cdot v) _ {p}}$${\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle ((е_ {1}) _ {p}, \ ldots, (e_ {n}) _ {p})}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ textstyle T \ mathbf {R} ^ {n}: = \ bigcup _ {p \ in \ mathbf {R} ^ {n}} \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$

Дифференциала к -форма на определяется как функция, которая назначает к каждому в K -covector на касательном пространстве в, обычно обозначается. Вкратце, дифференциальная k- форма - это k -ковекторное поле. Пространство k -форм на обычно обозначается ; таким образом, если - дифференциальная k -форма, мы пишем. По соглашению, непрерывная функция на дифференциальную 0-форма:. ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle p \ in U}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ omega _ {p}: = \ omega (p) \ in {\ mathcal {A}} ^ {k} (\ mathbf {R} _ {p} ^ {n})}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (U)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f \ in C ^ {0} (U) = \ Omega ^ {0} (U)}$

Сначала мы построим дифференциальные 1-формы из 0-форм и выведем некоторые из их основных свойств. Чтобы упростить обсуждение ниже, мы будем рассматривать только гладкие дифференциальные формы, построенные из функций smooth (). Позвольте быть гладкой функцией. Определим 1-форму на для и от, где есть полная производная от в. (Напомним, что полная производная - это линейное преобразование.) Особый интерес представляют карты проекций (также известные как координатные функции), определяемые формулой, где - i- я стандартная координата. 1-формы известны как основные 1-формы ; их условно обозначают. Если стандартные координаты равны, то применение определения урожайности, так что, где - дельта Кронекера. Таким образом, как двойственное стандартное основание для, образует основу для. Как следствие, если - 1-форма на, то может быть записана как для гладких функций. Кроме того, мы можем получить выражение, которое совпадает с классическим выражением для полного дифференциала: ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle f: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p \ in U}$${\ displaystyle v_ {p} \ in \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle (df) _ {p} (v_ {p}): = Df | _ {p} (v)}$${\ displaystyle Df | _ {p}: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ pi ^ {i}: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {я}}$${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle d \ pi ^ {i}}$${\ displaystyle dx ^ {i}}$${\ displaystyle v_ {p} \ in \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ Displaystyle (v ^ {1}, \ ldots, v ^ {n})}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle dx_ {p} ^ {i} (v_ {p}) = v ^ {i}}$${\ displaystyle dx_ {p} ^ {i} ((e_ {j}) _ {p}) = \ delta _ {j} ^ {i}}$${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle (dx_ {p} ^ {1}, \ ldots, dx_ {p} ^ {n})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {1} (\ mathbf {R} _ {p} ^ {n}) = (\ mathbf {R} _ {p} ^ {n}) ^ {*}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ omega}$${\ textstyle \ sum a_ {i} \, dx ^ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}: U \ to \ mathbf {R}}$${\ displaystyle df}$

${\ displaystyle df = \ sum _ {i = 1} ^ {n} D_ {i} f \; dx ^ {i} = {\ partial f \ over \ partial x ^ {1}} \, dx ^ {1 } + \ cdots + {\ partial f \ over \ partial x ^ {n}} \, dx ^ {n}.}$

[ Комментарии к обозначениям: В этой статье мы следуем соглашению из тензорного исчисления и дифференциальной геометрии, в котором мультивекторы и мультивекторы записываются с нижним и верхним индексами соответственно. Поскольку дифференциальные формы являются полями мультивекторными, для их индексации используются верхние индексы. Противоположное правило применяется к компонентам мультивекторов и мультивекторов, которые вместо этого записываются с верхним и нижним индексами соответственно. Например, мы представляем стандартные координаты вектора как, так что в терминах стандартного базиса. Кроме того, в этом соглашении верхние индексы в знаменателе выражения (например, в) рассматриваются как нижние индексы. Когда индексы применяются и интерпретируются таким образом, количество верхних индексов минус количество нижних индексов в каждом члене выражения сохраняется как внутри суммы, так и по знаку равенства, что служит полезным мнемоническим устройством и помогает выявить ошибки, допущенные при вычислении вручную.] ${\ displaystyle v \ in \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle (v ^ {1}, \ ldots, v ^ {n})}$${\ textstyle v = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} e_ {i}}$${\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})}$${\ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}}}$

Основные операции над дифференциальными k -формами

Внешний вид продукт () и внешняя производная () две основные операции по дифференциальным формам. Внешнее произведение k -формы и ℓ -формы является -формой, в то время как внешняя производная k -формы является -формой. Таким образом, обе операции порождают формы, отличные от форм более высокой степени. ${\ Displaystyle \ клин}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle (к + \ ell)}$${\ Displaystyle (к + 1)}$

Внешнее произведение дифференциальных форм является частным случаем внешнего произведения multicovectors в целом ( смотрите выше). Как и в целом для внешнего произведения, внешнее произведение дифференциальных форм является билинейным, ассоциативным и градуированно-альтернированным. ${\ Displaystyle \ клин: \ Omega ^ {k} (U) \ times \ Omega ^ {\ ell} (U) \ to \ Omega ^ {k + \ ell} (U)}$

Точнее, если и, то ${\ displaystyle \ omega = a_ {i_ {1} \ ldots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}}$${\ displaystyle \ eta = a_ {j_ {1} \ ldots i _ {\ ell}} dx ^ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {j _ {\ ell}}}$

${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = a_ {i_ {1} \ ldots i_ {k}} a_ {j_ {1} \ ldots j _ {\ ell}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ wedge dx ^ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {j _ {\ ell}}.}.$

Кроме того, для любого набора индексов, ${\ displaystyle \ {\ alpha _ {1} \ ldots, \ alpha _ {m} \}}$

${\ displaystyle dx ^ {\ alpha _ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {\ alpha _ {p}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {\ alpha _ {q}} \ wedge \ cdots \ клин dx ^ {\ alpha _ {m}} = - dx ^ {\ alpha _ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {\ alpha _ {q}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {\ alpha _ {p}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {\ alpha _ {m}}.}$

Если, и, то индексы могут быть расположены в порядке возрастания с помощью (конечной) последовательности таких перестановок. Поскольку, означает, что. Наконец, вследствие билинейности, если и являются суммами нескольких членов, их внешний продукт подчиняется дистрибутивности по каждому из этих членов. ${\ Displaystyle I = \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k} \}}$${\ Displaystyle J = \ {j_ {1}, \ ldots, j _ {\ ell} \}}$${\ Displaystyle I \ cap J = \ emptyset}$${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta}$${\ displaystyle dx ^ {\ alpha} \ wedge dx ^ {\ alpha} = 0}$${\ Displaystyle I \ cap J \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = 0}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ eta}$

Совокупность внешних произведений основных 1-форм составляет основу пространства дифференциальных k -форм. Таким образом, любое можно записать в виде ${\ displaystyle \ {dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ mid 1 \ leq i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k} \ leq n \}}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (U)}$

${\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i_ {1} lt;\ cdots lt;i_ {k}} a_ {i_ {1} \ ldots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}, \ qquad (*)}$

где - гладкие функции. С каждым набором индексов, расположенных в порядке возрастания, (*) называется быть стандартное представление о. ${\ displaystyle a_ {i_ {1} \ ldots i_ {k}}: U \ to \ mathbf {R}}$${\ displaystyle \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k} \}}$${\ displaystyle \ omega}$

В предыдущем разделе 1-форма была определена путем взятия внешней производной от 0-формы (непрерывная функция). Теперь мы расширим это, определив оператор внешней производной для. Если стандартное представление k -формы задается как (*), -форма определяется как ${\ displaystyle df}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle d: \ Omega ^ {k} (U) \ to \ Omega ^ {k + 1} (U)}$${\ Displaystyle к \ geq 1}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle (к + 1)}$${\ displaystyle d \ omega}$

${\ displaystyle d \ omega: = \ sum _ {i_ {1} lt;\ ldots lt;i_ {k}} da_ {i_ {1} \ ldots i_ {k}} \ wedge dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}.}$

Свойство, что имеет место для всех гладких форм является то, что вторая внешняя производная любого тождественно равна нулю:. Это может быть установлено непосредственно из определения и равенства смешанных частных производных второго порядка от функций ( см статьи о закрытых и точных формах для деталей). ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle д ^ {2} \ омега = д (д \ омега) \ эквив 0}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$

Интегрирование дифференциальных форм и теорема Стокса для цепей

Чтобы интегрировать дифференциальную форму по параметризованной области, нам сначала нужно ввести понятие возврата дифференциальной формы. Грубо говоря, когда дифференциальная форма интегрирована, применение отката преобразует ее таким образом, чтобы правильно учитывать изменение координат.

Учитывая дифференцируемая функция и к -форма, мы называем в откате из путем и определить его как K -формы такой, что ${\ displaystyle f: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ eta \ in \ Omega ^ {k} (\ mathbf {R} ^ {m})}$${\ displaystyle f ^ {*} \ eta \ in \ Omega ^ {k} (\ mathbf {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (f ^ {*} \ eta) _ {p} (v_ {1p}, \ ldots, v_ {kp}): = \ eta _ {f (p)} (f _ {*} (v_ {1p }), \ ldots, f _ {*} (v_ {kp})),}$

для, где находится карта. ${\ displaystyle v_ {1p}, \ ldots, v_ {kp} \ in \ mathbf {R} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle f _ {*}: \ mathbf {R} _ {p} ^ {n} \ to \ mathbf {R} _ {f (p)} ^ {m}}$${\ Displaystyle v_ {p} \ mapsto (Df | _ {p} (v)) _ {f (p)}}$

Если является n -формой на (т. Е.), Мы определяем ее интеграл по единичной n -ячейке как повторный интеграл Римана от: ${\ Displaystyle \ омега = е \, dx ^ {1} \ клин \ cdots \ клин dx ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {n} (\ mathbf {R} ^ {n})}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ int _ {[0,1] ^ {n}} \ omega = \ int _ {[0,1] ^ {n}} f \, dx ^ {1} \ клин \ cdots \ клин dx ^ {n}: = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \, dx ^ {1} \ cdots dx ^ {n}.}$

Затем мы рассматриваем область интегрирования, параметризованную дифференцируемой функцией, известной как n -куб. Чтобы определить интеграл от over, мы «оттягиваем» от к единице n -cell: ${\ displaystyle c: [0,1] ^ {n} \ к A \ subset \ mathbf {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {n} (A)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ int _ {c} \ omega: = \ int _ {[0,1] ^ {n}} c ^ {*} \ omega.}$

Чтобы интегрировать по более общим областям, мы определяем n- цепь ${\ textstyle C = \ sum _ {i} n_ {i} c_ {i}}$ как формальную сумму n -кубов и полагаем

${\ displaystyle \ int _ {C} \ omega: = \ sum _ {i} n_ {i} \ int _ {c_ {i}} \ omega.}$

Соответствующее определение - цепи, известной как граница, позволяет нам сформулировать знаменитую теорему Стокса ( теорема Стокса – Картана) для цепей в подмножестве: ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle \ partial C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {m}}$

Если - ${\ displaystyle \ omega}$ гладкая -форма на открытом множестве и гладкая -цепочка в, то. ${\ Displaystyle (п-1)}$${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbf {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ int _ {C} d \ omega = \ int _ {\ partial C} \ omega}$

Используя более сложные механизмы (например, ростки и производные ), можно определить касательное пространство любого гладкого многообразия (не обязательно вложенного в него). Аналогично дифференциальная форма на общем гладком многообразии является отображением. Стокса теорема может быть в дальнейшем обобщается на произвольных гладких многообразий с краем и даже некоторых „грубых“ доменов ( см статью о Стокса теоремы для деталей). ${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (M)}$${\ displaystyle \ omega: p \ in M ​​\ mapsto \ omega _ {p} \ in {\ mathcal {A}} ^ {k} (T_ {p} M)}$

• Билинейная карта
• Внешняя алгебра
• Однородный полином
• Многолинейная карта