Тензорное исчисление

Расширение векторного исчисления до тензоров

В математике, тензорное исчисление, тензорный анализ или исчисление Риччи является расширением векторного исчисления до тензорных полей (тензоры, которые могут изменяться в многообразии, например, в пространстве-времени ).

Разработанный Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита, он был использован Альбертом Эйнштейном для разработки своего общая теория относительности. В отличие от исчисления бесконечно малых, тензорное исчисление позволяет представлять уравнения физики в форме , которая не зависит от выбора координат на многообразии.

Тензорное исчисление имеет множество приложений в физике, инженерии и информатике, включая эластичность, механику сплошной среды., электромагнетизм (см. математические описания электромагнитного поля ), общая теория относительности (см. математика общей теории относительности ), квантовая теория поля и машинное обучение.

Работа с главным сторонником внешнего исчисления Эли Картаном, влиятельным геометром Шиинг- Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления:

В нашем предмете дифференциальной геометрии, где вы говорите о многообразиях, одна трудность состоит в том, что геометрия описывается координатами, но координаты не имеют значения. Им разрешено трансформироваться. И для того, чтобы справиться с подобной ситуацией, важным инструментом является так называемый тензорный анализ или исчисление Риччи, которое было в новинку для математиков. В математике у вас есть функция, вы записываете функцию, вычисляете, или складываете, или умножаете, или можете дифференцировать. У вас есть что-то очень конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете менять числа произвольно. Итак, чтобы справиться с этим, вам понадобится исчисление Риччи.

• 1 Синтаксис
• 2 Ключевые концепции
  • 2.1 Векторное разложение
    • 2.1.1 Ковариантное векторное разложение
    • 2.1.2 Контравариантное векторное разложение
  • 2.2 Метрический тензор
  • 2.3 Якобиан
  • 2.4 Вектор градиента
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература
• 6 Внешние ссылки

В тензорной нотации используются верхний и нижний индексы для объектов, которые используются для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (с верхним и нижним индексами). Фактически, в обычном математическом синтаксисе мы используем ковариантные индексы при работе с декартовыми системами координат $(x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\})\; \}$часто, не осознавая, что это ограниченное использование тензорного синтаксиса в качестве ковариантных индексированных компонентов.

Тензорная нотация допускает верхний индекс объекта, который можно спутать с обычными операциями управления мощностью из обычного математического синтаксиса. Например, в обычном математическом синтаксисе $e\; =\; mc\; 2\; =\; mcc\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; mc\; ^\; \{2\}\; =\; mcc\}$, однако в тензорном синтаксисе перед объектом следует заключать скобки. возведя его в степень, чтобы устранить неоднозначность использования тензорного индекса по сравнению с нормальной работой мощности. В тензорном синтаксисе мы бы написали: $e\; =\; m\; (c\; 1)\; 2\; =\; m\; (c\; 1)\; (c\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; m\; (c\; ^\; \{1\})\; ^\; \{2\}\; =\; m\; (c\; ^\; \{1\})\; (c\; ^\; \{1\})\}$и $e\; =\; m\; (c\; 2)\; 2\; =\; m\; (c\; 2)\; (c\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; m\; (c\; ^\; \{\; 2\})\; ^\; \{2\}\; =\; m\; (c\; ^\; \{2\})\; (c\; ^\; \{2\})\}$. Число во внутренних круглых скобках отличает контравариантный компонент, где число во внешних скобках обозначает степень возведения величин до. Конечно, это просто произвольное уравнение, мы могли бы указать, что c не является тензором, и знать, что эта конкретная переменная не нуждается в скобках вокруг нее, чтобы повысить качество c до степени 2, однако, если бы c было вектором, то его можно было бы представить в виде тензора, и этот тензор нужно было бы отличать от обычных математических индексов, указывающих на возведение величины в степень.

Векторное разложение

Нотация тензоров допускает использование вектора ($V\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\}$) для разложения в суммирование Эйнштейна, представляющее тензорное сжатие базисного вектора ($Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\; \}\; \_\; \{i\}\}$или $Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$) с вектором-компонентом ($V\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\}$или $V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{i\}\}$).

$В\; \to \; =\; В\; я\; Z\; \to \; я\; =\; В\; я\; Z\; \to \; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; =\; V\; ^\; \{я\}\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{я\}\; =\; V\_\; \{я\}\; \{\; \backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$

Каждый вектор имеет два разных представления, одно из которых называется контравариантным компонентом ($V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{i\}\}$) с ковариантный базис ($Z\; \to \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\}$), а другой как ковариантный компонент ($V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\}$) с контравариантной основой ($Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$). Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами называются ковариантными. Необходимость различать контравариантные и ковариантные возникает из-за того, что, когда мы ставим точки на произвольный вектор с его базисным вектором, связанным с определенной системой координат, есть два способа интерпретации этого скалярного произведения: либо мы рассматриваем его как проекцию базиса. вектор на произвольный вектор, или мы рассматриваем его как проекцию произвольного вектора на базисный вектор, оба представления скалярного произведения полностью эквивалентны, но имеют разные составляющие элементы и разные базисные векторы:

$V\; \to \; \cdot \; Z\; \to \; я\; =\; В\; я\; =\; В\; \to \; TZ\; \to \; я\; =\; Z\; \to \; я\; ТВ\; \to \; =\; proj\; Z\; \to \; я\; (V\; \to )\; \cdot \; Z\; \to \; я\; =\; proj\; V\; \to \; (Z\; \to \; я)\; \cdot \; V\; \to \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\; \}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; V\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; =\; \{proj\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{V\}\})\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{proj\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\})\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\}$

$V\; \to \; \cdot \; Z\; \to \; i\; =\; V\; i\; Знак\; равно\; V\; \to \; TZ\; \to \; я\; =\; Z\; \to \; я\; TV\; \to \; =\; proj\; Z\; \to \; я\; (V\; \to )\; \cdot \; Z\; \to \; я\; =\; proj\; V\; \to \; (Z\; \to \; я)\; \cdot \; V\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; V\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\; \}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; =\; \{proj\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{V\}\})\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\; \}\; =\; \{proj\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; (\{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\})\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\}$

Например, в физике вы начинаете с векторного поля, вы разлагаете его относительно ковариантного базиса, и именно так вы получаете контравариантные координаты. Для ортонормированных декартовых координат ковариантный и контравариантный базисы идентичны, поскольку базисный набор в этом случае является просто единичной матрицей, однако для неаффинной системы координат, такой как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с помощью контравариантного или ковариантный базисный набор для генерации компонентов системы координат.

Ковариантное векторное разложение

$V\; \to \; =\; V\; i\; Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; =\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\}$

переменная	описание	Тип
$V\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\}$	вектор	Инвариант
$V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{i\}\}$	контравариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	Вариант
$Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\}$	ковариантный базисы (упорядоченный набор векторов)	Вариант

Контравариантное разложение векторов

$V\; \to \; =\; V\; i\; Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\; =\; V\_\; \{i\}\; \{\backslash \; vec\; \{\; Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$

переменная	описание	тип
$V\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{V\}\}\}$	вектор	инвариант
$V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\}$	ковариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров)	вариант
$Z\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$	контравариантные базисы (упорядоченный набор ковекторов )	вариант

Метрический тензор

Метрический тензор представляет собой матрицу со скалярными элементами ($Z\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{ij\}\}$или $Z\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{ij\}\}$) и является тензорным объектом, который используется для повышения или понижения индекса другого тензорного объекта с помощью операции, называемой сжатием, что позволяет ковариантный тензор должен быть преобразован в контравариантный тензор, и наоборот.

Пример понижения индекса с использованием метрического тензора:

$T\; i\; =\; Z\; ij\; T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{i\}\; =\; Z\_\; \{ij\}\; T\; ^\; \{j\}\}$

Пример повышения индекса с использованием метрический тензор:

$T\; i\; =\; Z\; ij\; T\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{i\}\; =\; Z\; ^\; \{ij\}\; T\_\; \{j\}\}$

Метрический тензор определяется как:

$Z\; ij\; =\; Z\; \to \; я\; \cdot \; Z\; \to \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; \_\; \{j\}\}$

$Z\; ij\; =\; Z\; \to \; я\; \cdot \; Z\; \to \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{j\}\}$

Это означает, что если мы возьмем каждая перестановка базисного вектора устанавливается и расставляет их точки друг против друга, а затем организует их в квадратную матрицу, у нас будет метрический тензор. Предостережение здесь заключается в том, какой из двух векторов в перестановке используется для проецирования против другого вектора, что является отличительным свойством ковариантного метрического тензора по сравнению с контравариантным метрическим тензором.

Существуют две разновидности метрических тензоров: (1) контравариантный метрический тензор ($Z\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{ij\}\}$) и (2) ковариантный метрический тензор ($Z\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{ij\}\}$). Эти два вида метрического тензора связаны между собой тождеством:

$Z\; ik\; Z\; jk\; =\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{ik\}\; Z\; ^\; \{jk\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; ^\; \{j\}\}$

Для в ортонормальной декартовой системе координат, метрический тензор - это просто дельта кронекера $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$или $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; ^\; \{ij\}\}$, который является тензорным эквивалентом единичной матрицы, и $\delta \; ij\; =\; \delta \; ij\; =\; \delta \; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; delta\; ^\; \{ij\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\}$.

Якобиан

Кроме того, тензор может быть легко преобразована из системы без штрихов (x) в систему с координатами с полосой ($x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$) с разными наборами базисных векторов:

$f\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; =\; f\; (x\; 1\; (x\; ¯),\; x\; 2\; (x\; ¯),\dots ,\; xn\; (x\; ¯))\; =\; f\; ¯\; (x\; ¯\; 1,\; x\; ¯\; 2,\dots ,\; x\; ¯\; n)\; =\; е\; ¯\; (x\; ¯\; 1\; (x),\; x\; ¯\; 2\; (x),\dots ,\; x\; ¯\; n\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{1\},\; x\; ^\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; x\; ^\; \{n\})\; =\; f\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; x\; ^\; \{1\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}),\; x\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}),\; \backslash \; dots,\; x\; ^\; \{n\}\; (\; \{\; \backslash \; bar\; \{x\}\})\; \{\backslash \; bigg)\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{1\},\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{1\}\; (x),\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; (\; x),\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{n\}\; (x)\; \{\backslash \; bigg)\}\}$

с помощью матрицы Якоби отношений между системой координат с чертой и без нее ($J\; ¯\; =\; J\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\; =\; J\; ^\; \{-\; 1\}\}$). Якобиан между системами с перемычками и без перемычек играет важную роль в определении ковариантных и контравариантных базисных векторов, поскольку для существования этих векторов они должны удовлетворять следующему соотношению относительно систем с перемычками и без перемычек:

Контравариантные векторы должны подчиняться законам:

$vi\; =\; v\; ¯\; r\; \partial \; xi\; (x\; ¯)\; \partial \; x\; ¯\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{v\}\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\})\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{r\}\}\}\}$

$v\; ¯\; i\; =\; vr\; \partial \; x\; ¯\; i\; (x)\; \partial \; xr\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{v\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; v\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{i\}\; (x)\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{r\; \}\}\}\}$

Ковариантные векторы должны подчиняться законам:

$vi\; =\; v\; ¯\; r\; \partial \; x\; ¯\; i\; (x)\; \partial \; xr\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{v\}\; \}\; \_\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{i\}\; (x)\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{r\}\}\}\}$

$v\; ¯\; i\; =\; vr\; \partial \; xr\; (x\; ¯)\; \partial \; Икс\; ¯\; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{v\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; v\_\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{r\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\})\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{i\}\}\}\}$

Есть два варианта матрицы Якоби:

1. Матрица J, представляющая изменение от незащищенных до запрещенных координат. Чтобы найти J, мы берем «градиент с перемычкой», то есть частичное производное относительно $x\; ¯\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; ^\; \{i\}\}$:

$J\; =\; \nabla \; ¯\; f\; (x\; (\; x\; ¯))\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; nabla\}\}\; f\; (x\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}))\}$

2. Матрица $J\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\}$, представляющая изменение координат с запрещенных на незащищенные. Чтобы найти $J\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\}$, мы берем «неограниченный градиент», то есть частичное производное по отношению к $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{i\; \}\}$:

$J\; ¯\; =\; \nabla \; е\; ¯\; (x\; ¯\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\; =\; \backslash \; nabla\; \{\backslash \; bar\; \{f\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; (x))\; \}$

Вектор градиента

Тензорное исчисление обеспечивает обобщение формулы вектора градиента из стандартного исчисления, которое работает во всех системах координат:

$\nabla \; F\; =\; \nabla \; i\; FZ\; \to \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; F\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; F\; \{\backslash \; vec\; \{Z\}\}\; ^\; \{i\}\}$

Где:

$\nabla \; i\; F\; =\; \partial \; F\; \partial \; Z\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{i\}\; F\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; Z\; ^\; \{i\}\}\}\}$

Напротив, для стандартного исчисления формула вектора градиента зависит от используемой системы координат (пример: формула вектора декартового градиента против полярного градиента векторная формула против векторной формулы сферического градиента и т. д.). В стандартном исчислении каждая система координат имеет свою собственную конкретную формулу, в отличие от тензорного исчисления, в котором есть только одна формула градиента, эквивалентная для всех систем координат. Это стало возможным благодаря пониманию метрического тензора, который используется в тензорном исчислении.

• Портал математики

• Векторный анализ
• Матричное исчисление
• Исчисление Риччи
• Тензоры в криволинейных координатах
• Мультилинейное обучение подпространству

• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Сокольников, Иван С (1951). Тензорный анализ: теория и приложения к геометрии и механике сплошных сред. Вайли. ISBN 0471810525.
• A.I. Борисенко и И. Тарапов (1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями (2-е изд.). Дувр. ISBN 0486638332. CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка )
• Ицков, Михаил (2015). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к Механика сплошной среды. Springer; 2-е издание. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, JR (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и прикладных ученых. Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление. Очертания Шаума. Макгроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
• Гринфельд, P. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей. Springer. ISBN 1-4614-7866-9.

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991–2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF). Дата обращения 17 мая 2018 г. Для цитирования журнала требуется | journal =() CS1 maint: формат даты (ссылка )