Исчисление Риччи

«Нотация тензорного индекса» перенаправляется сюда. Общие сведения о тензорах см. В Глоссарии теории тензоров.

В математике, Риччи исчисление составляет правила индексного обозначения и манипулирования для тензоров и тензорных полей на дифференцируемом многообразии, с или без метрического тензора или связи. Это также современное название того, что раньше называлось абсолютным дифференциальным исчислением (основа тензорного исчисления ), разработанным Грегорио Риччи-Курбастро в 1887–1896 годах и впоследствии популяризированным в статье, написанной его учеником Туллио Леви-Чивита в 1900. Ян Арнольдус Схоутен разработал современные обозначения и формализм для этой математической основы и внес вклад в теорию во время ее приложений к общей теории относительности и дифференциальной геометрии в начале двадцатого века.

Компонент тензора - это действительное число, которое используется как коэффициент базисного элемента для тензорного пространства. Тензор - это сумма его компонентов, умноженная на соответствующие им базисные элементы. Тензорные и тензорные поля могут быть выражены через их компоненты, а операции над тензорами и тензорными полями могут быть выражены через операции над их компонентами. Описание тензорных полей и операций с ними в терминах их компонентов является основной темой исчисления Риччи. Эта запись позволяет эффективно выражать такие тензорные поля и операции. Хотя большая часть обозначений может применяться к любым тензорам, операции, относящиеся к дифференциальной структуре, применимы только к тензорным полям. При необходимости, обозначение распространяется на компоненты нетензоров, особенно на многомерные массивы.

Тензор может быть выражен в виде линейной суммы тензорного произведения из векторных и ковекторных базисных элементов. Полученные компоненты тензора помечаются индексами базиса. Каждый индекс имеет одно возможное значение для каждого измерения лежащего в основе векторного пространства. Количество индексов равно степени (или порядку) тензора.

Для компактности и удобства исчисление Риччи включает нотацию Эйнштейна, которая подразумевает суммирование по индексам, повторяющимся внутри члена, и универсальную количественную оценку по свободным индексам. Выражения в обозначениях исчисления Риччи обычно можно интерпретировать как набор одновременных уравнений, связывающих компоненты как функции на многообразии, обычно более конкретно как функции координат на многообразии. Это позволяет интуитивно манипулировать выражениями при знакомстве только с ограниченным набором правил.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Обозначения индексов
  • 1.1 Основные отличия
    • 1.1.1 Пространственные и временные координаты
    • 1.1.2 Обозначение координат и индекса
    • 1.1.3 Ссылка на базу
  • 1.2 Верхний и нижний индексы
    • 1.2.1 Ковариантные компоненты тензора
    • 1.2.2 Контравариантные компоненты тензора
    • 1.2.3 Компоненты тензора смешанной дисперсии
    • 1.2.4 Тип и степень тензора
    • 1.2.5 Соглашение о суммировании
    • 1.2.6 Мультииндексная нотация
    • 1.2.7 Последовательное суммирование
    • 1.2.8 Повышение и понижение индексов
  • 1.3 Корреляция между позициями индексов и инвариантностью
• 2 Общие принципы обозначения индексов и операций
  • 2.1 Свободные и фиктивные индексы
  • 2.2 Тензорное уравнение представляет собой множество обычных (действительных) уравнений
  • 2.3 Индексы - сменные метки
  • 2.4 Индексы одинаковы во все триместры
  • 2.5 Квадратные скобки и знаки препинания используются один раз там, где это подразумевается
• 3 Симметричные и антисимметричные детали
  • 3.1 Симметричная часть тензора
  • 3.2 Антисимметричная или знакопеременная часть тензора
  • 3.3 Сумма симметричной и антисимметричной частей
• 4 Дифференциация
  • 4.1 Частная производная
  • 4.2 Ковариантная производная
    • 4.2.1 Типы подключения
  • 4.3 Внешняя производная
  • 4.4 производная Ли
• 5 Известные тензоры
  • 5.1 Дельта Кронекера
  • 5.2 Тензор кручения
  • 5.3 Тензор кривизны Римана
  • 5.4 Метрический тензор
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 ссылки
• 9 Источники

Обозначения для индексов

См. Также: Обозначение индекса

Базовые различия

Координаты пространства и времени

Если в четырехмерном пространстве-времени классической физики должно проводиться различие между пространственно-подобными базисными элементами и временноподобным элементом, это обычно делается с помощью следующих индексов:

• Строчный латинский алфавит a, b, c,... используется для обозначения ограничения 3-мерным евклидовым пространством, которое принимает значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов; и времяподобный элемент, обозначенный 0, показан отдельно.
• Строчный греческий алфавит α, β, γ,... используется для 4-мерного пространства - времени, которое обычно принимает значения 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для пространственных компонентов.

Некоторые источники используют 4 вместо 0 в качестве значения индекса, соответствующего времени; в этой статье используется 0. В противном случае в общих математических контекстах для индексов могут использоваться любые символы, обычно проходящие по всем измерениям векторного пространства.

Обозначение координат и индекса

Автор (ы) обычно поясняет, предназначен ли подстрочный индекс как указатель или как метка.

Например, в трехмерном евклидовом пространстве и с использованием декартовых координат ; координат вектора = ( 1, 2, 3) = ( х, А у, А г) показывает прямое соответствие между индексами 1, 2, 3 и метки х, у, г. В выражении A i, i интерпретируется как индекс в диапазоне значений 1, 2, 3, в то время как индексы x, y, z являются только метками, а не переменными. В контексте пространства-времени значение индекса 0 условно соответствует метке t.

Ссылка на базу

Индексы могут быть сами помечены с помощью диакритических -как символы, такие как шляпы (), бар (¯), тильды (~), или простые ( '), как в:

${\ Displaystyle X _ {\ шляпа {\ phi}} \,, Y _ {\ bar {\ lambda}} \,, Z _ {\ tilde {\ eta}} \,, T _ {\ mu '}}$

для обозначения возможной другой основы для этого индекса. Примером может служить преобразование Лоренца из одной системы отсчета в другую, где один кадр может быть без штриха, а другой с штрихом, как в:

${\ displaystyle v ^ {\ mu '} = v ^ {\ nu} L _ {\ nu} {} ^ {\ mu'}.}$

Это не следует путать с обозначением Ван-дер-Вардена для спиноров, в котором используются шляпы и избыточные точки на индексах, чтобы отразить хиральность спинора.

Верхний и нижний индексы

Исчисление Риччи и индексная нотация в более общем смысле различают нижние индексы (нижние индексы) и верхние индексы (верхние индексы); последние не являются экспонентами, хотя могут показаться таковыми читателю, знакомому только с другими частями математики.

В особых случаях (когда метрический тензор всюду равен единичной матрице) можно отказаться от различия между верхними и нижними индексами, и тогда все индексы могут быть записаны в нижнем положении - координатные формулы в линейной алгебре, например, для произведение матриц иногда можно рассматривать как примеры этого, но в целом обозначения требуют, чтобы различие между верхними и нижними индексами соблюдалось и поддерживалось. ${\ displaystyle a_ {ij} b_ {jk}}$

Ковариантные компоненты тензора

Более низкий индекс ( нижний индекс) указывает ковариацию компонентов по отношению к этому индексу:

${\ Displaystyle А _ {\ альфа \ бета \ гамма \ cdots}}$

Контравариантные компоненты тензора

Верхний индекс (индекс) указывает контрвариацию компонентов по отношению к этому индексу:

${\ Displaystyle А ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ cdots}}$

Компоненты тензора смешанной дисперсии

Тензор может иметь как верхний, так и нижний индексы:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma} {} ^ {\ delta \ cdots}.}$

Порядок индексов важен, даже если они отличаются друг от друга. Однако, когда понимается, что никакие индексы не будут повышаться или понижаться при сохранении базового символа, ковариантные индексы иногда помещаются ниже контравариантных индексов для удобства записи (например, с обобщенной дельтой Кронекера ).

Тип и степень тензора

Число каждого верхнего и нижнего индексов тензора дает его тип: тензор с p верхними и q нижними индексами называется тензором типа ( p, q) или тензором типа ( p, q).

Количество индексов тензора, независимо от дисперсии, называется степенью тензора (альтернативно, его валентностью, порядком или рангом, хотя ранг неоднозначен). Таким образом, тензор типа ( p, q) имеет степень p + q.

Соглашение о суммировании

Один и тот же символ, встречающийся дважды (один верхний и один нижний) в термине, указывает пару индексов, которые суммируются:

${\ Displaystyle A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \ Equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \ quad {\ text {or}} \ quad A ^ {\ alpha } B _ {\ alpha} \ Equiv \ sum _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} B _ {\ alpha} \,.}$

Операция, подразумеваемая таким суммированием, называется тензорным сжатием :

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B ^ {\ beta} \ rightarrow A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \ Equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B ^ {\ alpha} \,. }$

Это суммирование может происходить более одного раза в пределах терма с отдельным символом для каждой пары индексов, например:

${\ Displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta} \ Equiv \ sum _ {\ alpha} \ sum _ {\ gamma} A_ {\ alpha} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta} \,.}$

Другие комбинации повторяющихся индексов в термине считаются неправильно сформированными, например

${\ Displaystyle А _ {\ альфа \ альфа} {} ^ {\ gamma} \ qquad}$	(оба вхождения ниже; было бы хорошо) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} {} ^ {\ alpha \ gamma}}$
${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta}}$	( встречается дважды как нижний индекс; или было бы хорошо). ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ gamma} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ delta} {} ^ {\ gamma} B ^ {\ alpha} C _ {\ gamma} {} ^ {\ beta}}$

Причина исключения таких формул состоит в том, что, хотя эти величины могут быть вычислены как массивы чисел, они, как правило, не преобразуются как тензоры при изменении базиса.

Мультииндексная нотация

Если у тензора есть список всех верхних или нижних индексов, одно сокращение должно использовать заглавную букву для списка:

${\ displaystyle A_ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} B ^ {i_ {1} \ cdots i_ {n} j_ {1} \ cdots j_ {m}} C_ {j_ {1} \ cdots j_ { m}} \ Equiv A_ {I} B ^ {IJ} C_ {J}}$

где I = i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i n и J = j 1 j 2 ⋅⋅⋅ j m.

Последовательное суммирование

Пара вертикальных полос | ⋅ | вокруг набора все верхних индексов или все нижних индексов (но не обоих), связанных со сжатием с другим набором индексов, когда выражение полностью антисимметрично в каждом из двух наборов индексов:

${\ displaystyle A_ {| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B ^ {| \ alpha \ beta \ gamma | \ cdots} = \ sum _ {\ alpha lt;\ beta lt;\ gamma} A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots}}$

означает ограниченную сумму по значениям индекса, где каждый индекс строго меньше следующего. Таким образом можно суммировать несколько групп, например:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; A_ {| \ alpha \ beta \ gamma |} {} ^ {| \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda |} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ дельта \ эпсилон \ cdots \ lambda | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |} C ^ {\ mu \ nu \ cdots \ zeta} \\ [3pt] = {} amp; \ sum _ {\ alpha lt;\ beta lt;\ gamma} ~ \ sum _ {\ delta lt;\ epsilon lt;\ cdots lt;\ lambda} ~ \ sum _ {\ mu lt;\ nu lt;\ cdots lt;\ zeta} A _ {\ alpha \ beta \ gamma} {} ^ {\ дельта \ эпсилон \ cdots \ lambda} B ^ {\ alpha \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda \ mu \ nu \ cdots \ zeta} C ^ {\ mu \ nu \ cdots \ zeta } \ конец {выровнено}}}$

При использовании многоиндексной записи под блоком индексов ставится нижняя строчка:

${\ displaystyle A _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} {} ^ {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} B ^ {P} {} _ {Q {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} } C ^ {R} = \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} \ sum _ {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} A_ {P} {} ^ {Q} B ^ {P} {} _ {QR} C ^ {R}}$

куда

${\ displaystyle {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} = | \ alpha \ beta \ gamma | \,, \ quad {\ underset {\ rightharpoondown} {Q}} = | \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \,, \ quad {\ underset {\ rightharpoondown} {R}} = | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |}$

Повышение и понижение показателей

Сужая индекс с неособым метрическим тензором, можно изменить тип тензора, преобразовав нижний индекс в верхний или наоборот:

${\ Displaystyle B ^ {\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots} = g ^ {\ gamma \ alpha} A _ {\ alpha \ beta \ cdots} \ quad {\ text {and}} \ quad A _ {\ альфа \ бета \ cdots} = g _ {\ alpha \ gamma} B ^ {\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots}}$

Базовый символ во многих случаях сохраняется (например, с помощью A, где здесь появляется B), и когда нет двусмысленности, изменение положения индекса может подразумевать эту операцию.

Корреляция между позициями индексов и инвариантностью

В этой таблице показано, как манипулирование ковариантными и контравариантными индексами согласуется с инвариантностью при пассивном преобразовании между базами, при этом компоненты каждого базисного набора в терминах другого отражены в первом столбце. Индексы со штрихами относятся к окончательной системе координат после преобразования.

Используется дельта Кронекера, см. Также ниже.

	Базовое преобразование	Преобразование компонентов	Инвариантность
Ковектор, ковариантный вектор, 1-форма	${\ displaystyle \ omega ^ {\ bar {\ alpha}} = L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} \ omega ^ {\ beta}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} \ omega ^ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} \ omega ^ {\ beta} = a _ {\ gamma} \ delta ^ {\ gamma} {} _ {\ beta} \ omega ^ {\ beta} = a_ { \ beta} \ omega ^ {\ beta}}$
Вектор, контравариантный вектор	${\ displaystyle е _ {\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle u ^ {\ bar {\ alpha}} = L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u ^ {\ beta}}$	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} u ^ {\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L ^ {\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L ^ {\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u ^ {\ beta} = e _ {\ gamma} \ delta ^ {\ gamma} {} _ {\ beta} u ^ {\ beta} = e _ {\ gamma} и ^ {\ gamma}}$

Общие принципы обозначения индексов и операций

Тензоры равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие компоненты; например, тензор A равен тензору B тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = B ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}$

для всех α, β, γ. Следовательно, есть аспекты обозначений, которые полезны для проверки того, что уравнение имеет смысл (процедура, аналогичная анализу размерностей ).

Свободные и фиктивные индексы

Индексы, не участвующие в сокращениях, называются свободными индексами. Индексы, используемые в сокращениях, называются фиктивными индексами или индексами суммирования.

Тензорное уравнение представляет собой множество обыкновенных (действительных) уравнений

Компоненты тензоров (например, A ^α, B β ^γ и т. Д.) - это просто действительные числа. Поскольку индексы принимают различные целочисленные значения для выбора конкретных компонентов тензоров, одно тензорное уравнение представляет множество обычных уравнений. Если тензорное равенство имеет n свободных индексов и если размерность лежащего в основе векторного пространства равна m, равенство представляет m ⁿ уравнений: каждый индекс принимает каждое значение из определенного набора значений.

Например, если

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} = Т ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

имеет четыре измерения (то есть каждый индекс проходит от 0 до 3 или от 1 до 4), тогда, поскольку есть три свободных индекса ( α, β, δ), получается 4 ³ = 64 уравнения. Три из них:

${\ displaystyle {\ begin {align} A ^ {0} B_ {1} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {3} C_ {30} + D ^ {0} {} _ {1} {} E_ {0} amp; = T ^ {0} {} _ {1} {} _ {0} \\ A ^ {1} B_ {0} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ { 1} B_ {0} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ { 3} C_ {30} + D ^ {1} {} _ {0} {} E_ {0} amp; = T ^ {1} {} _ {0} {} _ {0} \\ A ^ {1} B_ {2} {} ^ {0} C_ {02} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {1} C_ {12} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {2} C_ {22} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {3} C_ {32} + D ^ {1} {} _ {2} {} E_ {2} amp; = T ^ {1} { } _ {2} {} _ {2}. \ End {align}}}$

Это демонстрирует компактность и эффективность использования индексной нотации: многие уравнения, которые имеют одинаковую структуру, могут быть собраны в одно простое тензорное уравнение.

Индексы - это сменные метки

Замена любого индексного символа на другой оставляет тензорное уравнение без изменений (при условии, что нет конфликта с другими уже использованными символами). Это может быть полезно при манипулировании индексами, например при использовании индексной нотации для проверки тождеств векторного исчисления или тождеств дельты Кронекера и символа Леви-Чивиты (см. Также ниже). Пример правильного изменения:

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ стрелка вправо A ^ {\ lambda} B _ {\ beta} {} ^ {\ mu} C _ {\ mu \ delta} + D ^ {\ lambda} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \,, }$

тогда как ошибочное изменение:

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ nrightarrow A ^ {\ lambda} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ mu \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \,. }$

В первой замене λ заменил α, а μ заменил γ везде, поэтому выражение все еще имеет тот же смысл. Во втором случае λ не полностью заменил α, а μ не полностью заменил γ (кстати, сокращение индекса γ стало тензорным произведением), что совершенно несовместимо по причинам, указанным ниже.

Индексы одинаковы во все триместры

Свободные индексы в тензорном выражении всегда появляются в одном и том же (верхнем или нижнем) положении на протяжении каждого члена, а в тензорном уравнении свободные индексы одинаковы с каждой стороны. Фиктивные индексы (которые подразумевают суммирование по этому индексу) не обязательно должны быть одинаковыми, например:

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D ^ {\ alpha} {} _ {\ delta} E _ {\ beta} = T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

что касается ошибочного выражения:

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} B _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} C _ {\ gamma \ delta} + D _ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ gamma} E ^ {\ delta}.}$

Другими словами, неповторяющиеся индексы должны быть одного типа в каждом члене уравнения. В приведенном выше тождестве α, β, δ выстраиваются в одну линию, а γ встречается дважды в одном члене из-за сокращения (один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса), и, таким образом, это правильное выражение. В недопустимом выражении, в то время как β выстраивается, α и δ нет, а γ появляется дважды в одном члене (сокращение) и один раз в другом члене, что несовместимо.

Квадратные скобки и знаки препинания используются один раз там, где это подразумевается

При применении правила к ряду индексов (дифференциация, симметризация и т. Д., Показанные далее) скобки или знаки пунктуации, обозначающие правила, отображаются только в одной группе индексов, к которым они применяются.

Если в скобках заключены ковариантные индексы - правило применяется только ко всем ковариантным индексам, заключенным в скобки, а не к любым контравариантным индексам, которые случайно помещаются между скобками.

Точно так же, если в скобках заключены контравариантные индексы - правило применяется только ко всем заключенным контравариантным индексам, а не к ковариантным индексам, помещенным промежуточно.

Симметричные и антисимметричные детали

Симметричная часть тензора

Круглые скобки () вокруг нескольких индексов обозначают симметризованную часть тензора. При симметризации индексов p с использованием σ для пробега перестановок чисел от 1 до p, берется сумма перестановок этих индексов α σ ( i) для i = 1, 2, 3,…, p, а затем делится на количество перестановок:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}) \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {1 } {p!}} \ sum _ {\ sigma} A _ {\ alpha _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} \,.}$

Например, два симметричных индекса означают, что есть два индекса, которые нужно переставить и суммировать:

${\ Displaystyle A _ {(\ alpha \ beta) \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} + A _ {\ beta \ alpha \ гамма \ cdots} \ right)}$

в то время как для трех симметричных индексов необходимо суммировать и переставлять три индекса:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha \ beta \ gamma) \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ cdots} + A _ {\ gamma \ alpha \ beta \ delta \ cdots} + A _ {\ beta \ gamma \ alpha \ delta \ cdots} + A _ {\ alpha \ gamma \ beta \ delta \ cdots} + A _ {\ gamma \ beta \ alpha \ delta \ cdots} + A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ delta \ cdots} \ right)}$

Симметризация распределительна по сравнению с сложением;

${\ Displaystyle A _ {(\ alpha} \ влево (B _ {\ beta) \ gamma \ cdots} + C _ {\ beta) \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {(\ alpha} B _ {\ beta) \ gamma \ cdots} + A _ {(\ alpha} C _ {\ beta) \ gamma \ cdots}}$

Индексы не являются частью симметризации, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\ displaystyle A _ {(\ alpha} B ^ {\ beta} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B ^ {\ beta} { } _ {\ gamma} + A _ {\ gamma} B ^ {\ beta} {} _ {\ alpha} \ right)}$

• в круглых скобках и между вертикальными полосами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\ Displaystyle A _ {(\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B _ {\ beta \ gamma } + A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alpha} \ right)}$

Здесь индексы α и γ симметризованы, β - нет.

Антисимметричная или знакопеременная часть тензора

Квадратные скобки, [], вокруг несколько индексов обозначают анти~d симметризованной часть тензора. Для p антисимметричных индексов берется сумма перестановок этих индексов α σ ( i), умноженная на сигнатуру перестановки sgn ( σ), а затем делится на количество перестановок:

${\ displaystyle {\ begin {align} amp; A _ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}] \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ [3pt] = {} amp; {\ dfrac {1} {p!}} \ sum _ {\ sigma} \ operatorname {sgn} (\ sigma) A _ {\ alpha _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ = {} amp; \ delta _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} ^ {\ beta _ {1} \ dots \ beta _ {p}} A _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p} \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\\ конец {выровнено}}}$

где δ^{β 1 ⋅⋅⋅ β p} _{α 1 ⋅⋅⋅ α p- обобщенная дельта Кронекера степени 2 p с масштабированием, определенным ниже.}

Например, два антисимметричных индекса означают:

${\ Displaystyle A _ {[\ alpha \ beta] \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} -A _ {\ beta \ alpha \ гамма \ cdots} \ right)}$

а три антисимметричных индекса означают:

${\ displaystyle A _ {[\ alpha \ beta \ gamma] \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ cdots} + A _ {\ gamma \ alpha \ beta \ delta \ cdots} + A _ {\ beta \ gamma \ alpha \ delta \ cdots} -A _ {\ alpha \ gamma \ beta \ delta \ cdots} -A _ {\ gamma \ beta \ alpha \ delta \ cdots} -A _ {\ beta \ alpha \ gamma \ delta \ cdots} \ right)}$

Что касается более конкретного примера, если F представляет собой электромагнитный тензор, то уравнение

${\ displaystyle 0 = F _ {[\ alpha \ beta, \ gamma]} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (F _ {\ alpha \ beta, \ gamma} + F _ {\ gamma \ alpha, \ beta} + F _ {\ beta \ gamma, \ alpha} -F _ {\ beta \ alpha, \ gamma} -F _ {\ alpha \ gamma, \ beta} -F _ {\ gamma \ beta, \ alpha} \ right) \,}$

представляет закон Гаусса для магнетизма и закон индукции Фарадея.

Как и прежде, антисимметризация является распределительной по сравнению с сложением;

${\ displaystyle A _ {[\ alpha} \ left (B _ {\ beta] \ gamma \ cdots} + C _ {\ beta] \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {[\ alpha} B _ {\ beta] \ gamma \ cdots} + A _ {[\ alpha} C _ {\ beta] \ gamma \ cdots}}$

Как и в случае симметризации, индексы не антисимметричны, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alpha} B ^ {\ beta} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B ^ {\ beta} { } _ {\ gamma} -A _ {\ gamma} B ^ {\ beta} {} _ {\ alpha} \ right)}$

• в квадратных скобках и между вертикальными полосами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B _ {\ beta \ gamma } -A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alpha} \ right)}$

Здесь индексы α и γ антисимметричны, β - нет.

Сумма симметричной и антисимметричной частей

Любой тензор можно записать как сумму его симметричной и антисимметричной частей по двум индексам:

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {(\ alpha \ beta) \ gamma \ cdots} + A _ {[\ alpha \ beta] \ gamma \ cdots}}$

как можно увидеть, добавив приведенные выше выражения для A ( αβ) γ ⋅⋅⋅ и A [ αβ ] γ ⋅⋅⋅. Это справедливо только для двух индексов.

Дифференциация

Смотрите также: Четыре градиента, Даламбертиана и Внутренняя производная

Для компактности производные могут быть обозначены добавлением индексов после запятой или точки с запятой.

Частная производная

В то время как большинство выражений исчисления Риччи действительны для произвольных базисов, выражения, включающие частные производные компонентов тензора по координатам, применяются только с координатным базисом : базисом, который определяется посредством дифференцирования по координатам. Координаты обычно обозначаются x ^μ, но в общем случае не образуют компоненты вектора. В плоском пространстве-времени с линейной координатизацией набор разностей координат Δ x ^μ можно рассматривать как контравариантный вектор. При тех же ограничениях на пространство и на выбор системы координат частные производные по координатам дают результат, который является эффективно ковариантным. Помимо использования в этом частном случае, частные производные компонентов тензоров в общем случае не преобразуются ковариантно, но полезны при построении ковариантных выражений, хотя и с координатным базисом, если частные производные используются явно, как в случае ковариантных, внешние и производные Ли ниже.

Чтобы указать частичное дифференцирование компонентов тензорного поля относительно координатной переменной x ^γ, перед нижним индексом координатной переменной ставится запятая.

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta \ cdots, \ gamma} = {\ dfrac {\ partial} {\ partial x ^ {\ gamma}}} A _ {\ alpha \ beta \ cdots}}$

Это можно повторить (без добавления запятых):

${\ Displaystyle A _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p} \,, \, \ alpha _ {p + 1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha _ {q}}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha _ {p + 2}}}} {\ dfrac { \ partial} {\ partial x ^ {\ alpha _ {p + 1}}}} A _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}}.}$

Эти компоненты не преобразуются ковариантно, если дифференцируемое выражение не является скаляром. Эта производная характеризуется правилом произведения и производными координат

${\ displaystyle x ^ {\ alpha} {} _ {, \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha},}$

где δ - символ Кронекера.

Ковариантная производная

Ковариантная производная определяется только в том случае, если определена связь. Для любого тензорного поля точка с запятой (  ;) перед нижним (ковариантным) индексом указывает на ковариантное дифференцирование. Менее распространенные альтернативы точке с запятой включают косую черту ( /) или в трехмерном искривленном пространстве одну вертикальную черту (  | ).

Ковариантная производная скалярной функции, контравариантного вектора и ковариантного вектора:

${\ displaystyle f _ {; \ beta} = f _ {, \ beta}}$

${\ displaystyle A ^ {\ alpha} {} _ {; \ beta} = A ^ {\ alpha} {} _ {, \ beta} + \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta} A ^ {\ gamma}}$

${\ Displaystyle A _ {\ alpha; \ beta} = A _ {\ alpha, \ beta} - \ Gamma ^ {\ gamma} {} _ {\ alpha \ beta} A _ {\ gamma} \,,}$

где Γ ^αγβ - коэффициенты связности.

Для произвольного тензора:

${\ displaystyle {\ begin {align} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma} amp; \\ = T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}, \ gamma} amp; + \, \ Gamma ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {\ delta \ gamma} T ^ {\ delta \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} + \ cdots + \ Gamma ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {\ delta \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ amp; - \, \ Gamma ^ {\ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma} T ^ { \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ delta \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots - \ Gamma ^ {\ delta} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ delta } \,. \ end {выровнено}}}$

Альтернативным обозначением ковариантной производной любого тензора является индексируемый символ набла ∇ β. Для случая векторного поля A ^α:

${\ displaystyle \ nabla _ {\ beta} A ^ {\ alpha} = A ^ {\ alpha} {} _ {; \ beta} \,.}$

Ковариантная формулировка производной по направлению любого тензорного поля вдоль вектора v ^γ может быть выражена как ее сокращение с ковариантной производной, например:

${\ displaystyle v ^ {\ gamma} A _ {\ alpha; \ gamma} \,.}$

Компоненты этой производной тензорного поля преобразуются ковариантно и, следовательно, образуют другое тензорное поле, несмотря на то, что подвыражения (частная производная и коэффициенты связи) по отдельности не преобразуются ковариантно.

Эта производная характеризуется правилом произведения:

${\ displaystyle (A ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots} B ^ {\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots}) _ {; \ epsilon} = A ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots; \ epsilon} B ^ {\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots} + A ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots} B ^ {\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots; \ epsilon} \,.}$

Типы подключения

Связь косит на касательном расслоении в виде дифференцируемого многообразия называется аффинной связностью.

Связность - это метрическая связность, когда ковариантная производная метрического тензора обращается в нуль:

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu; \ xi} = 0 \,.}$

Аффинная связность, которая также метрическую связность называется риманова связность. Риманова связность без кручения (т. Е. Для которой тензор кручения обращается в нуль: T ^αβγ = 0) является связностью Леви-Чивиты.

В Г ^аβγ для связности Леви-Чивита в координатном базисе называются символы Кристоффеля второго рода.

Внешняя производная

Внешняя производная тензорного поля полностью антисимметричного типа (0, s) с компонентами A α 1 ⋅⋅⋅ α s (также называемая дифференциальной формой ) является производной, ковариантной относительно преобразований базиса. Он не зависит ни от метрического тензора, ни от связности: для него требуется только структура дифференцируемого многообразия. В координатном базисе это может быть выражено как антисимметризация частных производных компонент тензора:

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ gamma \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {[\ gamma}}} A _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}]},}$

что эквивалентно

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s} \ gamma} = A _ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}, \ гамма]}.}$

Эта производная не определена ни на каком тензорном поле с контравариантными индексами или не является полностью антисимметричным. Для него характерно правило градуированного продукта.

Производная Ли

Производная Ли - еще одна производная, ковариантная относительно преобразований базиса. Как и внешняя производная, она не зависит ни от метрического тензора, ни от связности. Производная Ли тензорного поля T типа ( r, s) вдоль (потока) контравариантного векторного поля X ^ρ может быть выражена с использованием координатного базиса как

${\ displaystyle {\ begin {align} ({\ mathcal {L}} _ {X} T) ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} amp; \\ = X ^ {\ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ бета _ {s}, \ gamma} amp; - \, X ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {, \ gamma} T ^ {\ gamma \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r} } {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots -X ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {, \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1 } \ cdots \ alpha _ {r-1} \ gamma} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ amp; + \, X ^ {\ gamma} {} _ {, \ beta _ {1}} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ gamma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} + \ cdots + X ^ {\ gamma} {} _ {, \ beta _ {s}} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ gamma} \,. \ end {align}}}$

Эта производная характеризуется правилом произведения и тем, что производная Ли контравариантного векторного поля вдоль себя равна нулю:

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} X) ^ {\ rho} = X ^ {\ gamma} X ^ {\ alpha} {} _ {, \ gamma} -X ^ {\ alpha} {} _ {, \ gamma} X ^ {\ gamma} = 0 \,.}$

Известные тензоры

Дельта Кронекера

Дельта Кронекера подобна единичной матрице при умножении и сжатии:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha} \, A ^ {\ beta} amp; = A ^ {\ alpha} \\\ delta _ {\ nu} ^ {\ mu } \, B _ {\ mu} amp; = B _ {\ nu}. \ End {align}}}$

Компоненты δ^α _{βодни и те же в любом базисе и образуют инвариантную тензор типа (1, 1), т.е. идентичности касательного расслоения над тождественным отображением на базовом многообразии, и поэтому ее след является инвариантом. Его след - размерность пространства; например, в четырехмерном пространстве - времени,}

${\ displaystyle \ delta _ {\ rho} ^ {\ rho} = \ delta _ {0} ^ {0} + \ delta _ {1} ^ {1} + \ delta _ {2} ^ {2} + \ дельта _ {3} ^ {3} = 4.}$

Дельта Кронекера - одна из семейства обобщенных дельт Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера степени 2 p может быть определена в терминах дельты Кронекера следующим образом (общее определение включает дополнительный множитель p ! Справа):

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} = \ delta _ {\ beta _ {1} } ^ {[\ alpha _ {1}} \ cdots \ delta _ {\ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {p}]},}$

и действует как антисимметризатор по индексам p:

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} \, A ^ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} = A ^ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}]}.}$

Тензор кручения

Аффинная связность имеет тензор кручения T ^αβγ:

${\ Displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} - \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta} - \ gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma},}$

где γ ^αβγ задаются компонентами скобки Ли локального базиса, которые обращаются в нуль, когда он является координатным базисом.

Для связности Леви-Чивиты этот тензор определяется равным нулю, что для координатного базиса дает уравнения

${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta}.}$

Тензор кривизны Римана

Если этот тензор определяется как

${\ Displaystyle R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma, \ mu} - \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ sigma, \ nu} + \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma} - \ Gamma ^ {\ rho } {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma} \,,}$

то это коммутатор ковариантной производной с самой собой:

${\ Displaystyle A _ {\ nu; \ rho \ sigma} -A _ {\ nu; \ sigma \ rho} = A _ {\ beta} R ^ {\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} \,, }$

поскольку связность без кручения, значит, тензор кручения обращается в нуль.

Это можно обобщить, чтобы получить коммутатор для двух ковариантных производных произвольного тензора следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma \ delta } amp; - T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ delta \ gamma} \\ amp; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = - R ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T ^ {\ rho \ alpha _ { 2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots -R ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ rho} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ amp; + R ^ {\ sigma} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ sigma \ beta _ {2 } \ cdots \ beta _ {s}} + \ cdots + R ^ {\ sigma} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ { r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ sigma} \, \ end {align}}}$

которые часто называют тождествами Риччи.

Метрический тензор

Метрический тензор g αβ используется для понижения индексов и дает длину любой пространственно-подобной кривой

${\ displaystyle {\ text {length}} = \ int _ {y_ {1}} ^ {y_ {2}} {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} { d \ gamma}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \,,}$

где γ - любая гладкая строго монотонная параметризация пути. Он также дает продолжительность любой временной кривой.

${\ displaystyle {\ text {duration}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {-1} {c ^ {2}}} g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ gamma}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \,,}$

где γ - любая гладкая строго монотонная параметризация траектории. См. Также элемент Line.

Обратная матрица г ^αβ метрического тензора является еще одним важным тензором, используемым для повышения показателей:

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha} \,.}$

Смотрите также

• Обозначение абстрактного индекса
• Связь
• Внешняя алгебра
• Дифференциальная форма
• Звездный оператор Ходжа
• Голономная основа
• Метрический тензор
• Графическое обозначение Пенроуза
• Исчисление Редже
• Разложение Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Тензорное исчисление
• Тензорное поле

Примечания

использованная литература

Источники

• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN   0-486-64039-6
• Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2 / е изд.). Вествью (Персей). ISBN   978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN   1-4020-1015-X.
• Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Дувр. ISBN   978-0-486-65840-7.
• К. Мёллер (1952), Теория относительности (3-е изд.), Oxford University Press
• Synge JL; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. первое издание Dover Publications 1978 года. ISBN   978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, Longman, ISBN   0-582-44355-5
• DC Kay (1988), тензорное исчисление, контуры Шаума, McGraw Hill (США), ISBN   0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN   978-1107-602601