Редукционная группа

редактировать

В математике редуктивная группа является типом линейной алгебраической группой над полем . Одно определение состоит в том, что связная линейная алгебраическая группа G над является совершенным полем является редуктивной, если она имеет представление с конечным ядром, которое является прямым суммой из неприводимых представлений. Редуктивные группы включают некоторые из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL (n) обратимых матриц, специальная ортогональная группа SO (n) и симплектическая группа Sp (2n). Простые алгебраические группы и (в более общем смысле) полупростые алгебраические группы редуктивны.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова для любой алгебраически замкнутого поля. В частности, простые алгебраические группы классифицируются по диаграммам Дынкина, как в теории компактных групп Ли или сложных полупростых алгебр Ли. Редуктивные группы над произвольным полем труднее классифицировать, но для многих полей, таких как вещественные числа Rили числовое поле, классификация хорошо понятна. Классификация конечных простых групп гласит, что большинство конечных простых групп возникает как группа G (k) из k- рациональных точек простой алгебраической группы G над конечным полем k, или как второстепенные варианты этой конструкции.

Редуктивные группы обладают богатой теорией <представления98>в различных контекстах. Во-первых, можно изучить представление редуктивной группы G над полем k как алгебраической группы, которые являются действиями группы G на k-векторных пространствах. Но также можно изучать комплексные представления группы G (k), когда k - конечное поле, или бесконечномерные унитарные представления вещественной редуктивной группы, или автоморфные представления адельной алгебраической группы. Во всех этих областях используется структурная теория редуктивных групп.

Содержание

1 Определения
- 1.1 С унипотентным радикалом
- 1.2 С теорией представлений
- 1.3 Простые восстановительные группы
- 1.4 Расщепляюще-восстановительные группы
2 Примеры
- 2.1 GL n и SL n
- 2.2 O (n), SO (n) и Sp (n)
- 2.3 Tori
- 2.4 Непримеры
  - 2.4.1 Ассоциированная восстановительная группа
3 Другие характеристики редуктивных групп
4 Корни
5 Параболические подгруппы
6 Классификация расщепленных редуктивных групп
7 Схемы редуктивных групп
8 Действительные редуктивные группы
9 Представления редуктивных групп
10 Неразрывные редуктивные группы
11 Структура полупростых групп как абстрактных групп
12 Решетки и арифметические группы
13 Действие Галуа на диаграмме Дынкина
14 Торсоры и принцип Хассе
15 См. Также
16 Примечания
17 Ссылки
18 Внешние ссылки

Определения

A линейная алгебраическая группа над полем k определяется как сглаженная закрытая схема подгрупп группы GL (n) над k для некоторого натурального числа n. Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k - это гладкая аффинная групповая схема над k.

С унипотентным радикалом

A состав линейной алгебраической группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ над алгебраически замкнутым полем называется полупростой, если гладко связная solvable нормальная подгруппа из $G {\ displaystyle G}$ $G$ тривиальна. В более общем смысле связная линейная алгебраическая группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если наибольшая гладко связная унипотентная нормальная подгруппа $G {\ displaystyle G}$ $G$ тривиальна. Эта нормальная подгруппа называется унипотентным радикалом и обозначается $R u (G) {\ displaystyle R_ {u} (G)}$ $R_{u}(G)$ . (Некоторые группы не требуют, чтобы редуктивные были связаны.) Группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если изменение базы $G k ¯ {\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$ $G_{\overline {k}}$ является полупростым или редуктивным, где $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ - это алгебраическое замыкание числа k. (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k совершенно.) Любой тор над k, такой как мультипликативная группа Gm, является редуктивным.

Теория представлений

Другое эквивалентное определение редуктивной группы - это связная группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ , допускающая точное полупростое представление, которое остается полупростым над его алгебраическим замыкание $kal {\ displaystyle k ^ {al}}$ $k^{al}$ .

Простые редуктивные группы

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k- простой ), если она полупроста, нетривиальна и каждая гладкая связная нормальная подгруппа группы G тривиальна или равна G. (авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии. для абстрактных групп: простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не меньше 2 и любой поля k группа SL (n) над k проста, а ее центр - это групповая схема μ n корней n-й степени из единицы.

A центральная изогения редуктивных групп - это сюръективный гомоморфизм с ядром конечной схемы центральной подгруппы. Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведений тора и некоторых простых простых. Например, над любым полем k

G L (n) ≅ (G m × S L (n)) / μ n. {\ displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n)) / \ mu _ {n}.}

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Немного неудобно, что определение редуктивной группы над полем включает переход к алгебраическому замыканию. Для совершенного поля этого можно избежать: линейная алгебраическая группа G над k редуктивна тогда и только тогда, когда каждая гладкая связная унипотентная нормальная k-подгруппа группы G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу, которая является несколько более общей.

Разделительно-редуктивные группы

Редуктивная группа G над полем k называется разделенной, если она содержит расщепленный максимальный тор T над k (то есть расщепляемый тор в G, основание которого изменяется на $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ , является максимальным тором в $G k ¯ {\ displaystyle G_ {\ overline {k }}}$ $G_{\overline {k}}$ ). Это эквивалентно тому, что T - расщепляемый тор в G, который является максимальным среди всех k-торов в G. Эти типы групп полезны, потому что их классификация может быть описана с помощью комбинаторных данных, называемых корневыми данными.

Примеры

GLnи SL n
Фундаментальным примером редуктивной группы является общая линейная группа $GL n {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ ${\text{GL}}_{n}$ обратимых матриц размера n × n над полем k для натурального числа n. В частности, мультипликативная группа Gm- это группа GL (1), и поэтому ее группа G m (k) k-рациональных точек является группой k * ненулевых k элементов при умножении. Другая редуктивная группа - это специальная линейная группа SL (n) над полем k, подгруппа матриц с детерминантом 1. Фактически, SL (n) является простой алгебраической группой для не менее 2.

O (n), SO (n) и Sp (n)

Важной простой группой является симплектическая группа Sp (2n) над полем k, подгруппа в GL (2n), которая сохраняет невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве k. Точно так же ортогональная группа O (q) является подгруппой общей линейной группы, которая сохраняет невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k. Алгебраическая группа O (q) имеет две компоненты связности, а ее единичный компонент SO (q) является редуктивной, фактически просто для q размерности не менее 3. (Для k характеристик 2 и Простую группу SO (q) всегда можно определить как максимальную гладкую связную подгруппу в O (q) над k.) Когда k алгебраически замкнуто, любые две (рожденные) квадратичные формы одной размерности изоморфны, и поэтому разумно назвать эту группу SO (n). Для общего поля k различные квадратичные формы могут дать неизоморфные простые группы SO (q) над k, хотя все они имеют одинаковую замену базы на алгебраическое замыкание $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ .

Тори

Группа $G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ $\mathbb {G} _{m}$ и ее продукты называются алгебраические торы. Они являются примерами редуктивных групп, поскольку они встраиваются в $GL n {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ ${\text{GL}}_{n}$ по диагонали, и из этого представления их унипотентный радикал является тривиальным. Например, $G m × G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} \ times \ mathbb {G} _ {m}}$ $\mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}$ внедряется в $GL 2 {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {2}}$ ${\text{GL}}_{2}$ с карты

$(a 1, a 2) ↦ [a 1 0 0 a 2] {\ displaystyle (a_ {1}, a_ { 2}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {1} 0 \\ 0 a_ {2} \ end {bmatrix}}}$ $(a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}0\\0a_{2}\end{bmatrix}}$

Непримеры

Любая унипотентная группа не редуктивным, поскольку его унипотентный радикал есть сам. Сюда входит аддитивная группа $G a {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ ${\mathbb {G}}_{a}$ .
Группа Бореля $B n {\ displaystyle B_ {n}}$ $B_{n}$ из $GL n {\ displaystyle {\ text {GL}} _ {n}}$ ${\text{GL}}_{n}$ имеет нетривиальный унипотентный радикал $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} }$ $\mathbb {U} _{n}$ верхнетреугольных матриц с $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ по диагонали. Это пример нередуктивной группы с не унипотентной.

Ассоциированная редуктивная группа

Обратите внимание, что нормальность унипотентного радикала $R u (G) {\ displaystyle R_ {u} (G)}$ $R_{u}(G)$ подразумевает, что фактор-группа $G / R u (G) {\ displaystyle G / R_ {u} (G)}$ $G/R_{u}(G)$ является редуктивной. Например,

$B n / (R u (B n)) ≅ ∏ i = 1 n G m {\ displaystyle B_ {n} / (R_ {u} (B_ {n})) \ cong \ prod _ { i = 1} ^ {n} \ mathbb {G} _ {m}}$ $B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}$

Другие характеристики редуктивных групп

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию, т. е. комплексная редуктивная алгебраическая группа. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами и комплексными редуктивными ограничениями с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с комплексификацией G включение из K в комплексную редуктивную группу G (C ) является гомотопической эквивалентностью относительно классической топологии на G (С ). Например, включение из унитарной группы U (n) в GL (n, C ) является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы G над полем характеристики ноль все конечные представления G (как алгебраической группы) полностью приводимы, т. Е. они предоставляют собой прямые суммы неприводимых представлений. Отсюда и название «редуктивный». Заметим, однако, полная сводка выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (кроме торов). Более подробно: аффинная групповая схема G конечного типа над полем k называется линейно редуктивной, если ее конечные представления полностью приводимы. Для k характеристики нуль G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единица G группы G редуктивна. Однако для k характеристик p>0 Масаёши Нагата показал, что G имеет мультипликативный тип и G / G имеет порядок, простой с p.

Корни

Класс редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной основной системы, как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как появляются корни редуктивных групп.

Пусть G - расщепляемая редуктивная группа над полем k, и пусть T - расщепляемый максимальный тор в G; поэтому T изоморфен (G m) для некоторого n, причем n называется ранг группы G. Каждое представление T (как алгебраическая группа) является прямой суммой 1- размерные представления. weight для G означает класс изоморфизма одномерных представлений T или, что эквивалентно, гомоморфизм T → G m. Веса образуют группу X (T) под тензорным произведением представлений, причем X (T) изоморфен произведению копий целых чисел, Z.

присоединенное представление - это действие группы G путем путемряжения на ее алгебре Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . корень из G означает ненулевой вес, который возникает при действии T ⊂ G на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ . Подпространство $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ , соответствующее каждому корню, является одномерным, подпространство $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\mathfrak {g}}$ , фиксированная с помощью T, точность в точности алгеброй Ли $t {\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ ${\mathfrak {t}}$ алгебры T. Следовательно, алгебра Ли группы G разлагается на $t {\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ ${\mathfrak {t}}$ вместе с одномерными подпространствами, индексируемыми набором корней Φ:

g = t ⊕ ⨁ α ∈ Φ g α. {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Например, когда G - группа GL (n), ее алгебра Ли $gl (n) {\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ является векторным пространством всех n × n матриц над k. Пусть T будет подгруппой диагональных матриц в G. Тогда разложение корневого пространства выражает $gl (n) {\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ как прямая сумма диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных недиагональных позиций (i, j). Если записать L 1,..., L n для стандартного базиса весовой решетки X (T) ≅ Z, корнями будут элементы L i - L j для всех i ≠ j от 1 до n.

Корни полупростой группы образуют корневую систему ; это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. В более общем смысле, корни редуктивной образуют корневую точку, небольшую вариацию. Группа Вейля редуктивной группы G означает фактор-группу нормализатора Размер тора на тор, W = N Г ( Т) / Т. Группа Вейля фактически является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL (n) (или SL (n)) группа Вейля - это симметрическая группа Sn.

. Существует конечное число борелевских подгрупп, используемых данный максимальный тор, и они переставляются просто транзитивно группой Вейля (действующей посредством сопряжения ). Выбор борелевской подгруппы определяет набор положительных корней Φ ⊂ Φ, обладающих тем своим, что Φ является несвязным объединением Φ и −Φ. Явно алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли T и пространств положительных корней:

b = t ⊕ ⨁ α ∈ Φ + g α. {\ displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {t}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi ^ {+}} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}.}

{\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Например, если B - подгруппа Бореля верхнетреугольных матриц в GL (n), то это очевидное разложение подпространства $b {\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\mathfrak b}$ верхнетреугольных матриц в $gl (п) {\ displaystyle {{\ mathfrak {g}} l} (n)}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ . Положительные корни: L i - L j для 1 ≤ i < j ≤ n.

A простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух других положительных корней. Напишите Δ для обозначения множества простых корней. Число простых корней r равно рангу коммутаторной подгруппы группы G, называемой полупростым рангом группы G (который является просто рангом G, если G полупроста). Например, простые корни для GL (n) (или SL (n)): L i - L i + 1 для 1 ≤ i ≤ n - 1.

Корневые системы классифицимой создают диаграмму Дынкина, которая представляет собой конечный граф (с некоторыми направленными или краткими ребрами). Множество вершин диаграммы Дынкина - это множество простых корней. Короче говоря, диаграмма Дынки корнями углы между простыми и их относительными длинами относительно инвариантного для группы Вейля внутреннего произведения на решетке весов. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие группам) изображены ниже.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k важным моментом, что корень α определяет не только одномерное подпространство алгебры Ли группы G, но также копию аддитивной группы G a в G с данной алгеброй Ли, называемой основная подгруппой Uα. Корневая подгруппа - это единственная копия аддитивной группы в G, которая нормализована на T и которая имеет алгебру Ли. Вся группа G порождается (как алгебраическая группа) T и корневыми подгруппами, тогда как подгруппа Бореля B порождается T и положительными корневыми подгруппами. Фактически, расщепляемая полупростая группа G порождается только корневыми подгруппами.

Параболические подгруппы

Для расщепленной редуктивной группы G над полем k гладкие связные подгруппы группы G, содержащиеся борелевскую подгруппу B группы G, находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножества простых чисел Δ (или, что то же самое, подмножества множества вершин диаграммы Дынкина). Пусть r - порядок Δ, полупростой ранг группы G. Каждая параболическая подгруппа группы G сопряжена с подгруппой, состав B, некоторым элементам из G (л). В результате в G имеется ровно 2 класса сопряженных параболических подгрупп над k. Явно параболическая подгруппа, соответствующая данной подмножеству S в Δ, является группой, порожденной B вместе с корневыми подгруппами U −α для α в S. Например, параболические подгруппы в GL (n), которые содержат борелевскую подгруппу B выше - это группы обратимых матриц с нулевыми элементами ниже заданного набора квадратов по диагонали, например:

{[* * * * * * * * 0 0 * * 0 0 0 *]} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * * * * \\ * * * * \\ 0 0 * * \\ 0 0 0 * \ end {bmatrix}} \ right \} }

\left\{{\begin{bmatrix}****\\****\\00**\\000*\end{bmatrix}}\right\}

По определению параболическая подгруппа P редуктивной группы G над полем k является гладкой k-подгруппой, такой что фактормногообразие G / P правильное над k, или, что эквивалентно проективный над k. Таким образом, классификация параболических подгрупп сводится к классификации проективных однородных многообразий для G (с гладкой стабилизирующей группой; это не ограничение для k нулевой характеристики). Для GL (n) это разновидности флагов, параметризующие последовательности линейных подпространств заданных размеров a 1,..., a i, содержащихся в фиксированное векторное пространство V размерности n:

0 ⊂ S a 1 ⊂ ⋯ ⊂ S ai ⊂ V. {\ displaystyle 0 \ subset S_ {a_ {1}} \ subset \ cdots \ subset S_ {a_ {i}} \ subset V.}

0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют аналогичные описание как разновидности изотропных флагов относительно данной квадратичной или симплектической формы. Для любой редуктивной группы G с борелевской подгруппой B группа G / B называется многообразием флагов или многообразием флагов группы G.

Классификация расщепленных редуктивных групп

Связные диаграммы Дынкина

Шевалле показал в 1958 г., что редуктивные группы надлюбым алгебраически замкнутым полем классифицирует с точностью до изоморфизма по корневым данным. В частности, полупростые группы над алгебраически замкнутым полем классифицируют с точностью до центральных изогений по их диаграмме Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. Таким образом, существуют простые группы типов A n, B n, C n, D n, E 6, E 7, E 8, F 4, G 2. Этот результат по существу идентичен классификациям групп или комплекс полупростых алгебр Ли, которым Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В частности, размеры, центры и другие свойства простых алгебраических групп могут быть прочитаны из списка простых групп Ли. Примечательно, что классификация редуктивных групп не зависит от характеристик. Для сравнения: простых алгебр Ли в положительной характеристике намного больше, чем в нулевой.

исключительные группы G типа G 2 и E 6 были сконструированы ранее, по крайней мере, в форме абстрактной группы G (k), автор Л. Э. Диксон. Например, группа G 2 является группой автоморфизмов алгебры октонионов над k. Напротив, группы Шевалле типа F 4, E 7, E 8 над полем положительной характеристики были совершенно новыми.

В общем, классификация разделенных редуктивных групп одинакова для любого поля. Полупростая группа G над полем k называется односвязной, если всякая центральная изогения полупростой группы в G является изоморфизмом. (Для G полупроста над комплексными числами, односвязность в этом смысле эквивалентна тому, что G (C ) является односвязным в классической топологии.) Классификация Шевалле дает это по любому В поле k существует единственная односвязная расщепленная полупростая группа G с заданной диаграммой Дынкина, простые группы соответствуют связным диаграммам. С другой стороны, полупростая группа имеет присоединенный тип, если ее центр тривиален. Расщепленные полупростые группы над заданной диаграммой Дынкина - это в точности группы G / A, где G - односвязная группа, а A - схема k-подгрупп центра группы G.

, например, просто связные расщепленные простые группы над полем k, соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина, следующие:

An: SL (n + 1) над k;
Bn: спиновая группа Spin (2n + 1), связанная с квадратичной размерностью 2n + 1 k с индексом Витта n, например, форма

q (x 1,…, X 2 n + 1) = x 1 x 2 + Икс 3 Икс 4 + ⋯ + Икс 2 N - 1 Икс 2 N + Икс 2 N + 1 2; {\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n + 1}) = x_ {1} x_ {2} + x_ {3} x_ {4} + \ cdots + x_ {2n-1} x_ { 2n} + x_ {2n + 1} ^ {2};}

q(x_{1},\ldots,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};

Cn: симплектическая группа Sp (2n) над k;
Dn: спиновая группа Spin (2n), ассоциированная с квадратичной формой размерности 2n над k индексом Витта n, который можно записать как:

q (x 1,…, x 2 n) = x 1 x 2 + x 3 x 4 + ⋯ + x 2 n - 1 x 2 n. {\ displaystyle q (x_ {1}, \ ldots, x_ {2n}) = x_ {1} x_ {2} + x_ {3} x_ {4} + \ cdots + x_ {2n-1} x_ {2n}.}

q(x_{1},\ldots,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.

Группа внешних автоморфизмов расщепляемой редуктивной группы G над полем k изоморфна группа автоморфизмов корневых данных G. Более того, группа автоморфизмов G расщепляется как полупрямое произведение :

Aut ⁡ (G) ≅ Выход ⁡ (G) ⋉ (G / Z) (к), {\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G) \ cong \ operatorname {Out} (G) \ ltimes (G / Z) (k),}

\operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),

где Z - центр группы G. Для расщепленной полупростой односвязной группы G над полем группа внешних автоморфизмов группы G имеет более простое описание: это группа автоморфизмов группы диаграмма Дынкина G.

Редуктивные групповые схемы

Групповая схема G над схемой S называется редуктивной, если морфизм G → S гладкий и аффинно, и каждое геометрическое волокно $G k ¯ {\ displaystyle G _ {\ overline {k} }}$ $G_{\overline {k}}$ редуктивно. (Для точки p в S соответствующий геометрический слой означает замену базы G на алгебраическое замыкание $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ поля вычетов p.) Расширяя работу Шевалле, Мишель Демазюр и Гротендик показывают, что схемы разделенных редуктивных групп по любой непустой схеме S классифицируются по корневым данным. Это включает наличие групп Шевалле как групповых схем над Z и говорит, что каждая расщепляемая редуктивная группа над схемой S изоморфна замене базы группы Шевалле из Z к S.

Действительные редуктивные группы

В контексте групп Ли, а не алгебраических групп, действительная редуктивная группа является группой Ли G такая, что существует линейная алгебраическая группа L над R, компонента идентичности которой (в топологии Зарисского ) редуктивна, и гомоморфизм G → L (R ) ядро которого конечно, а образ открыт в L (R ) (в классической топологии). Также предполагать, что образец присоединенного представления Ad (G) стандарт содержит Int (g C) = Ad (L (C )) (что является автоматическим для G связного).

В особенности, любая связная полупростая группа Ли (то есть ее алгебра Ли полупроста) редуктивна. Кроме того, группа Ли R является редуктивной в этом смысле, поскольку ее можно рассматривать как компонент идентичности GL (1, R ) ≅ R *. Проблема классификации реальных редуктивных групп в классификации классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их диаграмме Сатаке ; или можно просто сослаться на список простых групп Ли (с точностью до конечных покрытий).

Полезные теории допустимых представлений и унитарных представлений были разработаны для реальных редуктивных групп в этой общности. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем фактом, что алгебраическая группа G над R может быть связана как алгебраическая группа, тогда как группа Ли G (R ) не связана, как и для односвязных групп.

Например, проективная линейная группа PGL (2) как алгебраическая группа над любым полем, но ее группа вещественных точек PGL (2, R ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности PGL (2, R ) (иногда называемый PSL (2, R )) - это реальная редуктивная группа, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. Аналогично, SL (2) односвязна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z, и поэтому SL (2, R ) имеет нетривиальные покрывающие пробелы. По определению все конечные покрытия SL (2, R ) (такие как метаплектическая группа ) являются действующими редуктивными группами. С другой стороны, универсальное покрытие SL (2, R ) не реальной редуктивной группой, даже если ее алгебра Ли редуктивная, т. Е., произведение полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли.

Для связной вещественной редуктивной группы G / K группы G по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически, таким образом возникает любое симметрическое пространство некомпактного типа. Это центральные примеры в римановой геометрии многообразий с неположительной секционной кривизной. Например, SL (2, R ) / SO (2) - это гиперболическая плоскость, а SL (2, C ) / SU (2) - это гиперболическое 3-пространство.

Для редуктивной группы G над полем k, которое завершено относительно дискретной оценки (например, p-адических чисел Qp), аффинная постройка X группы G играет роль симметричного пространства. А именно, X является симплициальным комплексом с помощью G (k), а G (k) сохраняет метрику CAT (0) на X, аналог метрики с неположительными кривизна. Размер аффинного построения - это k-ранг группы G., построение SL (2, Qp) - это .

Представления дерево редуктивных групп

Для расщепления редуктивной группы G над полем k неприводимые представления группы G (как алгебраической группы) параметры доминантными весами, которые определяют как пересечение весовой решетки X (T) ≅ Z с выпуклым конусом (a камера Вейля ) в Р . В частности, эта параметризация не зависит от характеристик k. Более подробно фиксируем расщепляемый максимальный тор и борелевскую подгруппу, T ⊂ B ⊂ G. Тогда B полупрямым произведением T является гладкой связнойпотентной подгруппой U. Определим вектор старшего веса в представлении V группы G над k должен быть ненулевым вектором v, таким что B отображает прямую, натянутую на v, в себя. Тогда B действует на этой прямой через свою фактор-группу T по некоторому элементу λ решетки весов X (T). Шевалле показал, что каждое из представлений группы G имеет уникальный вектор веса с точностью до скаляров; соответствующий «старший вес» λ является доминирующим; и каждый доминантный вес является весомым единственного неприводимого представления L (λ) группы G с точностью до изоморфизма.

Остается проблема описания неприводимого представления с заданным старшим весом. Для k нулевой характеристики есть практически полные ответы. Для доминантного веса λ определим модуль Шура ∇ (λ) как k-новое пространство секций G-эквивариантного линейного расслоения на множестве флагов G / B, ассоциированном с λ; это представление группы G. Для характеристик нуль теорема Бореля - Вейля утверждает, что неприводимое представление L (λ) изоморфно модулю Шура ∇ (λ). Кроме того, формула символа Вейля дает символ (и, в частности, размерность) этого представления.

Для расщепленной редуктивной группы G над полем k положительной характеристикой ситуации более тонкая, потому что представление G обычно не являются прямыми суммами неприводимых. Для доминантного веса неприводимое представление L (λ) является основным подмодулем (цоколем ) модуля Шура ∇ (λ), но оно не обязательно должно быть одинаково модулю Шура. Размер и характер модуля Шура задаются формулой характера Вейля (как в нулевой характеристике) Джорджем Кемпфом. Размерности и характеры неприводимых представлений L (λ), как правило, неизвестны, хотя для анализа этих представлений была предоставлена большая часть теории. Одним из важных результатов является то, что размер и характер L (λ) известны, когда характеристика p для k намного больше, чем число Кокстера G, по Henning Andersen, Йенс Янцен и Вольфганг Зёргель (доказывая в этом случае гипотезу Люстига ). Их формула характера для p big основана на многочленах Каждана - Люстига, которые являются комбинаторно сложными. Для любого простого p Саймон Рич и Джорди Уильямсон предположили неприводимые характеры редуктивной группы в терминах полиномов p-Каждана-Люстига, которые еще более сложны, но, по крайней мере, вычислимы.

Неразделимые редуктивные группы

Как обсуждалось выше, классификация разделенных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Вот некоторые примеры из классических групп :

Каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G = SO (q). Здесь G прост, если q имеет размерность n не менее 3, поскольку $G k ¯ {\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$ $G_{\overline {k}}$ изоморфен SO (n) над алгебраическим замыканием $к ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ . K-ранг группы G равен индексу Витта числа q (максимальная размерность изотропного подпространства над k). Таким образом, простая группа G разбивается над k тогда и только тогда, когда q имеет максимально возможный индекс Витта, $⌊ n / 2 ⌋ {\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}$ $\lfloor n/2\rfloor$ .
Каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу G = SL (1, A), ядро приведенной нормы на группе единиц A * (как алгебраическая группа над к). степень числа A означает квадратный корень из размерности A как k-векторного пространства. Здесь G прост, если A имеет степень n не менее 2, поскольку $G k ¯ {\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$ $G_{\overline {k}}$ изоморфен SL (n) по $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\overline {k}}$ . Если A имеет индекс r (что означает, что A изоморфна матричной алгебре M n / r (D) для алгебры с делением D степени r над k), то k- ранг группы G равен (n / r) - 1. Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда A - матричная алгебра над k.

В результате проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает проблема классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k. Эти проблемы легко решить для алгебраически замкнутых k, и они понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей есть много открытых вопросов.

Редуктивная группа над полем k называется изотропной, если она имеет k-ранг больше 0 (то есть, если она содержит нетривиальный расщепленный тор), и в противном случае анизотропной . Для полупростой группы G над полем k следующие условия эквивалентны:

G изотропна (то есть G содержит копию мультипликативной группы G m над k);
G содержит параболическую подгруппу над k, не равную G;
G содержит копию аддитивной группы G a над k.

Для k perfect это также эквивалентно чтобы сказать, что G (k) содержит унипотентный элемент, отличный от 1.

Для связной линейной алгебраической группы G над локальным полем k нулевой характеристики (например, действительные числа), группа G (k) компактна в классической топологии (основанной на топологии k) тогда и только тогда, когда G редуктивна и анизотропна. Пример: ортогональная группа SO (p, q) над R имеет действительный ранг min (p, q), и поэтому она анизотропна тогда и только тогда, когда p или q равны нулю.

Редуктивная группа G над полем k называется квази-расщеплением, если она содержит борелевскую подгруппу над k. Расщепленная редуктивная группа является квазирасщепленной. Если G квазираспадна над k, то любые две борелевские подгруппы в G сопряжены некоторым элементом из G (k). Пример: ортогональная группа SO (p, q) над