Подгруппа коммутатора

редактировать

Наименьшая нормальная подгруппа, по которой частное является коммутативным

В математике, более конкретно в абстрактная алгебра, подгруппа коммутатора или производная подгруппа из группы - это подгруппа сгенерированная всеми коммутаторами группы.

Коммутаторная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа такая, что фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева. Другими словами, $G / N {\ displaystyle G / N}$ $G / N$ является абелевым тогда и только тогда, когда $N {\ displaystyle N}$ $N$ содержит коммутаторную подгруппу $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Так что в некотором смысле это дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутатор, тем «менее абелева» группа.

Содержание

1 Коммутаторы
2 Определение
- 2.1 Производная серия
- 2.2 Абелианизация
- 2.3 Классы групп
- 2.4 Идеальная группа
3 Примеры
- 3.1 Карта из Out
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Коммутаторы

Для элементов $g {\ displaystyle g}$ $g$ и $h {\ displaystyle h}$ $h$ группы G, коммутатор группы $g {\ displaystyle g}$ $g$ и $h { \ displaystyle h}$ $h$ равно $[g, h] = g - 1 h - 1 gh {\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$ ${\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$ . Коммутатор $[g, h] {\ displaystyle [g, h]}$ ${\ displaystyle [g, h]}$ равен элементу идентичности e тогда и только тогда, когда $gh = hg {\ displaystyle gh = hg}$ ${\ displaystyle gh = hg}$ , то есть тогда и только тогда, когда $g {\ displaystyle g}$ $g$ и $h {\ displaystyle h}$ $h$ ездить. В общем, $gh = hg [g, h] {\ displaystyle gh = hg [g, h]}$ ${\ displaystyle gh = hg [g, h]}$ .

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентное определение варианта для коммутатора, которое имеет обратные значения в правой части уравнения: $[g, h] = ghg - 1 h - 1 {\ displaystyle [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}}$ в этом случае $gh ≠ hg [g, h] {\ displaystyle gh \ neq hg [g, h]}$ ${\ displaystyle gh \ neq hg [g, h]}$ , но вместо этого $gh = [g, h] hg {\ displaystyle gh = [g, h] hg}$ ${\ displaystyle gh = [g, h] hg}$ .

Элемент G в форме $[g, h] {\ displaystyle [g, h]}$ ${\ displaystyle [g, h]}$ для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [e, e] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда G абелева.

Вот несколько простых, но полезных тождеств коммутатора, справедливых для любых элементов s, g, h группы G:

$[g, h] - 1 = [h, g], {\ displaystyle [ g, h] ^ {- 1} = [h, g],}$ ${\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g],}$
$[g, h] s = [gs, hs], {\ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ { s}, h ^ {s}],}$ ${\ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}],}$ где $gs = s - 1 gs {\ displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs}$ $g ^ {s} = s ^ {{- 1}} gs$ (или, соответственно, $gs = sgs - 1 {\ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$ ) - сопряженное $g {\ displaystyle g}$ $g$ на $s, {\ displaystyle s,}$ $s,$
для любого гомоморфизма $f: G → H {\ displaystyle f: G \ к H}$ ${\ displaystyle f: G \ to H}$ , $f ([g, h]) = [f (g), f (h)]. {\ displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)].}$ ${\ displaystyle f ( [g, h]) = [е (g), f (h)].}$

Из первого и второго тождеств следует, что набор коммутаторов в G замкнут относительно инверсия и спряжение. Если в третьем тождестве взять H = G, мы получим, что множество коммутаторов устойчиво при любом эндоморфизме группы G. Это фактически обобщение второго тождества, так как мы можем считать f равным спряжение автоморфизм на G, $x ↦ xs {\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}$ $x \ mapsto x ^ {s}$ , чтобы получить вторую идентичность.

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример - [a, b] [c, d] в свободной группе на a, b, c, d. Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; фактически есть две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством.

Определение

Это мотивирует определение коммутаторной подгруппы $[G, G] { \ displaystyle [G, G]}$ ${\ disp Laystyle [G, G]}$ (также называется производной подгруппой и обозначается $G '{\ displaystyle G'}$ $G'$ или $G (1) {\ displaystyle G ^ {(1)}}$ $G ^ {(1)}$ ) группы G: это подгруппа , порожденная всеми коммутаторами.

Из свойств коммутаторов следует, что любой элемент $[G, G] {\ displaystyle [G, G]}$ ${\ disp Laystyle [G, G]}$ имеет вид

[g 1, h 1] ⋯ [gn, hn] {\ displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]}

[g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]

для некоторого натурального числа $n {\ displaystyle n}$ $n$ , где g i и h i являются элементами G. Кроме того, поскольку для любого s в G мы иметь $([g 1, h 1] ⋯ [gn, hn]) s = [g 1 s, h 1 s] ⋯ [gns, hns] {\ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1} ] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ {s}] \ cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$ ${\ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ {s}] \ cdots [ g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}$ , коммутатор нормален в G. Для любого гомоморфизма f: G → H,

f ([g 1, h 1] ⋯ [gn, hn]) знак равно [е (g 1), f (час 1)] ⋯ [f (gn), f (hn)] {\ displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}

{\ displaysty ле f ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]}

так что $f ([G, G]) ≤ [H, H] {\ displaystyle f ([G, G]) \ leq [H, H]}$ $f ([ G, G]) \ leq [H, H]$ .

Это показывает, что коммутаторная подгруппа может быть рассматривается как функтор в категории групп, некоторые последствия которого исследуются ниже. Более того, взяв G = H, это показывает, что коммутатор стабильна относительно любого эндоморфизма группы G: то есть [G, G] является полностью характеристической подгруппой группы G, и это свойство значительно сильнее нормальности.

Коммутаторная подгруппа также может быть определена как набор элементов g группы, которые имеют выражение как произведение g = g 1g2... g k, которое можно переставить дать личность.

Производный ряд

Эту конструкцию можно повторить:

G (0): = G {\ displaystyle G ^ {(0)}: = G}

G ^ {{(0)}}: = G

G (n): = [G (n - 1), G (n - 1)] n ∈ N {\ displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n- 1)}] \ quad n \ in \ mathbf {N}}

G ^ {{(n)}}: = [G ^ {{(n-1)}}, G ^ {{(n-1) }}] \ quad n \ in {\ mathbf {N}}

Группы $G (2), G (3),… {\ displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, \ ldots}$ $G ^ {{(2)}}, G ^ {{(3)}}, \ ldots$ называются второй производной подгруппой, третьей производной подгруппой и т. д., и нисходящей нормальной серией

⋯ ◃ G (2) ◃ G (1) ◃ G (0) знак равно G {\ Displaystyle \ cdots \ треугольникleft G ^ {(2)} \ треугольникleft G ^ {(1)} \ треугольникleft G ^ {(0)} = G}

\ cdots \ треугольникleft G ^ {{(2)}} \ треугольникleft G ^ {{( 1)}} \ треугольникleft G ^ {{(0)}} = G

называется производной серией . Это не следует путать с нижним центральным рядом, члены которого имеют следующие термины: $G n: = [G n - 1, G] {\ displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}$ $G_ {n}: = [G _ {{n-1}}, G]$ .

Для конечной группы производный ряд заканчивается совершенной группой, которая может быть тривиальной, а может и нет. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно должен заканчиваться на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии, тем самым получив трансфинитный производный ряд, который в конечном итоге заканчивается на идеальном ядре группы.

Абелианизация

Для группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ , факторгруппа $G / N {\ displaystyle G / N}$ $G / N$ является абелевым тогда и только тогда, когда $[G, G] ≤ N {\ displaystyle [G, G] \ leq N}$ ${\ displaystyle [G, G] \ leq N}$ .

Частное $G / [G, G] {\ displaystyle G / [G, G]}$ ${\ displaystyle G / [G, G]}$ - это абелева группа, называемая абелианизацией группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ или $G {\ displaystyle G}$ $G$ превратился в абелев . Обычно он обозначается $G ab {\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$ $G ^ {{\ operatorname {ab}}}$ или $G ab {\ displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}$ ${\ displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}$ .

Имеется полезная категориальная интерпретация карты $φ: G → G ab {\ displaystyle \ varphi: G \ rightarrow G ^ {\ operatorname {ab}}}$ $\ varphi: G \ rightarrow G ^ {{\ operatorname {ab}}}$ . А именно $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ является универсальным для гомоморфизмов от $G {\ displaystyle G}$ $G$ до абелевой группы $H {\ displaystyle H}$ $H$ : для любой абелевой группы $H {\ displaystyle H}$ $H$ и гомоморфизма групп $f: G → H {\ displaystyle f: G \ to H}$ $f: G \ to H$ существует уникальный гомоморфизм $F: G ab → H {\ displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H}$ ${\ displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H}$ такой, что $f = F ∘ φ {\ Displaystyle F = F \ circ \ varphi}$ $f = F \ circ \ varphi$ . Как обычно для объектов, определенных универсальными свойствами отображения, это показывает уникальность абелианизации $G ab {\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$ $G ^ {{\ operatorname {ab}}}$ вплоть до канонического изоморфизма, тогда как явное построение $G → G / [G, G] {\ displaystyle G \ to G / [G, G]}$ ${\ displaystyle G \ to G / [G, G]}$ показывает существование.

Функтор абелианизации - это левый сопряженный функтор включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp → Abделает категорию Aba отражающей подкатегорией категории групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет сопряженный слева.

Еще одна важная интерпретация $G ab {\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}}$ $G ^ {{\ operatorname {ab}}}$ как $H 1 (G, Z) {\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z})}$ , первая группа гомологий из $G {\ displaystyle G}$ $G$ с целыми коэффициентами.

Классы групп

Группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ является абелевой группой если и только если производная группа тривиальна: [G, G] = {e}. Эквивалентно, если и только если группа равняется своей абелианизации. См. Выше определение абелианизации группы.

Группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе : [G, G] = G. Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.

Группа с $G (n) = {e} {\ displaystyle G ^ {(n)} = \ {e \}}$ $G^{{(n)}}=\{e\}$ для некоторого n в N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева, что имеет место n = 1.

Группа с $G (n) ≠ {e} {\ displaystyle G ^ {(n)} \ neq \ {e \ }}$ $G ^ {{(n)}} \ neq \ {e \}$ для всех n в N называется неразрешимой группой .

группой с $G (α) = {e} {\ displaystyle G ^ {(\ alpha)} = \ {e \}}$ $G ^ {{(\ alpha)}} = \ {e \}$ для некоторого порядкового числа, возможно, бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, в том случае, когда α конечно (натуральное число).

Совершенная группа

Всякий раз, когда группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ имеет производную подгруппу, равную самой себе, $G (1) = G {\ displaystyle G ^ {(1)} = G}$ ${\ displaystyle G ^ {(1)} = G}$ , она называется совершенной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы $SL n (k) {\ displaystyle {\ text {SL}} _ {n} (k)}$ ${\ displaystyle {\ text {SL}} _ {n} (k)}$ для фиксированного поля $k {\ displaystyle k}$ $к$ .

Примеры

Коммутаторная подгруппа любой абелевой группы тривиальна.
Коммутаторная подгруппа из общей линейной группы $GL n (k) {\ displaystyle GL_ {n} (k)}$ ${\ displaystyle GL_ {n} (k)}$ над полем или делительное кольцо k равно специальной линейной группе $SL n (k) {\ displaystyle SL_ {n} (k)}$ $SL_ {n} (k)$ при условии, что $n ≠ 2 {\ displaystyle n \ neq 2}$ ${\ displaystyle n \ neq 2}$ или k не является полем с двумя элементами.
Коммутаторная подгруппа чередующейся группы A4- это группа четырех Клейна.
Коммутаторная подгруппа симметрической группы Snявляется альтернированной группой An.
Коммутаторная подгруппа кватернионной группы Q = {1, −1, i, - i, j, −j, k, −k} равно [Q, Q] = {1, −1}.
Коммутаторная подгруппа фундаментальной g Группа π1(X) соединенного путями топологического пространства X является ядром естественного гомоморфизма на первую особую группу гомологий H1(X).

Карта из Out

Поскольку производная подгруппа является характеристикой, любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, поэтому получается отображение

Out (G) → Aut (G ab) {\ displaystyle {\ t_dv {Out}} (G) \ to {\ t_dv {Aut}} (G ^ {\ t_dv {ab}})}

{\ t_dv {Out}} (G) \ к {\ t_dv {Aut}} (G ^ {{{\ t_dv {ab}}}})

См. также

Решаемая группа
Нильпотентная группа
Абелианизация H / H 'подгруппы H < G of finite index (G: H) - это цель передачи Артина T (G, H).

Примечания

^Dummit Foote (2004)
^Lang (2002)
^Суарес-Альварес
^Фралей (1976, стр. 108)
^Супруненко Д.А. (1976), Матричные группы, Переводы математических монографий, Американское математическое общество, теорема II.9.4

Ссылки

Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley Sons, ISBN 0-471-43334-9
Fraleigh, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, Спрингер, ISBN 0-387-95385-X
Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы». CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]