Характеристическая подгруппа

подгруппа, сопоставленная самой себе под каждым автоморфизмом родительской группы

В математике, в частности в области абстрактной алгебры, известной как теория групп, характеристическая подгруппа - это подгруппа, которая отображается на себя каждым автоморфизм родительской группы. Поскольку каждая карта сопряжения является внутренним автоморфизмом, каждая характеристическая подгруппа нормальна ; хотя обратное не гарантируется. Примеры характеристических подгрупп включают в себя коммутаторную подгруппу и центр группы.

• 1 Определение
• 2 Понятия, связанные с данным
  • 2.1 Нормальная подгруппа
  • 2.2 Строго характеристическая подгруппа
  • 2.3 Полностью характеристическая подгруппа
  • 2.4 Вербальная подгруппа
• 3 Транзитивность
• 4 Контейнеры
• 5 Примеры
  • 5.1 Конечный пример
  • 5.2 Циклические группы
  • 5.3 Функторы подгрупп
  • 5.4 Топологические группы
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Подгруппа H группы G называется характеристической подгруппой, H char G, если для каждого автоморфизм φ группы G, φ [H] ≤ H, т.е. если каждый автоморфизм родительской группы отображает подгруппу внутри себя:

∀φ ∈ Aut (G) ： φ [H] ≤ H.

Дано H char G, любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм фактор-группы G / H, который дает отображение Aut (G) → Aut (G / H).

Если G имеет уникальную подгруппу H данного (конечного) индекса, то H является характеристикой в ​​G.

Нормальная подгруппа

Подгруппа группы H, инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов, называется нормальной ; также инвариантная подгруппа.

∀φ ∈ Inn (G) ： φ [H] ≤ H

Поскольку Inn (G) ⊆ Aut (G) и характеристическая подгруппа инвариантна относительно всех автоморфизмов, каждая характеристическая подгруппа нормальна. Однако не всякая нормальная подгруппа характерна. Вот несколько примеров:

• Пусть H - нетривиальная группа, и пусть G - прямое произведение, H × H. Тогда подгруппы {1} × H и H × {1} равны оба нормальные, но ни то, ни другое не характерно. В частности, ни одна из этих подгрупп не инвариантна относительно автоморфизма (x, y) → (y, x), который переключает два фактора.
• Для конкретного примера, пусть V будет Четырехгруппа Клейна (которая изоморфна прямому произведению, ℤ2 × ℤ 2). Поскольку эта группа абелева, каждая подгруппа нормальна; но каждая перестановка 3-х неединичных элементов является автоморфизмом V, поэтому 3 подгруппы порядка 2 не являются характеристическими. Здесь V = {e, a, b, ab}. Рассмотрим H = {e, a} и рассмотрим автоморфизм T (e) = e, T (a) = b, T (b) = a, T (ab) = ab; тогда T (H) не содержится в H.
• В группе кватернионов порядка 8 каждая из циклических подгрупп порядка 4 является нормальной, но ни одна из них не является характеристической. Однако подгруппа {1, −1} является характеристической, так как это единственная подгруппа порядка 2.
• Если n четно, группа диэдра порядка 2n имеет 3 подгруппы индекса 2, все из которых являются нормальными. Одна из них - циклическая подгруппа, которая характерна. Две другие подгруппы диэдральны; они переставляются внешним автоморфизмом родительской группы и поэтому не являются характеристическими.

Строго характеристическая подгруппа

Строго характеристическая подгруппа или выделенная подгруппа, инвариантная относительно сюръективность эндоморфизмы. Для конечных групп сюръективность эндоморфизма влечет инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; таким образом, быть строго характеристическим эквивалентно характеристике. Для бесконечных групп это уже не так.

Полностью характеристическая подгруппа

При еще более сильном ограничении полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа; см. Инвариантная подгруппа) H группы G является группой, остающейся инвариант относительно любого эндоморфизма группы G; то есть

∀φ ∈ End (G) ： φ [H] ≤ H.

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу как две свои полностью характеристические подгруппы. Коммутаторная подгруппа группы всегда является полностью характеристической подгруппой.

Каждый эндоморфизм группы G индуцирует эндоморфизм группы G / H, что приводит к отображению End (G) → End (G / ЧАС).

Вербальная подгруппа

Еще более сильным ограничением является вербальная подгруппа, которая является образом полностью инвариантной подгруппы свободной группы при гомоморфизме. В общем, любая вербальная подгруппа всегда полностью характерна. Для любой и, в частности, для любой свободной группы верно и обратное: каждая полностью характеристическая подгруппа вербальна.

Свойство быть характеристическим или полностью характеристическим является транзитивным ; если H - (полностью) характеристическая подгруппа группы K, а K - (полностью) характеристическая подгруппа группы G, то H - (полностью) характеристическая подгруппа группы G.

H char K char G ⇒ H char G.

Более того, хотя нормальность не является транзитивной, верно, что каждая характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной.

H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G

Аналогично, хотя быть строго характеристическим (выделенным) не транзитивно, верно, что каждая полностью характеристическая подгруппа строго характеристической подгруппы является строго характеристической.

Однако, в отличие от нормальности, если H char G и K является подгруппой G, содержащей H, то в целом H не обязательно является характеристикой в ​​K.

H char G, H < K < G ⇏ H char K

Каждая полностью характеристическая подгруппа, безусловно, является строго характеристической и характеристической; но характеристическая или даже строго характеристическая подгруппа не обязательно должна быть полностью характеристической.

центр группы всегда является строго характеристической подгруппой, но не всегда полностью характеристической. Например, конечная группа порядка 12, Sym (3) × ℤ / 2ℤ, имеет гомоморфизм, переводящий (π, y) в ((1, 2), 0), который принимает центр, 1 × ℤ / 2ℤ, в подгруппу Sym (3) × 1, которая пересекает центр только в единице.

Взаимосвязь между этими свойствами подгруппы может быть выражена как:

Подгруппа ⇐ Нормальная подгруппа ⇐ Характеристическая подгруппа ⇐ Строго характеристическая подгруппа ⇐ Полностью характеристическая подгруппа ⇐ Вербальная подгруппа

Конечный пример

Рассмотрим группу G = S 3 × ℤ 2 (группа порядка 12, которая является прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр G - это его второй множитель ℤ 2. Обратите внимание, что первый фактор, S 3, содержит подгруппы, изоморфные ℤ 2, например {e, (12)}; пусть f: ℤ 2 → S 3 будет отображением морфизма ℤ 2 на указанную подгруппу. Тогда композиция проекции G на его второй фактор ℤ 2, за которым следует f, с последующим включением S 3 в G в качестве его первого фактора, обеспечивает эндоморфизм G при котором изображение центра, ℤ 2, не содержится в центре, поэтому здесь центр не является полностью характеристической подгруппой G.

Циклические группы

Каждая подгруппа циклической группы характеристична.

Функторы подгруппы

Производная подгруппа (или коммутаторная подгруппа) группы является вербальной подгруппой. торсионная подгруппа абелевой группы является полностью инвариантной подгруппой.

Топологические группы

компонент идентичности в топологической группе всегда является характеристической подгруппой.

• Характерно простая группа