Нильпотентная группа

редактировать

В математике, особенно в теории групп, нильпотентная группа G - группа , которая имеет верхний центральный ряд, который заканчивается G. Эквивалентно, его центральный ряд имеет конечную длину или его нижний центральный ряд серия завершается {1}.

Интуитивно, нильпотентная группа - это группа, которая является «почти абелевой ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы, а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать. Также верно, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы. Этой концепции приписывают работу в 1930-х годах русскому математику Сергею Черникову.

Нильпотентные группы возникают в теории Галуа, а также при классификации групп. Они также заметно фигурируют в классификации групп Ли.

Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли ), включая нильпотентные, нижний центральный ряд и верхний центральный ряд .

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Объяснение термина
4 Свойства
5 Примечания
6 Ссылки

Определение

В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы G:

G имеет центральный ряд конечной длины. То есть последовательность нормальных подгрупп

{1} = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G n = G {\ displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ треугольникleft G_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft G_ {n} = G}

{\ displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ треугольникleft G_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft G_ {n} = G}

где

G i + 1 / G i ≤ Z (G / G i) {\ displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} \ leq Z (G / G_ {i})}

{\ displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} \ leq Z (G / G_ {i})}

, или, что эквивалентно,

[G, G i + 1] ≤ G i {\ displaystyle [G, G_ {i + 1}] \ leq G_ {i}}

{\ displaystyle [G, G_ {i + 1}] \ leq G_ {i}}

G имеет нижний центральный ряд, оканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

G = G 0 ▹ G 1 ▹ ⋯ ▹ G n = {1} {\ displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ { n} = \ {1 \}}

{\ displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {n} = \ {1 \}}

где

G i + 1 = [G i, G] {\ displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}

{\ displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}

G имеет верхний центральный ряд, заканчивающийся во всей группе за конечное число шагов. То есть последовательность нормальных подгрупп

{1} = Z 0 ◃ Z 1 ◃ ⋯ ◃ Z n = G {\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ треугольникleft Z_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft Z_ {n} = G}

{\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ треугольник слева Z_ {1} \ треугольник слева \ точки \ треугольник слева Z_ {n} = G}

где

Z 1 = Z (G) {\ displaystyle Z_ {1} = Z (G)}

{\ displaystyle Z_ {1} = Z (G)}

Z i + 1 {\ displaystyle Z_ {i + 1}}

{ \ Displaystyle Z_ {я + 1}}

- подгруппа такая, что

Z i + 1 / Z i = Z (G / Z i) {\ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}

{\ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}

Для нильпотентной группы наименьшее n такое, что G имеет центральный ряд длины n, называется классом нильпотентности группы G; и G называется нильпотентным класса n . (По определению длина равна n, если существует $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ различных подгрупп в серии, включая тривиальную подгруппу и всю группу.)

Эквивалентно, класс нильпотентности G равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если группа имеет класс нильпотентности не более n, то ее иногда называют nil-n группой .

. Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класс нильпотентности 0 и группы класса 1 нильпотентности являются в точности нетривиальными абелевыми группами.

Примеры

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга, хорошо известная нильпотентная группа.

Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна.
В качестве небольшого неабелевого примера рассмотрим группу кватернионов Q8, которая является наименьшая неабелева p-группа. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q 8 ; поэтому он нильпотентен класса 2.
прямое произведение двух нильпотентных групп нильпотентно.
Все конечные p-группы фактически являются нильпотентный (доказательство ). Максимальный класс группы порядка p равен n (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группы максимального класса - это обобщенные группы кватернионов, группы диэдра и группы полудиэдра.
Кроме того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p-группы.
Мультипликативная группа верхних унитреугольных матриц nxn над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n - 1. В частности, взяв n = 3 дает группу Гейзенберга H, пример неабелевой бесконечной нильпотентной группы. Он имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом 1, Z (H), H.
Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц nxn над полем F в общем случае не является нильпотентной, но разрешимая.
Любая неабелева группа G такая, что G / Z (G) абелева, имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом {1}, Z (G), G.

Пояснение к термину

Нильпотентные группы называются так потому, что «присоединенное действие» любого элемента нильпотентно, что означает, что для нильпотентной группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ степени нильпотентности $n {\ displaystyle n}$ $n$ и элемент $g {\ displaystyle g}$ $g$ , функция $ad g: G → G {\ displaystyle \ operatorname { ad} _ {g} \ двоеточие G \ to G}$ $\ operatorname {ad} _g \ двоеточие G \ к G$ определено $ad g ⁡ (x): = [g, x] {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} ( x): = [g, x]}$ $\ operatorname {ad} _g (x): = [ g, x]$ (где $[g, x] = g - 1 x - 1 gx {\ displaystyle [g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx}$ $[g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx$ - это коммутатор из $g {\ displaystyle g}$ $g$ и $x {\ displaystyl ex}$ $x$ ) нильпотентен в том смысле, что $n {\ displaystyle n}$ $n$ итерация функции тривиальна: $(ad g) n (x) = е {\ displaystyle \ left (\ operatorname {ad} _ {g} \ right) ^ {n} (x) = e}$ $\ left (\ operatorname {ad} _g \ right) ^ n (x) = e$ для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ в $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Это не определяющая характеристика нильпотентных групп: групп, для которых $ad g {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$ $\ operatorname {ad} _ {g}$ является нильпотентным со степенью $n {\ displaystyle n}$ $n$ (в указанном выше смысле), называются $n {\ displaystyle n}$ $n$ -группами Энгеля и требуют не быть нильпотентным вообще. Доказана их нильпотентность, если они имеют конечный порядок, и предполагается, что они нильпотентны, пока они конечно порождены.

Абелева группа - это в точности такая, для которой присоединенное действие не является просто нильпотентная, но тривиальная (1-энгелевская группа).

Свойства

Поскольку каждая последующая факторная группа Z i + 1 /Ziв верхнем центральном ряду является абелевой, а серия конечна, каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы класса n нильпотентна класса не выше n; кроме того, если f является гомоморфизмом нильпотентной группы класса n, то образ f нильпотентен класса не выше n.

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп, раскрывая некоторые полезные свойства нильпотентности:

(a) G - нильпотентная группа.
(b) Если H - собственная подгруппа группы G, тогда H является собственной нормальной подгруппой в N G (H) (нормализатор H в G). Это называется свойством нормализатора и может быть выражено просто как «рост нормализаторов».
(c) Каждая силовская подгруппа группы G является нормальной.
(d) G является прямым продуктом своей силовской подгруппы.
(e) Если d делит порядок группы G, то G имеет нормальную подгруппу из порядок d.

Доказательство: (a) → (b): индукцией по | G |. Если G абелева, то для любого H N G (H) = G. Если нет, то если Z (G) не содержится в H, то h ZHZh = h 'H' h = H, поэтому H · Z (G) нормализаторы H. Если Z (G) содержится в H, то H / Z (G) содержится в G / Z (G). Отметим, что G / Z (G) - нильпотентная группа. Таким образом, в G / Z (G) существует подгруппа, нормализующая H / Z (G), и H / Z (G) является ее собственной подгруппой. Следовательно, верните эту подгруппу в подгруппу в G, и она нормализует H. (Это доказательство является тем же аргументом, что и для p-групп - единственный факт, который нам нужен, это то, что если G нильпотентна, то и G / Z (G) тоже, так что детали опущены.)

(b) → (c): Пусть p 1,p2,..., p s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P i в Syl pi(G), 1≤i≤s. Пусть P = P i для некоторого i, и пусть N = N G (P). Поскольку P нормальная подгруппа N, P характеристична в N. Поскольку P char N и N нормальная подгруппа N G (N), мы получаем, что P нормальная подгруппа N Г (N). Это означает, что N G (N) является подгруппой N и, следовательно, N G (N) = N. Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N = G, что дает (c).

(c) → (d): Пусть p 1,p2,..., p s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P i в Сил pi(G), 1≤i≤s. Для любого t, 1≤t≤s мы индуктивно показываем, что P 1P2…Ptизоморфен P 1×P2×… × P t. Сначала обратите внимание, что каждый P i является нормальным в G, поэтому P 1P2…Ptявляется подгруппой G. Пусть H будет произведением P 1P2…Pt-1 и пусть K = P t, поэтому по индукции H изоморфна P 1×P2×… × P t-1. В частности, | H | = | P 1 | · | P 2 | ·… · | P t-1 |. Поскольку | K | = | P t |, порядки H и K взаимно просты. Из теоремы Лагранжа следует, что пересечение H и K равно 1. По определению P 1P2…Pt= HK, следовательно, HK изоморфна H × K, что равно P 1×P2×… × P t. На этом индукция завершена. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).

(d) → (e): Обратите внимание, что P-группа порядка p имеет нормальную подгруппу порядка p для всех 1≤m≤k. Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для любого делителя d группы | G |.

(e) → (a): Для любого простого p, делящего | G |, силовская p-подгруппа является нормальной. Таким образом, мы можем применить (c) (поскольку мы уже доказали (c) → (e)).

Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если G - нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа G p группы G нормальна, и прямое произведение этих силовских подгрупп есть подгруппа всех элементов конечного порядка в G (см. подгруппа кручения ).

Многие свойства нильпотентных групп разделяются гиперцентральными группами.

Примечания

Ссылки

Bechtell, Homer (1971). Теория групп. Аддисон-Уэсли.
Фон Хезелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности. Выставки Де Грюйтера по математике. 36 . Берлин: Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-015629-6.
Хангерфорд, Томас У. (1974). Алгебра. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4344-3.
Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория * -алгебр. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36638-0.
Штаммбах, Урс (1973). Гомологии в теории групп. Конспект лекций по математике. 359 . Springer-Verlag. обзор
Супруненко, Д.А. (1976). Матричные группы. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1341-2.
Табачникова Ольга; Смит, Джефф (2000). Разделы теории групп. Серия «Математика бакалавриата Springer». Springer. ISBN 1-85233-235-2.
Zassenhaus, Hans (1999). Теория групп. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.