Группа Гейзенберга

Группа в теории групп и физике

В математике, группа Гейзенберга $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, названный в честь Вернера Гейзенберга, является группой из 3 × 3 верхнетреугольных матриц формы

$(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

под действием матричное умножение. Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (в результате получается «непрерывная группа Гейзенберга») или кольцо из целых чисел (в результате получается «дискретная группа Гейзенберга»).

Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна – фон Неймана. В более общем смысле, можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n-мерными системами и, в большинстве случаев, с любым симплектическим векторным пространством.

Содержание

• 1 Трехмерный случай
  • 1.1 Непрерывная группа Гейзенберга
  • 1.2 Дискретная группа Гейзенберга
  • 1.3 Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого p
  • 1.4 Группа Гейзенберга по модулю 2
• 2 Алгебра Гейзенберга
• 3 Высшие измерения
  • 3.1 Структура группы
  • 3.2 Алгебра Ли
  • 3.3 Экспоненциальное отображение
• 4 Теория представлений
• 5 О симплектических векторных пространствах
• 6 Связь с алгеброй Вейля
• 7 Приложения
  • 7.1 Параметризация Вейля квантовой механики
  • 7.2 Тета-представление
  • 7.3 Анализ Фурье
• 8 Как субриманово многообразие
• 9 Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы
• 10 См. Также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Трехмерный случай

В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга определяется следующим образом:

$(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; (1\; a\; \prime \; c\; \prime \; 0\; 1\; b\; \prime \; 0\; 0\; 1)\; =\; (1\; a\; +\; a\; \prime \; c\; +\; c\; \prime \; +\; a\; b\; \prime \; 0\; 1\; b\; +\; b\; \prime \; 0\; 0\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; \text{'}c\text{'}\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \text{'}\backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; +\; a\; \text{'}c\; +\; c\text{'}\; +\; ab\; \text{'}\backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; +\; b\text{'}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Как видно, группа неабелева.

Нейтральным элементом группы Гейзенберга является единичная матрица, а обратные -

$(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; -\; 1\; =\; (1\; -\; aab\; -\; c\; 0\; 1\; -\; b\; 0\; 0\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; -a\; ab-c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; -b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash ,.\}$

Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff (2): $(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}$действует на $(x\; \to ,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; 1)\; \}$соответствует аффинному преобразованию $(1\; a\; 0\; 1)\; x\; \to \; +\; (cb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; c\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$.

Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.

Непрерывная группа Гейзенберга

Если a, b, c, являются действительными числами (в кольце R ), то каждый имеет непрерывная группа Гейзенберга H3(R).

Это нильпотентная действительная группа Ли размерности 3.

В дополнение к представлению в виде вещественных матриц 3x3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств. По теореме Стоуна – фон Неймана существует, с точностью до изоморфизма, единственное неприводимое унитарное представление H, в котором его центр действует посредством данного нетривиального символа. Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует в пространстве квадратично интегрируемых функций. В тета-представлении он действует в пространстве голоморфных функций на верхней полуплоскости ; он назван так из-за его связи с тета-функциями.

Дискретной группой Гейзенберга

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга с генераторами x, y, z, как в текст. (Раскраска предназначена только для наглядности.)

Если a, b, c - целые числа (в кольце Z ), то имеется дискретная группа Гейзенберга H3(Z). Это неабелева нильпотентная группа. Он имеет два генератора,

$x\; =\; (1\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1),\; y\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 1\; 1\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и отношения

$z\; =\; xyx\; -\; 1\; y\; -\; 1,\; xz\; =\; zx,\; yz\; =\; zy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\; =\; xyx\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; xz\; =\; zx,\; \backslash \; yz\; =\; zy\}$,

где

$z\; =\; (1\; 0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

является генератором центр из H 3. (Обратите внимание, что обратные x, y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)

Согласно теореме Басса, он имеет полиномиальную скорость роста порядка 4.

Можно сгенерировать любой элемент через

$(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; =\; ybzcxa.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; y\; ^\; \{b\}\; z\; ^\; \{c\}\; x\; ^\; \{a\}\; \backslash ,.\}$

Группа Гейзенберга по модулю нечетное простое число p

Если взять a, b, c в Z/ p Z для нечетного простого p, то получится группа Гейзенберга по модулю p. Это группа порядка p с образующими x, y и соотношениями:

$z\; =\; x\; y\; x\; -\; 1\; y\; -\; 1,\; x\; p\; =\; y\; p\; =\; z\; p\; =\; 1,\; x\; z\; =\; z\; x,\; y\; z\; =\; z\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \_\; \{\}\; ^\; \{\}\; =\; xyx\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; x\; ^\; \{p\}\; =\; y\; ^\; \{p\}\; =\; z\; ^\; \{p\}\; =\; 1,\; \backslash \; xz\; =\; zx,\; \backslash \; yz\; =\; zy.\}$

Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, точнее, дополнительными специальными группами экспоненты p. В более общем смысле, если производная от подгруппа группы G содержится в центре Z группы G, то отображение из G / Z × G / Z → Z является кососимметричным билинейным оператором на абелевых группах.

Однако требование, чтобы G / Z было конечным векторным пространством , требует, чтобы подгруппа Фраттини группы G содержалась в центре, и требование, чтобы Z была для одномерного векторного пространства над Z / p Z требуется, чтобы Z имел порядок p, поэтому, если G не является абелевым, то G является особенным. Если G является дополнительным специальным элементом, но не имеет показателя p, то общая конструкция, применяемая ниже к симплектическому векторному пространству G / Z, не дает группы, изоморфной G.>Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе диэдра D4(симметрии квадрата). Обратите внимание: если

$x\; =\; (1\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1),\; y\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 1\; 1\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$.

Тогда

$xy\; =\; (1\; 1\; 1\; 0\; 1\; 1\; 0\; 0\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

и

$yx\; =\; (1\; 1\; 0\; 0\; 1\; 1\; 0\; 0\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; yx\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Элементы x и y соответствуют отражениям (с 45 ° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90 °. Другие отражения - это xyx и yxy, а поворот на 180 ° - xyxy (= yxyx).

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли $h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\}$группы Гейзенберга $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \}$(над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. Он представлен с использованием пространства $3\; \times \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; times\; 3\}$матриц формы

$(0\; ab\; 0\; 0\; c\; 0\; 0\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; a\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}$,

с $a,\; b,\; c\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Следующие три элемента образуют основу для $h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\}$:

$X\; =\; (0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0);\; Y\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0);\; Z\; =\; (0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\};\; \backslash \; quad\; Y\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\};\; \backslash \; quad\; Z\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$.

Базовые элементы удовлетворяют коммутационные соотношения:

$[X,\; Y]\; =\; Z;\; [X,\; Z]\; =\; 0;\; [Y,\; Z]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; Z;\; \backslash \; quad\; [X,\; Z]\; =\; 0;\; \backslash \; quad\; [Y,\; Z]\; =\; 0\}$.

Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущие соотношения, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:

$[x\; ^,\; p\; ^]\; =\; i\; \hslash \; I;\; [x\; ^,\; i\; I]\; =\; 0;\; [п\; ^,\; я\; \hslash \; я]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; I;\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; i\; \backslash \; hbar\; I]\; =\; 0;\; \backslash \; quad\; [\{\backslash \; hat\; \{p\}\},\; i\; \backslash \; hbar\; I]\; =\; 0\}$,

где $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$- оператор позиции, $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$- оператор импульса, а $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- Постоянная Планка.

Группа Гейзенберга $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$имеет особое свойство: экспоненциальное отображение взаимно однозначно и на отображение из алгебры Ли $h\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\}$в группу $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$.

Высшие измерения

Более общие группы Гейзенберга $H\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\}$может быть определен для более высоких измерений в евклидовом пространстве и в более общем плане для симплектических векторных пространств. Самый простой общий случай - это реальная группа Гейзенберга размерности $2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\; +\; 1\}$для любого целого $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$. Как группа матриц $H\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\}$(или $H\; 2\; n\; +\; 1\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$действительных чисел) определяется как группа $(n\; +\; 2)\; \times \; (n\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\; +\; 2)\; \backslash \; times\; (n\; +\; 2)\}$матриц с записями в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и имеющий вид:

$[1\; ac\; 0\; I\; nb\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{0\}\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где

a- это вектор-строка длины n,

b- вектор-столбец длины n,

In- матрица идентичности размера n.

Структура группы

Это действительно группа, как показано умножением:

$[1\; ac\; 0\; I\; nb\; 0\; 0\; 1]\; \cdot \; [1\; a\; \prime \; c\; \prime \; 0\; I\; nb\; \prime \; 0\; 0\; 1]\; =\; [1\; a\; +\; a\; \prime \; c\; +\; c\; \prime \; +\; a\; \cdot \; b\; \prime \; 0\; I\; nb\; +\; b\; \prime \; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \text{'}c\text{'}\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \text{'}\backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \text{'}c\; +\; c\text{'}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \text{'}\backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \text{'}\backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

и

$[1\; ac\; 0\; I\; nb\; 0\; 0\; 1]\; \cdot \; [1\; -\; a\; -\; c\; +\; a\; \cdot \; b\; 0\; I\; n\; -\; b\; 0\; 0\; 1]\; =\; [1\; 0\; 0\; 0\; I\; n\; 0\; 0\; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\; a\}\; -c\; +\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Алгебра Ли

Группа Гейзенберга - это односвязная группа Ли, алгебра Ли состоит из матриц

$[0\; ac\; 0\; 0\; nb\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 0\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

где

a- вектор-строка длины n,

b- вектор-столбец длины n,

0n- нулевая матрица размера n.

Если позволить e 1,..., e n быть канонической основой R и установить

$pi\; =\; [0\; ei\; T\; 0\; 0\; 0\; n\; 0\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; operatorname\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

$qj\; =\; [0\; 0\; 0\; 0\; 0\; nej\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\_\; \{n\}\; \backslash \; operatorna\; я\; \{е\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

$z\; =\; [0\; 0\; 1\; 0\; 0\; n\; 0\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями,

$[pi,\; qj]\; =\; \delta \; ijz,\; [pi,\; z]\; =\; 0,\; [qj,\; z]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{i\},\; q\_\; \{j\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; z,\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{i\},\; z\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; q\_\; \{j\},\; z\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; 0\; ~,\}$

(1)

где p 1,..., p n, q 1,..., q n, z - генераторы алгебры.

В частности, z является центральным элементом алгебры Ли Гейзенберга. Отметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.

Экспоненциальная карта

Пусть

$u\; =\; [0\; ac\; 0\; 0\; nb\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

, что соответствует $u\; 3\; =\; 0\; n\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{3\}\; =\; 0\_\; \{n\; +\; 2\}\}$. экспоненциальное отображение оценивается как

$exp\; \; (u)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; 1\; k!\; u\; k\; =\; I\; n\; +\; 2\; +\; u\; +\; 1\; 2\; u\; 2\; =\; [1\; a\; c\; +\; 1\; 2\; a\; b\; 0\; I\; n\; b\; 0\; 0\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (u)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; u\; ^\; \{k\}\; =\; I\_\; \{n\; +\; 2\}\; +\; u\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; u\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли - это диффеоморфизм между алгеброй Ли и уникальным ассоциированным связанным, односвязная группа Ли.

Это обсуждение (помимо утверждений, относящихся к размерности и группе Ли) в дальнейшем применимо, если мы заменим R любым коммутативным кольцом A. Соответствующая группа обозначена H n (А).

При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A, также определено экспоненциальное отображение, поскольку оно сводится к конечной сумме и имеет вид, указанный выше (т.е. A может быть кольцом Z / p Z с нечетным простым числом p или любое поле из характеристики 0).

Теория представлений

Унитарная теория представлений группы Гейзенберга довольно проста - позже обобщенная теорией Макки - и послужила мотивацией для ее создания. введение в квантовую физику, как обсуждается ниже.

Для каждого ненулевого действительного числа $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$мы можем определить неприводимое унитарное представление $\Pi \; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{\backslash \; hbar\}\; \}$из $H\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\}$, действующий в гильбертовом пространстве $L\; 2\; (R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\})\}$по формуле:

$[\Pi \; \hslash \; (1\; ac\; 0\; I\; nb\; 0\; 0\; 1)\; \psi ]\; (x)\; =\; ei\; \hslash \; ceib\; \cdot \; Икс\; \psi \; (Икс\; +\; \hslash \; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; Pi\; \_\; \{\backslash \; hbar\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; c\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; psi\; \backslash \; right]\; (x)\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; hbar\; c\}\; e\; ^\; \{ib\; \backslash \; cdot\; x\}\; \backslash \; psi\; (x\; +\; \backslash \; hbar\; a)\}$

Это представление известно как Представление Шредингера. Мотивом для этого представления является действие экспоненциальных операторов позиции и импульса в квантовой механике. Параметр $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$описывает переводы в пространстве позиций, параметр $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$описывает переводы в пространстве импульсов, а параметр $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку трансляции в пространстве позиций и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют.

Ключевым результатом является теорема Стоуна – фон Неймана, которая утверждает, что любое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно $\Pi \; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{\backslash \; hbar\}\}$для некоторых $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$. В качестве альтернативы, все они эквивалентны алгебре Вейля (или CCR-алгебре ) на симплектическом пространстве размерности 2n.

Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением $R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n\}\}$, ее неприводимые унитарные представления могут быть рассматривается как неприводимое унитарное проективное представление из $R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n\}\}$. Концептуально представленное выше представление представляет собой квантово-механический аналог группы трансляционных симметрий в классическом фазовом пространстве, $R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n\}\}$. Тот факт, что квантовая версия является только проективным представлением $R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{2n\}\}$, предполагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами трансляций в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Однако диапазон этих функций не образует алгебру Ли под скобкой Пуассона, поскольку $\{x\; i,\; p\; j\}\; =\; \delta \; i,\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\},\; p\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i,\; j\}.\}$Скорее, диапазон функций положения и импульса и константы образуют алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли $R\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2n\}\}$, изоморфной алгебре Ли группы Гейзенберга.

О симплектических векторных пространствах

Общая абстракция группы Гейзенберга строится из любого симплектического векторного пространства. Например, пусть (V, ω) - конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω является невырожденной кососимметричной билинейной формой на V). Группа Гейзенберга H (V) на (V, ω) (или просто V для краткости) - это множество V × R, наделенное групповым законом

$(v,\; t)\; \cdot \; (v\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; (v\; +\; v\; \prime ,\; t\; +\; t\; \prime \; +\; 1\; 2\; \omega \; (v,\; v\; \prime )).\; \{\backslash \; displaystyle\; (v,\; t)\; \backslash \; cdot\; (v\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \backslash \; left\; (v\; +\; v\; \text{'},\; t\; +\; t\text{'}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; (v,\; v\; \text{'})\; \backslash \; справа).\}$

Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной группы V. Таким образом, существует точная последовательность

$0\; \to \; R\; \to \; H\; (V)\; \to \; V\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; to\; H\; (V)\; \backslash \; to\; V\; \backslash \; to\; 0.\}$

Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу {ej,f}1 ≤ j, k ≤ n, удовлетворяющее ω (ej,f) = δ j и где 2n - размерность V (размерность V обязательно четная). В терминах этого базиса каждый вектор раскладывается как

$v\; =\; q\; a\; e\; a\; +\; p\; a\; f\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; q\; ^\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{a\}\; +\; p\_\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{a\}.\}$

q и p a являются канонически сопряженные координаты.

Если {ej, f}1 ≤ j, k ≤ n является базисом Дарбу для V, то пусть {E} будетбазисом для R и {ej, f, E} 1 ≤ j, k ≤ n - соответствующий базис для V × R . Вектор в H (V) тогда задается как

$v\; =\; qaea\; +\; pafa\; +\; t\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; q\; ^\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{a\}\; +\; p\_\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{a\}\; +\; tE\}$

и групповой закон принимает вид

$(p,\; q,\; t)\; \cdot \; (p\; \prime ,\; q\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; (p\; +\; p\; \prime ,\; q\; +\; q\; \prime ,\; t\; +\; t\; \prime \; +\; 1\; 2\; (pq\; \prime \; -\; p\; \prime \; q)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (p,\; q,\; t)\; \backslash \; cdot\; (p\; \text{'},\; q\text{'},\; t\; \text{'})\; =\; \backslash \; left\; (p\; +\; p\text{'},\; q\; +\; q\; \text{'},\; t\; +\; t\text{'}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; (pq\text{'}-p\text{'}q)\; \backslash \; right).\}$

Форма в алгебре может быть канонически отождествлены с векторми в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается использованием коммутации

$[(v\; 1,\; t\; 1),\; (v\; 2,\; t\; 2)]\; =\; \omega \; (v\; 1,\; v\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; (v\_\; \{1\},\; t\_\; \{1\}),\; (v\_\; \{2\},\; t\_\; \{2\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; omega\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\})\}$

или записано в терминах базиса Дарбу

$[ea,\; fb]\; =\; \delta \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{a\},\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{b\}]\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\}$

и все остальные коммутаторы исчезают.

Также возможно определить групповой закон другим способом, но который дает группу, изоморфную группу, которую мы только что определили. Чтобы избежать векторов путаницы, мы будем использовать u вместо t, поэтому задается как

$v\; =\; qaea\; +\; pafa\; +\; u\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; q\; ^\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{a\}\; +\; p\_\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{a\}\; +\; uE\}$

и групповой закон

$(p,\; q,\; u)\; \cdot \; (p\; \prime ,\; q\; \prime ,\; u\; \prime )\; =\; (p\; +\; p\; \prime ,\; q\; +\; q\; \prime ,\; u\; +\; u\; \prime \; +\; pq\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (p,\; q,\; u)\; \backslash \; cdot\; (p\; \text{'},\; q\text{'},\; u\; \text{'})\; =\; (p\; +\; p\text{'},\; q\; +\; q\; \text{'},\; u\; +\; u\text{'}\; +\; pq\; \text{'}).\}$

Элемент группа

$v\; =\; qaea\; +\; pafa\; +\; U\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; q\; ^\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{a\}\; +\; p\_\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{a\}\; +\; uE\}$

можно представить в виде матрицы

$[1\; pu\; 0\; I\; nq\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; p\; u\; \backslash \backslash \; 0\; I\_\; \{n\}\; q\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$,

, который дает точное матричное представление H (V). U в этой формулировке связано с нашей предыдущей формулировкой следующим образом: $u\; =\; t\; +\; 1\; 2\; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; t\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; pq\}$, поэтому что значение t для продукта составляет

$u\; +\; u\; \prime \; +\; pq\; \prime \; -\; 1\; 2\; (p\; +\; p\; \prime )\; (q\; +\; q\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; +\; u\; \text{'}+\; pq\text{'}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; (p\; +\; p\; \text{'})\; (q\; +\; q\text{'})\}$

$=\; t\; +\; 1\; 2\; pq\; +\; t\; \prime \; +\; 1\; 2\; p\; \prime \; q\; \prime \; +\; pq\; \prime \; -\; 1\; 2\; (p\; +\; p\; \prime )\; (q\; +\; q\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; t\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; pq\; +\; t\; \text{'}+\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; p\text{'}q\text{'}\; +\; pq\; \text{'}-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; (п\; +\; р\; \text{'})\; (q\; +\; q\text{'})\}$

$=\; t\; +\; t\; \prime \; +\; 1\; 2\; (pq\; \prime \; -\; p\; \prime \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; t\; +\; t\; \text{'}+\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; (pq\text{'}-p\text{'}q)\}$,

как раньше.

Изоморфизм группы с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V на базисе Дарбу, что равносильно выбору изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга как напоминание о том, что этот групповой закон основан на выборе основы (выбор лагранжевого подпространства в V есть поляризация ).

Для любой алгебры Ли существует единственная связная, односвязная группа Ли G. Все другие связные группы Ли с той же алгеброй Ли, что и G, принадлежат образуют G / N, где N - центральная дискретная группа в G. В этом случае центр H (V) равенство R и единственные дискретные подгруппы изоморфны Z. Таким образом, H (V) / Z - еще одна группа Ли, разделяющая эту алгебру Ли. Следует отметить, что эта группа Ли не допускает точных конечных представлений; она не изоморфна какой-либо матричной группе. Однако у него есть хорошо известное семейство бесконечных унитарных представлений.

Связь с алгеброй Вейля

Алгебра Ли $hn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{n\}\}$группы Гейзенберга была описана (1) как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта класс для определения универсальной обертывающей алгебры $U\; (hn)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{n\})\}$. Среди других свойств универсальная обертывающая алгебра - это ассоциативная алгебра, встраивается инъективно $h\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{n\}\}$.

По теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта, это свободное пространство, порожденное одночленами

$zjp\; 1\; k\; 1\; p\; 2\; k\; 2\; \cdots \; pnknq\; 1\; \ell \; 1\; q\; 2\; \ell \; 2\; \cdots \; qn\; \ell \; п,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{j\}\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\; q\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{1\}\}\; q\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; q\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{n\}\}\; ~,\}$

где показатели все неотрицательны.

Следовательно, $U\; (hn)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{n\})\}$состоит из действующих многочленов

$\sum \; j,\; k\; \to ,\; \ell \; \to \; cjk\; \to \; \ell \; \to \; zjp\; 1\; К\; 1\; п\; 2\; К\; 2\; \cdots \; pnknq\; 1\; \ell \; 1\; q\; 2\; \ell \; 2\; \cdots \; qn\; \ell \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j,\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; c\_\; \{j\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; z\; ^\; \{j\}\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\; q\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{1\}\}\; q\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; q\_\; \{n\; \}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{n\}\}\; ~,\}$

с коммутационными соотношениями

$pkp\; \ell \; =\; p\; \ell \; pk,\; qkq\; \ell \; =\; q\; \ell \; qk,\; pkq\; \ell \; -\; q\; \ell \; pk\; =\; \delta \; k\; \ell \; z,\; zpk\; -\; pkz\; =\; 0,\; zqk\; -\; qkz\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{k\}\; p\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; =\; p\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; p\_\; \{k\},\; \backslash \; quad\; q\_\; \{k\}\; q\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; =\; q\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; q\_\; \{k\},\; \backslash \; quad\; p\_\; \{k\}\; q\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; -q\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; p\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\; \backslash \; ell\}\; z,\; \backslash \; quad\; zp\_\; \{k\}\; -\; p\_\; \{k\}\; z\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; zq\_\; \{k\}\; -q\_\; \{k\}\; z\; =\; 0\; ~.\}$

Алгебра $U\; (hn)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{\; n\})\}$связать с алгебра дифференциальных операторов на с полиноми коэффициентами, посылками кольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде

$P\; =\; \sum \; k\; \to ,\; \ell \; \to \; ck\; \to \; \ell \; \to \; \partial \; x\; 1\; k\; 1\; \partial \; x\; 2\; k\; 2\; \cdots \; \partial \; xnknx\; 1\; \ell \; 1\; x\; 2\; \ell \; 2\; \cdots \; xn\; \ell \; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; c\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{k\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; частичный\; \_\; \{x\_\; \{1\}\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{2\}\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{n\}\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{1\}\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{n\}\}\; ~.\}$

Эта алгебра называется Алгебра Вейля. Из абстрактной чепухи следует, что алгебра Вейля Wnявляется частным от $U\; (hn)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \_\; \{n\})\}$. Однако это также легко увидеть непосредственно из представленных выше изображений; а именно отображением

$zjp\; 1\; k\; 1\; p\; 2\; k\; 2\; \cdots \; pnknq\; 1\; \ell \; 1\; q\; 2\; \ell \; 2\; \cdots \; qn\; \ell \; n\; \mapsto \; \partial \; x\; 1\; k\; 1\; \partial \; x\; 2\; k\; 2\; \cdots \; \partial \; xnknx\; 1\; \ell \; 1\; х\; 2\; \ell \; 2\; \cdots \; xn\; \ell \; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{j\}\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\; q\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{1\}\}\; q\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; q\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mapsto\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{1\}\}\; ^\; \{k\_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{2\}\}\; ^\; \{k\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\_\; \{n\}\}\; ^\; \{k\_\; \{n\}\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{\; 1\}\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; ell\; \_\; \{n\}\}\; ~.\}$

Приложения

Параметризация квантовой механики Вейля

Применение, которое произошло Германа Вейля к явному осознанию группы Гейзенберга, заключенное в вопросе, почему изображение Шредингера и изображение Гейзенберга физически эквивалентно. Прично, причина является теорема Стоуна - фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным элементом центральной z алгебры Ли с точностью до унитарной эквивалентности: нетривиальные элементы алгебры все эквивалентны обычным действующим положениям и параметрам.

Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны - это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.

Тета-представление

Тот же результат уникальности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы разнообразия. Это большое обобщение подходов, используемых в эллиптических функциях Якоби, который является случаем группы Гейзенберга по модулю 2, порядком 8. Простейшим случаем является тета-представление группы Гейзенберга. Группа Гейзенберга, дискретный случай которой дает тета-функцию.

анализ Фурье

Группа Гейзенберга также используется в анализе Фурье, где она используется в некоторых формулировках Теорема Стоуна - фон Неймана. В этом случае можно понять, что группа Гейзенберга действует в пространстве квадратично интегрируемых функций ; результатом является представление групп Гейзенберга, которое иногда называют представлением Вейля.

Как субриманово многообразие

Трехмерная группа Гейзенберга H 3(R) на пример вещественных чисел также может понимать как гладкое разнообразие, а именно, субриманова многообразия. Для данной точки p = (x, y, z) в R определите дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как

$\Theta \; p\; =\; dz\; -\; 1\; 2\; (xdy\; -\; ydx).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{p\}\; =\; dz\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (xdy-ydx\; \backslash \; right).\}$

Эта одноформа принадлежит котангенсный пучок из Р ; то есть

$\Theta \; p:\; T\; p\; R\; 3\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta\; \_\; \{p\}:\; T\_\; \{p\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$

равно карта на касательном пучке . Пусть

$H\; p\; =\; \{v\; \in \; T\; p\; R\; 3\; \mid \; \Theta \; p\; (v)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; \{v\; \backslash \; in\; T\_\; \{p\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; Theta\; \_\; \{p\}\; (v)\; =\; 0\; \backslash \}.\}$

Это видно, что H является подгруппой касательного пучка T R . A на H задается путем проецирования векторов в двумерное пространство, охватываемое векторми в направлениях x и y. То есть для данных векторов $v\; =\; (v\; 1,\; v\; 2,\; v\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\},\; v\_\; \{3\})\}$и $вес\; =\; (вес\; 1,\; вес\; 2,\; вес\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; (w\_\; \{1\},\; w\_\; \{2\},\; w\_\; \{3\})\}$в T R, внутреннее произведение определяется как

$⟨v,\; w⟩\; =\; v\; 1\; w\; 1\; +\; v\; 2\; w\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; v,\; w\; \backslash \; rangle\; =\; v\_\; \{1\}\; w\_\; \{1\}\; +\; v\_\; \{2\}\; w\_\; \{2\}.\}$

Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный фрейм на многообразии задается векторными полями Ли

$X\; =\; \partial \; \partial \; x\; -\; 1\; 2\; y\; \partial \; \partial \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; y\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\},\}$

$Y\; =\; \partial \; \partial \; y\; +\; 1\; 2\; x\; \partial \; \partial \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\},\}$

$Z\; =\; \partial \; \partial \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\},\}$

, которые подчиняются соотношениям [X, Y] = Z и [X, Z] = [Y, Z] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. Геодезические на размерии выделяют спирали, переходящие в окружности в двух измерениях. То есть, если

$\gamma \; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t),\; z\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t),\; z\; (\; t))\}$

- геодезическая кривая, тогда кривая $c\; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (t)\; =\; (x\; (t),\; y\; (t))\}$- дуга окружности, а

$z\; (t)\; =\; 1\; 2\; \int \; cxdy\; -\; ydx\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{c\; \}\; xdy-ydx\}$

с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, образуемого дугой, что следует из теоремы Стокса.

группы Гейзенберга локально компактной абелевой группы

В более общем случае можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K, снабженной мерой Хаара. Такая группа имеет двойное звено Понтрягина $K\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\}$, состоящее из всех непрерывных $U\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (1)\}$-значные символы на K, которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытой топологией. Группа Гейзенберга, связанная с локально компактной абелевой группой K, является подгруппой унитарной группы группы $L\; 2\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\}$, порожденной переводми из K и умножение на элементы $K\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\}$.

Более подробно, гильбертово пространство $L\; 2\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\; \}$состоит из квадратично-интегрируемых комплекснозначных функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на K. Переводы в K образуют унитарную представление K в виде операторов на $L\; 2\; (К)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\}$:

$(T\; xf)\; (y)\; =\; f\; (x\; +\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T\_\; \{x\}\; f)\; (y)\; =\; е\; (x\; +\; y)\}$

для $x,\; y\; \in \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; K\}$. То же самое и с умножением на символы:

$(M\; \chi \; f)\; (y)\; =\; \chi \; (y)\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M\; \_\; \{\backslash \; chi\}\; f)\; (y)\; =\; \backslash \; chi\; (y)\; f\; (y)\}$

для $\chi \; \in \; K\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \backslash \; in\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\}$. Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют

$(T\; x\; M\; \chi \; T\; x\; -\; 1\; M\; \chi \; -\; 1\; f)\; (y)\; =\; \chi \; (x)\; ¯\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T\_\; \{x\}\; M\_\; \{\; \backslash \; chi\}\; T\_\; \{x\}\; ^\; \{-\; 1\}\; M\; \_\; \{\backslash \; chi\}\; ^\; \{-\; 1\}\; f)\; (y)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; chi\; (x)\}\}\; f\; (y)\}$

умножение на комплексное число фиксированного модуля модуля.

Таким образом, группа Гейзенберга $H\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (K)\}$, связанная с K, является типом центрального расширения из $K\; \times \; K\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; times\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\}$через точную последовательность групп:

$1\; \to \; U\; (1)\; \to \; H\; (K)\; \to \; K\; \times \; K\; ^\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; to\; U\; (1)\; \backslash \; to\; H\; (K)\; \backslash \; to\; K\; \backslash \; times\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\; \backslash \; to\; 0.\}$

Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группе когомологий $H\; 2\; (K,\; U\; (1))\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\}\; (K,\; U\; (1))\}$. Существование двойственности между $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $K\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{K\}\}\}$порождает канонический коцикл, но обычно есть и другие.

Группа Гейзенберга действует неприводимо на $L\; 2\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\}$. Действительно, непрерывные символы разделяют точки, поэтому любой унитарный оператор $L\; 2\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\}$, который коммутирует с ними, является $L\; \infty \; \{\; \backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$множитель. Но коммутация с переводами подразумевает, что множитель постоянен.

Версия теоремы Стоуна – фон Неймана, доказанная Джорджем Макки, верна для группы Гейзенберга $ЧАС\; (К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; (К)\}$. преобразование Фурье является уникальным промежуточным звеном между представлениями $L\; 2\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (K)\}$и $L\; 2\; (\; К\; ^)\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; hat\; \{K\}\})\}$. См. Обсуждение в Теорема Стоуна – фон Неймана № Связь с преобразованием Фурье для получения подробной информации.

См. Также

• Канонические коммутационные соотношения
• преобразование Вигнера – Вейля
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Проективное представление

Примечания

1. ^Войт, Питер. Темы теории представлений: алгебра Гейзенберга (PDF).
2. ^Холл 2015 Предложение 3.26
3. ^Холл 2015 Глава 2, Упражнение 9
4. ^Холл 2013 Предложение 14.7
5. ^Холл 2013 Теорема 14.8
6. ^Ханс Тилгнер, "Класс разрешимых групп Ли и их связь с каноническим формализмом Архивировано 05.06.2011 в the Wayback Machine ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 13 no. 2 (1970), стр. 103-127.
7. ^Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям (математические обзоры и монографии, том 91), (2002) Американское математическое общество, ISBN 0-8218- 1391-9.
8. ^Дэвид Мамфорд (1991), «Тата лекции по тета III», Прогресс в математике, Биркхаузер, 97
9. ^Карл Генрих Хофманн, Сидней А. Моррис (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов, справочник для экспертов, Де Грюйтер изучает математику 25, (2-е изд. изд.), Вальтер де Грюйтер, ISBN 9783110190069 CS1 maint: дополнительная пунктуация (ссылка )
10. ^Этот аргумент появляется в несколько ином контексте в Roger Howe (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе», Bulletin of the American Математическое общество, 3(2): 821–844, doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14825-9, MR 0578375
11. ^Джордж Макки (1949), "Он теорема Стоуна и фон Неймана ", Duke Mathematical Journal, 16 (2): 313–326, doi : 10.1215 / s0012-7094-49-01631-2
12. ^A Prasad (2009), Простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана – Макки, arXiv : 0912.0574, doi : 10.1016 / j.exmath.2010.06.001

Ссылки

• Binz, Ernst; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (второе изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества. 3(2): 821–843. doi : 10.1090 / s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375.
• Кириллов, Александр А. (2004). "Глава 2:" Представления и орбиты группы Гейзенберга ". Лекции по методу орбит. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3530-0.
• Макки Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп. Чикагские лекции по математике. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522.

Внешние ссылки

• Groupprops, Wiki свойств группы