Треугольная матрица

редактировать

В математической дисциплине линейной алгебры, треугольная матрица - это особый вид квадратной матрицы. Квадратная матрица называется нижнетреугольной, если все элементы над главной диагональю равны нулю. Точно так же квадратная матрица называется верхнетреугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами легче решать, они очень важны в численном анализе. С помощью алгоритма LU-разложения обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда all его ведущий принципал миноры отличен от нуля.

Содержание

1 Описание
- 1.1 Примеры
2 Прямая и обратная подстановка
- 2.1 Прямая подстановка
- 2.2 Приложения
3 Свойства
4 Специальные формы
- 4.1 Унитреугольная матрица
- 4.2 Строго треугольная матрица
- 4.3 Атомарная треугольная матрица
5 Треугольная возможность
- 5.1 Одновременная треугольная возможность
6 Алгебры треугольных матриц
- 6.1 Борелевские подгруппы и борелевские подалгебры
- 6.2 Примеры
7 См. Также
8 Ссылки

Описание

Матрица вида

L = [ℓ 1, 1 0 ℓ 2, 1 ℓ 2, 2 ℓ 3, 1 ℓ 3, 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ℓ n, 1 ℓ n, 2… ℓ n, n - 1 ℓ n, n] {\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} \ ell _ {1,1} 0 \\\ ell _ {2,1} \ ell _ {2,2} \\\ ell _ {3,1} \ ell _ {3,2} \ ddots \\\ vdots \ vdots \ ddots \ точки \\\ ell _ {n, 1} \ ell _ {n, 2} \ ldots \ ell _ {n, n-1} \ ell _ {n, n} \ end {bmatrix}} }

{\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} \ ell _ {1,1} 0 \\\ ell _ {2,1} \ ell _ {2,2} \\\ ell _ {3,1 } \ ell _ {3,2} \ ddots \\\ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \\\ ell _ {n, 1} \ ell _ {n, 2} \ ldots \ ell _ {n, n-1} \ ell _ {n, n} \ end {bmatrix}}}

называется нижнетреугольной матрицей или левой треугольной матрицей, и аналогично матрицей вида

U = [u 1, 1 u 1, 2 u 1, 3… u 1, nu 2, 2 u 2, 3… u 2, n ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ un - 1, n 0 un, n] {\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} u_ {1, 2} u_ {1,3} \ ldots u_ {1, n} \\ u_ {2,2} u_ {2,3} \ ldots u_ {2, n} \\ \ ddots \ ddots \ vdots \\ \ ddots u_ {n-1, n} \\ 0 u_ {n, n} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} u_ {1,1 } u_ {1,2} u_ {1,3} \ ldots u_ {1, n} \\ u_ {2,2} u_ {2,3} \ ldots u_ {2, n} \\ \ ddots \ ddots \ vdots \\ \ ddots u_ {n-1, n} \\ 0 u_ {n, n} \ end {bmatrix}}}

называется верхнетреугольной матрицей или правотреугольной матрица . Нижняя или левая треугольная матрица обычно обозначается переменной L, а верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначается переменной U или R.

Матрица, которая является как верхней, так и нижней треугольной, - это диагональ. Матрицы, которые аналогичны треугольным матрицам, называются треугольными матрицами .

Неквадратная (или иногда любая) матрица с нулями над (под) диагональю называется нижней (верхней) трапецеидальной матрицей. Ненулевые элементы образуют форму трапеции .

Примеры

Эта матрица

[1 4 1 0 6 4 0 0 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 4 1 \\ 0 6 4 \\ 0 0 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 4 1 \\ 0 6 4 \\ 0 0 1 \\\ end {bmatrix}}}

является верхним треугольником, и эта матрица

[1 0 0 2 8 0 4 9 7] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 2 8 0 \\ 4 9 7 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 2 8 0 \\ 4 9 7 \\\ end {bmatrix}}}

является нижним треугольником.

Прямая и обратная подстановка

Матричное уравнение в форме $L x = b {\ displaystyle \ mathbf {L} \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {L} \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$ или $U x = b {\ displaystyle \ mathbf {U} \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {U} \ mathbf {x} = \ mathbf {b}$ очень легко решить с помощью итеративного процесса под названием прямая подстановка для нижнетреугольных матриц и аналогичная обратная подстановка для верхнетреугольных матриц. Процесс называется так потому, что для нижнетреугольных матриц сначала вычисляется $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ , а затем это подставляется в следующее уравнение для решения для $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_{2}$ и повторяется до $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ . В верхней треугольной матрице мы работаем в обратном направлении, сначала вычисляя $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , а затем подставляя это обратно в предыдущее уравнение, чтобы найти $xn - 1 {\ displaystyle x_ {n-1}}$ $x_{n-1}$ и повторение до $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ .

Обратите внимание, что это не требует инвертирования матрицы.

Прямая подстановка

Матричное уравнение L x = b может быть записано как система линейных уравнений

ℓ 1, 1 x 1 = b 1 ℓ 2, 1 Икс 1 + ℓ 2, 2 Икс 2 знак равно б 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ℓ м, 1 Икс 1 + ℓ м, 2 Икс 2 + ⋯ + ℓ м, mxm = bm {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ ell _ {1,1} x_ {1} = b_ {1} \\\ ell _ {2,1} x_ {1} + \ ell _ {2,2} x_ {2} = b_ { 2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ ell _ {m, 1} x_ {1} + \ ell _ {m, 2} x_ {2} + \ dotsb + \ ell _ {m, m} x_ {m} = b_ {m} \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ ell _ {1,1} x_ {1} = b_ {1} \\\ ell _ { 2,1} x_ {1} + \ ell _ {2,2} x_ {2} = b_ {2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ ell _ {m, 1} x_ {1} + \ ell _ {m, 2} x_ {2} + \ dotsb + \ ell _ {m, m} x_ {m} = b_ {m} \\\ конец {матрица}}}

Обратите внимание, что первое уравнение ( $ℓ 1, 1 x 1 = b 1 {\ displaystyle \ ell _ {1,1} x_ {1} = b_ {1}}$ $\ ell _ {1,1} x_ {1} = b_ {1}$ ) включает только $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ , и, таким образом, можно напрямую найти $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ . Второе уравнение включает только $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_{2}$ , и поэтому может быть решено один раз подставить в уже решенное значение вместо $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ . Продолжая таким образом, $k {\ displaystyle k}$ $k$ -ое уравнение включает только $x 1,…, xk {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k} }$ $x_ {1}, \ dots, x_ {k}$ , и можно найти для $xk {\ displaystyle x_ {k}}$ $x_ {k}$ , используя ранее решенные значения для $x 1,…, xk - 1 {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k-1}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {k-1}$ .

В результате получаются следующие формулы:

x 1 = b 1 ℓ 1, 1, x 2 = b 2 - ℓ 2, 1 x 1 ℓ 2, 2, xm = bm - i = 1 m - 1 ℓ m, ixi ℓ m, m. {\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} = {\ frac {b_ {1}} {\ ell _ {1,1}}}, \\ x_ {2} = {\ frac {b_ { 2} - \ ell _ {2,1} x_ {1}} {\ ell _ {2,2}}}, \\ \ \ \ vdots \\ x_ {m} = {\ frac {b_ {m } - \ sum _ {i = 1} ^ {m-1} \ ell _ {m, i} x_ {i}} {\ ell _ {m, m}}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} x_ {1} = {\ frac {b_ {1}} {\ ell _ {1,1}}}, \\ x_ {2} = {\ frac {b_ {2} - \ ell _ {2,1} x_ {1}} {\ ell _ {2,2}}}, \\ \ \ \ vdots \\ x_ {m} = {\ frac {b_ {m} - \ sum _ {i = 1} ^ {m-1} \ ell _ {m, i} x_ {i}} {\ ell _ {m, m}}}. \ end {align}}}

Матричное уравнение с верхнетреугольной матрицей U можно решить аналогичным образом, только работая в обратном направлении.

Приложения

Прямая замена используется в финансовой начальной загрузке для построения кривой доходности.

Свойства

транспонирование верхней треугольной матрицы является нижней треугольной матрицей и наоборот.

Матрица, которая является как симметричной, так и треугольной, диагональной. Аналогичным образом, матрица, которая является как нормальной (что означает AA = AA, где A - сопряженное транспонирование ), так и треугольной, также является диагональной. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные входы AA и AA.

Определитель и перманент треугольной матрицы равны произведению диагональных элементов, что можно проверить прямым вычислением.

На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы - это в точности ее диагональные элементы. Более того, каждое собственное значение встречается ровно k раз на диагонали, где k - его алгебраическая кратность, то есть его кратность как корень характеристического многочлена $п A (x) = det ⁡ (x I - A) {\ displaystyle p_ {A} (x) = \ operatorname {det} (xI-A)}$ ${\ displaystyle p_ {A} (x) = \ operatorname {det} (xI-A)}$ из A. Другими словами, характеристический многочлен треугольной матрицы A размера n × n равен

p A (x) = (x - a 11) (x - a 22) ⋯ (x - ann) {\ displaystyle p_ {A} (x) = (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}

{\ displaystyle p_ {A} (x) = (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}

то есть уникальный многочлен степени n, корни которого являются диагональными элементами A (с кратности). Чтобы увидеть это, заметьте, что $x I - A {\ displaystyle xI-A}$ $xI-A$ также треугольный и, следовательно, его определитель $det ⁡ (x I - A) {\ displaystyle \ operatorname { det} (xI-A)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {det} ( xI-A)}$ - произведение его диагональных элементов $(x - a 11) (x - a 22) ⋯ (x - ann) {\ displaystyle (x-a_ { 11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}$ ${\ displaystyle (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}$ .

Особые формы

Унитреугольная матрица

Если записи на main диагональ (верхней или нижней) треугольной матрицы все равны 1, матрица называется (верхняя или нижняя) унитреугольная .

Другие имена, используемые для этих матриц: unit (верхний или нижний) треугольный или очень редко нормированный (верхний или нижний) треугольный . Однако единичная треугольная матрица не то же самое, что единичная матрица, а нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием нормы матрицы.

Все единичные треугольники матрицы унипотентны.

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы равны 0, матрица называется строго (верхняя или нижняя) треугольная .

Все строго треугольные матрицы являются нильпотентными.

атомарными треугольными матрицами

атомарными (верхними или нижними) треугольными матрица - это особая форма унитреугольной матрицы, где все недиагональные элементы равны нулю, за исключением записей в одном столбце. Такая матрица также называется матрицей Фробениуса, матрицей Гаусса или матрицей преобразования Гаусса .

Треугольником

Матрицей , подобный треугольной матрице, упоминается как триангулируемая . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом $(e 1,…, en) {\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $(e_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ и результирующий флаг $0 < ⟨ e 1 ⟩ < ⟨ e 1, e 2 ⟩ < ⋯ < ⟨ e 1, …, e n ⟩ = K n. {\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$ $0 <\ left \ langle e_ {1} \ right \ rangle <\ left \ langle e_ {1}, e_ {2} \ right \ rangle <\ cdots <\ left \ langle e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ right \ rangle = K ^ {n}.$ Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, аналогична матрице, стабилизирующей стандартный флаг.

Любая комплексная квадратная матрица допускает треугольную форму. Фактически, матрица A над полем , содержащая все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), подобна треугольной матрице. Это можно доказать с помощью индукции по тому факту, что A имеет собственный вектор, взяв фактор-пространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, является треугольным относительно базиса для этого флага.

Более точное утверждение дает теорема Жордана о нормальной форме, которая утверждает, что в этой ситуации A подобна верхнетреугольной матрице очень конкретной формы. Однако более простого результата триангуляции часто бывает достаточно, и в любом случае он используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме.

В случае комплексных матриц можно сказать больше о триангуляризации, а именно, что любая квадратная матрица A имеет разложение Шура. Это означает, что A унитарно эквивалентна (то есть подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхнетреугольной матрице; это следует путем взятия эрмитовой основы флага.

Одновременная треугольная возможность

Набор матриц $A 1,…, A k {\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$ $A_ {1}, \ ldots, A_ {k}$ называются одновременно треугольными, если существует основание, при котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если они поддаются верхнему треугольнику с помощью одной матрицы подобия P. Такой набор матриц легче понять, рассматривая алгебру матриц, которую он генерирует, а именно все многочлены из $A i, {\ displaystyle A_ {i},}$ $A_{i},$ обозначается $K [A 1,…, A k]. {\ displaystyle K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}].}$ $K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}].$ Одновременная триангулируемость означает, что эта алгебра сопряжена в подалгебру Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгебра Ли подалгебры Бореля.

. Основной результат состоит в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы $A, B {\ displaystyle A, B}$ $A, B$ или, в более общем смысле, $A 1,…, A k {\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$ $A_ {1}, \ ldots, A_ {k}$ одновременно треугольными. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем проведя индукцию по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 г. для коммутирующей пары, как обсуждалось в коммутирующих матриц. Что касается единственной матрицы, по комплексным числам они могут быть треугольными с помощью унитарных матриц.

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта: коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру $K [A 1,…, A k] {\ displaystyle K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}]}$ $K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}]$ более $K [x 1,…, xk] {\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {k}]}$ $K [x_ {1}, \ ldots, x_ {k}]$ , которое можно интерпретировать как многообразие в k-мерном аффинном пространстве, и наличие (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует этому многообразию, имеющему точку (непустой), который является содержанием (weak) Nullstellensatz. В алгебраических терминах эти операторы соответствуют представлению алгебры полиномов от k переменных.

Это обобщается с помощью теоремы Ли, которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно является треугольным верхним углом, причем случай коммутирующих матриц является абелева алгебра Ли случай, причем абелева тем более разрешима.

В более общем смысле и точнее, набор матриц $A 1,…, A k {\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$ $A_ {1}, \ ldots, A_ {k}$ одновременно треугольным тогда и только тогда, когда матрица $p (A 1,…, A k) [A i, A j] {\ displaystyle p (A_ {1}, \ ldots, A_ {k}) [A_ {i}, A_ {j}]}$ $p (A_ {1}, \ ldots, A_ {k}) [A_ {i}, A_ {j}]$ является нильпотентным для всех многочленов p от k некоммутирующих переменных, где $[A i, A j] {\ displaystyle [A_ {i}, A_ {j}]}$ $[A_ {i}, A_ {j}]$ - коммутатор ; для коммутации $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ коммутатор обращается в нуль, поэтому это верно. Это было доказано в (Drazin, Dungey Gruenberg 1951); краткое доказательство приведено в (Прасолов 1994, стр. 178–179 ). Одно направление ясно: если матрицы одновременно треугольные, то $[A i, A j] {\ displaystyle [A_ {i}, A_ {j}]}$ $[A_ {i}, A_ {j}]$ строго верхнетреугольным (следовательно нильпотентный), который сохраняется умножением на любой $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ или их комбинацию - он все равно будет иметь нули на диагонали в основе треугольника.

Алгебры треугольных матриц

Двоичные нижние унитреугольные теплицы матрицы, умноженные с использованием операций F2. Они образуют таблицу Кэли из Z4 и соответствуют степеням перестановки 4-битного кода Грея.

Верхняя треугольность сохраняется при многих операциях:

Сумма двух верхних треугольников матрица является верхнетреугольной.
Произведение двух верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной.
Обратная матрица верхней треугольной матрицы, если существует, является верхнетреугольной.
произведение верхнетреугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

Вместе эти факты означают, что верхнетреугольные матрицы образуют подалгебру в ассоциативной алгебре квадратных матриц для данного размер. Кроме того, это также показывает, что верхнетреугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли в алгебре Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [a, b] задается коммутатором ab - ba. Алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли. Ее часто называют борелевской подалгеброй алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты остаются в силе, если верхний треугольник полностью заменен на нижний; в частности, нижнетреугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц, как правило, не дают треугольных матриц. Например, сумма верхней и нижней треугольных матриц может быть любой матрицей; произведение нижнего треугольника на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.

Набор унитреугольных матриц образует группу Ли.

Набор строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентную алгебру Ли, обозначенную $n. {\ displaystyle {\ mathfrak {n}}.}$ ${\ mathfrak {n} }.$ Эта алгебра является производной алгеброй Ли от $b {\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$ ${\ mathfrak {b}}$ , алгебра Ли всех верхнетреугольных матриц; в символах $n = [b, b]. {\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = [{\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {b}}].}$ ${\ mathfrak {n}} = [{\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {b}}].$ Кроме того, $n {\ displaystyle {\ mathfrak { n}}}$ ${\ mathfrak {n}}$ - алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц.

Фактически, согласно теореме Энгеля, любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, то есть конечномерной нильпотентной алгеброй Ли одновременно строго верхнетреугольником.

Алгебры верхнетреугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе, которое дает алгебры гнезд на гильбертовых пространствах.

подгруппы Бореля и подалгебры Бореля

Набор обратимых треугольных матриц данного вида (верхнего или нижнего) образует группу, действительно, группу Ли, которая является подгруппой общей линейная группа всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима в точности тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (ненулевые).

По действительным числам эта группа разъединяется, имея $2 n {\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ компонентов соответственно, поскольку каждая диагональная запись является положительной или отрицательной. Компонент единицы - это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц является полупрямым произведением этой группы и группы диагональных матриц с $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ по диагонали, соответствующей компонентам.

Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц - это набор всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимой алгеброй Ли. Это, соответственно, стандартная подгруппа Бореля B группы Ли GL n и стандартная борелевская подалгебра $b {\ displaystyle {\ mathfrak { b}}}$ ${\ mathfrak {b}}$ алгебры Ли gl n.

Верхнетреугольные матрицы - это в точности те, которые стабилизируют стандартный флаг. Обратимые среди них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определены как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются борелевскими подгруппами. Группа обратимых нижнетреугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, ассоциированного со стандартным базисом в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный путем забвения некоторых частей стандартного флага, может быть описан как набор блочных верхнетреугольных матриц (но его элементы не все треугольные матрицы). Сопряженные с такой группой подгруппы определены как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц 2 на 2 изоморфна аддитивной группе поля скаляры; в случае комплексных чисел это соответствует группе, образованной параболическими преобразованиями Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы 3 на 3 образуют группу Гейзенберга.

Треугольная матрица

Содержание

Описание

Примеры

Прямая и обратная подстановка

Прямая подстановка

Приложения

Свойства

Особые формы

Унитреугольная матрица

Строго треугольная матрица

атомарными треугольными матрицами

Треугольником

Одновременная треугольная возможность

Алгебры треугольных матриц

подгруппы Бореля и подалгебры Бореля

Примеры

См. также

Список литературы