Подгруппа Бореля

редактировать

В теории алгебраических групп подгруппа Бореля из алгебраической группы G является максимальная замкнутая и связная разрешимая алгебраическая подгруппа Зарисского. Например, в общей линейной группе GLn(n x n обратимых матриц) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является подгруппой Бореля.

Для групп, реализованных над алгебраически замкнутыми полями, существует единственный класс сопряженности борелевских подгрупп.

подгруппы Бореля являются одним из двух ключевых ингредиентов в понимании структуры простых (в более общем смысле редуктивных ) алгебраических групп в теории групп Жака Титса пара (B, N). Здесь группа B - подгруппа Бореля, а N - нормализатор максимального тора, содержащегося в B.

Это понятие ввел Арманд Борель, сыгравший ведущая роль в развитии теории алгебраических групп.

Содержание

1 Параболические подгруппы
2 Пример
3 Алгебра Ли
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Параболические подгруппы

Подгруппы между борелевской подгруппой B и объемлющей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P также характеризуются, среди алгебраических подгрупп, условием, что G / P является полным многообразием. Работая над алгебраически замкнутыми полями, борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле. Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G / B является полным многообразием «настолько большим, насколько это возможно».

Для простой алгебраической группы G набор классов сопряженности параболических подгрупп находится в биекции с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама G - множеству всех узлов. (В общем, каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, таким образом, одномерную «корневую группу» G --- подмножество узлов, таким образом, дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими отрицательными корневыми группами. Более того, любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.)

Пример

Пусть $G = GL 4 (C) {\ displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle G = GL_ {4} (\ mathbb {C})}$ . Подгруппа Бореля $B {\ displaystyle B}$ $B$ из $G {\ displaystyle G}$ $G$ представляет собой набор верхнетреугольных матриц

${A = [a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44]: det (A) ≠ 0} {\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ { 11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ 0 a_ {22} a_ {23} a_ {24} \\ 0 0 a_ {33} a_ {34} \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}} : \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin { bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ 0 a_ {22} a_ {23} a_ {24} \\ 0 0 a_ {33} a_ {34} \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}}: \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

и максимальные собственные параболические подгруппы в $G {\ displaystyle G}$ $G$ , содержащие $B {\ displaystyle B}$ $B$ - это

${[a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 a 32 a 33 a 34 0 a 42 a 43 a 44]}, {[a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 a 43 a 44]}, {[a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 0 0 0 a 44]} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ 0 a_ {22} a_ {23} a_ { 24} \\ 0 a_ {32} a_ {33} a_ {34} \\ 0 a_ {42} a_ {43} a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ a_ {21} a_ {22} a_ {23} a_ {24 } \\ 0 0 a_ {33} a_ {34} \\ 0 0 a_ {43} a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ { 11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ a_ {21} a_ {22} a_ {23} a_ {24} \\ a_ {31} a_ {32} a_ {33} a_ {34} \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ 0 a_ {22} a_ {23} a_ {24} \\ 0 a_ {32} a_ {33} a_ {34} \\ 0 a_ {42} a_ {43} a_ {44} \ end {bmatrix} } \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ a_ {21} a_ {22} a_ { 23} a_ {24} \\ 0 0 a_ {33} a_ {34} \\ 0 0 a_ {43} a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}, {\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} a_ {13} a_ {14} \\ a_ {21} a_ {22} a_ {23} a_ {24} \\ a_ {31} a_ {32} a_ {33 } a_ {34} \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}}$

Кроме того, максимальный тор в $B {\ displaystyle B}$ $B$ is

${[a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 a 33 0 0 0 0 a 44]: a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 ⋅ a 44 ≠ 0} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11} 0 0 0 \\ 0 a_ {22} 0 0 \\ 0 0 a_ {33} 0 \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \} }$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ начать{ bmatrix} a_ {11} 0 0 0 \\ 0 a_ {22} 0 0 \\ 0 0 a_ {33} 0 \\ 0 0 0 a_ {44} \ end {bmatrix}}: a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \}}$

Это изоморфно алгебраическому тору $(C ∗) 4 = Spec (C [x ± 1, y ± 1, z ± 1, w ± 1]) {\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ {\ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {4} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x ^ { \ pm 1}, y ^ {\ pm 1}, z ^ {\ pm 1}, w ^ {\ pm 1}])}$ .

Алгебра Ли

Для частного случая алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ с подалгеброй Картана $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ , учитывая порядок из $h {\ displaystyle {\ mathfrak { h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ , подалгебра Бореля представляет собой прямую сумму $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ и весовых пространств из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ с положительным весом. Подалгебра Ли в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , содержащая борелевскую подалгебру, называется параболической алгеброй Ли.

См. Также

Гиперболическая группа

Ссылки

Гэри Зейтц (1991). «Алгебраические группы». В Б. Хартли; и другие. (ред.). Конечные и локально конечные группы. С. 45–70.
J. Хамфрис (1972). Линейные алгебраические группы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90108-6.
А. Борель (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп. Провиденс Р.И.: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.

Конкретный

^Брион, Мишель. «Лекции по геометрии многообразий флагов» (PDF).

Внешние ссылки

Попов, В.Л. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Платонов В.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press