Гиперболическая группа

редактировать

В теории групп, точнее в геометрической теории групп, гиперболическая группа, также известная как словесная гиперболическая группа или гиперболическая группа Громова, является конечно порожденной группой, снабженной словарной метрикой, удовлетворяющей определенным свойствам, абстрагированным из классической гиперболической геометрии. Понятие гиперболической группы было введено и развито Михаилом Громовым  ( 1987 ). Вдохновение пришло из различных существующих математических теорий: гиперболической геометрии, но также и низкоразмерной топологии (в частности, результатов Макса Дена о фундаментальной группе гиперболической римановой поверхности и более сложных явлений в трехмерной топологии ) и комбинаторной теории групп.. В очень влиятельной (более 1000 цитат) главе 1987 года Громов предложил обширную исследовательскую программу. Идеи и основополагающий материал теории гиперболических групп также берут начало в работах Джорджа Мостоу, Уильяма Терстона, Джеймса У. Кэннона, Элиягу Рипса и многих других.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
    • 1.1 Замечания
  • 2 Примеры
    • 2.1 Элементарные гиперболические группы
    • 2.2 Свободные группы и группы, действующие на деревьях
    • 2.3 Фуксовы группы
    • 2.4 Отрицательная кривизна
    • 2.5 Небольшие группы отмены бронирования
    • 2.6 Случайные группы
    • 2.7 Не примеры
  • 3 свойства
    • 3.1 Алгебраические свойства
    • 3.2 Геометрические свойства
    • 3.3 Гомологические свойства
    • 3.4 Алгоритмические свойства
  • 4 Обобщения
    • 4.1 Относительно гиперболические группы
    • 4.2 Ацилиндрически гиперболические группы
    • 4.3 CAT (0) группы
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Дальнейшее чтение

Определение

Позвольте быть конечно порожденной группой, и быть ее графом Кэли относительно некоторого конечного набора порождающих. Множество наделено своей метрикой графа (в которой ребра имеют длину один, а расстояние между двумя вершинами - минимальное количество ребер в пути, соединяющем их), которая превращает его в пространство длины. Группа называется гиперболической, если она является гиперболическим пространством по Громову. Вскоре, это означает, что существует такое, что любой геодезический треугольник в это -thin, как показано на рисунке справа (пространство затем называется -hyperbolic). грамм {\ displaystyle G} Икс {\ displaystyle X} S {\ displaystyle S} Икс {\ displaystyle X} грамм {\ displaystyle G} Икс {\ displaystyle X} δ gt; 0 {\ displaystyle \ deltagt; 0} Икс {\ displaystyle X} δ {\ displaystyle \ delta} δ {\ displaystyle \ delta}

Икс {\ displaystyle x} y {\ displaystyle y} z {\ displaystyle z} B δ ( [ Икс , y ] ) {\ Displaystyle В _ {\ дельта} ([х, у])} B δ ( [ z , Икс ] ) {\ Displaystyle В _ {\ дельта} ([г, х])} B δ ( [ y , z ] ) {\ displaystyle B _ {\ delta} ([y, z])} Условие δ-тонкого треугольника

Априори это определение зависит от выбора конечного порождающего множества. То, что это не так, следует из двух следующих фактов: S {\ displaystyle S}

  • графы Кэли, соответствующие двум конечным порождающим множествам, всегда квазиизометричны друг другу;
  • любое геодезическое пространство, квазиизометрическое геодезическому Громовско-гиперболическому пространству, само является Громовско-гиперболическим.

Таким образом, мы можем законно говорить о конечно порожденной группе, являющейся гиперболической, не обращаясь к порождающему множеству. С другой стороны, пространство, которое квазиизометрично гиперболическому пространству, само по себе является гиперболическим для некоторых, но последнее зависит как от исходного, так и от квазиизометрии, поэтому нет смысла говорить о том, что оно является гиперболическим.. грамм {\ displaystyle G} δ {\ displaystyle \ delta} δ {\ displaystyle \ delta '} δ gt; 0 {\ displaystyle \ delta 'gt; 0} δ {\ displaystyle \ delta} грамм {\ displaystyle G} δ {\ displaystyle \ delta}

Замечания

Švarc-Милнора леммы утверждает, что если группа действует должным образом прерывисто и с компактным фактором (такое действие часто называют геометрическим) на соответствующую длину пространства, то это конечно порождена, и любой граф Кэли для квази-изометричен. Таким образом, группа (конечно порожденная и) гиперболическая тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие на собственном гиперболическом пространстве. грамм {\ displaystyle G} Y {\ displaystyle Y} грамм {\ displaystyle G} Y {\ displaystyle Y}

Если - подгруппа с конечным индексом (т. Е. Множество конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кэли группы в любой локально конечный граф Кэли группы. Таким образом, гиперболичен тогда и только тогда, когда он сам является таким. В более общем смысле, если две группы соизмеримы, то одна гиперболическая тогда и только тогда, когда другая. грамм грамм {\ Displaystyle G '\ подмножество G} грамм / грамм {\ Displaystyle G / G '} грамм {\ displaystyle G '} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G '} грамм {\ displaystyle G}

Примеры

Элементарные гиперболические группы

Простейшими примерами гиперболических групп являются конечные группы (чьи графы Кэли имеют конечный диаметр, следовательно, -гиперболические с равным этому диаметру). δ {\ displaystyle \ delta} δ {\ displaystyle \ delta}

Другой простой пример - бесконечная циклическая группа: граф Кэли относительно порождающего множества является прямой, поэтому все треугольники являются отрезками прямых, а граф является -гиперболическим. Отсюда следует, что любая группа, которая является практически циклической (содержит копию конечного индекса), также является гиперболической, например бесконечная группа диэдра. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} { ± 1 } {\ displaystyle \ {\ pm 1 \}} 0 {\ displaystyle 0} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

Члены этого класса групп часто называют элементарными гиперболическими группами (терминология адаптирована из терминологии действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревьях

Позвольте быть конечным множеством и быть свободной группой с производящей множеством. Тогда граф Кэли относительно является локально конечным деревом и, следовательно, 0-гиперболическим пространством. Таким образом, это гиперболическая группа. S знак равно { а 1 , , а п } {\ Displaystyle S = \ {а_ {1}, \ ldots, а_ {п} \}} F {\ displaystyle F} S {\ displaystyle S} F {\ displaystyle F} S {\ displaystyle S} F {\ displaystyle F}

В более общем плане мы видим, что любая группа, которая действует должным образом разрывно на локально конечном дереве (в этом контексте это в точности означает, что стабилизаторы вершин конечны), является гиперболической. В самом деле, это следует из того факта, что у него есть инвариантное поддерево, на котором оно действует с компактным фактором, а также из леммы Сварца-Милнора. Такие группы фактически практически свободны (т.е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности. грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G}

Интересным примером является модульная группа : она действует на дереве, заданном 1-скелетом связанной мозаики гиперболической плоскости, и имеет конечную индексную подгруппу (на двух образующих) индекса 6 (например, набор матриц в которой сводится к единице по модулю 2 именно такая группа). Отметим интересную особенность этого примера: он действует разрывно на гиперболического пространства ( гиперболической плоскости ), но действие не кокомпактная (и на самом деле это не квазиизометричны гиперболической плоскости). грамм знак равно S L 2 ( Z ) {\ Displaystyle G = \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G}

Фуксовы группы

Основная статья: фуксова группа

Обобщая пример модулярной группы, фуксова группа - это группа, допускающая собственно разрывное действие на гиперболической плоскости (эквивалентно дискретной подгруппе группы). Гиперболическая плоскость - это -гиперболическое пространство, и поэтому лемма Сварца — Милнора говорит нам, что кокомпактные фуксовы группы гиперболичны. S L 2 ( р ) {\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})} δ {\ displaystyle \ delta}

Примеры таких являются фундаментальными группами из замкнутых поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики. В самом деле, эти поверхности могут быть получены как частные от гиперболической плоскости, как следует из теоремы Пуанкаре-Кебе об униформизации.

Другое семейство примеров кокомпактных фуксовых групп - треугольные группы : все, кроме конечного числа, являются гиперболическими.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных римановых многообразий со строго отрицательной секционной кривизной являются гиперболическими. Например, кокомпактные решетки в ортогональной или унитарной группе формы сигнатуры являются гиперболическими. ( п , 1 ) {\ Displaystyle (п, 1)}

Дальнейшее обобщение дается группами, допускающими геометрическое действие на пространстве CAT (k). Существуют примеры, которые не сопоставимы ни с одним из предыдущих построений (например, группы, геометрически действующие на гиперболические здания ).

Небольшие группы отмены

Основная статья: Малая теория отмены

Группы, презентации которых удовлетворяют условиям небольшого исключения, являются гиперболическими. Это дает источник примеров, которые не имеют геометрического происхождения, как приведенные выше. Фактически, одной из причин первоначального развития гиперболических групп было дать более геометрическую интерпретацию малого сокращения.

Случайные группы

Основная статья: Случайная группа

В некотором смысле «большинство» конечно представленных групп с большими определяющими соотношениями являются гиперболическими. Для количественного определения того, что это означает, см. Случайная группа.

Не примеры

  • Простейшим примером негиперболической группы является свободная абелева группа ранга 2. В самом деле, он квазиизометричен евклидовой плоскости, которая, как легко видеть, не является гиперболической (например, из-за существования гомотетий ). Z 2 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
  • В более общем смысле, любая группа, содержащаяся в качестве подгруппы, не является гиперболической. В частности, решетки в полупростых группах Ли высокого ранга и фундаментальные группы нетривиальных узловых дополнений попадают в эту категорию и, следовательно, не являются гиперболическими. Это также относится к группам классов отображений замкнутых гиперболических поверхностей. Z 2 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}} π 1 ( S 3 K ) {\ Displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {3} \ setminus K)}
  • Баумслаг-Солитер группа В ( т, п ) и любая группа, которая содержит подгруппу, изоморфную некоторую B ( м, п ) не быть гиперболическим (так как B (1,1) =, это обобщает предыдущий пример). Z 2 {\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}
  • Неравномерная решетка в ранге 1 простой группы Ли является гиперболической, если и только если группа изогенна к (эквивалентно ассоциированному симметричное пространством является гиперболической плоскостью). Примером этого являются группы гиперболических узлов. Другой пример - это группы Бьянки. S L 2 ( р ) {\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})} S L 2 ( - 1 ) {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} ({\ sqrt {-1}})}

Характеристики

Алгебраические свойства

  • Гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса : они либо виртуально разрешимы (такая возможность удовлетворяется только элементарными гиперболическими группами), либо имеют подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе.
  • Неэлементарные гиперболические группы не являются простыми в очень сильном смысле: если они неэлементарные гиперболические, то существует бесконечная подгруппа такая, что и обе бесконечны. грамм {\ displaystyle G} ЧАС грамм {\ Displaystyle H \ треугольникleft G} ЧАС {\ displaystyle H} грамм / ЧАС {\ displaystyle G / H}
  • Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не аппроксимируемая конечной.

Геометрические свойства

  • Неэлементарные (бесконечные и не виртуально циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса).
  • Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству.

Гомологические свойства

  • Гиперболические группы всегда конечно представлены. Фактически можно явно построить комплекс (комплекс Рипса ), который стягиваем и на котором группа действует геометрически, так что он имеет тип F ∞. Когда группа без кручения, действие свободно, что показывает, что группа имеет конечную когомологическую размерность.
  • В 2002 г. И. Минеев показал, что гиперболические группы - это в точности те конечно порожденные группы, для которых отображение сравнения между ограниченными когомологиями и обычными когомологиями сюръективно во всех степенях или, что эквивалентно, в степени 2.

Алгоритмические свойства

  • У гиперболических групп есть разрешимая проблема слов. Они biautomatic и автоматические. Действительно, они являются строго геодезически автоматическими, то есть в группе есть автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, представляет собой набор всех геодезических слов.
  • В 2010 году было показано, что гиперболические группы имеют разрешимую проблему отмеченного изоморфизма. Примечательно, что это означает, что проблема изоморфизма, проблемы орбиты (в частности, проблема сопряженности) и проблема Уайтхеда разрешимы.
  • Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с 2-сферой на бесконечности имеют естественное правило подразделения. Это связано с гипотезой Кэннона.

Обобщения

Относительно гиперболические группы

Основная статья: Относительно гиперболическая группа

Относительно гиперболические группы - это класс обобщающих гиперболических групп. Очень грубо говоря, гиперболичен относительно набора подгрупп, если он допускает ( не обязательно кокомпактное) собственно разрывное действие на собственном гиперболическом пространстве, которое "хорошо" на границе и такое, что стабилизаторы точек на границе являются подгруппами в. Это интересно, когда и то, и другое действие on не элементарно (в частности, бесконечно: например, каждая группа гиперболична по отношению к себе через свое действие в одной точке!). грамм {\ displaystyle G} грамм {\ Displaystyle {\ mathcal {G}}} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ Displaystyle {\ mathcal {G}}} Икс {\ displaystyle X} грамм {\ displaystyle G} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X}

Интересные примеры в этом классе включают, в частности, неоднородные решетки в полупростых группах Ли ранга 1, например фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Непримеры - это решетки в группах Ли более высокого ранга и группы классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общее понятие - это ацилиндрическая гиперболическая группа. Ацилиндричность действия группы на метрическом пространстве - это ослабление собственного разрыва действия. грамм {\ displaystyle G} Икс {\ displaystyle X}

Группа называется ацилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное ацилиндрическое действие на ( не обязательно собственном ) Громовско-гиперболическом пространстве. Это понятие включает группы классов отображения через их действия на комплексах кривых. Решетки в группах Ли более высокого ранга не являются (все же!) Ацилиндрически гиперболическими.

CAT (0) группы

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в приведенных выше примерах: группа CAT (0) - это группа, допускающая геометрическое действие на пространстве CAT (0). Сюда входят евклидовы кристаллографические группы и равномерные решетки в группах Ли более высокого ранга.

Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся CAT (0).

Заметки

  1. ↑ Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, С.М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации научно-исследовательского института математических наук, том 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263.
  2. ^ Bowditch, 2006 и теорема 3.6. ошибка sfn: нет цели: CITEREFBowditch2006Theorem_3.6 ( помощь )
  3. ^ для доказательства того, что это включает в себя предыдущие примеры, см. https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
  4. ^ Гис и де ла Арп 1990, гл. 8, чт. 37.
  5. ^ Bridson amp; Haefliger 1999, Глава 3.Γ, Следствие 3.10..
  6. ^ Bowditch 2006, (F4) в пункте 6.11.2.
  7. ^ Гис и де ла Арп 1990, Chapitre 4.
  8. ^ Минеев 2002.
  9. ^ Чарни 1992.
  10. ^ Дахмани amp; Guirardel 2011.
  11. ^ Cannon amp; Свенсон 1998.
  12. ^ Bowditch 2012.
  13. Перейти ↑ Osin, 2016.
  14. ^ В некоторых деталях: он требует, чтобы для каждого существовали такие, что для каждых двух точек, которые, по крайней мере, разделены, существует не более чем элементов, удовлетворяющих и. ε gt; 0 {\ displaystyle \ varepsilongt; 0} р , N gt; 0 {\ displaystyle R, Ngt; 0} Икс , y Икс {\ displaystyle x, y \ in X} р {\ displaystyle R} N {\ displaystyle N} грамм грамм {\ displaystyle g \ in G} d ( Икс , грамм Икс ) lt; ε {\ Displaystyle d (х, gx) lt;\ varepsilon} d ( y , грамм y ) lt; ε {\ displaystyle d (y, gy) lt;\ varepsilon}
  15. ^ "Все ли δ-гиперболические группы CAT (0)?". Обмен стеками. 10 февраля 2015 года.

Рекомендации

дальнейшее чтение

Последняя правка сделана 2023-08-11 06:49:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте