Алгебраический тор

редактировать

В математике, алгебраический тор, где обычно обозначается одномерный тор. по $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ , $G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ $\ mathbb {G} _ {m}$ , или $T {\ displaystyle \ mathbb {T}}$ $\ mathbb {T}$ , это тип коммутативной аффинной алгебраической группы, обычно встречающейся в проективной алгебраической геометрии и торике. геометрия. Алгебраические торы более высокой размерности можно смоделировать как произведение алгебраических групп $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ . Эти группы были названы по аналогии с теорией торов в теории групп Ли (см. подгруппа Картана ). Например, над комплексными числами $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ алгебраический тор $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ изоморфен групповой схеме $C ∗ = Spec (C [t, t - 1]) {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = { \ text {Spec}} (\ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = { \ текст {Spec}} (\ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$ , который является теоретико-схемным аналогом группы Ли $U (1) ⊂ C {\ Displaystyle U (1) \ subset \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U (1) \ subset \ mathbb {C}}$ . Фактически, любое действие $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ в сложном векторном пространстве может быть возвращено в $U ( 1) {\ displaystyle U (1)}$ $U(1)$ - действие от включения $U (1) ⊂ C ∗ {\ displaystyle U (1) \ subset \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ displaystyle U (1) \ подмножество \ mathbb {C} ^ {*}}$ как реальные коллекторы.

Торы имеют фундаментальное значение в теории алгебраических групп и групп Ли и в изучении связанных с ними геометрических объектов, таких как симметричные пространства и здания.

Содержание

1 Алгебраические торы над полями
- 1.1 Мультипликативная группа поля
- 1.2 Определение
- 1.3 Изогении
- 1.4 Примеры
  - 1.4.1 Над алгебраически замкнутым полем
  - 1.4.2 Над действительные числа
  - 1.4.3 Над конечным полем
2 Веса и веса
3 Тора в полупростых группах
- 3.1 Линейные представления торов
- 3.2 Разделение ранга полупростой группы
- 3.3 Классификация полупростых групп
4 Торы и геометрия
- 4.1 Плоские подпространства и ранг симметрических пространств
- 4.2 Q-ранг решеток
- 4.3 Постройки
5 Алгебраические торы над произвольной базовой схемой
- 5.1 Определение
  - 5.1.1 Примеры
- 5.2 Веса
6 Арифметические инварианты
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Алгебраические торы над полями

В большинство мест, где мы обслуживаем Например, базовое поле является совершенным (например, конечным или нулевым характеристическим). Эта гипотеза требуется, чтобы иметь гладкую групповую схему, поскольку для алгебраической группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ быть сглаженной по характеристике $p {\ displaystyle p}$ $p$ , карты

$(⋅) pr: O (G) → O (G) {\ displaystyle (\ cdot) ^ {p ^ {r}}: {\ mathcal {O}} (G) \ to { \ mathcal {O}} (G)}$ ${\ displaystyle (\ cdot) ^ {p ^ {r}}: {\ mathcal {O}} (G) \ to {\ mathcal {O}} (G)}$

необходимо геометрически уменьшить для получения достаточно большого $r {\ displaystyle r}$ $r$ , что означает изображение соответствующей карты на $G {\ displaystyle G}$ $G$ является сглаженным для достаточно больших $r {\ displaystyle r}$ $r$ .

В общем случае вместо алгебраических замыканий нужно использовать разделяемые замыкания.

Мультипликативная группа поля

Если $F {\ displaystyle F}$ $F$ - поле, то мультипликативная группа над $F {\ displaystyle F}$ $F$ - алгебраическая группа $G m {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathbf {m}}}$ такая, что для любого расширения поля $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E/F$ $E {\ displaystyle E}$ $E$ -точки изоморфны группе $E × {\ displaystyle E ^ {\ times} }$ $E^{\times }$ . Чтобы правильно определить его как алгебраическую группу, можно взять аффинное многообразие, определяемое уравнением $xy = 1 {\ displaystyle xy = 1}$ $xy=1$ в аффинной плоскости над $F {\ displaystyle F }$ $F$ с координатами $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x, y$ . Затем умножение дается путем ограничения регулярного рационального отображения $F 2 × F 2 → F 2 {\ displaystyle F ^ {2} \ times F ^ {2} \ до F ^ {2}}$ ${\ displaystyle F ^ {2} \ раз F ^ {2} \ to F ^ {2}}$ определяется как $((x, y), (x ′, y ′)) ↦ (xx ′, yy ′) {\ displaystyle ((x, y), (x ', y')) \ mapsto ( xx ', yy')}$ $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ , а обратное - ограничение регулярного рационального отображения $(x, y) ↦ (y, x) {\ displaystyle (x, y) \ mapsto (y, x)}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (y, x)}$ .

Определение

Пусть $F {\ displaystyle F}$ $F$ будет полем с алгебраическим замыканием $F ¯ {\ displaystyle {\ overline {F} }}$ $\ overline F$ . Тогда $F {\ displaystyle F}$ $F$ -torus - это алгебраическая группа, определенная над $F {\ displaystyle F}$ $F$ , которая изоморфна над $F ¯ { \ displaystyle {\ overline {F}}}$ $\ overline F$ до конечного произведения копий мультипликативной группы.

Другими словами, если $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ является $F {\ displaystyle F}$ $F$ -группировать его является тором тогда и только тогда, когда $T (F ¯) ≅ (F ¯ ×) r {\ displaystyle \ mathbf {T} ({\ overline {F}}) \ cong ({\ overline {F}} ^ {\ times}) ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T} ({\ overline {F}}) \ cong ({\ overline {F}} ^ {\ times}) ^ {r}}$ для некоторого $r ≥ 1 {\ displaystyle r \ geq 1}$ $r\geq 1$ . Основная терминология, связанная с торами, следующая.

Целое число $r {\ displaystyle r}$ $r$ называется рангом или абсолютным рангом тора $T {\ displaystyle \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ .
Говорят, что тор для разделения на расширение поля $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E/F$ , если $T (E) ≅ (E ×) r {\ displaystyle \ mathbf {T} (E) \ cong (E ^ {\ times}) ^ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T} (E) \ cong (E ^ {\ times}) ^ {r}}$ . Существует уникальное минимальное конечное расширение $F {\ displaystyle F}$ $F$ , над которым разбивается $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ , которое называется поле разделения $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ .
$F {\ displaystyle F}$ $F$ -rank of $T {\ displaystyle \ mathbf {T }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ - максимальный ранг разделенного подтора тора $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ . Тор расщепляется тогда и только тогда, когда его $F {\ displaystyle F}$ $F$ -ранг равен его абсолютному рангу.
Тор называется анизотропным, если его $F {\ displaystyle F}$ $F$ -ранг равен нулю.

Изогения

изогения между алгебраическими группами - это сюръективный морфизм с конечным ядром; два тора называются изогенными, если существует изогения от первого ко второму. Изогении между торами особенно хорошо проявляются: для любой изогении $ϕ: T → T ′ {\ displaystyle \ phi: \ mathbf {T} \ to \ mathbf {T} '}$ $\phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '$ существует «двойная» изогения $ψ: T ′ → T {\ displaystyle \ psi: \ mathbf {T} '\ to \ mathbf {T}}$ $\psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T}$ такая, что $ψ ∘ ϕ {\ displaystyle \ psi \ circ \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ \ phi }$ - это карта власти. В частности, изогенность - это отношение эквивалентности между торами.

Примеры

Над алгебраически замкнутым полем

Над любым алгебраически замкнутым полем $k = k ¯ {\ displaystyle k = {\ overline {k}}}$ ${\ displaystyle k = {\ overline {k}}}$ существует с точностью до изоморфизма единственный тор любого данного ранга. Для ранга $n {\ displaystyle n}$ $n$ алгебраический тор над $k {\ displaystyle k}$ $k$ это дается групповой схемой $G m = Spec к (к [t 1, t 1 - 1,…, tn, tn - 1]) {\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m} = {\ text {Spec}} _ {k} (k [t_ { 1}, t_ {1} ^ {- 1}, \ ldots, t_ {n}, t_ {n} ^ {- 1}])}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {m} = {\ text {Spec}} _ {k} (k [ t_ {1}, t_ {1} ^ {- 1}, \ ldots, t_ {n}, t_ {n} ^ {- 1}])}$ .

По действительным числам

По полю вещественные числа $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ существует ровно (с точностью до изоморфизма) два тора ранга 1:

расщепленный тор $R × {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times}}$
компактная форма, которая может быть реализована как унитарная группа $U (1) {\ displaystyle \ mathbf {U} (1)}$ $\mathbf {U} (1)$ или как специальная ортогональная группа $SO (2) {\ displaystyle \ mathrm {SO} (2)}$ $\mathrm {SO} (2)$ . Это анизотропный тор. Как группа Ли, она также изоморфна тору 1- $T 1 {\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {1}}$ , что объясняет картину диагонализуемые алгебраические группы как торы.

Любой вещественный тор изогенен конечной сумме этих двух; например, реальный тор $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ {\ times }$ дважды покрывается (но не изоморфен) $R × × T 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times} \ times \ mathbb {T} ^ {1}}$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}$ . Это дает пример изогенных неизоморфных торов.

Над конечным полем

Над конечным полем $F q {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ $\mathbb {F} _{q}$ есть два тора ранга 1: разделенный, с мощностью $q - 1 {\ displaystyle q-1}$ $q -1$ , и анизотропный, с мощностью $q + 1 {\ displaystyle q +1}$ $q + 1$ . Последний может быть реализован как матричная группа

{(tduut): t, u ∈ F q, t 2 - du 2 = 1} ⊂ SL 2 (F q) {\ displaystyle \ left \ {{\ begin { pmatrix} t du \\ u t \ end {pmatrix}}: t, u \ in \ mathbb {F} _ {q}, t ^ {2} -du ^ {2} = 1 \ right \} \ subset \ mathrm { SL} _ {2} (\ mathbb {F} _ {q})}

\left\{{\begin{pmatrix}tdu\\ut\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q})

В более общем смысле, если $E / F {\ displaystyle E / F}$ $E/F$ является расширением конечного поля степень $d {\ displaystyle d}$ $d$ , затем ограничение Вейля от $E {\ displaystyle E}$ $E$ до $F {\ displaystyle F}$ $F$ мультипликативной группы $E {\ displaystyle E}$ $E$ представляет собой $F {\ displaystyle F}$ $F$ -тор ранга $d {\ displaystyle d}$ $d$ и $F {\ displaystyle F}$ $F$ - ранг 1 (обратите внимание, что ограничение скаляров над неотделимым расширением поля приведет к коммутативной алгебраической группе это не тор). Ядро $NE / F {\ displaystyle N_ {E / F}}$ ${\ displaystyle N_ {E / F}}$ своей нормы поля также является тором, который является анизотропным и имеет ранг $d - 1 {\ Displaystyle d-1}$ $d-1$ . Любой $F {\ displaystyle F}$ $F$ -тор ранга один либо расщепляется, либо изоморфен ядру нормы квадратичного расширения. Два приведенных выше примера являются частными случаями этого: компактный вещественный тор является ядром нормы поля $C / R {\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ и анизотропный тор над $F q {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$ $\mathbb {F} _{q}$ является ядром нормы поля $F q 2 / F q {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q ^ {2}} / \ mathbb {F} _ {q}}$ $\mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}$ .

Веса и веса

Над сепарабельно замкнутым полем тор T допускает два первичных инварианта. Weight решетка $X ∙ (T) {\ displaystyle X ^ {\ bullet} (T)}$ $X^{\bullet }(T)$ - это группа алгебраических гомоморфизмов T → Gm, а решетка Ковейта $X ∙ (T) {\ displaystyle X _ {\ bullet} (T)}$ $X _ {\ bullet} (T)$ - группа алгебраических гомоморфизмов Gm→ T. Оба они бесплатны. абелевы группы, ранг которых совпадает с рангом тора, и у них есть каноническое невырожденное спаривание $X ∙ (T) × X ∙ (T) → Z {\ displaystyle X ^ {\ bullet} (T) \ times X _ {\ bullet} (T) \ to \ mathbb {Z}}$ $X ^ {\ bullet} (T) \ times X _ {\ bullet} (T) \ to {\ mathbb {Z}}$ , заданное как $(f, g) ↦ deg (f ∘ g) {\ displaystyle (f, g) \ mapsto {\ text { deg}} (f \ circ g)}$ $(f,g)\mapsto {\text{deg}}(f\circ g)$ , где степень - это число n такое, что композиция равна n-й степени отображения на мультипликативной группе. Функтор, задаваемый взятием весов, является антиэквивалентностью категорий между торами и свободными абелевыми группами, а функтор ковейта - эквивалентностью. В частности, отображения торов характеризуются линейными преобразованиями весов или коров, а группа автоморфизмов тора является общей линейной группой над Z . Квазиобратный функтор весов задается функтором дуализации от свободных абелевых групп к торам, определяемым своим функтором точек как:

D (M) S (X): = H om (M, G m, S (X)). {\ displaystyle D (M) _ {S} (X): = \ mathrm {Hom} (M, \ mathbb {G} _ {m, S} (X)).}

D (M) _ {S} (X): = { \ mathrm {Hom}} (M, {\ mathbb {G}} _ {{m, S}} (X)).

Эту эквивалентность можно обобщить на переходят между группами мультипликативного типа (выделенный класс формальных групп ) и произвольными абелевыми группами, и такое обобщение может быть удобным, если кто-то хочет работать в хорошо управляемой категории, поскольку категория торов не не имеют ядер или фильтрованных копределов.

Когда поле K не является сепарабельно замкнутым, решетки веса и веса тора над K определяются как соответствующие решетки над сепарабельным замыканием. Это индуцирует канонические непрерывные действия абсолютной группы Галуа группы K на решетках. Веса и веса, фиксируемые этим действием, - это в точности отображения, определенные над K. Функтор взятия весов является антиэквивалентностью между категорией торов над K с алгебраическими гомоморфизмами и категорией конечно порожденных абелевых групп без кручения с действие абсолютной группы Галуа группы K.

Учитывая конечное сепарабельное расширение поля L / K и тор T над L, мы имеем модуль Галуа изоморфизм

X ∙ (R es L / KT) ≅ I nd GLGKX ∙ (T). {\ displaystyle X ^ {\ bullet} (\ mathrm {Res} _ {L / K} T) \ cong \ mathrm {Ind} _ {G_ {L}} ^ {G_ {K}} X ^ {\ bullet} (T).}

X ^ {\ bullet} ({\ mathrm {Res }} _ {{L / K}} T) \ cong {\ mathrm {Ind}} _ {{G_ {L}}} ^ {{G_ {K}}} X ^ {\ bullet} (T).

Если T - мультипликативная группа, то это дает ограничению скаляров структуру модуля перестановки. Торы, весовые решетки которых являются модулями перестановок для группы Галуа, называются квази-расщепленными, а все квази-расщепленные торы являются конечными продуктами ограничений скаляров.

Торы в полупростых группах

Линейные представления торов

Как видно из приведенных выше примеров, торы могут быть представлены как линейные группы. Альтернативное определение торов:

Линейная алгебраическая группа является тором тогда и только тогда, когда она диагонализуема над алгебраическим замыканием.

Тор разбивается над полем тогда и только тогда, когда он диагонализуем над этим полем.

Разделение ранга полупростой группы

Если $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ - полупростая алгебраическая группа над полем $F {\ displaystyle F}$ $F$ тогда:

его ранг (или абсолютный ранг) - это ранг максимальной подгруппы тора в $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ (обратите внимание, что все максимальные торы сопряжены над $F {\ displaystyle F}$ $F$ , поэтому ранг четко определен);
его $F {\ displaystyle F}$ $F$ -ранг (иногда называемый $F {\ displaystyle F}$ $F$ -split rank) - это максимальный ранг подгруппы тора в $G {\ displaystyle G}$ $G$ который разделен на $F {\ displaystyle F}$ $F$ .

Очевидно, что ранг не меньше, чем $F {\ displaystyle F}$ $F$ -rank; группа называется разделенной тогда и только тогда, когда выполняется равенство (то есть существует максимальный тор в $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ , который разбивается на $F {\ displaystyle F}$ $F$ ). Группа называется анизотропной, если она не содержит расщепленных торов (то есть ее $F {\ displaystyle F}$ $F$ -ранг равен нулю).

Классификация полупростых групп

В классической теории полупростых алгебр Ли над комплексным полем подалгебры Картана играют фундаментальную роль в классификации через корневые системы и диаграммы Дынкина. Эта классификация эквивалентна классификации связных алгебраических групп над комплексным полем, и подалгебры Картана соответствуют максимальным торам в них. Фактически, классификация переносится на случай произвольного базового поля в предположении, что существует расщепляемый максимальный тор (что автоматически выполняется над алгебраически замкнутым полем). Без предположения о расщепленности все становится намного сложнее, и необходимо развивать более подробную теорию, которая все еще частично основана на изучении сопряженных действий торов.

Если $T {\ displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ - максимальный тор в полупростой алгебраической группе $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ затем по алгебраическому замыканию возникает корневая система $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ в векторном пространстве $V = X ∗ (T) ⊗ ZR {\ стиль отображения V = X ^ {*} (\ mathbf {T}) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle V = X ^ {*} (\ mathbf {T}) \ otimes _ {\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ . С другой стороны, если $FT ⊂ T {\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T} \ subset \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T} \ подмножество \ mathbf {T}}$ является максимальным $F {\ displaystyle F}$ $F$ -разбиение тора на $F {\ displaystyle F}$ $F$ -Lie алгебру $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ дает начало другой корневой системе $F Φ {\ displaystyle {} _ {F} \ Phi}$ ${\ displaystyle {} _ {F} \ Phi}$ . Карта ограничений $X ∗ (T) → X ∗ (FT) {\ displaystyle X ^ {*} (\ mathbf {T}) \ to X ^ {*} (_ {F} \ mathbf {T}) }$ ${ \ Displaystyle X ^ {*} (\ mathbf {T}) \ to X ^ {*} (_ {F} \ mathbf {T})}$ индуцирует отображение $Φ → F Φ ∪ {0} {\ displaystyle \ Phi \ to {} _ {F} \ Phi \ cup \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ Phi \ to {} _ {F} \ Phi \ cup \ {0 \}}$ а индекс Титса - это способ кодирования свойств этой карты и действия группы Галуа $F ¯ / F {\ displaystyle {\ overline {F}} / F}$ ${\ displaystyle {\ overline {F}} / F}$ на $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ . Индекс Титса является «относительной» версией «абсолютной» диаграммы Дынкина, связанной с $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ ; очевидно, что данной диаграмме Дынкина может соответствовать только конечное число индексов Титса.

Другой инвариант, связанный с расщепленным тором $FT {\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T}}$ , - это анизотропное ядро: это полученная полупростая алгебраическая группа как производная подгруппа централизатора $FT {\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T}}$ ${\ displaystyle {} _ {F} \ mathbf {T}}$ в $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ (последняя - только редукционная группа). Как видно из названия, это анизотропная группа, и ее абсолютный тип однозначно определяется $F Φ {\ displaystyle {} _ {F} \ Phi}$ ${\ displaystyle {} _ {F} \ Phi}$ .

Первым шагом к классификации является следующая теорема

Две полупростые

F {\ displaystyle F}

F

-алгебраические группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы Титса и изоморфные анизотропные ядра.

Это сводит проблему классификации к анизотропным группам и к определению, какие индексы Титса могут встречаться для данной диаграммы Дынкина. Последняя проблема была решена в Титсе (1966). Первый связан с группами когомологий Галуа группы $F {\ displaystyle F}$ $F$ . Точнее, с каждым индексом Титса связана уникальная квази-расщепленная группа на $F {\ displaystyle F}$ $F$ ; тогда каждая $F {\ displaystyle F}$ $F$ -группа с тем же индексом является внутренней формой этой квази-расщепленной группы, и они классифицируются когомологиями Галуа $F {\ displaystyle F}$ $F$ с коэффициентами в присоединенной группе.

Торы и геометрия

Плоские подпространства и ранг симметрических пространств

Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ полупростая группа Ли, то его реальный ранг равен $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ -rank, как определено выше (для любого $R {\ displaystyle \ mathbb {R} }$ $\ mathbb {R}$ -алгебраическая группа, группа вещественных точек которой изоморфна $G {\ displaystyle G}$ $G$ ), другими словами, максимальное $r {\ displaystyle r}$ $r$ такое, что существует вложение $(R ×) r → G {\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {\ times}) ^ {r} \ to G}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {\ times}) ^ {r} \ to G}$ . Например, реальный ранг $SL n (R) {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ равен $n - 1 {\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , и реальный ранг $SO (p, q) {\ displaystyle \ mathrm {SO} (p, q)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (p, q)}$ равен to $min (p, q) {\ displaystyle \ min (p, q)}$ $\min(p,q)$ .

Если $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ - это симметричное пространство связанный с $G {\ displaystyle G}$ $G$ и $T ⊂ G {\ displaystyle T \ subset G}$ $T\subset G$ , является максимальным расщепленным тором, тогда существует уникальная орбита $T {\ displaystyle T}$ $T$ в $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ , которое является полностью геодезическим плоским подпространством в $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ . На самом деле это максимальное плоское подпространство, и все максимальные таковые получаются таким образом как орбиты расщепленных торов. Таким образом, существует геометрическое определение действительного ранга как максимальной размерности плоского подпространства в $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ .

Q-ранг решеток

Если группа Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ получается как вещественные точки алгебраической группы $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ над рациональным полем $Q { \ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb { Q}$ , затем $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb { Q}$ -ранг $G {\ displaystyle \ mathbf {G} }$ ${\ mathbf G}$ имеет также геометрическое значение. Чтобы добраться до него, нужно ввести арифметическую группу $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ , связанную с $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ , что примерно представляет собой группу целых точек $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ , и фактор-пространство $M = Γ ∖ X {\ displaystyle M = \ Gamma \ backslash X}$ ${\ displaystyle M = \ Gamma \ backslash X}$ , который является римановым орбифолдом и, следовательно, метрическим пространством. Тогда любой асимптотический конус из $M {\ displaystyle M}$ $M$ гомеоморфен конечному симплициальному комплексу с симплексами верхней размерности размерности, равной $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb { Q}$ - ранг $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ . В частности, $M {\ displaystyle M}$ $M$ является компактным тогда и только тогда, когда $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ является анизотропным.

Обратите внимание, что это позволяет определить $Q {\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ $\ mathbf Q$ -ранг любой решетки в полупростой группе Ли как размерность ее асимптотического конуса.

Здания

Если $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ является полупростой группой над $Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q } _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ максимальные расщепленные торы в $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ соответствуют квартирам дома Брюа-Титса $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ , связанный с $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ . В частности, размер $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ равен $Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ -rank of $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ ${\ mathbf G}$ .

Алгебраические торы над произвольной базовой схемой

Определение

Учитывая базовую схему S, алгебраический тор над S определяется как групповая схема над S, которая fpqc локально изоморфна конечному произведению копий мультипликативной групповой схемы Gm/ S над S. другими словами, существует строго плоское отображение X → S такое, что любая точка в X имеет квазикомпактную открытую окрестность U, образ которой является открытой аффинной подсхемой схемы S, такое что замена базы на U дает конечное произведение копий GL 1, U = Gm/ U. Один особенно важный случай - это когда S является спектром поля K, что делает тор над S алгебраической группой, расширение которой до некоторого конечного сепарабельного расширения L является конечным произведением копий Gm/ L. В общем, кратность этого произведения (т. Е. Размерность схемы) называется рангом тора, и это локально постоянная функция на S.

Большинство понятий определяется для торов над полями переносим на эту более общую установку.

Примеры

Одним из распространенных примеров алгебраического тора является рассмотрение аффинного конуса $Aff (X) ⊂ A n + 1 {\ displaystyle {\ text {Aff}} (X) \ subset \ mathbb {A} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle {\ text {Aff}} ( X) \ subset \ mathbb {A} ^ {n + 1}}$ проективной схемы $X ⊂ P n {\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$ . Затем, после удаления начала координат, индуцированное отображение проекции

$π: (Aff (X) - {0}) → X {\ displaystyle \ pi: ({\ text {Aff}} (X) - \ {0 \ }) \ to X}$ ${\ displaystyle \ pi: ({\ text {Aff}} (X) - \ {0 \}) \ to X}$

дает структуру алгебраического тора над $X {\ displaystyle X}$ $Икс$ .

Weights

Для общей базовой схемы S веса и веса определяются как fpqc пучки свободных абелевых групп на S. Они обеспечивают представления фундаментальных группоидов базы относительно топологии fpqc. Если тор является локально тривиализуемым относительно более слабой топологии, такой как этальная топология, то пучки групп спускаются к тем же топологиям, и эти представления факторизуются через соответствующие фактор-группоиды. В частности, этальный пучок порождает квазиизотривиальный тор, и если S локально нётеров и нормален (в более общем случае, геометрически неразветвленный ), тор изотривиален. В качестве частичного обращения теорема из Гротендика утверждает, что любой тор конечного типа квазиизотривиален, т. Е. Расщеплен этальной сюръекцией.

Для данного тора T ранга n над S скрученная форма - это тор над S, для которого существует fpqc-покрытие S, для которого их базовые расширения изоморфны, т. Е. Это тор того же ранга. Классы изоморфизма скрученных форм расщепляемого тора параметризуются неабелевыми плоскими когомологиями $H 1 (S, GL n (Z)) {\ displaystyle H ^ {1} (S, GL_ {n} (\ mathbb {Z})))}$ $H ^ {1} (S, GL_ {n} ({\ mathbb {Z}}))$ , где группа коэффициентов образует постоянный пучок. В частности, скрученные формы расщепляемого тора T над полем K параметризуются элементами отмеченного множества когомологий Галуа $H 1 (GK, GL n (Z)) {\ displaystyle H ^ {1} (G_ {K }, GL_ {n} (\ mathbb {Z}))}$ $H ^ {1} (G_ {K}, GL_ {n} ({\ mathbb {Z}}))$ с тривиальным действием Галуа на коэффициенты. В одномерном случае коэффициенты образуют группу второго порядка, и классы изоморфизма скрученных форм Gmнаходятся в естественной биекции с сепарабельными квадратичными расширениями K.

Поскольку взятие решетки весов является эквивалентности категорий, короткие точные последовательности торов соответствуют коротким точным последовательностям соответствующих весовых решеток. В частности, расширения торов классифицируются Ext-пучками. Они естественно изоморфны группам плоских когомологий $H 1 (S, H om Z (X ∙ (T 1), X ∙ (T 2))) {\ displaystyle H ^ {1} (S, \ mathrm { Hom} _ {\ mathbb {Z}} (X ^ {\ bullet} (T_ {1}), X ^ {\ bullet} (T_ {2})))}$ $H ^ {1} (S, {\ mathrm {Hom}} _ {{\ mathbb {Z}}} (X ^ {\ bullet} (T_ {1}), X ^ {\ bullet} (T_ {2})))$ . Над полем расширения параметризуются элементами соответствующей группы когомологий Галуа.

Арифметические инварианты

В своей работе над числами Тамагавы, Т. Оно ввел тип функториальных инвариантов торов над конечными сепарабельными расширениями выбранного поля k. Такой инвариант представляет собой набор положительных вещественных функций f K на классах изоморфизма торов над K, поскольку K пробегает конечные сепарабельные расширения k, удовлетворяющие трем свойствам:

Мультипликативность: заданы два тора T 1 и T 2 над K, f K(T1× T 2) = f K(T1) f K(T2)
Ограничение: для конечного разделимого расширение L / K, f L, вычисленное на торе L, равно f K, вычисленное на его ограничении скаляров до K.
Проективная тривиальность: если T равно тор над K, решетка весов которого является проективным модулем Галуа, то f K (T) = 1.

T. Оно показал, что таким инвариантом является число Тамагавы тора над числовым полем. Кроме того, он показал, что это частное двух когомологических инвариантов, а именно порядка группы $H 1 (G k, X ∙ (T)) ≅ E xt 1 (T, G m) {\ displaystyle H ^ {1} (G_ {k}, X ^ {\ bullet} (T)) \ cong Ext ^ {1} (T, \ mathbb {G} _ {m})}$ $H ^ {1} (G_ {k}, X ^ {\ bullet} (T)) \ cong Ext ^ {1} (T, {\ mathbb {G}} _ {m})$ (иногда ошибочно называют группа Пикара группы T, хотя она не классифицирует Gmторсоры над T), и порядок группы Тейта – Шафаревича.

Понятие инварианта, данное выше, естественно обобщается на торы над произвольными базовыми схемами с функциями, принимающими значения в более общих кольцах. Хотя порядок группы расширений является общим инвариантом, два других вышеупомянутых инварианта, похоже, не имеют интересных аналогов вне области полей дробей одномерных областей и их пополнений.

См. Также

Портал математики

Примечания

Ссылки

A. Гротендик, SGA 3 Exp. VIII – X
Т. Оно, О числах Тамагава
Т. Оно, О числе Тамагавы алгебраических торов Annals of Mathematics 78 (1) 1963.
Титс, Жак (1966). «Классификация алгебраических полупростых групп». В Бореле, Арман; Мостоу, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные группы. Материалы симпозиумов по чистой математике. 9 . Американская математика. соц. С. 33–62. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Deductive Press. стр. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2. CS1 maint: ref = harv (ссылка )