Формальный групповой закон

В математике формальный групповой закон (грубо говоря) является формальный степенной ряд, ведущий себя так, как если бы он был продуктом группы Ли. Их ввел С. Бохнер (1946). Термин формальная группа иногда означает то же, что и формальный групповой закон, а иногда означает одно из нескольких обобщений. Формальные группы занимают промежуточное положение между группами Ли (или алгебраическими группами ) и алгебрами Ли. Они используются в теории чисел и алгебраической топологии.

• 1 Определения
• 2 Примеры
• 3 Алгебры Ли
• 4 Логарифм коммутативной формальной группы закон
• 5 Формальное групповое кольцо формального группового закона
• 6 Формальные групповые законы как функторы
• 7 Высота
• 8 Кольцо Лазара
• 9 Формальные группы
• 10 Формальные групповые законы Любина – Тейта
• 11 См. Также
• 12 Ссылки

A одномерный формальный групповой закон над коммутативным кольцом R является степенным рядом F (x, y) с коэффициентами в R, такое, что

1. F (x, y) = x + y + члены более высокой степени
2. F (x, F (y, z)) = F (F (x, y), z) (ассоциативность).

Простейшим примером является аддитивный формальный групповой закон F (x, y) = x + y. Идея определения состоит в том, что F должно быть чем-то вроде разложения в формальный степенной ряд произведения группы Ли, где мы выбираем координаты так, чтобы идентичность группы Ли была началом координат.

В более общем смысле, n-мерный формальный групповой закон представляет собой набор n степенных рядов F i(x1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n) в 2n переменных, так что

1. F(x,y) = x+ y+ члены более высокой степени
2. F(x, F(y,z)) = F(F(x,y), z)

где мы пишем F вместо (F 1,..., F n), x для (x 1,..., x n) и т. Д.

Формальный групповой закон называется коммутативным, если F(x,y) = F(y,x).

Предложение Если R $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$-кручение, то любой одномерный формальный групповой закон над R коммутативен.

Доказательство Свобода кручения дает нам экспоненту и логарифм, что позволяет записать F как F (x, y) = exp (log (x) + log (y)).

Нет необходимости в аксиоме аналогично существованию инверсии для групп, поскольку это автоматически следует из определения формального группового закона. Другими словами, мы всегда можем найти (уникальный) степенной ряд G такой, что F(x,G(x)) = 0.

A гомоморфизм из формального группового закона F размерность m формального группового закона G размерности n представляет собой набор f n степенных рядов от m переменных, таких что

G(f(x), f(y)) = f(F(x, y)).

Гомоморфизм с обратным называется изоморфизмом, и называется строгим изоморфизмом, если дополнительно f(x) = x + условия высшей степени. Два формальных групповых закона с изоморфизмом между ними по существу одинаковы; они отличаются только «сменой координат».

• аддитивный формальный групповой закон задается как

$F\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y.\; \backslash \}$

• мультипликативный формальный групповой закон задается формулой

$F\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y\; +\; x\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y\; +\; xy.\; \backslash \}$

Это правило можно понять следующим образом. Произведение G в (мультипликативной группе) кольца R задается формулой G (a, b) = ab. Если мы «изменим координаты», чтобы сделать 0 тождественным, положив a = 1 + x, b = 1 + y и G = 1 + F, то мы обнаружим, что F (x, y) = x + y + xy. Над рациональными числами существует изоморфизм аддитивного формального группового закона к мультипликативному, задаваемый выражением exp (x) - 1. Над общими коммутативными кольцами R нет такого гомоморфизма, поскольку для его определения требуются нецелые рациональные числа, и аддитивные и мультипликативные формальные группы обычно не изоморфны.

• В более общем смысле, мы можем построить формальный групповой закон размерности n из любой алгебраической группы или группы Ли размерности n, взяв координаты в единице и записав разложение в формальный степенной ряд карты произведения. Аддитивные и мультипликативные формальные групповые законы получаются таким образом из аддитивных и мультипликативных алгебраических групп. Другим важным частным случаем этого является формальная группа (закон) эллиптической кривой (или абелево многообразие ).
• F (x, y) = (x + y) / (1 + xy) - это формальный групповой закон, вытекающий из формулы сложения для функции гиперболического тангенса: tanh (x + y) = F (tanh (x), tanh (y)), а также формула сложения скоростей в специальной теории относительности (со скоростью света, равной 1).
• $F\; (x,\; y)\; =\; (x\; 1\; -\; y\; 4\; +\; y\; 1\; -\; x\; 4)\; /\; (1\; +\; x\; 2\; Y\; 2)\; \{\backslash \; textstyle\; F\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Left\; (x\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-y\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; y\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; /\; (1\; +\; x\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\})\}$- формальный групповой закон над Z [1/2], найденный Эйлером в форме формулы сложения для эллиптического интеграла (Стрикленд):

$\int \; 0\; xdt\; 1\; -\; t\; 4\; +\; \int \; 0\; ydt\; 1\; -\; t\; 4\; Знак\; равно\; \int \; 0\; F\; (x,\; y)\; dt\; 1\; -\; t\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; \{dt\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{4\}\}\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{y\}\; \{dt\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-t\; ^\; \{4\}\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{F\; (x,\; y)\}\; \{dt\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{1)\; -t\; ^\; \{4\}\}\}\}.\}$

Любые n-мерные fo Обычный групповой закон дает n-мерную алгебру Ли над кольцом R, определенную в терминах квадратичной части F 2 формального группового закона.

[x, y] = F 2 (x, y) - F 2 (y, x)

Естественный функтор от групп Ли или алгебраических групп к Ли алгебры могут быть факторизованы в функтор от групп Ли к формальным групповым законам с последующим взятием алгебры Ли формальной группы:

Группы Ли → Формальные групповые законы → Алгебры Ли

Над полями характеристики 0, формальные групповые законы по сути, такие же, как конечномерные алгебры Ли: точнее, функтор от конечномерных формальных групповых законов к конечномерным алгебрам Ли является эквивалентностью категорий. Над полями ненулевой характеристики формальные групповые законы не эквивалентны алгебрам Ли. Фактически, в этом случае хорошо известно, что переход от алгебраической группы к ее алгебре Ли часто отбрасывает слишком много информации, но переход к формальному групповому закону часто сохраняет достаточно информации. Таким образом, в некотором смысле формальные групповые законы являются «правильной» заменой алгебр Ли в характеристике p>0.

Если F - коммутативный n-мерный формальный групповой закон над коммутативной Q -алгеброй R, то он строго изоморфен аддитивному формальному групповому закону. Другими словами, существует строгий изоморфизм f аддитивной формальной группы к F, называемый логарифмом F, так что

f(F(x,y)) = f(x) + f(y)

Примеры:

• Логарифм F (x, y) = x + y равен f (x) = x.
• Логарифм F (x, y) = x + y + xy равно f (x) = log (1 + x), потому что log (1 + x + y + xy) = log (1 + x) + log (1 + y).

Если R не содержит рациональных чисел, карта f может быть построена путем расширения скаляров до R⊗ Q, но это отправит все в ноль, если R имеет положительную характеристику. Формальные групповые законы над кольцом R часто строятся путем записи их логарифмов в виде степенного ряда с коэффициентами в R⊗ Q, а затем доказательства того, что коэффициенты соответствующей формальной группы над R⊗ Q фактически лежит в R. При работе с положительной характеристикой обычно заменяют R на смешанное характеристическое кольцо, которое имеет сюръекцию к R, например кольцо W (R) векторов Витта, и сокращает на R в конце.

Формальное групповое кольцо формального группового закона - это кокоммутативная алгебра Хопфа, аналогичная групповому кольцу группы и в универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли, обе из которых также являются кокоммутативными алгебрами Хопфа. В целом кокоммутативные алгебры Хопфа очень похожи на группы.

Для простоты мы описываем одномерный случай; многомерный случай аналогичен, за исключением того, что нотация становится более запутанной.

Предположим, что F - (одномерный) формальный групповой закон над R. Его формальное групповое кольцо (также называемое его гипералгеброй или его ковариантной биалгеброй ) является кокоммутативной алгеброй Хопфа H, построенной следующим образом.

• Как R-модуль, H свободен с базисом 1 = D, D, D,...
• Копроизведение Δ задается формулой ΔD = ∑D ⊗ D (так что двойственное коалгебра - это просто кольцо формальных степенных рядов).
• Счетчик η задается коэффициентом D.
• Тождество равно 1 = D.
• Антипод S переводит D в (−1) D.
• Коэффициент при D в произведении DD - это коэффициент при xy в F (x, y).

И наоборот, для алгебры Хопфа с заданной структурой коалгебры выше, мы можем восстановить из него формальный групповой закон F. Таким образом, одномерные формальные групповые законы по сути такие же, как у алгебр Хопфа, структура коалгебр которых указана выше.

Учитывая n-мерный формальный групповой закон F над R и коммутативную R-алгебру S, мы можем сформировать группу F (S), базовым набором которого является N, где N - набор нильпотентных элементов S. Произведение задается с помощью F для умножения элементов N; Дело в том, что все формальные степенные ряды теперь сходятся, потому что они применяются к нильпотентным элементам, так что имеется только конечное число ненулевых членов. Это превращает F в функтор от коммутативных R-алгебр S к группам.

Мы можем расширить определение F (S) на некоторые топологические R-алгебры. В частности, если S - обратный предел дискретных R-алгебр, мы можем определить F (S) как обратный предел соответствующих групп. Например, это позволяет нам определять F(Zp) со значениями в p-адических числах.

Групповой функтор F также может быть описан с использованием формального группового кольца H из F . Для простоты предположим, что F одномерно; общий случай аналогичен. Для любой кокоммутативной алгебры Хопфа элемент g называется групповым, если Δg = g ⊗ g и εg = 1, и групповые элементы образуют группу при умножении. В случае алгебры Хопфа формального группового закона над кольцом группоподобные элементы - это в точности элементы вида

D + Dx + Dx +...

для нильпотентных элементов x. В частности, мы можем идентифицировать групповые элементы H⊗S с нильпотентными элементами S, а групповая структура на групповых элементах H⊗S затем отождествляется со структурой группы на F (S).

Предположим, что f - гомоморфизм между законами одномерной формальной группы над полем характеристики p>0. Тогда f либо равно нулю, либо первый ненулевой член в его разложении в степенной ряд равен $axph\; \{\backslash \; displaystyle\; ax\; ^\; \{p\; ^\; \{h\}\}\}$для некоторого неотрицательного целого числа h, называемого высота гомоморфизма f. Высота нулевого гомоморфизма определяется как ∞.

высота одномерного формального группового закона над полем характеристики p>0 определяется как высота его умножения на p map.

Два одномерных формальных групповых закона над алгебраически замкнутым полем характеристики p>0 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую высоту, а высота может быть любым положительным целым числом или ∞.

Примеры:

• Аддитивный формальный групповой закон F (x, y) = x + y имеет высоту ∞, поскольку его отображение p-й степени равно 0.
• Мультипликативный формальный групповой закон F (x, y) = x + y + xy имеет высоту 1, так как его p-я степень карты равна (1 + x) - 1 = x.
• Формальный групповой закон эллиптической кривой имеет высоту либо один, либо два, в зависимости от того, является ли кривая обычной или суперсингулярной. Суперсингулярность может быть обнаружена обращением в нуль ряда Эйзенштейна $E\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p-1\}\}$.

Существует универсальный коммутативный одномерный формальный групповой закон над универсальным коммутативным кольцом, определяемым следующим образом. Пусть

F (x, y)

будет

x + y + Σc i, j xy

для неопределенных

ci, j,

, и мы определим универсальное кольцо R быть коммутативным кольцом, порожденным элементами c i, j, с отношениями, которые обусловлены законами ассоциативности и коммутативности для формальных групповых законов. Более или менее по определению кольцо R обладает следующим универсальным свойством:

Для любого коммутативного кольца S одномерные формальные групповые законы над S соответствуют кольцевым гомоморфизмам из R в S.

Коммутативное кольцо R, построенное выше известно как универсальное кольцо Лазарда . На первый взгляд это кажется невероятно сложным: отношения между его генераторами очень запутанные. Однако Лазар доказал, что он имеет очень простую структуру: это просто кольцо многочленов (над целыми числами) от образующих степеней 2, 4, 6,... (где c i, j имеет степень 2 (i + j - 1)). Дэниел Квиллен доказал, что кольцо коэффициентов комплексного кобордизма естественно изоморфно как градуированное кольцо универсальному кольцу Лазара, объясняя необычную градуировку.

A формальная группа - это объект группы в категории формальных схем.

• Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- функтор из алгебр Артина в группы, который точен слева, тогда он представим (G - функтор точек формальной группы. (Точность слева функтора эквивалентна коммутации с конечные проективные пределы).
• Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это групповая схема, то $G\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{\; G\}\}\}$, формальное пополнение G в единице, имеет структуру формальной группы.
• Гладкая групповая схема изоморфна $S\; pf\; (R\; [[\; T\; 1,\dots ,\; T\; n]])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Spf\}\; (R\; [[T\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; T\_\; \{n\}]])\}$. Некоторые называют формальным групповая схема гладкая, если верно обратное.
• формальная гладкость утверждает существование подъемов деформаций и может применяться к формальным схемам, которые больше точек. Гладкая формальная групповая схема является частным случаем формальной групповая схема.
• Для гладкой формальной группы можно построить формальный групповой закон и поле, выбрав униформизирующий набор секций.
• (нестрогие) изоморфизмы между формальными групповыми законами индуцированные изменением параметров, составляют элементы группы изменений координат на формальной группе.

Формальные группы и формальные групповые законы также могут быть определены над произвольными схемами, а не только над коммутативными кольцами или поля и семейства можно классифицировать по картам от базового до параметризующего объекта.

Пространство модулей формальных групповых законов представляет собой несвязное объединение бесконечномерных аффинных пространств, компоненты которых параметризованы размерностью, а точки параметризованы допустимыми коэффициентами степенного ряда F . Соответствующий стек модулей гладких формальных групп является фактором этого пространства по каноническому действию бесконечномерного группоида замены координат.

Над алгебраически замкнутым полем подстек одномерных формальных групп является либо точкой (в нулевой характеристике), либо бесконечной цепочкой точек набора, параметризующей высоты. В нулевой характеристике замыкание каждой точки содержит все точки большей высоты. Это различие дает формальным группам богатую геометрическую теорию с положительными и смешанными характеристиками, со связями с алгеброй Стинрода, p-делимыми группами, теорией Дьедонне и представлениями Галуа. Например, из теоремы Серра-Тейта следует, что деформации групповой схемы строго контролируются деформациями ее формальной группы, особенно в случае суперсингулярных абелевых многообразий. Для суперсингулярных эллиптических кривых этот контроль является полным, и это сильно отличается от характерной нулевой ситуации, когда формальная группа не имеет деформаций.

Формальная группа иногда определяется как коммутативная алгебра Хопфа (обычно с добавлением некоторых дополнительных условий, таких как указание или соединение). Это более или менее двойственно по отношению к приведенному выше понятию. В гладком случае выбор координат эквивалентен взятию выделенного базиса формального группового кольца.

Некоторые авторы используют термин формальная группа для обозначения формального группового закона.

Пусть Zp- кольцо целых p-адических чисел. Формальный групповой закон Любина – Тейта - это единственный (одномерный) формальный групповой закон F такой, что e (x) = px + x является эндоморфизмом F, другими словами

$e\; (F\; (х,\; у))\; =\; F\; (е\; (х),\; е\; (у)).\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (F\; (x,\; y))\; =\; F\; (e\; (x),\; e\; (y)).\; \backslash \}$

В более общем плане мы можем позволить e быть любым степенным рядом, таким что e (x) = px + члены более высокой степени и e (x) = x mod p. Все групповые законы для различных вариантов выбора e, удовлетворяющих этим условиям, строго изоморфны.

Для каждого элемента a из Zpсуществует единственный эндоморфизм f формального группового закона Любина – Тейта такой, что f (x) = ax + термины более высокой степени. Это дает действие кольца Zpна формальный групповой закон Любина – Тейта.

Имеется аналогичная конструкция с заменой Zpлюбым полным кольцом дискретной оценки с конечным полем класса вычетов .

Эта конструкция была введена Lubin Tate (1965), в успешной попытке выделить часть локального поля классической теории комплексного умножения эллиптических функций. Он также является основным компонентом некоторых подходов к теории поля локальных классов.

• вектор Витта
• экспонента Артина – Хассе
• Групповой функтор

• Adams, J. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00524-9
• Бохнер, Саломон (1946), «Формальные группы Ли», Анналы математики, Вторая серия, 47 (2): 192–201, doi : 10.2307 / 1969242, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969242, MR 0015397
• M. Демазюр, Лекции о p-делимых группах Лекции по математике, 1972. ISBN 0-387-06092-8
• Фрёлих А. (1968), Formal группы, конспекты лекций по математике, 74, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0074373, ISBN 978-3-540-04244-0, MR 0242837
• P. Габриэль, Бесконечный научный труд в группах SGA 3 Exp. VIIB
• Формальные группы и приложения (Чистая и прикладная математика 78) Мишель Хазевинкель Издатель: Academic Pr (июнь 1978) ISBN 0-12 -335150-2
• Лазар, Мишель (1975), Коммутативные формальные группы, Лекционные заметки по математике, 443, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0070554, ISBN 978-3-540-07145-7, MR 0393050
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в локальных полях», Annals of Mathematics, Second Series, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307 / 1970622, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970622, MR 0172878, Zbl 0128.26501
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Стрикленд, Н. «Формальные группы» (PDF).