Формальная схема

редактировать

В математика, в частности, в алгебраической геометрии, формальная схема - это тип пространства, которое включает данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают в сторону от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких разделах, как теория деформации. Но это понятие также используется для доказательства теоремы, такой как теорема о формальных функциях, которая используется для вывода интересующих теорем для обычных схем.

Локально нетерова схема - это локально нетерова формальная схема каноническим образом: формальное завершение по себе. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Формальные схемы были мотивированы и обобщают теорию Зариского формальных голоморфных функций.

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .

Содержание

1 Определение
2 Морфизмы между формальными схемами
3 Примеры
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в нётерианской дело. Хотя было несколько определений нётеровых формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нётеровы формальные схемы.

Предполагается, что все кольца будут коммутативными и с единицей. Пусть A будет (нетерово) топологическим кольцом, то есть кольцом A, которое является топологическим пространством таким, что операции сложения и умножения непрерывны. A является линейно топологизированным, если ноль имеет основание, состоящее из идеалов. идеал определения $J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ ${\ mathcal {J}}$ для линейно топологизированного кольца - это такой открытый идеал, что для любой открытой окрестности V точки 0 существует положительное целое число n такое, что $J n ⊆ V {\ displaystyle {\ mathcal {J}} ^ {n} \ substeq V}$ ${\ mathcal {J}} ^ {n} \ substeq V$ . Линейно топологизированное кольцо является допустимым, если оно допускает идеал определения, и допустимым, если оно также полно. (В терминологии Бурбаки это «полное и разделенное».)

Предположим, что A допустимо, и пусть $J {\ displaystyle {\ mathcal {J}} }$ ${\ mathcal {J}}$ быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит $J {\ displaystyle {\ mathcal {J}}}$ ${\ mathcal {J}}$ . Набор открытых простых идеалов A или, что то же самое, набор простых идеалов $A / J {\ displaystyle A / {\ mathcal {J}}}$ $A / {\ mathcal {J}}$ , является основным топологическим пространством формальный спектр кольца A, обозначенный Spf A. Spf A имеет структурный пучок, который определяется с использованием структурного пучка спектра кольца. Пусть $J λ {\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}$ ${\ mathcal {J}} _ {\ lambda}$ будет базисом окрестности нуля, состоящим из идеалов определения. Все спектры $A / J λ {\ displaystyle A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}$ $A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}$ имеют одно и то же основное топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf A - это проективный предел $lim ← λ ⁡ O Spec A / J λ {\ displaystyle \ varprojlim _ {\ lambda} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}}$ $\ varprojlim _ {\ lambda} {\ mathcal {O}} _ {{{\ text {Spec}} A / {\ mathcal {J}} _ {\ lambda}}}$ .

Можно показать, что если f ∈ A и D f - множество всех открытых простых идеалов A, не содержащих f, тогда $O Spf A (D f) = A f ^ {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spf}} A} (D_ {f}) = {\ widehat {A_ {f }}}}$ ${\ mathcal {O}} _ {{{\ text {Spf}} A}} (D_ {f}) = \ widehat {A_ {f}}$ , где $A f ^ {\ displaystyle {\ widehat {A_ {f}}}}$ $\ widehat {A_ {f}}$ - это завершение локализации Af.

Наконец, локально нетерова формальная схема - это топологически окольцованное пространство $(X, OX) {\ displaystyle ({\ mathfrak {X}}, {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak { X}})}$ $({\ mathfrak {X}}, {\ mathcal {O}} _ {{{\ mathfrak {X}}}})$ (то есть окольцованное пространство, чей пучок колец является пучком топологических колец) такая, что каждая точка $X {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ mathfrak {X}}$ допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм $f: X → Y {\ displaystyle f: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak {Y}}}$ $f: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak {Y}}$ локально нетеровых формальных схем является их морфизмом в виде локально окольцованных пространств, таких что индуцированное отображение $f #: Γ (U, OY) → Γ (f - 1 (U), OX) {\ displaystyle f ^ {\ #}: \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {Y}}) \ to \ Gamma (f ^ {- 1} (U), {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {X}})}$ $f ^ {{\ #}}: \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {{\ mathfrak {Y}}}) \ to \ Gamma ( f ^ {{- 1}} (U), {\ mathcal {O}} _ {{\ mathfrak {X}}})$ - непрерывный гомоморфизм топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U.

f называется адическим или $X {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ mathfrak {X}}$ - это $Y {\ displaystyle {\ mathfrak {Y}}}$ ${\ mathfrak {Y}}$ -адическая формальная схема, если существует идеал определения $I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ mathcal {I}}$ такой, что $f ∗ (I) OX {\ displaystyle f ^ {*} ({\ mathcal {I}}) {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {X}}}$ $е ^ {*} ({\ mathcal {I}}) {\ mathcal {O}} _ {{\ mathfrak {X}}}$ - идеальное определение для $X {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ mathfrak {X}}$ . Если f адический, то это свойство выполняется для любого идеала определения.

Примеры

Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A, определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a + I. Это допустимо и допустимо, если A I-адически полно. В этом случае Spf A - это топологическое пространство Spec A / I со связкой колец $lim n O Spec A / I n = lim n A / I n ~ {\ displaystyle {\ text {lim}} _ {n} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / I ^ {n}} = \ lim _ {n} {\ widetilde {A / I ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ text {lim}} _ {n} {\ mathcal {O}} _ {{\ text {Spec}} A / I ^ {n}} = \ lim _ {n} {\ widetilde {A / I ^ {n}}}}$ вместо $A / I ~ {\ displaystyle {\ widetilde {A / I}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {A / I}}}$ .

A = k [[t]] и I = (t). Тогда A / I = k, так что пространство Spf A представляет собой единственную точку (t), на которой его структурный пучок принимает значение k [[t]]. Сравните это со Spec A / I, структурный пучок которого принимает значение k в этой точке: это пример идеи, что Spf A является «формальным утолщением» A относительно I.
Формальное завершение a закрытая подсхема. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k, определяемую идеалом I = (y-x). Обратите внимание, что A 0 = k [x, y] не является I-адически полным; напишите A для его I-адического завершения. В этом случае Spf A = X как пространства и его структурный пучок имеет вид $lim nk [x, y] / I n ~ {\ displaystyle \ lim _ {n} {\ widetilde {k [x, y] / I ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n} {\ widetilde {k [x, y] / I ^ {n}}}}$ . Его глобальные секции - это A, в отличие от X, глобальные секции которого равны A / I.

См. Также

Литература

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi : 10.1007 / bf02684778. MR 0217083.

Внешние ссылки

формальное завершение