Войти
В математике, здание (также Здание Титса, названный в честь Жака Титса ) представляет собой комбинаторную и геометрическую структуру, которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразий флагов, конечных проективных плоскостей и римановых симметричные пространства. Первоначально они были введены Жаком Титсом как средство понимания структуры исключительных групп лиева типа. Более специализированная теория зданий Брюа-Титса (названная дополнительно в честь Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p-адических групп Ли, аналогичную теории симметричные пространства в теории групп Ли.
Понятие здания было изобретено Жаком Титсом как средство описания простых алгебраических группирует по произвольному полю. Титс продемонстрировал, как каждой такой группе G можно связать симплициальный комплекс Δ = Δ (G) с действием группы G, называемым сферическим построение группы G. Группа G налагает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы Δ, которые могут возникнуть таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы для класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Часть данных, определяющих здание Δ, - это группа Кокстера W, которая определяет высокосимметричный симплициальный комплекс Σ = Σ (W, S), называемый комплексом Кокстера. Здание Δ склеено из множества копий Σ, называемых его квартирами, определенным закономерным образом. Когда W - конечная группа Кокстера, комплекс Кокстера является топологической сферой, и соответствующие здания называются сферическим типом . Когда W является аффинной группой Вейля, комплекс Кокстера представляет собой подразделение аффинной плоскости, и говорят об аффинных или евклидовых зданиях. Аффинное здание типа 
Хотя теория полупростых алгебраических групп послужила исходной мотивацией для создания понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрии инцидентности, которые удовлетворяют аксиомам здания, но не могут быть связаны с какой-либо группой. Оказывается, это явление связано с низким рангом соответствующей системы Кокстера (а именно, два). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не меньше трех связаны группой; более того, если здание ранга как минимум два связано с группой, то группа по существу определяется зданием.
Ивахори-Мацумото, Борел-Титс и Брюа-Титс продемонстрировали, что по аналогии с построением Титсом сферических зданий аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальным пространством. неархимедово поле. Более того, если разделенный ранг группы составляет не менее трех, он в основном определяется ее составом. Позже Титс переработал фундаментальные аспекты теории зданий, используя понятие системы камер, кодируя здание исключительно в терминах свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случаях. Он доказал, что по аналогии со сферическим случаем каждое здание аффинного типа и ранга не менее четырех возникает из группы.
n-мерное здание X - это абстрактный симплициальный комплекс, который представляет собой объединение подкомплексов A, называемых квартирами такое, что
n-симплекс в A называется камерой (первоначально chambre, т.е. комната в Французский ).
ранг здания определяется как n + 1.
Каждая квартира A в здании является Комплекс Кокстера. Фактически, для каждых двух n-симплексов, пересекающихся в (n - 1) -симплексе или панели, существует единственный симплициальный автоморфизм периода два для A, называемый отражением, переносящий один n-симплекс на другой и фиксирующий их общие точки.. Эти отражения порождают группу Кокстера W, называемую группой Вейля группы A, и симплициальный комплекс A соответствует стандартной геометрической реализации W. Стандартные образующие группы Кокстера задаются формулой отражения в стенах неподвижной камеры в A. Поскольку квартира A определяется с точностью до изоморфизма зданием, то же самое верно и для любых двух симплексов в X, лежащих в некоторой общей квартире A. Когда W конечно, здание считается сферической . Когда это аффинная группа Вейля, строение называется аффинным или евклидовым .
. Система камер задается графом смежности образованные камерами; каждая пара соседних камер может быть дополнительно помечена одним из стандартных генераторов группы Кокстера (см. Титс 1981).
Каждое здание имеет каноническую метрику длины , унаследованную от геометрической реализации, полученной путем идентификации вершин с ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве. Для аффинных зданий эта метрика удовлетворяет неравенству сравнения CAT (0) Александрова, известному в этом контексте как условие неположительной кривизны Брюа – Титса для геодезических треугольников: расстояние от вершина до середины противоположной стороны не больше, чем расстояние в соответствующем евклидовом треугольнике с такими же длинами сторон (см. Bruhat Tits 1972).
Если группа G действует симплициально на здание X, транзитивно на пары (C, A) камер C и квартир A, содержащих их, то стабилизаторы такого пара определяет пару BN или систему Титса. Фактически пара подгрупп
удовлетворяет аксиомам пары BN, и группу Вейля можно отождествить с N / N 
Одно и то же здание часто можно описать разными парами BN. Более того, не каждое здание происходит из пары BN: это соответствует невыполнению классификации результатов по низкому рангу и размеру (см. Ниже).
Симплициальная структура аффинных и сферических зданий, связанных с SL n(Qp), а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя только концепции из elementary алгебра и геометрия (см. Garrett 1997). В этом случае есть три разных здания, два сферических и одно аффинное. Каждый из них представляет собой объединение квартир, которые сами по себе являются симплициальными комплексами. Для аффинного дома квартира представляет собой симплициальный комплекс , разбивающий евклидово пространство E на (n - 1) -мерные симплексы; в то время как для сферического здания это конечный симплициальный комплекс, состоящий из всех (n-1)! симплексы с данной общей вершиной в аналогичной тесселяции в E.
Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс X, который должен удовлетворять следующим аксиомам:
Пусть F - поле , и пусть X - симплициальный комплекс, вершины которого - нетривиальные векторные подпространства в V = F. Два подпространства U 1 и U 2 связаны если один из них является подмножеством другого. K-симплексы X образованы наборами k + 1 взаимно связанных подпространств. Максимальная связность получается, если взять n - 1 собственное нетривиальное подпространство, и соответствующий (n - 1) -симплекс соответствует полному флагу
U1··· Un - 1 VНиже размерные симплексы соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U i.
Чтобы определить апартаменты в X, удобно определить фрейм в V как базис (v i), определенный с точностью до скалярного умножения каждого его векторов v i ; другими словами, фрейм - это набор одномерных подпространств L i = F · v i таких, что любые k из них генерируют k-мерное подпространство. Теперь упорядоченный фрейм L 1,..., L n определяет полный флаг через
··· LiТак как переупорядочение L i также дает фрейм, легко увидеть, что подпространства, полученные как суммы L и образуют симплициальный комплекс того типа, который требуется для квартиры сферического дома. Аксиомы для здания могут быть легко проверены с помощью классического аргумента уточнения Шрайера, используемого для доказательства уникальности разложения Джордана – Гёльдера.
Пусть K будет поле, лежащее между Q и его p-адическим завершением Qpотносительно обычной неархимедовой p-адической нормы || x | | p на Q для некоторого простого p. Пусть R будет подкольцом кольца K, определенным как
Когда K = Q, R является локализацией Z в точке p и, когда K = Qp, R = Zp, целые p-адические числа, т. Е. Замыкание Z в Qp.
Вершинами здания X являются R-решетки в V = K, то есть R- подмодули формы
··· R · v nгде (v i) - базис V над K. Две решетки называются эквивалентными, если один из них является скалярным, кратным другому элементу мультипликативной группы K * из K (на самом деле необходимо использовать только целые степени p). Две решетки L 1 и L 2 называются смежными, если некоторая решетка, эквивалентная L 2, находится между L 1 и его подрешеткой p · L 1 : это соотношение симметрично. K-симплексы X являются классами эквивалентности k + 1 взаимно смежных решеток. (N - 1) - симплексы соответствуют после перемаркировки цепям
L1L2··· Ln - 1 Ln, где каждое последующее частное имеет порядок p. Квартиры определяются путем фиксации базиса (v i) V и взятия всех решеток с базисом (pv i), где (a i) лежит в Z и определяется однозначно с точностью до добавления одного и того же целого числа к каждой записи.
По определению каждая квартира имеет требуемую форму, и их объединение составляет весь X. Вторая аксиома следует за вариантом аргумента уточнения Шрайера. Последняя аксиома следует с помощью простого подсчета, основанного на порядках конечных абелевых групп вида
Стандартный аргумент компактности показывает, что X является фактически независимо от выбора K. В частности, взяв K = Q, отсюда следует, что X счетно. С другой стороны, принимая K = Qp, определение показывает, что GL n(Qp) допускает естественное симплициальное воздействие на здание.
Здание оснащено маркировкой его вершин со значениями в Z / n Z . Действительно, фиксируя опорную решетку L, метка M задается как
для достаточно большого k. Вершины любого (n - 1) -симплекса в X имеют разные метки, проходящие через все Z / n Z . Любой симплициальный автоморфизм φ пространства X определяет перестановку π из Z / n Z такую, что label (φ (M)) = π (label (M)). В частности, для g в GL n(Qp),
Таким образом, g сохраняет метки, если g лежит в SL n(Qp).
Титс доказал, что любой сохраняющий метку автоморфизм аффинного построения возникает из элемента SL n(Qp). Поскольку автоморфизмы здания переставляют метки, существует естественный гомоморфизм
Sn.Действие GL n(Qp) порождает n-цикл τ. Другие автоморфизмы здания возникают из внешних автоморфизмов из SL n(Qp), связанных с автоморфизмами диаграммы Дынкина. Принимая стандартную симметричную билинейную форму с ортонормированным базисом v i, отображение, отправляющее решетку в ее двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого равен единице, давая перестановку σ, которая отправляет каждую метку на ее отрицательный модуль n. Образ указанного выше гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен группе диэдра Dnпорядка 2n; когда n = 3, это дает все S 3.
. Если E является конечным расширением Галуа из Qpи здание построено из SL n (E) вместо SL n(Qp), группа Галуа Gal (E / Qp) также будет воздействовать на здание автоморфизмами.
Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием X для SL n(Qp):
Когда L - архимедово локальное поле, тогда на здании для группы SL 2 (L) может быть наложена дополнительная структура здания с комплексным умножением. Впервые они были введены (Brown 2004). Эти здания возникают, когда действует квадратичное расширение L на векторном пространстве L. Эти построения с комплексным умножением могут быть расширены на любое глобальное поле.Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой X 0 (N), а также на модульная кривая Дринфельда X 0 (I). Эти здания с комплексным умножением полностью классифицированы для случая SL 2 (L) в Браун 2004
Сиськи доказали т во всех несводимых сферических зданиях (т.е. с конечной группой Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами. Аналогичный результат справедлив для неприводимых аффинных построек размерности больше двух (их здания «на бесконечности» сферические ранга больше двух). Для более низкого ранга или измерения такой классификации нет. Действительно, каждая структура инцидентности дает сферическое здание ранга 2 (см. Pott 1995); и Баллманн и Брин доказали, что любой 2-мерный симплициальный комплекс, в котором связи вершин изоморфны флаговому комплексу конечной проективной плоскости, имеет структуру здания, не обязательно классическую. Многие двумерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических групп отражений или других более экзотических конструкций, связанных с орбифолдами.
. Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается парой BN в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы постройки соответствуют автоморфизмам группы (см. Титс 1974).
Теория зданий имеет важные приложения в нескольких довольно разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со структурой редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представлений. Результаты Титса по определению группы по ее построению имеют глубокую связь с теоремами жесткости из Джорджа Мостова и Григория Маргулиса, а также с.
Особые типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась очень плодотворной в классификации конечных простых групп. Теория строений более общего типа, чем сферические или аффинные, все еще относительно не развита, но эти обобщенные строения уже нашли приложения для построения групп Каца – Муди в алгебре, а также для многообразий неположительной кривизны и гиперболические группы в топологии и геометрическая теория групп.
