Войти
В математике, особенно в теории групп, фраза группа лиева типа обычно относится к конечным группам, которые тесно связаны с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле. Группа фраз лиева типа не имеет общепринятого точного определения, но важный набор конечных простых групп лиева типа действительно имеет точное определение, и они составляют большинство групп в классификация конечных простых групп.
Название "группы лиева типа" связано с тесной взаимосвязью с (бесконечными) группами Ли, поскольку компактная группа Ли может быть рассматривается как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел. Дьедонне (1971) и Картер (1989) - стандартные ссылки для групп лиева типа.
Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и подробное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями от Jordan (1870). Эти группы были изучены Л. Э. Диксон и Жан Дьедонне. Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации случаев совпадения.
Классическая группа - это, грубо говоря, специальная линейная, ортогональная, симплектическая или унитарная группа. Имеется несколько незначительных вариаций, которые даны путем взятия производных подгрупп или центральных частных, последнее дает проективные линейные группы. Их можно построить над конечными полями (или любым другим полем) почти так же, как они строятся над действительными числами. Они соответствуют сериям A n, B n, C n, D n,An, D n групп Шевалле и Стейнберга..
Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была прояснена теорией алгебраических групп и работой Шевалле (1955) по алгебрам Ли, с помощью которых концепция группы Шевалле была изолированные. Шевалле построил базис Шевалле (своего рода интегральную форму, но над конечными полями) для всех сложных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать свои точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли A n, B n, C n, D n это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дал группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E 6, E 7, E 8, F 4 и G 2. Группы типа G 2 (иногда называемые группами Диксона) уже были созданы Диксоном (1905), а группы типа E 6 - Диксон (1901).
Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опустила унитарные группы и не расщепляемые ортогональные группы. Стейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, которая дала эти группы и два новых семейства D 4, E 6, второе из которых было обнаружено примерно в то же время с другой точки зрения Титс (1958). Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из общей линейной группы.
Унитарная группа возникает следующим образом: общая линейная группа над комплексными числами имеет диаграммный автоморфизм, заданный обращением диаграммы Дынкина An(что соответствует взятию транспонированной обратный), и полевой автоморфизм, задаваемый взятием комплексного сопряжения, которые коммутируют. Унитарная группа - это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.
Точно так же многие группы Шевалле имеют диаграммные автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами их диаграмм Дынкина, и полевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и полевого автоморфизма.
Они дали:
Группы типа D 4 не имеют аналога над действительными числами, так как комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3. Симметрии диаграммы D 4 также приводят к тройственности.
Судзуки (1960) обнаружил новую бесконечную серию групп, которые на первый взгляд казались не связанными с известными алгебраическими группами. Ри (1960, 1961) знал, что алгебраическая группа B 2 имеет «лишний» автоморфизм в характеристике 2, квадрат которой равен Автоморфизм Фробениуса. Он обнаружил, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадрат которого является отображением Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дает группы Судзуки. Поля с таким автоморфизмом - это поля порядка 2, а соответствующие группы - это группы Сузуки
(Строго говоря, группа Suz (2) не считается Группа Сузуки как бы непроста: это группа Фробениуса порядка 20.) Ри удалось найти два новых похожих семейства
и
простых групп, используя тот факт, что F 4 и G 2 имеют дополнительные автоморфизмы в характеристиках 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике p можно игнорировать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии автоморфизмов диаграмм.) Наименьшая группа F 4 (2) типа F 4 не проста, но имеет простую подгруппу индекс 2, названный группой Титса (названной в честь математика Жака Титса ). Наименьшая группа G 2 (3) типа G 2 не проста, но имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A 1 ( 8). В классификации конечных простых групп группы Ри
- это те, чью структуру труднее всего определить явно. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. У них есть централизаторы инволюции вида Z/2Z× PSL (2, q) при q = 3, и, исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z/2Z× PSL (2, 5), Янко нашел спорадическую группу J1.
Группы Судзуки - единственные конечные неабелевы простые группы с порядком, не делимым на 3. Они имеют порядок 2 (2 + 1) (2 - 1).
Конечные группы лиева типа были среди первых групп, которые стали рассматриваться в математике после циклических, симметричных и чередующиеся группы с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL (2, p) был построен Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q) проста при q ≠ 2, 3. Это Теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL (n, q) конечных простых групп. Другие классические группы изучал Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k, что привело к построению того, что сейчас называется Шевалле группы. Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми, как абстрактные группы (теорема Титса о простоте). Хотя с 19 века было известно, что существуют другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклические и знакопеременные группы. Более того, исключения, спорадические группы, имеют много общих свойств с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса..
Вера теперь превратилась в теорему - классификация конечных простых групп. Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, альтернирующих групп, группы Титса, и 26 спорадических простых групп.
В общем случае конечная группа, связанная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, поэтому совершенный и имеет тривиальный множитель Шура. Однако некоторые из самых маленьких групп в перечисленных выше семьях либо несовершенны, либо имеют множитель Шура больше, чем «ожидаемый».
Случаи, когда группа не идеальна, включают
Некоторые случаи, когда группа идеальна, но имеет множитель Шура, который больше ожидаемого, включают:
Существует поразительное число «случайные» изоморфизмы между различными малыми группами лиева типа (и знакопеременными группами). Например, группы SL (2, 4), PSL (2, 5) и знакопеременная группа в 5 точках изоморфны.
Полный список этих исключений см. В списке конечных простых групп. Многие из этих особых свойств связаны с некоторыми спорадическими простыми группами.
Чередующиеся группы иногда ведут себя так, как если бы они были группами типа Ли над полем с одним элементом. Некоторые из малых переменных групп также обладают исключительными свойствами. Чередующиеся группы обычно имеют группу внешних автоморфизмов порядка 2, но альтернированная группа в 6 точках имеет группу внешних автоморфизмов порядка 4. Чередующиеся группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но группы на 6 или 7 точках имеют множитель Шура порядка 6.
Стандартных обозначений для конечных групп Типа лжи, и в литературе есть десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.
