Центральная простая алгебра

конечномерной алгебры по полю, коммутативными элементами которого являются это поле

В теории колец и связанных областях математики центральная простая алгебра (CSA ) над полем K является конечномерным ассоциативным алгебра A, которая является простой, и для которой центр равен K. В качестве примера обратите внимание, что любая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром.

Например, комплексные числа Cобразуют CSA над собой, но не над действительными числами R(центр C - это все C, а не только R ). кватернионы Hобразуют 4-мерную CSA над R и фактически представляют единственный нетривиальный элемент группы Брауэра вещественных чисел (см. Ниже).

Для двух центральных простых алгебр A ~ M (n, S) и B ~ M (m, T) над одним и тем же полем F, A и B называются подобными (или эквивалентами Брауэра ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над заданным полем F, в соответствии с этим отношением эквивалентности, можно снабдить групповой операцией, заданной тензорным произведением алгебр. Результирующая группа называется группой Брауэра Br (F) поля F. Это всегда торсионная группа.

• 1 Свойства
• 2 Поле разделения
• 3 Обобщение
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
  • 5.1 Дополнительная литература

• Согласно теореме Артина – Веддерберна конечномерная простая алгебра A изоморфна матричная алгебра M (n, S) для некоторого тела S. Следовательно, в каждом классе эквивалентности Брауэра существует единственная алгебра с делением.
• Каждый автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним автоморфизмом (следует из Сколема –Теорема Нетер ).
• Размерность центральной простой алгебры как векторного пространства над ее центром всегда является квадратом: степень - это квадратный корень из этого измерения. Индекс Шура центральной простой алгебры - это степень эквивалентной алгебры с делением: он зависит только от класса Брауэра алгебры.
• Период или показатель центральной простой алгебры - это порядок ее класса Брауэра как элемента группы Брауэра. Это делитель индекса, и два числа составлены из одних и тех же простых множителей.
• Если S - простая подалгебра центральной простой алгебры A, то dim F S делит dim FA.
• Каждая четырехмерная центральная простая алгебра над полем F является изоморфна кватернионной алгебре ; на самом деле это тоже ra два на два матричная алгебра или алгебра с делением.
• Если D является центральной алгеброй с делением над K, для которой индекс имеет разложение на простые множители

$ind\; (D)\; =\; \prod \; я\; =\; 1\; rpimi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ind\}\; (D)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{r\}\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{m\_\; \{i\}\}\; \backslash \}$

, тогда D имеет тензорное произведение разложение

$D\; =\; ⨂\; i\; =\; 1\; r\; D\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \backslash \; bigotimes\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{r\}\; D\_\; \{i\}\; \backslash \}$

, где каждый компонент D i является центральной алгеброй с делением индекса $pimi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{m\_\; \{i\}\}\}$, и компоненты определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Мы называем поле E полем расщепления для A над K, если A⊗E изоморфно кольцу матриц над E. Каждый конечномерный CSA имеет поле расщепления: действительно, в случае, когда A - алгебра с делением, тогда максимальное подполе поля A является полем разбиения. В общем, по теоремам Веддерберна и Кете существует поле расщепления, которое является сепарабельным расширением поля K степени, равной индексу A, и это поле расщепления изоморфно подполю of A. В качестве примера, поле C разделяет алгебру кватернионов H на R с

$t\; +\; xi\; +\; yj\; +\; zk\; \leftrightarrow \; (t\; +\; xiy\; +\; zi\; -\; y\; +\; zit\; -\; xi).\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; +\; x\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; y\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; z\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{*\; \{20\}\; c\}\; t\; +\; xi\; y\; +\; zi\; \backslash \backslash \; -y\; +\; zi\; t-xi\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Мы можем использовать наличие поля разделения, чтобы определить уменьшенную норму и уменьшенный след для CSA A. Сопоставьте A с кольцом матриц над полем разбиения и определите приведенную норму и след как составную часть этой карты с определителем и следом соответственно. Например, в алгебре кватернионов H приведенное выше разбиение показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет приведенную норму t + x + y + z и приведенный след 2t.

Приведенная норма является мультипликативной, а приведенная трасса - аддитивной. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма не равна нулю: следовательно, CSA является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда приведенная норма отлична от нуля на ненулевых элементах.

CSA над полем K являются некоммутативным аналогом полей расширения над K - в обоих случаях они не имеют нетривиальных двусторонних идеалов и имеют выделенное поле в их центре, хотя CSA может быть некоммутативным и не обязательно иметь обратные (не обязательно быть алгеброй с делением ). Это представляет особый интерес как обобщение числовых полей (расширения рациональных чисел Q ); см. поле некоммутативных чисел.

• алгебра Адзумая, обобщение CSA, в котором базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом
• многообразие Севери – Брауэра
• Теорема Познера

• Cohn, PM (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (2-е изд.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
• Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.

Дополнительная литература

• Albert, A.A. (1939). Структура алгебр. Публикации коллоквиума. 24 (7-е переработанное переиздание). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.