Войти
Манипуляции с этим кубиком Рубика образуют Группа кубика Рубика.В математике группа - это набор, снабженный бинарной операцией , которая объединяет любые два элементов, чтобы сформировать третий элемент таким образом, чтобы выполнялись четыре условия, называемые аксиомами группы , а именно закрытие, ассоциативность, идентичность и обратимость. Одним из наиболее известных групп является набор целых чисел вместе с операцией сложение, но встречаются во многих областях математики и за ее пределами, они содержат их важные структурные аспекты, отделив от конкретной природы предмета исследования.
Группы фундаментальное родство с понятием симметрии. Например, группа симметрии кодирует признаки симметрии геометрического объекта : группа состоит из набора преобразований, которые оставляют объект без изменений, и операции объединения двух таких преобразований путем выполнения одного за другим. Группы Ли - это группы симметрии, используемое в Стандартной модели из физики элементарных частиц ; Группы Пуанкаре, которые также включают в себя, могут выражать физическую симметрию, лежащую в основе специальной теории относительности ; и точечные группы используются, чтобы помочь понять явления симметрии в молекулярной химии.
. полиномиальных концепций, начиная с изучения Эвариста. Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группу (группа, по-французски) для группы симметрии корней уравнения, теперь называемой группой Галуа. После вкладов из других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп - активная математическая дисциплина - изучает группы сами по себе. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбивать группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы, факторные группы и простые группы. В дополнение к своим абстрактным свойствам теоретики могут быть различными способами, как группа может быть выражена конкретно, как точки зрения зрения теории представлений (то есть есть через группу представлений ) и вычислительной теории групп. Была получена теория конечных групп, кульминацией которой стала классификация конечных простых, завершенная в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп, изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, активная областью в теории групп.
Одна из наиболее известных групп - это набор целых чисел 
Следующие свойства сложения целых чисел состав моделью для групповых аксиом, приведенных в определении ниже.
Целые числа вместе с операцией + образуют математический объект, принадлежащий широкому классу, разделяющему сходные структурные аспекты. Чтобы понять эти структуры как коллектив, разработано правильное определение .
Ричард Борчердс в «Математиках: внешний вид внутреннего мира»
Группа - это множество, G вместе с операцией ⋅ (называемой групповым законом G), которая объединяет любые два элемента a и b, чтобы сформировать другой элемент, обозначенный a ⋅ b или ab. Чтобы квалифицироваться как группа, набор и операция (G, ⋅) должны удовлетворять требованиям, известным как аксиомы группы:
Результат групповой операции может зависеть от порядка операндов. Другими словами, результат комбинирования элемента b не должен обязательно давать тот же результат, что и комбинирование элемента b элемента b; уравнение
может не работать для любых двух элементов a и b. Это уравнение всегда выполняется в группе целых чисел при сложении, потому что a + b = b + a для любых двух целых чисел (коммутативность сложения). Группы, для которых всегда выполняется уравнение коммутативности a ⋅ b = b ⋅ a, называются абелевыми группами (в честь Нильса Хенрика Абеля ). Группа симметрии, описанная в следующем разделе, является примером группы, которая не является абелевой.
Идентификационный элемент группы G часто записывается как 1 или 1 G, обозначение, унаследованное от мультипликативной идентичности . Если группа абелева, то можно выбрать обозначение групповой операции через +, единичный элемент через 0; в этой группе называется аддитивной группой. Идентификационный элемент также можно записать как id.
Набор G называется базовым набором группы (G, ⋅). Часто базовый набор группы G используется как краткое имя группы (G,). В том же духе используются сокращенные выражения, такие как «подмножество группы G» или «элемент группы G», когда на самом деле имеется в виду «подмножество базового множества G группы (G,)» или «элемент основного множества G группы (G,) ». Обычно из контекста ясно, относится ли такой символ, как G, к группе или к базовому набору.
Альтернативное определение - расширить набор операций, чтобы определить группу, снабженную тремя операциями, удовлетворяющими тем же аксиомам, которые и выше, с частями «существуют» в двух последних аксиомы, эти операции включают собой собой закон, как указано выше, которое представляет собой двоичную операцию , обратную операцию, которая является унарной операцией и отображает в 
Как определение определения экзистенциальных кванторов, обычно предпочтительно для вычислений с группой и для компьютерных доказательств. В этой формулировке группы представлена как разновидность универсальной алгебры. Это также полезно для обсуждения свойств обратной операции, необходимых для определения топологических групп и групповых объектов.
Две фигуры в плоскость конгруэнтна, если одна может быть заменена другими комбинациями вращений, отражений и перемещений. Любая фигура конгруэнтна самой себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем одним способом, и эти дополнительные конгруэнции называются симметриями. У квадрата восемь симметрий. Это:
 . id (оставив как есть) |  . r1(поворот на 90 ° по часовой стрелке) |  . r2(поворот на 180 °) |  . r3(поворот на 270 ° по часовой стрелке) |
 . fv(вертикальное отражение) |  . fh(горизонтальное отражение) |  . fd(диагональное отражение) |  . fc(противодиагональное отражение) |
Эти симметрии функции. Каждый посылает точку в квадрате точки симметрии. Например, r 1 отправляет точку на ее поворот на 90 ° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, а f h отправляет точку на свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Составление из этих симметрий дает другую симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую диэдральной группой степени 4, обозначенную D 4. Базовым набором группы является указанный выше набор симметрий, а групповая операция - это композиция функции. Две симметрии объединяются путем составления их функций, то есть применения первой к квадрату, а вторую - к результату первого применения. Результат выполнения сначала a, a b записывается символически справа налево как b ° a («применить симметрию b после выполнения симметрии a»). (Это обычное обозначение композиции функций.)
В таблице группы справа результаты всех таких композиций. Например, поворот на 270 ° по часовой стрелке (r 3) с последующим отражением по горизонтали (f h) с соответствующим выполнением отражения по диагонали (f d). Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице групп:
| id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| id | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| r1 | r1 | r2 | r3 | id | fc | fd | fv | fh |
| r2 | r2 | r3 | id | r1 | fh | fv | fc | fd |
| r3 | r3 | id | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
| fv | fv | fd | fh | fc | id | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | fc | fv | fd | r2 | id | r3 | r1 |
| fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | id | r2 |
| fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | id |
| Элементы id, r 1, r 2 и r 3 образ подгруппа, выделена красным (верхняя левая область). Левый и правый дополнительный класс этой подгруппы выделены зеленым цветом (в последней строке) и желтым (последний столбец), соответственно. | ||||||||
Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, групповые аксиомы могут быть поняты следующим образом:
| (fd∘ f v) ∘ r 2 | = | r3∘ r 2 | = | r1, что равно |
| fd∘ (f v ∘ r 2) | = | fd∘ f h | = | r1. |
В отличие от группы целых чисел выше, где порядок операций не имеет значения, он имеет значение в D 4, например, f h ∘ r 1 = f c, но r 1 ∘ f h = f d. Другими словами, D 4 является абелевым, что делает это группы более сложной, чем целые числа, введенные первыми.
Современная концепция абстрактной группы возникла из нескольких математики. Первоначальной мотивацией теории групп был поиск решений полиномиальных материалов степени выше 4. Французский математик 19-го Эварист Галуа, расширивший предыдущие работы Паоло Руффини и века Джозеф -Луи Лагранж, критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения в терминах группы симметрии его корней (решения). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Первые идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы только посмертно. Более общие группы перестановок исследовал, в частности, Огюстен Луи Коши. Артур Кэли в теории групп, поскольку в зависимости от символического уравнения θ = 1 (1854) дает первое абстрактное определение конечной группы.
Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть Феликса Клейна 1872 Эрлангенской программы. После появления новых геометрий, таких как гиперболическая и проективная геометрия, Клейн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли.
Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел. Определенные структуры абелевой группы неявно использовались вико-числовой работе Карла Фридриха Гаусса Disquisitiones Arithmeticae (1798), и более явно Леопольдом Кронекером. В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма, разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа.
Сходимость этих различных Источников единой теории групп начались с работы Камиллы Жордана Traité des replaces et des équations algébriques (1870). Вальтер фон Дейк (1882) представил идею определения группы с помощью средств генераторов и отношений, а также был первым, кто дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. В 20 веке группы получили широкое признание благодаря новаторской работе Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда, которые работали над теорией представлений конечных групп, Ричард Брауэр теория модульного представления и статьи Иссая Шура. Теорию групп Ли и, в более общем смысле, локально компактных групп изучали Герман Вейль, Эли Картан и многие другие. Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп, впервые была сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а работами Армана Бореля и Жак Титс.
1960–1961 годы в рамках Года теории групп Чикагского университета собрали вместе таких теоретиков групп, как Дэниел Горенштейн, Джон Г. Томпсон и Вальтер Фейт, заложив основу сотрудничества, которое при участии множества других математиков привело к классификации конечных простых групп, причем последний шаг был сделан Ашбахером. и Смит в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические начинания своим огромным размером, как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Продолжаются исследования, чтобы упростить доказательство этой классификации. В наши дни теория по-прежнему очень активная математическая отраслью, многие другие области.
Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из групповых аксиом. обычно к элементарной теории групп. Например, повторные применения аксиомы ассоциативности показывают, что однозначность
обобщается на более чем три фактора. Круглые скобки обычно опускаются в любом месте такого рода терминов.
Аксиомы могут быть ослаблены, чтобы утверждать только существование левого тождества и слева переворачивает. Оба могут быть фактически двусторонними, поэтому итоговое определение эквивалентно приведенному выше.
Два важных следствия групповых аксиом: уникальность единичного элемента и уникальность обратных элементов. В группе может быть только один элемент идентичности, и каждый элемент в группе имеет ровно один обратный элемент. Таким образом, принято говорить об идентичности и инверсии элемента.
, чтобы показать уникальность обратного элемента, предположим, что имеет два обратных элемента, обозначенных b и c, в группе (G, ⋅). Тогда
| b | = | b ⋅ e | , является элементом идентичности | |
| = | b ⋅ (a ⋅ c) | , потому что является c версией a, поэтому e = a ⋅ c | ||
| = | (b ⋅ a) ⋅ c | ассоциативностью, которая позволяет переставлять круглые скобки | ||
| = | e ⋅ c | , поскольку b обратным значением a, то есть b ⋅ a = e | ||
| = | c | для e уникальной идентичности |
Член b в первой строке выше и c последней равны, так как они связаны цепочкой равенств. Другими словами, есть только один обратный элемент a. Аналогично, чтобы доказать, что единичный элемент группы уникален, что G - группа с двумя единичными элементами e и f. Тогда e = e ⋅ f = f, следовательно, e и f равны.
В группах наличие обратных элементов подразумевает, что деление возможно решение: для элементов данных a и b группы G существует одно x в G к уравнению x ⋅ a = b, а именно b ⋅ a. Фактически, мы имеем
Единственность получается умножением частей уравнения x ⋅ a = b на a. Элемент b ⋅ a, часто обозначаемый b / a, называется правым частным b на результат или результатом правого деления b на a.
Точно так же существует ровно одно решение y в уравнениях a ⋅ y = b, а именно y = a ⋅ b. Это решение является левым частным от b по a и иногда обозначается как a \ b.
Обычно b / a и a \ b могут быть разными, но если групповая операция коммутативна (то есть, если группа абелева ), они равны. В этом случае групповая операция часто обозначается как сложное, вместо деления и частного говорят о вычитании и разнице.
Следующим шагом является то, что умножение на элемент группы является биекцией. В частности, если функция является частью группы G, функция из G в себя, которая отображает h ∈ G в g h, является биекцией. Эта функция называется левым переводом g. Аналогично, правый перенос с помощью g - это биекция из G в себя, которая переводит h в h ⋅ g. Если G абелева, левый и правый сдвиги Раздел группы совпадают.
Чтобы понять группы за пределами уровня простых символических манипуляций, как указано выше, необходимо использовать больше структурных концепций. В основе всех следующих понятий лежит концептуальный принцип: использовать структурные, предлагаемые группы (не имеющие «бесструктурных» наборов), конструкции, относящиеся к группам, должны быть согласованы с групповой операцией. Эта совместимость по-разному проявляется в следующие понятиях. Например, группы могут быть связаны друг с другом через функции, называемые гомоморфизмами групп. Согласно упомянутому принципу от них требуется строгое соблюдение групповых структур. Структуру групп также можно понять, разбив их на части, называемые подгруппами и факторгруппами. Принцип «сохранения структур» - повторяющаяся тема в математике - пример работы в категории, в данном случае категории групп.
Гомоморфизмы групп - это функции, сохраняющие структуру группы. Функция a: G → H между двумя группами (G, ⋅) и (H, ∗) называется гомоморфизмом, если уравнение
выполнено для всех элементов g, k в G. Другими словами, результат будет таким же при выполнении групповой операции после или до применения карты a. Это требование гарантирует, что a (1 G) = 1 H, а также a (g) = a (g) для всех g в G. Таким образом, гомоморфизм группы уважает всю сохранить группы G, защищенной аксиомами групп.
Две группы G и H называются изоморфными, если существуют групповые гомоморфизмы a: G → H и b: H → G, такие, что применяются две функции одна за другой в каждом из двух действующих порядков дают тождественные функции для G и H. То есть a (b (h)) = h и b (a (g)) = g для любых g в G и h в Х. С абстрактной точки зрения изоморфные группы несут одну и ту же информацию. Например, доказательство того, что g ⋅ g = 1 G для некоторого элемента g группы G, эквивалентно доказательство того, что a (g) ∗ a (g) = 1 H, потому что применение a к первому равенству дает, а применение b ко второму возвращает первое второе.
Неформально подгруппа - это группа H, содержащаяся в большей, G. Конкретно, элементы идентичности G содержатся в H, и всякий раз, когда h 1 и h 2 находятся в H, тогда также h 1 ⋅ h 2 и h 1, поэтому элементы H, снабженные групповой операцией на G, ограниченной на H, действительно образуют группу.
В приведенном выше примере идентичности и вращения составляют подгруппу R = {id, r 1, r 2, r 3 }, выделенный красным в приведенной выше групповой таблице: любые два составленных поворота по-прежнему являются поворотными, и поворот может быть отменен (т. е. обратным) дополнительными поворотами на 270 ° для 90 °, 180 ° для 180 ° и 90 ° для 270 ° (обратите внимание внимание, что вращение в обратном направлении не определено). проверка подгруппы является необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы непустое подмножество H группы G было подгруппой: достаточно проверить, что gh ∈ H для всех элементов g, h ∈ H. Знание подгрупп важно для понимания группы в целом.
Для любого подмножества S группы G подгруппа, порожденная S, состоит из произведений элементов группы S и их обратные. Это наименьшая подгруппа G, содержащая S. Во вводном примере в примере подгруппа, сгенерированная r 2 и f v, состоит из этих двух элементов, представатора элемента id и f h = f v ⋅ r 2. Опять же, это любые подгруппы, потому что объединение двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же элементами) дает элемент подгруппы.
Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они различаются в данной подгруппе. Например, в D 4 выше, как только выполняется преобразование, квадрат никогда не возвращается к конфигурации r 2, просто применяется операции вращения (и никаких дальнейших отражений), т.е., операции вращения не имеют отношения к вопросу о том, было ли выполнено отражение. Классы совместимости используются для формы формирования этого понимания: подгруппа H определяет левый и правый классы последовательности, которые можно рассматривать как перевод H произвольными элементами группы g. В символическом смысле левый и правый классы H, содержащие g, равны
любая подгруппа H образует раздел группы G; то есть объединение всех левых смежных классов равно G, и два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение. Первый случай g 1 H = g 2 H происходит именно тогда, когда g1⋅ g 2 ∈ H, т. Е. Если два элемента в элементе H. Аналогичные примеры применимы к правым дополнительным классам H. Левый и правый соответствующие классы H могут быть или не быть равными. Если они есть, то есть для всех g в G, gH = Hg, то Hg, то H называется нормальной подгруппой.
В D 4, вводной группе симметрии, левые классы по группам gR подгруппы R, состоящей из поворотов, либо равны R, если это является самой R, либо в противном случае равны U = f c R = {f c, f v, f d, f h } (выделено зеленым). Подгруппа R также является нормальной, потому что f c R = U = Rf c и аналогично для любого элемента, кроме f c. (Фактически, в случае D 4, обратите внимание, что все такие следующие классы равны, так что f h R = f v R = f d R = f c R.)
В некоторых ситуациях набор дополнительных классов подгруппы может быть наделен групповым законом, давая фактор-группа или фактор -группу. Чтобы это было возможно, подгруппа должна быть нормальной. Для любой нормальной подгруппы N фактор-группа определяется как
Этот набор наследует групповую операцию (иногда называемую умножением дополнительных классов или дополнительным классом добавление) из исходной группы G: (gN) ⋅ (hN) = (gh) N для всех g и h из G. Это определение мотивировано идеей (которая сама по себе является примером общих структурных представлений, изложенных выше), что отображение G → G / N, который сопоставляет любой элемент g его объединенный класс gN, является гомоморфизмом группы или по общим абстрактным соображениям, называется универсальными свойствами. Класс возможности eN = N служит тождеством в группе, а обратный к gN в фактор-группе этой группы равенство (gN) = (g) N.
| ⋅ | R | U |
|---|---|---|
| R | R | U |
| U | U | R |
Элементами фактора-группы D 4 являются сам R, который представляет собой личность, и U = f v R. Групповая операция над частным показателем справа. Например, U ⋅ U = f v R ⋅ f v R = (f v ⋅ f v) R = R. R = {id, r 1, r 2, r 3 }, а также соответствующее частное являются абелевыми, тогда как D 4 не абелева. Построение больших групп из более мелких, таких как D 4 из своей подгруппы R и факторное D 4 / R, абстрагируется с помощью понятия полупрямого продукта.
Факторные группы и подгруппы вместе образуют способ описания каждой группы ее представлением : любая группа является фактором свободной группы по образующим группы, разделенным на подгруппа отношений. Группа диэдра D 4, например, может быть сформирована двумя элементами и f (например, r = r 1, правое вращение и f = f v вертикальное ( или любое другое) отражение), что означает, что каждая симметрия является конечной композицией этих двух симметрий или их обратных. Вместе с соотношениями
группа полностью описана. Представление группы также можно использовать для построения графа Кэли, устройство, используемое для графического представления дискретных групп.
Суб- и факторные группы связаны следующим образом: подмножество H группы G можно рассматривать как инъективное отображение H → G, т. е. любой элемент цели имеет не более одного элемента , который отображается на него. Аналогом инъективных отображений являются сюръективные карты (на которые отображается каждый элемент цели), например каноническое отображение G → G / N.Интерпретация подгруппы и частных в свете этих гомоморфизмов подчеркивает присущую структурную концепцию к этим определениям, упомянутым во введении. В общем случае гомоморфизмы не инъективны и не сюръективны. Ядро и образ гомоморфизмов групп и первая теорема об изоморфизме обращаются к этому явлению.
Периодический узор обоев приводит к группе обоев.
Основная группа плоскости за вычетом точки (жирный шрифт) состоит из петель вокруг отсутствующей точки. Эта группа изоморфна целым числам. Примеров и приложений групп предостаточно. Отправной точкой является группа Z целых чисел с добавлением как групповая операция, представленная выше. Если вместо сложения рассматривается умножение, получается мультипликативные группы. Эти группы являются предшественниками важных построений в абстрактной алгебре.
Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуются путем связывания с ними групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией, введя фундаментальную группу. Посредством этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, преобразуются в свойства групп. Например, элементы основной группы представлены петлями. На втором изображении справа показаны петли на плоскости без точки. Синий цикл считается нуль-гомотопным (и, следовательно, неактуальным), потому что его можно непрерывно сокращать до точки. Наличие отверстия предотвращает сжатие оранжевой петли до острия. Фундаментальная группа плоскости с удаленной точкой оказывается бесконечной циклической, порожденной оранжевой петлей (или любой другой петлей , наматывающей один раз вокруг отверстия). Таким образом, основная группа обнаруживает дыру.
В более поздних приложениях влияние также было обращено, чтобы мотивировать геометрические построения теоретико-групповым фоном. Аналогичным образом, геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп. Другие отрасли, в которых решающим образом применяются группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел.
В дополнение к вышеуказанным теоретическим приложениям существует множество практических приложений групп. Криптография опирается на комбинацию подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп, в частности, когда она реализована для конечных групп. Приложения теории групп не ограничиваются математикой; такие науки, как физика, химия и информатика извлекают пользу из этой концепции.
Многие системы счисления, такие как целые числа и рациональные числа, имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к образованию групповых структур. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Дополнительные абстрактные алгебраические концепции, такие как модули, векторные пространства и алгебры, также образуют группы.
Группа целых чисел 
Желание существования Мультипликативная инверсия предлагает рассматривать дроби
Дроби целых чисел (с ненулевым значением) известны как рациональные числа. Набор всех таких неприводимых дробей обычно обозначается 
множество всех ненулевых рациональных чисел 
Рациональные числа (включая 0) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения приводит к более сложным структурам, называемым кольцами и, если возможно деление, например, в
Часы на часах образуют группу, которая использует сложение по модулю 12. Здесь 9 + 4 = 1. В модульной арифметике два целых числа складываются, а сумма делится на положительное целое число, называемое модулем. Результатом модульного сложения является остаток этого деления. Для любого модуля n набор целых чисел от 0 до n - 1 образует группу при модульном сложении: обратный элемент для любого элемента a равенство n - a, а 0 - это единичный элемент. Это знакомо по добавлению часов на циферблате часов : если часовая стрелка находится на 9 и перемещена на 4 часа вперед, она заканчивается на 1, как показано справа. Это выражается в том, что 9 + 4 равно 1 "по модулю 12" или, в символах,
Группа целых чисел по модулю n записывается как 
Для любого простого числа p, существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю p. Его элементы являются целыми числами от 1 до p - 1. Групповая операция - это умножение по модулю p. То есть обычное произведение делится на p, а от этого деления является результатом модульного умножения. Например, если p = 5, есть четыре элемента группы 1, 2, 3, 4. В этой группе 4 · 4 = 1, потому что обычное произведение 16 эквивалентно 1, которое при делении на 5 дает остаток 1.. for 5 делит 16 - 1 = 15, обозначается
Простота p гарантирует, что произведение двух целых чисел, также не делится на p, следовательно, указанное множество классов замкнуто относительно умножения. Единичный элемент равенство 1, как обычно для мультипликативной группы, ассоциативность следует из свойств целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы для данного целого числа a, не делящегося на p, существовало целое число b такое, что
Обратное b можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что самый большой общий делитель gcd (a, p) равенство 1. В случае p = 5 вышеупомянутое к 4 равно 4, а обратное к 3 равно 2, так как 3 · 2 = 6 1 (mod 5). Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Фактически, этот пример похож на 
Шестой комплексный корень единства образует циклическую группу. z - примитивный элемент, а z - нет, потому что нечетные степени z не являются степенью z. Циклическая группа - это группа, все элементы которой составляют степенями определенного элемента a. В мультипликативной записи элементы группы следующих:
где a означает a ⋅ a, а a означает aa ⋅ a = (а ⋅ а ⋅ а) и т. д. Такой элемент a называется генератором или примитивным элементом группы. В аддитивной нотации требование к элементу быть примитивным состоит в том, чтобы каждый элемент группы мог быть записан как
В представленных выше групп Z/nZэлемент 1 является примитивным, поэтому эти группы являются циклическими. В самом деле, каждый элемент можно выразить в виде суммы, все члены которой равны 1. Любая циклическая группа с n элементами этой группы. Второй пример циклических групп - это группа n-ых комплексных корней из единицы, заданных комплексными числами z, удовлетворяющими z = 1. Эти числа можно визуализировать как вершины на правильный n-угольник, как показано синим справа для n = 6. Групповая операция - это умножение комплексных чисел. На рисунке умножение на z соответствует повороту против часовой стрелки на 60 °. Используя некоторую теорию поля , можно показать, что группа Fpциклической: например, если p = 5, 3 является генератором, поскольку 3 = 3, 3 = 9 ≡ 4, 3 ≡ 2, и 3 ≡ 1.
Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для любого ненулевого элемента все степени различны; Несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не меняются. Бесконечная циклическая группа изоморфна (Z, +), группе целых чисел при сложении, введенном выше. Как эти два прототипа абелевы, так и любая циклическая группа.
Изучение конечно порожденных абелевых групп достаточно зрелым, включая фундаментальные теорему о конечно порожденных абелевых групп ; и отражают это положение дел, многие связанные с группами понятий, такие как центр и коммутатор, описывают степень, в которой группа не является абелевой.
Группы симметрии - это группы, состоящие из симметрий заданных математических объектов - будь они геометрической природы, такая как вводная группа симметрии квадрата, или алгебраической природы, например полиномиальные уравнения и их решения. Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа воздействует на другой математический объект X, если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией на X, и композиция этих операций следует групповому закону. В крайнем примере ниже элемент порядка 7 из группы треугольников (2,3,7) действует на мозаику, переставляя выделенные искривленные треугольники (и другие тоже). Групповым шаблоном группы связан со структурой объекта, которым действует.
Вращения и отражения образуют группу симметрии большого икосаэдра.В химических областях, таких как кристаллография, пространственные группы и точечные группы описывают симметрии молекул и симметрии кристаллов. Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, теория позволяет упростить квантово-механический анализ этих свойств. Например, теория используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не происходят просто из-за симметрии вовлеченных состояний.
Группы не только полезны для оценки последствий симметрии в молекулах, но, что удивительно, они также предсказывают, что молекулы иногда могут анализировать симметрию. Эффект Яна-Теллера - это искажение молекулы высокойметрии, когда она принимает конкретное состояние более низкого симметрии из набора основных состояний, которые связаны друг с другом операциями симметрии молекулы..
Подобным образом теория групп предопределяет изменения свойств, которые возникают, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической претерпевает фазовый переходный переход . Примером могут служить материалы сегнетоэлектрическое состояние, в котором происходит изменение из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическом состоянии при температуре Кюри и связано с переходом от параэлектрического состояния с высоким симметрией к состоянию с более низкой симметрией. сегнетоэлектрическое состояние, сопровождаемое так называемой мягкой фононной модой, модой колебательной решетки, которая переходит на нулевую частоту при переходе.
Такое спонтанное нарушение симметрии обнаружено дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его появление связано с появлением голдстоуновских бозонов.
 |  |  |  |  |
| Бакминстерфуллерен представет. икосаэдрическую симметрию, хотя двойные связи уменьшают это до пиритоэдрическая симметрия. | Аммиак, N H3. Его группа симметрии имеет порядок 6, создаваемый поворотом на 120 ° и отражением. | Кубан C8 H8 обладает. октаэдрической симметрией. | Гексааквакоппер (II) комплексный ионный ион, [Cu (O H2)6]. По сравнению с идеально симметричной формой молекула расширена по вертикали примерно на 22% (эффект Яна-Теллера). | Треугольная группа (2,3,7), гиперболическая группа, действует на этом мозаике гиперболической плоскости. |
Конечные группы симметрии, такие как группы Матье, используются в теории кодирования, которая, в свою очередь, применяется в исправлении ошибок передаваемых данных, и в CD-плееры. Другое приложение - дифференциальная теория Галуа, которая выполняет функции, имеющие первообразные формы заданной, давая теоретико-групповые нормы, когда решения некоторых дифференциальных уравнений являются хорошими - вел себя. Геометрические, остаются стабильными при групповых действиях, исследуются в (geometric) теории инвариантов.
Два Галерея (иллюстрация слева) умноженные на матрицы (средняя и правая иллюстрации). На среднем рисунке показано вращение по часовой стрелке на 90 °, в то время как крайний правый растягивает координату x в 2 раза. Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц.. Общая линейная группа GL (n, R ) состоит из всех обратимых матриц размером n × n с действительными элементами. Его подгруппы называются матричными группами или линейными группами. Упомянутый выше пример диэдральной группы можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другая группа матриц является специальная ортогональная группа SO (n). Он вызывает все вращения в n измерениях. Через углы Эйлера, матрицы вращения используются в компьютерной графике.
Теория представлений является одновременно приложением группы и важна для более глубокого понимания групп. Он изучает группу по ее групповым действиям на других пространствах. Широкий класс представлений группы - это линейные представления, то есть группа действует в векторном пространстве , такое как трехмерное евклидово пространство R. Представление группы G в n- мерном вещественном векторном изображении - это просто групповой гомоморфизм
группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть
.
Это дает дополнительные средства для изучения объекта, над которым выполняется другое действие, с другой стороны, он также дает информацию о группе, задана абстрактно, переводится в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. Представления являются организующими принципом в теории конечных групп, алгебраических групп и топологических групп, особенно (локально) компактных групп.
Группы Галуа были разработаны, чтобы помочь решить полиномиальные уравнения путем фиксации их характеристик симметрии. Например, решения квадратные уравнения ax + bx + c = 0 задаются как
Замена «+» и «-» в выражении, т.е. перестановка двух решений уравнения, может рассматриваться как (очень простая) групповая операция. Аналогичные формулы для кубических и формулы четвертой степени, но в целом не существуют для степени 5 и выше. Абстрактные свойства групп Галуа, связанные с многочленами (в частности, их разрешимость ), дают критерий для многочленов, все решения которых выражаются радикалами, т. Е. Решения, выраженные с помощью только сложения, умножения и корней аналогично приведенной выше формуле.
Проблема может быть решена путем перехода к теории поля и рассмотрение поля расщепления полинома. Современная теория Галуа обобщает указанный тип групп Галуа на расширения полей и устанавливает - с помощью фундаментальной теоремы теории Галуа - точную взаимосвязь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместное распространение групп в математике.
Группа называется конечной, если она имеет конечное число элементов. Количество элементов называется порядком группы. Важным классом являются симметричные группы SN, группы перестановок из N букв. Например, симметричная группа из трех букв S3 - это группа, состоящая из всех порядков трех букв ABC, т. Е. Содержит элементы ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, всего 6 (факториал из 3) элементов. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы S N для подходящего целого числа N согласно теореме Кэли. Параллельно группе симметрий квадрата выше, S 3 также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника .
Порядок элемента в группе G равен наименьшее положительное целое число n такое, что a = e, где a представляет
т.е. применение операции ⋅ к n копиям a. (Если ⋅ представляет собой умножение, тогда a соответствует n-й степени числа a.) В бесконечных группах такое n может не существовать, и в этом случае порядок a называется бесконечным. Порядок элемента равенство порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом.
Более сложные методы подсчета, например подсчет дополнительных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: Теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы G порядок любой конечной подгруппы H делится порядок G. Теоремы Силова дают частичное обратное.
группа диэдра (обсуждаемая выше) является конечной группой порядка 8. Порядок r 1 равенство 4, как и порядок подгруппы R генерирует (см. Выше). Порядок отражающих элементов f v и т. Д. равно 2. Оба порядка делят 8, как предсказывает теорема Лагранжа. Группы Fpвыше имеют порядок p - 1.
Математики часто стремятся к полной классификации (или списку) математических понятий.. В контексте конечных групп эта цель приводит к сложной математике. Согласно теореме Лагранжа конечные группы порядка p, простого числа, обязательно являются циклическими (абелевыми) группами Zp. Группы порядка p также могут быть абелевы, утверждение, которое не обобщается на p, как не показываетабелева группа D 4 порядка 8 = 2 выше. Системы компьютерной алгебры можно использовать для перечисления малых групп, но нет классификации всех конечных групп. Промежуточным шагом является классификация конечных простых групп. Нетривиальная группа называется простой, если ее единственные нормальные подгруппы - это тривиальная группа и сама группа. Теорема Джордана - Гёльдера показывает конечные простые группы как строительные блоки для всех конечных групп. Перечисление всех конечных простых групп было большим достижением в современной теории. 1998 обладатель медали Филдса Ричард Борчердс преуспел в доказательстве чудовищного самогона гипотез, удивительной и глубокой связи между самой большой конечной простой спорадической группой - « группа монстров » - и некоторые модульные функции, часть классического комплексного анализа и теория струн, предполагаемая теория для унификации описания многих физических явлений.
Многие группы одновременно являются группами и примерами других математических структур. На языке теории категорий они являются групповыми объектами в категории, что означает, что они являются объектами (то есть примерами другой математической структуры), которые приходят с преобразованиями (называемыми морфизмами ), которые имитируют групповые аксиомы. Например, каждая группа (как определено выше) также является набором, поэтому группа - это групповой объект в категории наборов.
единичный круг в комплексная плоскость при комплексном умножении является группой Ли и, следовательно, топологической группой. Он топологичен, поскольку комплексное умножение и деление непрерывны. Это многообразие и, следовательно, группа Ли, потому что каждый маленький кусок, такой как красная дуга на рисунке, выглядит как часть реальной линии (показанной внизу).. Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Для того чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями, то есть g ⋅ h, и g не должна сильно меняться, если g и h меняются незначительно. Такие группы называются топологическими группами, и они являются групповыми объектами в категории топологических пространств. Самыми простыми примерами являются вещественные числа Rпри добавлении, (R ∖ {0}, ·) и аналогично с любым другим топологическим полем, например комплексные числа или p-адические числа. Все эти группы локально компактны, поэтому они имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа. Первые предлагают абстрактный формализм инвариантных интегралов. Инвариантность в случае действительных чисел, например:
для любой константы c. Группы матриц над этими полями подпадают под этот режим, как и кольца аделей и алгебраические группы аделей, которые являются основными в теории чисел. Группы Галуа расширений бесконечного поля, такие как абсолютная группа Галуа, также могут быть снабжены топологией, так называемой топологией Крулля, которая, в свою очередь, является центральной для обобщения описанной выше связи. полей и групп до бесконечных расширений полей. Расширенным обобщением этой идеи, адаптированным к потребностям алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа.
группы Ли (в честь Софуса Lie ) - это группы, которые также имеют структуру многообразия, т.е. они представляют собой пространства , локально выглядящие как некоторое евклидово пространство соответствующей размерности . Опять же, дополнительная структура, здесь структура многообразия, должна быть совместимой, т. Е. Отображения, соответствующие умножению и обратному, должны быть гладкими.
Стандартным примером является общая линейная группа, представленная выше: это открытое подмножество пространства всех матриц размера n на n, потому что оно задается неравенством
где A обозначает матрицу размера n на n.
Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами. Вращение, а также переводы в пространство и время являются основными симметриями законов механики. Они могут, например, использоваться для построения простых моделей - например, наложение осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить для обеспечения физического описания. Другой пример - преобразования Лоренца, которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей в движении относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выразив преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского. Последний служит - в отсутствие значительной гравитации - моделью пространства-времени в специальной теории относительности. Полная группа симметрии пространства Минковского, т. Е. Включая трансляции, известна как группа Пуанкаре. Как указано выше, он играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля. Симметрии, которые меняются в зависимости от местоположения, являются центральными для современного описания физических взаимодействий с помощь калибровочной теории.
| Групповые структуры | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Тотальность | Ассоциативность | Идентичность | Обратимость | Коммутативность | |
| Полугруппоид | Не требуется | Обязательно | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
| Малая категория | Ненужно | Обязательно | Обязательно | Ненужно | Ненужно |
| Группоид | Ненужно | Требуется | Требуется | Требуется | Ненужно |
| Магма | Требуется | Ненужно | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
| Quasigroup | Требуется | Ненужно | Ненужно | Обязательно | Ненужно |
| Единичная магма | Требуется | Ненужно | Требуется | Ненужно | Не требуется |
| Цикл | Требу ется | Не требуется | Требуется | Требуется | Ненужно |
| Полугруппа | Требуется | Требуется | Ненужно | Ненужно | Ненужно |
| Инверсная полугруппа | Требуется | Требуется | Ненужно | Требуется | Не требуется |
| Моноид | Требуется | Требуется | Требуется | Ненужно | Ненужно |
| Коммутативный моноид | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Ненужно | Обязательно |
| Группа | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Ненужно |
| Абелева группа | Обязательно | Обязательно | Обязательно | Обязательный | Обязательный |
| ^αЗамыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и определяется по-другому. | |||||
В абстрактной алгебре более общие структуры определяются ослаблением некоторых аксиом, определяющих группу. Например, если исключено требование, чтобы каждый элемент имел инверсию, результирующая алгебраическая структура называется моноидом. натуральные числа N(включая 0) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении (Z {0}, ·), см. Выше. Существует общий метод формального добавления инверсий к элементам любого (абелевого) моноида, почти так же, как (Q ∖ {0}, ·) получается из (Z ∖ {0}, ·), известная как группа Гротендика. Группоиды похожи на группы, за исключением того, что состав a ⋅ b не нужно определять для всех a и b. Они возникают при изучении более сложных форм симметрии, часто в топологических и аналитических структурах, таких как фундаментальный группоид или стеки. Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив двоичную операцию произвольной n-арной операцией (т.е. операцией, принимающей n аргументов). При правильном обобщении групповых аксиом это приводит к n-арной группе. В таблице приведен список из нескольких структур, обобщающих группы.
^a:Математические обзоры перечисляет 3224 исследовательских работы по теории групп и ее обобщениям, написанные в 2005 году.. ^aa: Классификация была заявлено в 1983 г., но в доказательстве были обнаружены пробелы. Для получения дополнительной информации см. классификацию конечных простых групп.. ^b:Аксиома замыкания уже подразумевается условием, что ⋅ является бинарной операцией. Поэтому некоторые авторы опускают эту аксиому. Однако групповые конструкции часто начинаются с операции, определенной на надмножестве, поэтому этап закрытия является обычным в доказательствах того, что система является группой. Lang 2002. ^c:См., Например, книги Lang (2002, 2005) и Herstein (1996, 1975).. ^d:Однако группа не определяется ее решеткой подгрупп. См. Сузуки 1951.. ^e:Тот факт, что групповая операция расширяет этот канонически, является экземпляром универсального свойства.. ^f:. Например, если G конечно, то размер любой подгруппы и любой фактор-группы делит размер группы G согласно теореме Лагранжа.. ^g:Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός - то же самое и μορφή - структура.. ^h:Аддитивное обозначение для элементов циклической группы будет t ⋅ a, t в Z.. ^i:См. пример теоремы Зейферта – ван Кампена.. ^j:Пример: групповые когомологии группы, которая равна сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства.. ^k:Элементы, у которых есть мультипликативные инверсии, называются единицами, см. Lang 2002, §II.1, с. 84.. ^l:Переход от целых чисел к рациональным числам путем добавления дробей обобщается полем дробей.. ^m:. То же самое верно для любого поля F вместо Q . См. Lang 2005, §III.1, стр. 86.. ^n:Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Lang 2002, теорема IV.1.9. Понятия кручения модуля и простые алгебры являются другими примерами этого принципа.. ^o:Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. простой элемент.. ^p:. Например, протокол Диффи-Хеллмана использует дискретный логарифм ... ^q:Известны группы порядка не более 2000. До изоморфизма насчитывается около 49 миллиардов. См. Besche, Eick O'Brien 2001.. ^r:Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп заключается в проблеме расширения, проблеме, слишком сложной для решения в целом. См. Aschbacher 2004, p. 737.. ^s:Эквивалентно нетривиальная группа проста, если ее единственными фактор-группами являются тривиальная группа и сама группа. См. Michler 2006, Carter 1989.. ^t:Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см. теорему Фрухта, Фрухта 1939.. ^u:Точнее, рассматривается действие монодромии на векторное пространство решений дифференциальных уравнений. См. Kuga 1993, pp. 105–113.. ^v:См. метрику Шварцшильда для примера, где симметрия значительно снижает сложность физических систем.. ^w:Это было решающим для классификации конечных простых групп, например. См. Ашбахер 2004.. ^x:См., Например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули. Более сложный пример - действие абсолютной группы Галуа на этальных когомологиях.. ^y:Инъективные и сюръективные отображения соответствуют моно- и эпиморфизмам, соответственно. Они меняются местами при переходе к двойной категории..
