Пространство с простым подключением

Пространство без сквозных отверстий

В топологии , топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным, или 1-односвязным ), если оно путевое соединение и каждый путь между двумя точками может быть непрерывно преобразован (интуитивно для вложенных пространств, оставаясь внутри пространства) в любой другой такой путь с сохранением двух рассматриваемых конечных точек. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором того, что пространство не может быть односвязным: линейно связное топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Содержание

• 1 Определение и эквивалентные формулировки
• 2 Неформальное обсуждение
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Определение и эквивалентные формулировки

Это shape представляет собой набор, который не является односвязным, потому что любой цикл, охватывающий одно или несколько отверстий, не может быть сжат до точки без выхода из области.

A топологическое пространство X называется односвязным, если это путь - связно, и любую петлю в X, определяемую f: S → X, можно стянуть в точку: существует непрерывное отображение F: D → X такое, что F, ограниченная на S, является f. Здесь S и D обозначают единичный круг и замкнутый единичный диск в евклидовой плоскости соответственно.

Эквивалентная формулировка такова: X односвязно тогда и только тогда, когда оно линейно связно, и всякий раз, когда p: [0,1] → X и q: [0,1] → X - два пути (то есть: непрерывные карты) с одинаковой начальной и конечной точкой (p (0) = q (0) и p (1) = q (1)), тогда p можно непрерывно деформировать в q, сохраняя при этом обе конечные точки фиксированными. Явно существует гомотопия $F:\; [0,\; 1]\; \times \; [0,\; 1]\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; [0,1]\; \backslash \; times\; [0,1]\; \backslash \; rightarrow\; X\; \}$такая, что $F\; (x,\; 0)\; =\; p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; 0)\; =\; p\; (x)\}$и $F\; (\; x,\; 1)\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; 1)\; =\; q\; (x)\}$.

Топологическое пространство X односвязно тогда и только тогда, когда X линейно связно и фундаментальная группа X в каждой точке является тривиальным, т.е. состоит только из элемента идентичности. Точно так же Xодносвязен тогда и только тогда, когда для всех точек $x,\; y\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\}$, набор морфизмы $Hom\; \Pi \; (X)\; \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{\backslash \; Pi\; (X)\}\; (x,\; y)\}$в фундаментальный группоид из Xимеет только один элемент.

В комплексном анализе : открытое подмножество $X\; \subseteq \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$односвязно тогда и только тогда, когда оба X и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел, мнимая часть которых строго больше нуля и меньше единицы, представляет собой прекрасный пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связно. Тем не менее, это просто связано. Также стоит отметить, что ослабление требования связности X приводит к интересному исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда все его компоненты связности односвязны.

Неформальное обсуждение

Неформально, объект в нашем пространстве просто связан, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», которые проходят через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях круг не просто соединен, но диск и линия связаны. Пространства, которые связаны, но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

A сферой просто связными, потому что каждый цикл может быть сжат (на поверхность) до точки.

. Определение исключает только обрабатывать -образные отверстия. Сфера (или, что то же самое, резиновый шар с полым центром) просто связана, потому что любая петля на поверхности сферы может сжиматься до точки, даже если у нее есть «дыра» в центре полости. Более сильное условие, что объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью.

Примеры

Тор не является односвязной поверхностью. Ни одну из двух цветных петель, показанных здесь, нельзя сжать до точки, не покидая поверхности. полноторие также не является односвязным, потому что пурпурная петля не может сузиться до точки, не покидая твердого тела.

• Евклидова плоскость Rодносвязна, но R минус начало координат (0,0) нет. Если n>2, то и R, и R без начала координат односвязны.
• Аналогично: n-мерная сфера S является односвязно тогда и только тогда, когда n ≥ 2.
• Каждое выпуклое подмножество из R односвязно.
• A тор, (эллиптическое) цилиндр, лента Мёбиуса, проективная плоскость и бутылка Клейна не просто связаны.
• Каждые топологическое векторное пространство односвязно; сюда входят банаховы пространства и гильбертовы пространства.
• Для n ≥ 2 специальная ортогональная группа SO (n, R ) не является односвязной и специальная унитарная группа SU (n) односвязна.
• Одноточечная компактификация R не является односвязной (даже если R односвязна).
• длинная линия L односвязна, но ее компактификация, удлиненная длинная линия L * - нет (так как это не соединенный даже путь).

Свойства

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связана и ее род (количество ручек поверхность) равно 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства X - это односвязное пространство, которое отображается в X через покрывающее отображение.

Если X и Y гомотопически эквивалентны и X односвязны, то же самое и Y.

Изображение односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должно быть односвязным. Возьмем, например, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение C - {0}, что не является односвязным.

Понятие простой связности важно в комплексном анализе из-за следующих фактов:

• Интегральная теорема Коши утверждает, что если U является односвязным открытым подмножество комплексной плоскости C, и f: U → C является голоморфной функцией, тогда f имеет первообразную F на U, и значение каждого линейного интеграла в U с подынтегральным выражением f зависит только от конечных точек u и v пути и может быть вычислено как F (v) - F (u). Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего u и v.
• Теорема об отображении Римана утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество C ( кроме самого C ) конформно эквивалентен единичному диску.

Понятие простой связности также является ключевым условием в гипотезе Пуанкаре.

См. Также

• Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве
• Деформационный ретракт
• n-связное пространство
• Связанное по путям
• Единственное пространство

Ссылки

• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной И. Спрингер. ISBN 0-387-90328-3.
• Бурбаки, Николас (2005). Группы Ли и алгебры Ли. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Гамлен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию. Издатели New Age. ISBN 0-85226-444-5.