Кросс-многогранник

редактировать

Кросс-многогранник размерностью от 2 до 5

2-мерный. квадрат	3-мерный. октаэдр

4 измерения. 16-элементный	5 измерений. 5-ортоплекс

В геометрии, a кросс-многогранник, гипероктаэдр, ортоплекс или кокуб - это правильный, выпуклый многогранник, существует в n- измерениях. Двумерный кросс-многогранник - это квадрат, трехмерный кросс-многогранник - это правильный октаэдр, а четырехмерный кросс-многогранник - это 16-элементный. Его фасеты - это симплексы предыдущего измерения, а фигура вершины кросс-многогранника - это еще один кросс-многогранник из предыдущего измерения.

Вершины кросс-многогранника могут быть выбраны в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой координатной оси - то есть все перестановки (± 1, 0, 0,…, 0). Кросс-многогранник - это выпуклая оболочка его вершин. N-мерный кросс-многогранник также можно определить как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его границу) в ℓ1-норме на R:

{x ∈ R n: ‖ x ‖ 1 ≤ 1}. {\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | _ {1} \ leq 1 \}.}

\ {x \ in {\ mathbb R} ^ {n}: \ | x \ | _ {1} \ leq 1 \}.

В одном измерении кросс-многогранник - это просто отрезок [-1, +1], в двух измерениях это квадрат (или ромб) с вершинами {(± 1, 0), (0, ± 1)}. В трех измерениях это октаэдр - один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела. Это может быть обобщено на более высокие измерения с n-ортоплексом, построенным как бипирамида с (n-1) -ортоплексным основанием.

Кросс-многогранник - это двойственный многогранник для гиперкуба. 1- каркас n-мерного кросс-многогранника - это граф Турана T (2n, n).

Содержание

1 4 измерения
2 Более высокие измерения
3 Обобщенный ортоплекс
4 Родственные семейства многогранников
5 См. Также
6 Ссылки
7 Ссылки
8 Внешние links

4 измерения

Четырехмерный кросс-политоп также называется гексадекахорон или 16-cell. Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников. Эти 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века.

Высшие измерения

Семейство перекрестных многогранников является одним из трех семейств регулярных многогранников, обозначенных Кокстером как β n, два других - это семейство гиперкуба, обозначенное как γ n, и симплексы, обозначенные как α n. Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов, он обозначил как δ n.

. N-мерный кросс-многогранник имеет 2n вершин и 2 фасета (n - 1 размерные компоненты), все из которых n− 1 симплексы. Фигуры вершин - это n - 1 кросс-многогранник. Символ Шлефли кросс-многогранника равен {3,3,..., 3,4}.

двугранный угол n-мерного кросс-многогранника равен $δ n = arccos ⁡ (2 - nn) {\ displaystyle \ delta _ {n} = \ arccos \ left ({\ frac {2-n} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ delta _ {n} = \ arccos \ left ({\ frac {2-n} {n}} \ right)}$ . Это дает: δ 2 = arccos (0/2) = 90 °, δ 3 = arccos (-1/3) = 109,47 °, δ 4 = arccos (-2/4) = 120 °, δ 5 = arccos (-3/5) = 126,87 °,... δ ∞ = arccos (-1) = 180 °.

Гиперобъем n-мерного кросс-многогранника равен

2 n n!. {\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n}} {n!}}.}

{ \ frac {2 ^ {n}} {n!}}.

Для каждой пары не противоположных вершин есть ребро, соединяющее их. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k-мерному компоненту, который их содержит. Количество k-мерных компонентов (вершин, ребер, граней,..., фасет) в n-мерном кросс-многограннике, таким образом, определяется выражением (см. биномиальный коэффициент ):

2 k + 1 (nk + 1) {\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ choose {k + 1}}}

2 ^ {k + 1} {n \ choose {k + 1}}

Существует много возможных ортогональных проекций, которые могут отображать кросс-многогранники как 2-мерные графики. Многоугольник Петри проекции отображают точки в правильные 2n-угольники или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция берет 2 (n-1) -угольный многоугольник Петри нижнего измерения, видимый как бипирамида , спроецированный вниз по оси, с двумя вершинами, отображенными в центре.

Элементы кросс-политопа
n	βn. k11	Name(s). Graph	Graph. 2n-gon	Schläfli	Coxeter-Dynkin. diagrams	Vertices	Ребра	Грани	Ячейки	4-гранный	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8 граней	9 граней	10 граней
0	β0	Точка. 0-ортоплекс	.	()	.	1
1	β1	Отрезок линии. 1-ортоплекс		{}	.	2	1
2	β2. −111	квадрат. 2-ортоплекс. Бикросс		{4}. 2 {} = {} + {}	.	4	4	1
3	β3. 011	октаэдр. 3-orthoplex. Tricross		{3,4}. {3}. 3 {}	. .	6	12	8	1
4	β4. 111	16-элементный. 4-ортоплекс. Тетракросс		{3,3,4}. {3,3}. 4 {}	. .	8	24	32	16	1
5	β5. 211	5-ортоплекс. Пентакросс		{3,4}. {3,3,3}. 5 {}	. .	10	40	80	80	32	1
6	β6. 311	6-ортоплекс. Гексакросс		{3,4}. {3,3}. 6 {}	. .	12	60	160	240	192	64	1
7	β7. 411	7-ортоплекс. Гептакросс		{3,4}. {3,3}. 7 {}	. .	14	84	280	560	672	448	128	1
8	β8. 511	8-ортоплекс. Октакросс		{3,4}. {3,3}. 8 {}	. .	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β9. 611	9-ортоплекс. Эннеакросс		{3,4}. {3,3}. 9 {}	. .	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β10. 711	10-ортоплекс. Декакросс		{3,4}. {3,3}. 10 {}	. .	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	βn. k11	n-ортоплекс. n-крест		{3,4}. {3,3}. n {}	... . ... . ...	2n 0-граней,... $2 k + 1 (nk + 1) {\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ choose k + 1}}$ $2 ^ {{k + 1}} {n \ choose k + 1}$ k-граней ..., 2 (n-1) -faces

Вершины выровненные по осям поперечные многогранники находятся на равном расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии (L нет RM ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор 2d точек является наибольшим возможным эквидистантным множеством для этого расстояния.

Обобщенный ортоплекс

Регулярный комплекс многогранники могут быть определены в комплексе гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или кросс-многогранниками), β. n= 2{3} 2 {3}... 2 {4} p или ... Реальные решения существуют при p = 2, т.е. β. n= β n= 2{3} 2 {3}... 2 {4} 2 = {3,3,.., 4}. Для p>2 они существуют в $C n {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {n}}$ . P-обобщенный n-ортоплекс имеет pn вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (действительные) как фасеты. Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы, β. 2составляют K p, p для полного двудольного графа, β. 3составляют K p, p, p для полных трехчастных графов. β. nсоздает K p. Может быть определена ортогональная проекция , которая отображает все вершины, равномерно расположенные на окружности, со всеми связными парами вершин, за исключением кратных n. Периметр правильного многоугольника в этих ортогональных проекциях называется многоугольником Петри.

Обобщенными ортоплексами
	p=2		p=3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
$R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2 }}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$	. 2{4} 2= {4} = . K2,2	$C 2 {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {2}}$	. 2{4} 3 = . K3,3	. 2{4} 4 = . K4,4	. 2{4} 5 = . K5,5	. 2{4} 6 = . K6,6	. 2{4} 7= . K7, 7	. 2{4} 8 = . K8,8
$R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$	. 2{3} 2 {4} 2= {3,4} = . K2,2,2	$C 3 {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {3}}$	. 2{3} 2 { 4} 3= . K3,3,3	. 2{3} 2 {4} 4= . K4,4,4	. 2{3} 2 {4} 5= . K5,5,5	. 2{3} 2 {4} 6= . K6,6,6	. 2{3} 2 {4} 7= . K7,7,7	. 2{3} 2 {4} 8= . K8,8,8
$R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$	. 2{3} 2 {3} 2. {3,3,4} = . K2,2,2,2	$C 4 {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C} } ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C }} ^ {4}}$	. 2{3} 2 {3} 2 {4} 3. . K3,3,3,3	. 2{3} 2 {3} 2 {4} 4. . K4,4,4,4	. 2{ 3} 2 {3} 2 {4} 5. . K5,5,5,5	. 2{3} 2 {3} 2 {4} 6. . K6,6,6,6	. 2{3} 2 {3} 2 {4} 7. . K7,7, 7,7	. 2{3} 2 {3} 2 {4} 8. . K8,8,8,8
$R 5 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$ $\ mathbb {R} ^ {5}$	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2. {3, 3,3,4} = . K2,2,2,2,2	$C 5 {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {5}}$	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3. . K3,3,3,3,3	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4. . K4,4,4,4,4	. 2{3} 2 { 3} 2 {3} 2 {4} 5. . K5,5,5,5,5	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6. . K6,6,6,6,6	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7. . K7,7,7,7,7	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8. . K8,8,8,8,8
$R 6 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$ $\ mathbb {R} ^ 6$	. 2{ 3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2. {3,3, 3,3,4} = . K2,2,2,2,2,2	$C 6 {\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C }} ^ {6}}$	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3. . K3,3,3,3,3,3	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4. . K4,4,4,4,4,4	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5. . K5,5,5,5,5,5	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6. . K6,6,6,6,6,6	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7. . K7,7,7,7, 7,7	. 2{3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8. . K8,8,8,8,8,8

Родственные семейства многогранников

Кросс-многогранники могут быть объединены с их двойными кубами для образования составных многогранников:

В двух измерениях мы получаем октаграмма звездочка {⁄ 2},
В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра,
В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-элементного.

См. Также

Список правильных многогранников
Группа гипероктаэдра, группа симметрии кросс-политопа

Цитаты

Литература

Coxeter, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
- стр. 121-122, §7.21. См. Иллюстрацию Рис. 7.2 B
- стр. 296, Таблица I (iii): Регулярные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с графами кросс-многогранников.

Weisstein, Eric W. «Кросс-многогранник». MathWorld.

v t Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в размерностях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5 ячеек	16 ячеек • Tesseract	Demitesseract	24 ячейки	120 ячеек • 600 ячеек
5 -симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6 -демикуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8 -куб	8-полукруг	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортопед lex • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильные многогранники и составные части