Выпрямленная 5-ячеечная

редактировать

Выпрямленная 5-ячеечная
. диаграмма Шлегеля с показанными 5 тетраэдрическими ячейками.
Тип	Равномерный 4-многогранник
символ Шлефли	t1{3,3,3} или r {3,3,3}. {3} = ${3 3, 3 } {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3,3 \ end {array}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l } 3 \\ 3,3 \ end {array}} \ right \}}$
Диаграмма Кокстера-Дынкина	.
Ячейки	10	5 {3,3} . 5 3.3.3.3
Грани	30 {3}
Ребра	30
Вершины	10
Вершинная фигура	. Треугольная призма
Группа симметрии	A4, [3,3,3], порядок 120
Многоугольник Петри	Пентагон
Свойства	выпуклый, изогональный, изотоксальный
Равномерный индекс	1 2 3

В четырехмерной геометрии, выпрямленный 5-элементный - это равномерный 4-многогранник, состоящий из 5 правильных тетраэдрических и 5 правильных октаэдрических ячеек. Каждое ребро имеет один тетраэдр и два октаэдра. Каждая вершина состоит из двух тетраэдров и трех октаэдров. Всего у него 30 треугольных граней, 30 ребер и 10 вершин. Каждая вершина окружена 3 октаэдрами и 2 тетраэдрами; вершинная фигура представляет собой треугольную призму.

Топологически, при ее высшей симметрии [3,3,3], существует только одна геометрическая форма, содержащая 5 правильных тетраэдров и 5 выпрямленных тетраэдров ( геометрически такой же, как правильный октаэдр). Он также топологически идентичен сегментохорону тетраэдр-октаэдр.

фигура вершины выпрямленной 5-ячейки представляет собой однородную треугольную призму, образованную тремя октаэдры по сторонам и два тетраэдра на противоположных концах.

Несмотря на то, что они имеют такое же количество вершин, что и ячейки (10), и такое же количество ребер, что и грани ( 30), выпрямленная 5-ячейка не является самодуальной, поскольку вершинная фигура (однородная треугольная призма) не является двойственной ячейкам полихорона.

Содержание

1 Конструкция Wythoff
2 Структура
3 Полуправильный многогранник
4 Альтернативные имена
5 Изображения
6 Координаты
7 Связанные многогранники
8 Связанные 4- многогранники
- 8.1 Связанные многогранники и соты
  - 8.1.1 Изотопные многогранники
9 См. также
10 Примечания
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Конструкция Wythoff

В матрице конфигурации показаны все числа инцидентов между элементами. Числа диагонального f-вектора выводятся с помощью конструкции Wythoff, разделяющей полный порядок групп в порядке подгрупп, удаляя по одному зеркалу за раз.

A4	k-face	fk	f0	f1	f2		f3		k-цифра	Примечания
A2A1	()	f0	10	6	3	6	3	2	{3} x {}	A4/A2A1= 5! / 3! / 2 = 10
A1A1	{}	f1	2	30	1	2	2	1	{} v ()	A4/A1A1= 5! / 2/2 = 30
A2A1	{3}	f2	3	3	10	*	2	0	{}	A4/A2A1= 5! / 3! / 2 = 10
A2	{3}	f2	3	3	*	20	1	1	{}	A4/A2= 5! / 3! = 20
A3	r {3,3}	f3	6	12	4	4	5	*	()	A4/A3= 5! / 4! = 5
A3	{3,3}	f3	4	6	0	4	*	5	()	A4/A3= 5! / 4! = 5

Структура

Вместе с симплексом и 24-ячейкой, эта фигура и ее двойственный (многогранник с десять вершин и десять треугольных бипирамид фасет) был одним из первых известных 2-простых 2-симплициальных 4-многогранников. Это означает, что все его двумерные грани и все двумерные грани двойственного объекта являются треугольниками. В 1997 году Том Брэйден нашел еще одну двойную пару примеров, склеив два выпрямленных 5-элементных элемента вместе; с тех пор было построено бесконечно много 2-простых 2-симплициальных многогранников.

Полурегулярный многогранник

Это один из трех полуправильных 4-многогранников, состоящих из двух или более клетки, которые являются Платоновыми телами, обнаруженными Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал его тетроктаэдром, потому что он состоит из клеток тетраэдра и октаэдра.

E. Л. Элте определил его в 1912 году как полуправильный многогранник, обозначив его как tC 5.

Альтернативные имена

Тетроктаэдрический (Торольд Госсет)
Диспентахорон
Ректифицированный 5-элементный ( Норман У. Джонсон )
Ректифицированный 4-симплексный
Полностью усеченный 4-симплексный
Ректифицированный пентахорон (Акроним: рэп) (Джонатан Бауэрс)
Амбопентахорон ( Нил Слоан и Джон Хортон Конвей )
(5,2) - гиперсимплекс (выпуклая оболочка пятимерных (0,1) -векторов ровно с двумя)

Изображения

орфографические проекции
Ak. плоскость Кокстера	A4	A3	A2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

. стереографическая проекция. (с центром на октаэдре )

. Сеть (многогранник)

Выпрямленный 5-элементный-перспектива-тетраэдр-первый-01.gif

Тетраэдр -центрированная перспективная проекция в трехмерное пространство, при этом ближайший тетраэдр к четырехмерной точке обзора отображается красным цветом, а 4 окружающих его октаэдра - зеленым.Клетки, лежащие на дальней стороне многогранника, отбракованы для ясности (хотя их можно различить по контуры края). Поворот выполняется только для трехмерного проекционного изображения, чтобы показать его структуру, а не для поворота в четырехмерном пространстве.

Координаты

Декартовы координаты вершин выпрямленной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

Координаты
$(2 5, 2 6, 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {3}}}, \ 0 \ right)}$ $\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)$ $(2 5, 2 6, - 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}) }}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}$ $\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {-1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)$ $(2 5, - 2 6, 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}$ $\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)$ $(2 5, - 2 6, - 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt { \ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {3}}}, \ 0 \ right) }$ $\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)$	$(- 3 10, 1 6, 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}$ $\ слева (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)$ $(- 3 10, 1 6, - 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {3}} }, \ 0 \ right)}$ $\ left (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {6}}, \ \ frac { -2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)$ $(- 3 10, - 3 2, 0, 0) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}, \ 0, \ 0 \ right)}$ $\ left (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ - \ sqrt {\ frac {3} {2}}, \ 0, \ 0 \ right)$

Координаты

(2 5, 2 6, 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {3}}}, \ 0 \ right)}

\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)

(2 5, 2 6, - 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}) }}, \ {\ frac {2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}

\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {-1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)

(2 5, - 2 6, 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}

\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)

(2 5, - 2 6, - 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ sqrt { \ frac {2} {5}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {3}}}, \ 0 \ right) }

\ left (\ sqrt {\ frac {2} {5}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {-2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)

(- 3 10, 1 6, 1 3, ± 1) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}, \ \ pm 1 \ right)}

\ слева (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {6}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {3}}, \ \ pm1 \ right)

(- 3 10, 1 6, - 2 3, 0) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ {\ frac {1} {\ sqrt {6}}}, \ {\ frac {-2} {\ sqrt {3}} }, \ 0 \ right)}

\ left (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ \ frac {1} {\ sqrt {6}}, \ \ frac { -2} {\ sqrt {3}}, \ 0 \ right)

(- 3 10, - 3 2, 0, 0) {\ displaystyle \ left ({\ frac {-3} {\ sqrt {10}}}, \ - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}, \ 0, \ 0 \ right)}

\ left (\ frac {-3} {\ sqrt {10}}, \ - \ sqrt {\ frac {3} {2}}, \ 0, \ 0 \ right)

Проще говоря, вершины выпрямленной 5-ячейки могут быть расположены на гиперплоскости в 5- пространство как перестановки (0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1). Эти конструкции можно рассматривать как положительные или грани выпрямленного пентакросса или двунаправленного пентеракта соответственно.

Родственные многогранники

Выпуклая оболочка выпрямленной 5-ячеечной и двойственной ей (при условии, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 30 ячеек: 10 тетраэдров, 20 октаэдров (как треугольные антипризмы) и 20 вершин. Его вершинная фигура - треугольный двустворчатый.

Связанный 4-многогранник

Этот многогранник является вершинной фигурой 5-полукуба, а фигура края однородного многогранника 221.

Это также один из 9 равномерных 4-многогранников, построенных из [3,3,3] группы Кокстера.

Название	5-элементный	усеченный 5-элементный	выпрямленный 5-элементный	сквошенный 5-элементный	усеченный 5-элементный	усеченный 5-элементный	ранцинированный 5-элементный	runcitruncated 5-cell	omnitruncated 5-cell
Schläfli. symbol	{3,3,3}. 3r {3,3,3}	t {3,3,3}. 2t {3,3,3}	r {3,3,3}. 2r {3,3,3}	rr {3,3,3}. r2r {3,3,3}	2t {3,3,3}	tr {3,3,3}. t2r {3,3,3}	t0,3 {3,3,3}	t0,1,3 {3,3,3}. t 0, 2,3 {3,3,3}	t0,1,2,3 {3,3,3}
Диаграмма Кокстера.	.	.	.	.		.		.
Диаграмма Шлегеля.
A4. Плоскость Кокстера. График
A3Плоскость Кокстера. График
A2Плоскость Кокстера. График

Связанные многогранники и мед. ombs

Выпрямленная 5-ячейка является второй в размерной серии полуправильных многогранников. Каждый прогрессивный однородный многогранник строится как фигура вершины предыдущего многогранника. Торольд Госсет идентифицировал эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильного многогранника, содержащие все симплексы и ортоплексы (тетраэдры и октаэдры в случае выпрямленного 5-ячеечного). символ Кокстера для выпрямленных 5-ячеек - это 0 21.

k21цифр в n-мерном
пространстве	Конечном						евклидовом	Гиперболическая
En	3	4	5	6	7	8	9	10
группа Кокстера.	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9= $E ~ 8 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$ ${\ tilde {E}} _ {8}$ = E 8	E10= $T ¯ 8 {\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ ${\ bar {T}} _ {8}$ = E 8
Диаграмма Кокстера.
Симметрия	[3]	[3]	[3]	[3]	[3]	[3]	[3]	[3]
Заказ	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Название	−121	021	121	221	321	421	521	621

Изотопные многогранники

Изотопные однородные усеченные симплексы
Разм.	2	3	4	5	6	7	8
Имя. Кокстер	Шестиугольник. = . t {3} = {6}	Октаэдр. = . r {3,3} = {3} = {3,4}. ${3 3} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \ end {array}} \ right \}}$ $\ left \ {\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \ end {array} \ right \}$	Decachoron. . 2t {3 }	Додекатерон. . 2r {3} = {3}. ${3, 3 3, 3} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3, 3 \\ 3,3 \ end {array}} \ right \}}$ $\ left \ {\ begin {array} {l} 3, 3 \\ 3, 3 \ end {array} \ right \}$	Тетрадекапетон. . 3t {3}	Гексадекапетон. . 3r {3} = {3}. ${3, 3, 3 3, 3, 3} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} 3,3,3 \\ 3,3,3 \ end {array}} \ right \}}$ $\ left \ {\ begin {array} {l} 3, 3, 3 \\ 3, 3, 3 \ end {array} \ right \}$	Octadecazetton. . 4t {3}
Изображения
Фигура вершины	() v ()	. {} × {}	. {} v { }	. {3} × {3}	. {3} v {3}	{3,3} x {3,3}	. {3,3} v {3,3}
Фасеты		{3}	t {3,3}	r {3,3,3}	2t {3,3,3,3}	2r {3,3, 3,3,3}	3t {3,3,3,3,3}
As. пересекающиеся. двойные. симплексы	. ∩	. ∩	. ∩	. ∩	∩	∩	∩

См. Также

Полурегулярный k 21 многогранник

Примечания

Ссылки

T. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Macmillan, 1900
J.H. Конвей и M.J.T. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники, Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, страницы 38 и 39, 1965 г.
H.S.M. Кокстер :
- Х.С.М. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
- Калейдоскопы: Избранные сочинения H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
  - (Бумага 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Документ 23) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Норман Джонсон Единообразные многогранники, рукопись (1991)
- N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. (1966)
Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1 -56881-220-5 (Глава 26)

Внешние ссылки

Исправленный 5-элементный - данные и изображения
- 1. Выпуклая однородная полихора на основе пентахорон - Модель 2, Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o3o - rap».

v t Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16-элементный • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полусуплекс	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений