1₂₂многогранник - 1 22 polytope

. 122.	. Исправленный 1 22.	. Двунаправленный 1 22.
. 221.	. Исправленный 2 21.
ортогональные проекции в E 6Плоскость Кокстера

В 6-мерной геометрии многогранник 122представляет собой однородный многогранник , построенный из группы E6. Впервые он был опубликован в E. Список полуправильных многогранников Л. Элте за 1912 год, названных V 72 (для 72 вершин).

Его символ Кокстера - 122, описывающую его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности с 1 узлом. Имеется два исправления 1 22, построенных путем позиционирования точек на элементах 1 22. Выпрямленный 1 22состоит из точек на средних краях 122. двунаправленный 1 22построен из точек в центрах граней треугольника 122.

. Эти многогранники принадлежат к семейству из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном, состоящих из однородный многогранник фасеты и фигуры вершин, определенные всеми перестановками колец на этой диаграмме Кокстера-Дынкина : .

• 1 1_22 многогранник
  • 1.1 Альтернативные имена
  • 1.2 Изображения
  • 1.3 Конструкция
  • 1.4 Связанный сложный многогранник
  • 1.5 Связанные многогранники и соты
    • 1.5.1 Геометрическая складчатость
    • 1.5.2 Тесселяции
• 2 Выпрямленный многогранник 1_22
  • 2.1 Альтернативные названия
  • 2.2 Образы
  • 2.3 Построение
• 3 Усеченный многогранник 1_22
  • 3.1 Альтернативные имена
  • 3.2 Построение
  • 3.3 Образы
• 4 Двунаправленный многогранник 1_22
  • 4.1 Альтернативные имена
  • 4.2 Образы
• 5 Трехгранник 1_22
  • 5.1 Альтернативные имена
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

122многогранник
Тип	Однородный 6-многогранник
Семейный	1k2многогранник
Шлеф символ li	{3,3}
символ Кокстера	122
диаграмма Кокстера-Дынкина	или
5- лица	54:. 27 121 . 27 121
4-гранный	702:. 270 111 . 432 120
Ячейки	2160:. 1080 110 . 1080 {3,3}
Грани	2160 {3}
Ребра	720
Вершины	72
Вершинная фигура	Двунаправленная 5-симплексная :. 022
многоугольник Петри	Додекагон
группа Кокстера	E6, [[3,3]], порядок 103680
Свойства	выпуклый, изотопический

Многогранник 1_22 содержит 72 вершины и 54 5-полукубических фасетов. Он имеет двунаправленную 5-симплексную фигуру вершин. Его 72 вершины представляют собой корневые векторы простой группы Ли E6.

Альтернативные имена

• Pentacontatetra-peton (Acronym Mo) - 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс)

Изображения

Коксетер плоскость орфографические проекции

E6. [12]	D5. [8]	D4 / A2. [6]
. (1,2)	. (1, 3)	. (1,9,12)
B6. [12/2]	A5. [6]	A4. [[5]] = [10]	A3 / D3. [4]
. (1,2)	. (2,3,6)	. (1,2)	. (1,6,8,12)

Строительство

Он создается с помощью конструкции Wythoff на наборе из 6 гиперплоскостей зеркал в 6-мерном пространстве.

Информация о фасетах может быть извлечена из его диаграммы Кокстера-Дынкина, .

Удаление узла на любой из двух ветвей длины оставляет 5-полукуб, 1 31, .

Фигурка вершины определяется удалением окруженного узла и вызовом соседнего узла. Это делает двунаправленный 5-симплексный, 0 22, .

. Рассматриваемый в матрице конфигурации, количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений группы Кокстера приказы.

E6		k-face	fk	f0	f1	f2	f3		f4			f5		k-figure	notes
A5		()	f0	72	20	90	60	60	15	15	30	6	6	r {3,3,3}	E6/A5= 72 * 6! / 6! = 72
A2A2A1		{}	f1	2	720	9	9	9	3	3	9	3	3	{3} x {3}	E6/A2A2A1= 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720
A2A1A1		{3}	f2	3	3	2160	2	2	1	1	4	2	2	s {2,4}	E6/A2A1A1= 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160
A3A1		{3,3}	f3	4	6	4	1080	*	1	0	2	2	1	{} v ()	E6/A3A1= 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
				4	6	4	*	1080	0	1	2	1	2
A4A1		{3,3,3}	f4	5	10	10	5	0	216	*	*	2	0	{}	E6/A4A1= 72 * 6! / 5! / 2 = 216
				5	10	10	0	5	*	216	*	0	2
D4		ч {4,3,3}		8	24	32	8	8	*	*	270	1	1		E6/D4= 72 * 6! / 8/4! = 270
D5		ч {4,3,3,3}	f5	16	80	160	80	40	16	0	10	27	*	()	E6/D5= 72 * 6! / 16/5! = 27
				16	80	160	40	80	0	16	10	*	27

Связанный сложный многогранник

Ортографическая проекция на плоскость Кокстера Aut (E6) с 18-угольной симметрией для сложного многогранника, 3 {3} 3 {4} 2. Он имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани.

правильный комплексный многогранник 3{3} 3 {4} 2, , в $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2\}\}$имеет реальное представление как многогранник 1 22 в 4-мерном пространстве. У него 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3 {3} 3 грани. Его комплексная группа отражений равна 3 [3] 3 [4] 2, порядок 1296. Он имеет квазирегулярную конструкцию полусимметрии. как , как выпрямление многогранника Гессе, .

Родственные многогранники и соты

Наряду с полуправильным многогранником 221 он также является одним из семейство 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном пространстве, состоящих из граней однородного многогранника и вершинных фигур, определенных всеми перестановками колец в этом Coxeter -Диаграмма Дынкина : .

1k2цифры в n измерениях
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическое
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Кокстера. группа	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9= $E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8	E10= $T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{T\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8
Диаграмма Кокстера.
Симметрия. (порядок)	[3]	[3]	[ 3]	[[3]]	[3]	[3]	[3]	[3]
Заказ	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	1−1,2	102	112	122	132	142	152	162

Геометрическое складывание

122связано с 24 ячейки геометрическим складыванием E6 → F4 из диаграмм Кокстера-Дынкина, E6 соответствует 122в 6 измерениях, F4 - к 24 ячейкам в 4 измерениях. Это можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера. 24 вершины 24-ячеечной проекции проецируются в те же два кольца, что и в плоскостях Кокстера 1 22.

E6 / F4
. 122	. 24-ячеечная
D4 / B4-плоскость Кокстера
. 122	. 24-ячейка

Тесселяции

Этот многогранник является вершинной фигурой для однородной мозаики 6-мерного пространства, 222, .

Выпрямленный 1 22
Тип	Равномерный 6-многогранник
символ Шлефли	2r {3,3,3}. r {3,3}
символ Кокстера	0221
Диаграмма Кокстера-Дынкина	. или
5- лица	126
4- лица	1566
Ячейки	6480
Лица	6480
Ребра	6480
Вершины	720
Вершинная фигура	призма 3-3 с двойной призмой
многоугольник Петри	Додекагон
Группа Кокстера	E6, [[3,3]], порядок 103680
Свойства	выпуклый

Многогранник выпрямленный 1 22(также называемый 0 221 ) может мозаизировать 6-мерное пространство как ячейка Вороного соты E6 * решетки (двойственной решетке E6).

Alterna те имена

• Биректифицированный 2 21 многогранник
• Ректифицированный пентаконтатетрапетон (аббревиатура Ram) - ректифицированный 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс)

Изображения

Вершины окрашены по их множественности в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскость Кокстера орфографические проекции

E6. [12]	D5. [8]	D4 / A2. [6]	B6. [12/2]
A5. [6]	A4. [5]	A3 / D3. [4]

Конструкция

Его конструкция основана на группе E6, и информация может быть извлечена из закольцованной диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник: .

Удаление кольца на короткой ветке оставляет двунаправленный 5-симплекс, .

Удаление кольца на двух листах ветви двунаправленный 5-ортоплекс в его альтернативной форме: t2(211), .

фигура вершины определяется путем удаления окруженного узла и звонка в соседнее кольцо. Это делает призму 3-3 дуопризмы, {3} × {3} × {}, .

. ​​При отображении в матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношения группы Кокстера заказов.

E6		k-face	fk	f0	f1	f2			f3					f4					f5			k-figure	примечания
A2A2A1		()	f0	720	18	18	18	9	6	18	9	6	9	6	3	6	9	3	2	3	3	{3} x {3} x {}	E6/A2A2A1= 72 * 6! / 3! / 3! / 2 = 720
A1A1A1		{}	f1	2	6480	2	2	1	1	4	2	1	2	2	1	2	4	1	1	2	2	{} v {} v ()	E6/A1A1A1= 72 * 6! / 2/2/2 = 6480
A2A1		{3}	f2	3	3	4320	*	*	1	2	1	0	0	2	1	1	2	0	1	2	1	Клиновидная область	E6/A2A1= 72 * 6! / 3! / 2 = 4320
				3	3	*	4320	*	0	2	0	1	1	1	0	2	2	1	1	1	2
A2A1A1				3	3	*	*	2160	0	0	2	0	2	0	1	0	4	1	0	2	2	{} ∨ {}	E6/A2A1A1= 72 * 6! / 3! / 2/2 = 2160
A2A1		{3,3}	f3	4	6	4	0	0	1080	*	*	*	*	2	1	0	0	0	1	2	0	{} v ()	E6/A2A1= 72 * 6! / 3! / 2 = 1080
A3		r {3,3}		6	12	4	4	0	*	2160	*	*	*	1	0	1	1	0	1	1	1	{3}	E6/A3= 72 * 6! / 4! = 2160
A3A1				6	12	4	0	4	*	*	1080	*	*	0	1	0	2	0	0	2	1	{} v ()	E6/A3A1= 72 * 6! / 4! / 2 = 1080
		{3,3}		4	6	0	4	0	*	*	*	1080	*	0	0	2	0	1	1	0	2
		r {3,3}		6	12	0	4	4	*	*	*	*	1080	0	0	0	2	1	0	1	2
A4		r {3,3,3}	f4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	432	*	*	*	*	1	1	0	{}	E6/A4= 72 * 6! / 5! = 432
A4A1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	216	*	*	*	0	2	0		E6/A4A1= 72 * 6! / 5! / 2 = 216
A4				10	30	10	20	0	0	5	0	5	0	*	*	432	*	*	1	0	1		E6/A4= 72 * 6! / 5! = 432
D4		ч {4,3,3}		24	96	32	32	32	0	8	8	0	8	*	*	*	270	*	0	1	1		E6/D4= 72 * 6! / 8/4! = 270
A4A1		r {3,3,3}		10	30	0	20	10	0	0	0	5	5	*	*	*	*	216	0	0	2		E6/A4A1= 72 * 6! / 5! / 2 = 216
A5		2r {3,3,3,3}	f5	20	90	60	60	0	15	30	0	15	0	6	0	6	0	0	72	*	*	()	E6/A5= 72 * 6! / 6! = 72
D5		rh{4,3,3,3}		80	480	320	160	160	80	80	80	0	40	16	16	0	10	0	*	27	*		E6/D5= 72 * 6! / 16 / 5! = 27
				80	480	160	320	160	0	80	40	80	80	0	0	16	10	16	*	*	27

Усеченный 1 22
Тип	Однородный 6-многогранник
символ Шлефли	t {3,3}
символ Кокстера	t (1 22)
диаграмма Кокстера-Дынкина	. или
5- лица	72 + 27 +27
4- лица	32 + 216 + 432 + 270 + 216
Ячейки	1080 + 2160 + 1080 + 1080 + 1080
Лица	4320 + 4320 + 2160
Ребра	6480 + 720
Вершины	1440
Фигура вершины	() v {3} x {3}
Многоугольник Петри	Додекагон
Группа Кокстера	E6, [[3,3]], порядок 103680
Свойства	выпуклый

Альтернативные имена

• Усеченный 1 22 многогранник

Построение

Его построение основано на группе E6, и информация может быть извлечена из кольцевой диаграммы Кокстера-Дынкина, представляющей этот многогранник: .

Изображения

Вершины окрашены в соответствии с их множеством в этой проекции в последовательном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскость Кокстера ортогональные проекции

E6. [12]	D5. [8]	D4 / A2. [6]	B6. [12/2]
A5. [6]	A4. [5]	A3 / D3. [4]

Двунаправленный 1 22 многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
символ Шлефли	2r {3,3}
символ Кокстера	2r (1 22)
диаграмма Кокстера-Дынкина	. или
5- лица	126
4- лица	2286
Ячейки	10800
Лица	19440
Края	12960
Вершины	2160
Вершинная фигура
Группа Кокстера	E6, [[3,3]], порядок 103680
Свойства	выпуклый

Альтернативные названия

• Бикантеллатед 2 21
• Биректифицированный пентаконтитетрапетон (барм) (Джонатан Бауэрс)

Изображения

Вершины окрашены в соответствии с их множеством в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскость Кокстера орфографические проекции

E6. [12]	D5. [8]	D4 / A2. [6]	B6. [12/2]
A5. [6]	A4. [5]	A3 / D3. [4]

Триректифицированный 1 22 многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
символ Шлефли	3r {3,3}
символ Кокстера	3r (1 22)
диаграмма Кокстера-Дынкина	. или
5-грань	558
4 лица	4608
Ячейки	8640
Лица	6480
Края	2160
Вершины	270
Вершина
группа Кокстера	E6, [[3,3]], порядок 103680
Свойства	выпуклый

Альтернативный имена

• Треугольник 2 21
• Триректифицированный пентаконтитетрапетон (обрезка) (Джонатан Бауэрс)

.

• Список многогранников E6

• Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств, Гронинген: University of Groningen
• HSM Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Калейдоскопы: избранные сочинения GS компании H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
  • (Бумага 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. P334 (рисунок 3.6a) Питера МакМаллена: (12-угольный граф вершина-ребро 1 22)
• Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)».o3o3o3o3o * c3x - mo, o3o3x3o3o * c3o - ram, o3x3o3x3o * c3o - barm

v t Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в размерностях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16-элементный • Тессеракт	Димитессеракт	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10 -ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений