Войти
| Тессеракт. 8-элементный. 4-кубический | |
|---|---|
 диаграмма Шлегеля | |
| Тип | Выпуклый правильный 4-многогранник |
| символ Шлефли | {4,3,3}. t 0,3 {4,3,2} или {4, 3} × {}. t 0,2 {4,2,4} или {4} × {4}. t 0,2,3 { 4,2,2} или {4} × {} × {}. t 0,1,2,3 {2,2,2} или {} × {} × {} × {} |
| Диаграмма Кокстера |     .  . . . |
| Ячейки | 8 {4,3}  |
| Грани | 24 {4} |
| Ребра | 32 |
| Вершины | 16 |
| Вершинная фигура |  . Тетраэдр |
| Многоугольник Петри | восьмиугольник |
| группа Кокстера | B4, [3,3,4] |
| Двойной | 16-элементный |
| Свойства | выпуклый, изогональный, изотоксальный, изоэдрический |
| равномерный индекс | 10 |
крест Дали, сетка тессеракта В геометрия, тессеракт является четырехмерным аналогом куба ; тессеракт относится к кубу, как куб к квадрату . Так же, как поверхность куба состоит из шести квадратных граней, гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек. Тессеракт является одним из шести выпуклых правильных 4-многогранников.
Тессеракт также называется восьмиклеточным, C8, (правильным) октахороном, октаэдроидом, кубическая призма и тетракуб . Это четырехмерный гиперкуб или 4-куб как часть размерного семейства гиперкубов или мерных многогранников . Коксетер называет его многогранником 
Согласно Оксфордскому словарю английского языка, слово tesseract было придумано и впервые использовано в 1888 году Чарльзом Ховардом Хинтоном в его книге A New Era of Thought, от греческого τέσσερεις ἀκτίνες (téssereis aktínes, «четыре луча»), имея в виду четыре линии от каждой вершины к другим вершинам. В этой публикации, а также в некоторых более поздних работах Хинтона это слово иногда пишется как «тессаракт».
Тессеракт может быть построен несколькими способами. Как правильный многогранник с тремя кубами, сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Сконструированный как 4D гиперпризма, состоящий из двух параллельных кубов, его можно назвать составным символом Шлефли {4,3} × {} с порядком симметрии 96.Как 4-4 дуопризма, декартово произведение двух квадратов, его можно назвать составным символом Шлефли {4} × {4}, с порядком симметрии 64. Как ортотоп он может быть представлен составным символом Шлефли {} × {} × {} × {} или {} с порядком симметрии 16.
Поскольку каждый вершина тессеракта примыкает к четырем ребрам, вершина фигура тессеракта представляет собой правильный тетраэдр. Двойной многогранник тессеракта называется правильным гексадекахороной, или 16-элементным, с символом Шлефли {3,3,4}, с которым его можно комбинировать для образования соединение тессеракта и 16 ячеек.
Стандартный тессеракт в евклидовом четырехмерном пространстве задается как выпуклая оболочка точек (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). То есть он состоит из точек:
Тессеракт ограничен на восемь гиперплоскостей (xi= ± 1). Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани в тессеракте. По каждому краю пересекаются три кубика и три квадрата. Четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра пересекаются в каждой вершине. Всего он состоит из 8 кубиков, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.
Конструирование гиперкубов можно представить следующим образом:
Трехмерная проекция 8-элементной ячейки, выполняющая простое вращение вокруг плоскости, которая делит фигуру пополам от переднего левого к заднему правому и сверху вниз  Схема, показывающая, как создать тессеракт из точки |  Анимация сдвига в измерениях, как показано выше |
Можно проецировать тессеракты в трехмерное и двухмерное пространство, аналогично проецированию куба в двумерное пространство.
Проекции на 2D-плоскость становятся более наглядными за счет изменения положения спроецированных вершин. Таким образом можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения внутри тессеракта, но которые иллюстрируют структуру соединения вершин, например, в следующих примерах:
Тессеракт в принципе получается путем объединения два кубика. Схема аналогична построению куба из двух квадратов: сопоставьте две копии куба меньшей размерности и соедините соответствующие вершины. Каждое ребро тессеракта имеет одинаковую длину. Это представление представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы для сетевой топологии для связывания нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует много разных путей чтобы обеспечить балансировку веса.
ромбический додекаэдр формирует выпуклую оболочку параллельной проекции тессеракта с первой вершиной. Количество вершин в слоях этой проекции 1 4 6 4 1 - четвертая строка в треугольнике Паскаля. Параллельные проекции огибающих тессеракта (каждая ячейка нарисована гранями разного цвета, перевернутые ячейки не нарисованы) Параллельная проекция тессеракта с первой ячейкой в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на куб, а остальные шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба. Параллельная проекция тессеракта лицом вперед в трехмерное пространство имеет кубоидальную оболочку. Две пары ячеек выступают на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки выступают на боковые грани. Параллельная проекция тессеракта вперед с ребра в трехмерное пространство имеет оболочку в форме шестиугольной призмы. Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые располагаются в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции в первую вершину. Две оставшиеся ячейки выступают на основания призм. Параллельная проекция тессеракта с первой вершиной в трехмерное пространство имеет ромбическую додекаэдрическую огибающую. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Есть ровно два способа разрезать ромбический додекаэдр на четыре конгруэнтных ромбоэдра, что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых представляет собой спроектированный куб тессеракта. Эта проекция также имеет максимальную громкость. Один набор векторов проекции: u = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1). |
Эта матрица конфигурации представляет тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем тессеракте. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
 Тессеракт можно развернуть в восемь кубов в трехмерном пространстве, как и куб можно развернуть на шесть квадратов в 2D-пространство. Развертка многогранника называется сеткой. Существует 261 отдельная сеть тессеракта. Развертывания тессеракта можно подсчитать, отображая сети на парные деревья (дерево вместе с идеальным соответствием в его дополнении ). |  . Стереоскопическая 3D-проекция тессеракта (параллельный вид) |
 . 3D-проекция тессеракта, выполняющая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей |  Воспроизвести медиа Трехмерная проекция трех мозаик с гранями и без них |  . Перспектива с устранением скрытого объема . Красный угол является ближайшим в 4D, и вокруг него встречаются 4 кубические ячейки. |
 тетраэдр образует выпуклую оболочку центральной проекции тессеракта с центром в вершине. Показаны четыре из 8 кубических ячеек. 16-я вершина проецируется на бесконечность, и четыре ее ребра не показаны. |  . Стереографическая проекция. (Ребра проецируются на 3-сферу ) |
Анимация, показывающая каждый отдельный куб в пределах B 4 проекции тессеракта на плоскость Кокстера. | плоскость Кокстера | B4 | B3/ D 4 / A 2 | B2/ D 3 |
|---|---|---|---|
| График |  |  |  |
| Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
| Плоскость Кокстера | Другое | F4 | A3 |
| График |  |  |  |
| Двугранная симметрия | [2] | [ 12/3] | [4] |
Длинный радиус (от центра до вершины) тессеракта равен длине его края; таким образом, его диагональ, проходящая через центр ( вершина к противоположной вершине) имеет длину 2 ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-элементный, трехмерный кубооктаэдр и двухмерный шестиугольник . В частности, тессеракт - единственный гиперкуб с этим свойством. Наибольший диаметр от вершины до вершины o f n-мерный гиперкуб с единичной длиной ребра равен √n, поэтому для квадрата это √2, для куба - √3, и только для тессеракта это √4, ровно две длины ребра.
Тессеракт, как и все гиперкубы, тесселяет евклидово пространство. Самодвойственные тессерактические соты, состоящие из 4 тессерактов вокруг каждой грани, имеют символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол, равный 90 °.
Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной регулярной объемно-центрированной кубической решеткой равных размеров. сферы в любом количестве измерений.
Сам тессеракт можно разложить на более мелкие многогранники. Например, его можно триангулировать на 4-мерные симплексы, которые имеют общие вершины с тессерактом. Известно, что существует 92487256 таких триангуляций и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них равно 16.
| Ортогональный | Перспектива |
|---|---|
 |  |
| 4{ 4} 2, с 16 вершинами и 8 4-гранями, при этом 8 4-ребер показаны здесь как 4 красных и 4 синих квадрата. | |
правильный комплексный многогранник 4{4} 2, 
в 
или 4 {} × 4 {}, с симметрией 4 [2] 4, порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считаются разными.
Как единообразная дуопризма, тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : {p} × {4}.
Обычный тессеракт, наряду с 16-элементным, существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией. Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот, {p, 3,3} с тетраэдром фигурами вершин, {3,3}. Тессеракт также находится в последовательности регулярных 4-многогранников и сот, {4,3, p} с кубическими ячейками.
С момента их открытия четырехмерные гиперкубы были популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Известные примеры включают:
Слово тессеракт позже было использовано для множества других целей в популярной культуре, в том числе в качестве сюжета устройство в произведениях научной фантастики, часто практически не связанное с четырехмерным гиперкубом, описанным в этой статье. См. Тессеракт (значения).
| ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | ||||||||
| Треугольник | Квадрат | p-угольник | Шестиугольник | Пентагон | ||||||||
| Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • ICO sahedron | |||||||||
| 5-элементный | 16-элементный • Tesseract | Demitesseract | 24-элементный | 120-элементный • 600-элементный | ||||||||
| 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб | 5-полукуб | ||||||||||
| 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб | 6-полукуб | 122 • 221 | |||||||||
| 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукуб | 132 • 231 • 321 | |||||||||
| 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукуб | 142 • 241 • 421 | |||||||||
| 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукуб | ||||||||||
| 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | ||||||||||
| n-симплекс | n-ортоплекс • n- куб | n-полукуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-пятиугольный многогранник | ||||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||
