Шестимерное пространство

Шестимерное пространство - это любое пространство, имеющее шесть измерений, шесть степеней свободы и требующее шести частей. данных или координат, чтобы указать местоположение в этом пространстве. Их бесконечно много, но наибольший интерес представляют более простые модели, моделирующие некоторые аспекты окружающей среды. Особый интерес представляет шестимерное евклидово пространство, в котором построены 6-многогранники и 5-сфера. Также изучаются шестимерные эллиптические пространства и гиперболические пространства с постоянной положительной и отрицательной кривизной.

Формально шестимерное евклидово пространство, ℝ, генерируется путем рассмотрения всех вещественных 6- кортежей как 6- векторов в этом пространстве.. Таким образом, он обладает свойствами всех евклидовых пространств, поэтому он линейен, имеет метрику и полный набор векторных операций. В частности, скалярное произведение между двумя 6-векторами легко определяется и может использоваться для вычисления метрики. Матрицы 6 × 6 могут использоваться для описания преобразований, таких как вращения, которые сохраняют исходную точку фиксированной.

В более общем плане любое пространство, которое может быть описано локально шестью координатами, не обязательно евклидовыми, является шестимерным. Одним из примеров является поверхность 6-сферы S. Это набор всех точек в семимерном пространстве (евклидово) ℝ, которые находятся на фиксированном расстоянии от начала координат. Это ограничение уменьшает количество координат, необходимых для описания точки на 6-сфере, на одну, поэтому она имеет шесть измерений. Такие неевклидовы пространства гораздо более распространены, чем евклидовы пространства, и в шести измерениях имеют гораздо больше приложений.

• 1 Геометрия
  • 1.1 6-многогранник
  • 1.2 5-сфера
  • 1.3 6-сфера
• 2 Приложения
  • 2.1 Преобразования в трех измерениях
    • 2.1.1 Винт теория
    • 2.1.2 Фазовое пространство
  • 2.2 Вращения в четырех измерениях
  • 2.3 Электромагнетизм
  • 2.4 Теория струн
• 3 Теоретические основы
  • 3.1 Бивекторы в четырех измерениях
  • 3.2 6-векторов
  • 3.3 Бивекторы Гиббса
• 4 Сноски
• 5 Ссылки

6-многогранник

A Многогранник в шести измерениях называется 6-многогранником. Наиболее изучены правильные многогранники, из которых всего три в шести измерениях : 6-симплекс, 6-куб и 6-ортоплекс. Более широкое семейство - это однородные 6-многогранники, построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется группой Кокстера. Каждый равномерный многогранник определяется окольцованной диаграммой Кокстера-Дынкина. 6-полукуб - уникальный многогранник из семейства D6, а многогранники 221 и 122 из семейства E6.

Равномерные многогранники в шести измерениях. (отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости Кокстера симметрии)

A6	B6		D6	E6
. 6-симплекс. . {3,3,3,3,3}	. 6-кубик. . {4,3,3,3,3}	. 6-ортоплекс. . {3,3,3,3,4}	. 6-полукуб. = . {3, 3} = h {4,3,3,3,3}	. 221. = . {3,3,3}	. 122. = . {3,3}

5-сфера

5-сфера, или гиперсфера в шести измерениях, - это пятимерная поверхность, равноудаленная от точки. Он имеет символ S, а уравнение для 5-сферы, радиус r, центр начала координат:

$S\; 5\; =\; \{x\; \in \; R\; 6:\; \Vert \; x\; \Vert \; =\; r\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{5\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{6\}:\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; =\; r\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Объем шестимерного пространства ограничен этой 5-сферой будет

$V\; 6\; =\; \pi \; 3\; r\; 6\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{6\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{3\}\; r\; ^\; \{6\}\}\; \{6\}\}\}$

, равно 5,16771 × r, или 0,0807 наименьшего 6-куба, содержащего 5-сферу.

6-сфера

6-сфера, или гиперсфера в семи измерениях, - это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки. Он имеет символ S, а уравнение для 6-сферы, радиус r, центр начала координат:

$S\; 6\; =\; \{x\; \in \; R\; 7:\; \Vert \; x\; \Vert \; =\; r\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{6\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{7\}:\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; =\; r\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Объем пространства, ограниченного этим 6-сфера - это

$V\; 7\; =\; 16\; \pi \; 3\; r\; 7\; 105\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{7\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{16\; \backslash \; pi\; ^\; \{3\}\; r\; ^\; \{7\}\}\; \{105\}\}\}$

который равно 4,72477 × r, или 0,0369 наименьшего 7-куба, содержащего 6-сферу.

Преобразования в трех измерениях

В трехмерном пространстве жесткое преобразование имеет шесть степеней свободы, три смещения по трем координатным осям и три из группы вращения SO (3). Часто эти преобразования обрабатываются отдельно, поскольку они имеют очень разные геометрические структуры, но есть способы справиться с ними, которые рассматривают их как единый шестимерный объект.

Теория винта

В теории винта угловая и линейная скорости объединены в один шестимерный объект, называемый скручиванием . Подобный объект, называемый гаечным ключом, объединяет силы и крутящие моменты в шести измерениях. Их можно рассматривать как шестимерные векторы, которые линейно трансформируются при изменении системы отсчета. Сдвиги и вращения не могут быть выполнены таким образом, но связаны с поворотом посредством возведения в степень.

Фазовое пространство

Фазовое пространство - это пространство, состоящее из положение и импульс частицы, которые могут быть изображены вместе на фазовой диаграмме, чтобы выделить взаимосвязь между величинами. Обычная частица, движущаяся в трех измерениях, имеет фазовое пространство с шестью измерениями, слишком много для построения, но их можно проанализировать математически.

Вращения в четырех измерениях

Группа вращения в четырех измерениях, SO (4) имеет шесть степеней свободы. Это можно увидеть, рассматривая матрицу 4 × 4, которая представляет поворот: поскольку это ортогональная матрица , матрица определяется с точностью до изменения знака, например, шесть элементов над главной диагональю. Но эта группа не является линейной и имеет более сложную структуру, чем другие приложения, которые видели до сих пор.

Другой способ взглянуть на эту группу - использовать умножение кватерниона . Каждое вращение в четырех измерениях может быть достигнуто умножением на пару единичных кватернионов, один до и один после вектора. Эти кватернионы уникальны, вплоть до смены знака для них обоих, и при таком использовании генерируют все вращения, поэтому произведение их групп S × S является двойным покрытием SO (4), который должен иметь шесть измерений.

Хотя пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, у четырехмерного пространства есть практические приложения. Кватернионы, один из способов описания вращения в трех измерениях, состоят из четырехмерного пространства. Вращения между кватернионами, например, для интерполяции, происходят в четырех измерениях. Пространство-время, которое имеет три пространственных измерения и одно временное измерение, также четырехмерное, но с другой структурой, чем Евклидово пространство.

Электромагнетизм

В электромагнетизме, электромагнитное поле обычно считается состоящим из двух вещей: электрического поля и магнитного поля. Оба они представляют собой трехмерные векторные поля, связанные друг с другом уравнениями Максвелла. Второй подход состоит в объединении их в один объект, шестимерный электромагнитный тензор, тензор или бивекторное представление электромагнитного поля. С помощью этого уравнения Максвелла можно сжать из четырех уравнений в одно особенно компактное уравнение:

$\partial \; F\; =\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; \backslash ,\}$

где F - это бивекторная форма электромагнитного тензора, J - четырехтоковый, а ∂ - подходящий дифференциальный оператор.

Теория струн

В физике теория струн - это попытка описать общую теорию относительности и квантовую механику с помощью одного математическая модель. Хотя это попытка смоделировать нашу Вселенную, она имеет место в пространстве с большим количеством измерений, чем четыре пространства-времени, с которыми мы знакомы. В частности, ряд теорий струн имеет место в десятимерном пространстве, добавляя дополнительные шесть измерений. Эти дополнительные измерения требуются теорией, но, поскольку они не могут быть обнаружены, считаются совершенно другими, возможно компактифицированными, чтобы сформировать шестимерный спа ce с определенной геометрией, слишком малой для наблюдения.

С 1997 года появилась другая теория струн, которая работает в шести измерениях. Маленькие теории струн - это негравитационные теории струн в пяти и шести измерениях, возникающие при рассмотрении пределов десятимерной теории струн.

Бивекторы в четырех измерениях

Ряд вышеупомянутых приложений могут быть связаны друг с другом алгебраически, рассматривая реальные шестимерные бивекторы в четырех измерениях. Их можно записать как Λℝ для множества бивекторов в евклидовом пространстве или Λℝ для множества бивекторов в пространстве-времени. Координаты Плюккера являются бивекторами в, тогда как электромагнитный тензор, обсуждаемый в предыдущем разделе, является бивектором в. Бивекторы могут использоваться для создания поворотов в или ℝ через экспоненциальное отображение (например, применение экспоненциального отображения всех бивекторов в Λℝ генерирует все вращения в). Они также могут быть связаны с общими преобразованиями в трех измерениях через однородные координаты, которые можно рассматривать как модифицированные вращения в.

Бивекторы возникают из суммы всех возможных произведений клина между парами 4-векторов. Следовательно, они имеют C4. 2 = 6 компонентов и в большинстве случаев могут быть записаны как

$B\; =\; B\; 12\; e\; 12\; +\; B\; 13\; e\; 13\; +\; B\; 14\; e\; 14\; +\; B\; 23\; e\; 23\; +\; B\; 24\; e\; 24\; +\; B\; 34\; e.\; 34\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; B\_\; \{12\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{12\}\; +\; B\_\; \{13\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{13\}\; +\; B\_\; \{14\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{14\; \}\; +\; B\_\; \{23\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{23\}\; +\; B\_\; \{24\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{24\}\; +\; B\_\; \{34\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{34\}\}$

Они первые бивекторы, которые не могут быть все порождены произведением пар векторов. Те, которые могут быть простыми бивекторами, и вращениями, которые они создают, являются простыми вращениями. Другие вращения в четырех измерениях - это двойные и изоклинические вращения и соответствуют непростым бивекторам, которые не могут быть созданы с помощью одного клина.

6-векторов

6-векторы - это просто векторы шестимерного евклидова пространства. Как и другие подобные векторы, они являются линейными, их можно складывать, вычитать и масштабировать, как в других измерениях. Вместо использования букв алфавита в более высоких измерениях обычно используются суффиксы для обозначения размеров, поэтому общий шестимерный вектор можно записать a = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6). Записанные таким образом шесть базисных векторов : (1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 0, 1).

Из векторных операторов перекрестное произведение нельзя использовать в шести измерениях; вместо этого произведение клина двух 6-векторов приводит к бивектору с 15 измерениями. скалярное произведение двух векторов равно

$a\; \cdot \; b\; =\; a\; 1\; b\; 1\; +\; a\; 2\; b\; 2\; +\; a\; 3\; b\; 3\; +\; a\; 4\; b\; 4\; +\; a\; 5\; b\; 5\; +\; a\; 6\; b\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{3\}\; +\; a\_\; \{4\}\; b\_\; \{4\; \}\; +\; a\_\; \{5\}\; b\_\; \{5\}\; +\; a\_\; \{6\}\; b\_\; \{6\}.\}$

Его можно использовать для определения угла между двумя векторами и нормой ,

$|\; а\; |\; =\; а\; \cdot \; а\; =\; а\; 1\; 2\; +\; а\; 2\; 2\; +\; а\; 3\; 2\; +\; а\; 4\; 2\; +\; а\; 5\; 2\; +\; а\; 6\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{a\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{a\_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{a\_\; \{3\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{a\_\; \{4\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{a\_\; \{5\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{a\_\; \{6\}\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это можно использовать, например, для вычисления диагонали 6-куба ; с одним углом в начале координат, ребрами, выровненными по осям и длиной стороны 1, противоположный угол может быть в (1, 1, 1, 1, 1, 1), норма которого составляет

$1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; =\; 6\; =\; 2.4495,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; +\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; =\; 2.4495,\}$

что является длиной вектор и так диагонали 6-куба.

бивекторы Гиббса

В 1901 году Дж. Гиббс опубликовал работу о векторах, включающую шестимерную величину, которую он назвал бивектором. Он состоял из двух трехмерных векторов в одном объекте, который он использовал для описания эллипсов в трех измерениях. Он вышел из употребления, поскольку были разработаны другие методы, и теперь название бивектор более тесно связано с геометрической алгеброй.

• Lounesto, Pertti (2001). Алгебры и спиноры Клиффорда. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.

• Ахарони, Офер (2000). «Краткий обзор« маленьких теорий струн »». Квантовая гравитация. 17 (5). arXiv : hep-th / 9911147. Bibcode : 2000CQGra..17..929A. doi :10.1088/0264-9381/17/5/302.