Равномерный 5-многогранник

Графики регулярных и однородных многогранников.

. 5-симплексных.				. Выпрямленных 5 -симплекс.				. Усеченный 5-симплекс.
. Кантеллированный 5-симплекс.				. Ранцинированный 5-симплекс.				. Стерифицированный 5-симплекс.
. 5-ортоплекс.				. Усеченный 5-ортоплекс.				. Выпрямленный 5- ортоплекс.
. Сквозной 5-ортоплекс.						. Сквозной 5-ортоплекс.
. Сквозной 5-куб.				. Сквозной 5-куб.				. Стерифицированный 5-куб.
. 5-куб.				. Усеченный 5-куб.				. Выпрямленный 5-полукуб.
. 5-полукуб.						. Усеченный 5-полукуб.
. Сквозной 5-полукуб.						. Рунцинированный 5-полукуб.

В геометрии форма 5-многогранник - это пятимерный однородный многогранник. По определению, равномерный 5-многогранник является вершинно-транзитивным и построен из равномерного 4-многогранника фасетов.

Полный набор выпуклых равномерных 5-многогранников не был определен, но многие из них могут быть сделаны как конструкции Wythoff из небольшого набора групп симметрии. Эти операции представлены перестановками колец диаграмм Кокстера.

• 1 История открытия
• 2 Правильные 5-многогранники
• 3 Выпуклые однородные 5-многогранники
  • 3.1 Симметрия равномерных 5-многогранников в четырехх
  • 3.2 Перечисление выпуклых однородных 5-многогранников
  • 3.3 Семейство A 5
  • 3.4 Семейство B 5
  • 3.5 Семейство D 5
  • 3.6 Однородные призматические формы
    • 3.6.1 A 4 × A 1
    • 3.6.2 B 4 × A 1
    • 3.6.3 F 4 × A 1
    • 3.6.4 H 4 × A 1
    • 3.6.5 Большая призма с антипризмой
• 4 Примечания по конструкции Wythoff для однородных 5-многогранников
• 5 Правильные и однородные соты
  • 5.1 Компактные правильные мозаики гиперболического 4-пространства
  • 5.2 Регулярные и однородные гиперболические соты
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

• Правильные многогранники : (в ыпуклые грани)
  • 1852 : Людвиг Шлефли доказано в его манускрипте ipt Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях.
• Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения категории униформа Кокстера)
  • 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными фасетами (выплые правильные 4-многогранники ) в своей публикации на регулярных и полурегулярных изображений.
• Выпуклые однородные многогранники :
  • 1940-1988 : поиск систематически расширен с помощью HSM Кокстер в своей публикации регулярных ирегулярных многогранников I, II и III.
  • 1966 : Норман У. Джонсон защитил докторскую диссертацию. Диссертация Кокстера, Теория однородных многогранников и сот, Университет Торонто

Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s}, с s {p, q, r} 4-многогранником фасетами вокруг каждой грани. Таких правильных многогранников ровно три, все выпуклые:

• {3,3,3,3} - 5-симплекс
• {4,3,3,3} - 5-куб
• {3,3,3,4} - 5-ортоплекс

Не существует невыпуклых правильных многогранников в 5,6,7,8,9,10,11 и 12 измеренийх.

Нерешенная задача в математике :. Что такое полный набор равномерных 5-многогранников? (больше нерешенных задач в математике)

Известно 104 выпуклых однородных 5-многогранников, а также множество бесконечных семейств призм дуопризмы и дуопризм многоугольника и многогранника. Все, кроме большой антипризмы, основаны на конструкциях Витхоффа, симметрии отражения, созданной с помощью групп Кокстера.

Симметрия однородных 5-многогранников в четырех измерениях

5 - simplex - это обычная форма в семействе A 5. 5-куб и 5-ортоплекс регулярными формами в семействе B 5. Бифуркационный граф семейства D 5 содержит 5-ортоплекс, а также 5-полукуб, который является чередующимся 5-куб.

Каждый отражающий однородный 5-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точек в 5 измерениях с помощью конструкции Wythoff, представленной кольцами вокруг перестановок узлов в Диаграмма Кокстера. Зеркальные гиперплоскости могут быть сгруппированы по цветным узлам, разделенными четными ветвями. Группы симметрии вида [a, b, b, a] имеют расширенную симметрию [[a, b, b, a]], как и [3,3,3,3], удваивая порядок симметрии. Равномерные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.

Если все зеркала данного цвета не связаны (неактивны) в данном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией за счет удаления всех неактивных зеркал. Если все узлы данного цвета обведены (активны), операция чередования может сгенерировать новый 5-многогранник с хиральной симметрией, показанный как «пустые» обведенные узлы », но геометрия обычно не регулируется для создания единообразных решений.

Соответствует диаграмм Кокстера между семействами и более высокая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждой строке указывает идентичные зеркала. Черные узлы не активны в соответствиях.

Основные семейства

Группа. символ	Порядок	График Кокстера.		Кронштейн. обозначение	Коммутатор. подгруппа	Номер Кокстера.. (h)	Отражения. m = 5/2 h
A5	720			[3,3,3,3]	[3,3, 3,3]	6		15
D5	1920			[3,3,3]	[3,3,3]	8		20
B5	3840			[4, 3,3,3]		10	5	20

Однородные призмы

Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках. Существует одно бесконечное семейство из 5 -полигопы на основе призмных однородных дуопризм {p} × {q} × {}.

Группа Кокстера.	Порядок	Схема Кокстера.		Обозначение Кокстера.	Коммутатор. подгруппа	Отражения
A4A1	120			[3, 3,3,2] = [3,3,3] × []	[3,3,3]			10		1
D4A1	384			[3,2] = [3] × []	[3]			12		1
B4A1	768			[4,3,3,2] = [4,3,3] × []			4	12		1
F4A1	2304			[3,4,3,2] = [3,4,3] × []	[3,4,3]		12	12		1
H4A1	28800			[5,3,3,2] = [3,4,3] × []	[5,3,3]			60		1
Двупризматический (використовуйте 2p и 2q для эвенов.)
I2(p) I 2 (q) A 1	8pq			[p, 2, q, 2] = [p] × [q] × []	[p, 2, q]		p	q		1
I2(2p) I 2 (q) A 1	16pq			[2p, 2, q, 2] = [2p] × [ q] × []		p	p	q		1
I2(2p) I 2 (2q) A 1	32pq			[2p, 2,2q, 2] = [2p] × [2q] × []		p	p	q	q	1

Однородные дуопризмы

Существуют 3 категориальных однородных дуопризматических семейства многогранников, основанных на декартовых произведений однородных многогранников ников ников ников и правильные многоугольники : {q, r} × {p}.

Группа Кокстера.	Порядок	Схема Кокстера.		Обозначение Кокстера.	Коммутатор. подгруппа	Отражения
Призматические группы (використовуйте 2p для четных)
A3I2(p)	48p			[3,3,2, p] = [3,3] × [p]	[(3,3), 2, p]		6	p
A3I2(2p)	96p			[3,3,2,2p] = [3,3] × [2p]			6	p	p
B3I2(p)	96p			[4,3,2, p] = [4,3] × [p]		3	6	p
B3I2(2p)	192p			[4,3,2,2p] = [ 4,3] × [2p]		3	6	p	p
H3I2(p)	240p			[5,3,2, p] = [5,3] × [p]	[ (5,3), 2, p]		15	p
H3I2(2p)	480p			[5,3,2,2p] = [5,3] × [2p]			15	p	p

Перечисление выпуклых однородных 5-многогранников

• Семейство симплексных : A 5 [3]
  • 19 однородных 5-многогранников
• Гиперкуб / Семейство Orthoplex : BC 5 [4,3]
  • 31 однородный 5-многогранник
• Семейство Demihypercube D5/E5: [3]
  • 23 однородных 5-многогранников (8 уникальных)
• Призмы и дуоприз мы:
  • 56 однородных 5-многогранников (45 уникальных) построений на основе призматических семейств: [3,3,3] × [], [4,3,3] × [], [5,3, 3] × [], [3] × [].
  • Один не-Wythoffian - единственный известный невыпуклый однородный 5-многогранник, не являющийся Wythoffian, построенный из двух больших антипризм, связанных многогранными призмами.

В результате получается: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104

Кроме того, существует:

• Бесконечно много однородных 5-многогранных конструкций, основанных на призматических семьях дуопризмы: [p] × [q] × [].
• Бесконечно много равномерных 5-многогранников, построенных на основе дуопризматических семейств: [3,3] × [p], [4,3] × [p], [5,3] × [p].

Семейство A 5

Существует 19 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера с одним или больше колец. (16 + 4-1 случаев)

Они названы Норманом Джонсоном из операций построения Wythoff на регулярном 5-симплексе (гексатерон).

Семейство A5 имеет симметрию порядка 720 (6 факториал ). 7 из 19 рисунков с симметрично окольцованными диаграммами Кокстера имеют удвоенную симметрию, порядок 1440.

Координаты однородных 5 -огранников с 5-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 6-мерном пространстве, все в гиперплоскости с вектором нормали (1,1,1,1,1,1).

#	Базовая точка	Джонсон система имен. Имя Бауэрса и (акроним). Диаграмма Кокстера	количество элементов k-грани					Вершина. рисунок	Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3]
			4	3	2	1	0		. [3,3,3]. (6)	. [3,3,2]. (15)	. [ 3,2,3]. (20)	. [2,3,3]. (15)	. [3,3,3]. (6)
1	(0, 0,0,0,0,1) или (0,1,1,1,1,1)	5-симплекс. гексатерон (hix).	6	15	20	15	6	. {3,3,3}	(5). . {3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1,1)	Ректифицированный 5-симплекс. ректификованный гексатерон (rix).	12	45	80	60	15	. t {3,3} × {}	(4). . r {3,3,3}	-	-	-	(2). . {3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2,2)	Усеченный 5-симплекс. усеченный гексатерон (tix).	12	45	80	75	30	. Тетрах.пир	(4). . t {3,3,3}	-	-	-	(1). . {3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) или (0,1, 1,2,2,2)	Кантеллированный 5-симплекс. малый ромбовидный гексатерон (sarx).	27	135	290	240	60	. призматический клин	(3). . rr {3,3,3}	-	-	(1). ×. {} × {3,3}	(1). . r {3,3,3}
5	(0,0, 0,1,2,2) или (0,0,1,2,2, 2)	Bitruncated 5-simplex. bitruncated hexateron (bittix).	12	60	140	150	60		(3). . 2t {3,3,3}	-	-	-	(2). . t {3,3,3}
6	(0,0,0,1,2, 3) или (0,1,2,3,3,3)	Усеченный 5-симплекс. большой ромбовидный гексатерон (гаркс).	27	135	290	300	120		. tr {3,3,3}	-	-	×. {} × {3,3}	. t {3,3,3 }
7	(0,0,1,1,1,2) или (0,1,1,1,2,2)	5-симплексный раструб. гексатерон с малой призмой.	47	255	420	270	60		(2). . t0,3 {3,3, 3}	-	(3). . {3} × {3}	(3). ×. {} × r {3,3}	(1). . r {3, 3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) или (0,1,2,2, 3,3)	Выполнить усеченный 5-симплексный. призматоусеченный гексатерон (pattix).	47	315	720	630	180		. t0,1,3 {3,3, 3}	-	×. {6} × {3}	×. {} × r {3,3}	. rr {3,3,3}
9	(0,0, 1,2,2, 3) или (0,1,1,2,3,3)	Ранциантеллированный 5-симплексный. призматический гексатерон (пиркс).	47	255	570	540	180		. t0,1,3 {3,3,3}	-	. {3} × {3}	×. {} × t {3,3}	. 2t {3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) или (0, 1,2,3, 4,4)	Бегунусеченное усеченное 5-симплексное. большой призматический гексатерон (гиппикс).	47	315	810	900	360	. Irr. 5-элементный	. t0,1,2,3 {3,3,3}	-	×. {3} × {6}	×. {} × t {3,3}	. rr {3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) или (0,1,2,2,2,3)	Стери усеченный 5-симплекс. клеточно-призматический гексатерон (каппикс).	62	330	570	420	120		. t {3,3,3}	×. {} × t {3,3}	×. {3} × {6}	×. {} × {3,3}	. t0,3 {3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) или (0,1,2,3,3,4)	Стериканитусеченное 5-симплексное. целое гексатерон (cograx).	62	480	1140	1080	360		. tr {3,3,3}	×. {} × tr {3,3}	×. {3} × {6}	×. {} × rr {3,3}	. t0,1,3 {3,3,3}

#	Базовая точка	Джонсон система имен. Имя и (акроним) Бауэрса. диаграмма Кокстера	количество элементов k-грани					Вершина. рисунок	Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3]
			4	3	2	1	0		. [3,3,3]. (6)	. [3,3,2]. (15)	. [3,2,3]. (20)	. [2,3,3]. (15)	. [3,3,3]. (6)
13	(0,0,0,1,1,1)	Двунаправленный 5- симплексный. додекатерон (точка).	12	60	120	90	20	. {3} × {3}	(3). . r {3,3,3}	-	-	-	(3). . r {3,3,3}
14	(0, 0,1,1,2,2)	Бикантеллированный 5-симплекс. маленький биомбированный додекатерон (sibrid).	32	180	420	360	90		(2). . rr {3,3,3}	-	(8). . {3} × {3}	-	(2). . rr {3,3,3}
15	(0,0,1, 2,3,3)	Бикантитуксус d 5-симплекс. большой биомбированный додекатерон (гибрид).	32	180	420	450	180		. tr {3,3,3}	-	. {3} × {3}	-	. tr {3,3,3}
16	(0,1,1,1,1, 2)	стерилизованный 5-симплексный. додекатерон с малыми ячейками (scad).	62	180	210	120	30	. Irr. 16-элементный	(1). . {3,3,3}	(4). ×. {} × {3,3}	(6). . {3 } × {3}	(4). ×. {} × {3,3}	(1). . {3,3,3}
17	(0, 1,1,2,2,3)	Просттеллированный 5-симплексный. малый клеточный додекатерон (карта).	62	420	900	720	180		. rr {3,3,3}	×. {} × rr {3,3}	. {3} × {3}	×. {} × rr {3,3}	. rr {3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Стериро-усеченный 5-симплекс. клеткапризматоусеченный додекатерон (каптид).	62	450	1110	1080	360		. t0,1, 3 {3,3,3}	×. {} × t {3,3}	. {6} × {6}	×. {} × t {3, 3}	. t0, 1, 3 {3, 3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Омноусеченный 5-симплекс. большой клетчатый додекатерон (гокад).	62	540	1560	1800	720	. Irr. {3,3,3}	(1). . t0,1,2,3 {3,3,3}	(1). ×. {} × tr {3,3 }	(1). . {6} × {6}	(1). ×. {} × tr {3,3}	(1). . t0,1,2, 3 {3,3,3}

Семейство B 5

Семейство B5 имеет симметрию порядка 3840 (5! × 2).

Это семейство 2-1 = 31 однородный имеет многогранник Витоффа, сгенерированный путем маркировки одного или нескольких узлов диаграмм Кокстера.

Для простоты оно разделено на две подгруппы, каждая с 12 формами и 7 «средние» формы, которые в равной степени принадлежат обеим.

Семейство 5-кубов из 5-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, с учетом всех перестановок координат и знаков. Каждая базовая точка порождает отдельный однородный 5-многогранник. Все координаты соответствуют однородным 5-многогранникам с длиной ребра 2.

#	Базовая точка	Имя. Диаграмма Кокстера	Количество элементов					Вершина. фигура	Фасет подсчитывается по местоположению: [4,3,3,3]
			4	3	2	1	0		. [4,3,3]. (10)	. [4,3,2]. (40)	. [4, 2,3]. (80)	. [2,3,3]. (80)	. [3,3,3]. (32)
20	(0,0,0,0,1) √2	5-ортоплекс (tac).	32	80	80	40	10	. {3,3,4}	. {3,3, 3 }	-	-	-	-
21	(0,0,0,1,1) √2	Выпрямленный 5-ортоплекс (крыса).	42	240	400	240	40	. {} × {3,4}	.. {3,3,4}	-	-	-	. r {3,3,3}
22	(0,0,0,1,2) √2	Усеченный 5-ортоплекс (tot).	42	240	400	280	80	. (Octah.pyr)	. t {3,3,3}	. {3,3,3}	-	-	-
23	(0,0, 1, 1,1) √2	Двунаправленный 5-куб (нит). (Двунаправленный 5-ортоплекс).	42	280	640	480	80	. {4} × {3}	. r {3,3,4}	-	-	-	. r {3,3,3}
24	(0, 0,1,1,2) √2	Сквозной 5 - ортоплекс (sart).	82	640	1520	1200	240	. Призматический клин	r {3,3, 4}	{} × {3,4}	-	-	. rr {3,3,3}
25	(0,0,1,2,2) √ 2	5-ортоплекс с усеченным битом (бит).	42	280	720	720	240		т {3,3, 4}	-	-	-	. 2t {3,3, 3}
26	(0,0,1,2,3) √2	Кантоусеченный 5-ортоплекс (гарт).	82	640	1520	1440	480		rr{3,3,4}	{} × r {3,4}	. {6} × {4}	-	. t0,1,3 {3,3,3}
27	(0,1,1,1,1) √ 2	Выпрямленный 5-куб (рин).	42	200	400	320	80	. {3,3} × {}	. r {4,3,3}	-	-	-	. {3,3,3}
28	(0,1,1,1,2) √2	Ранцинированный 5- ортоплекс (спат).	162	1200	2160	1440	320		r {4,3,3}	-	. {3} × {4}		. t0,3 {3,3, 3}
29	(0,1,1,2,2) √2	Бикантеллированный 5-куб (сибрант). (двухканальный 5-ортоплекс).	122	840	2160	1920	480		. rr {4,3, 3}	-	. {4} × {3}	-	. rr {3, 3,3}
30	(0,1,1,2,3) √2	Выполнить усеченный 5-ортоплекс (pattit).	162	1440	3680	3360	960		rr{3,3,4}	{} × r {3,4}	. {6} × {4}	-	. t0,1,3 {3,3,3}
31	(0,1,2, 2, 2) √ 2	Обрезанный битами 5-куб (tan).	42	280	720	800	320		. 2т {4, 3,3}	-	-	-	. t {3,3,3}
32	(0,1,2,2,3) √2	Ранкантеллированный 5-ортоплекс (пирт).	162	1200	2960	2880	960		{} × t {3,4}	2t {3,3,4}	. {3} × {4}	-	. t0,1,3 {3,3,3}
33	(0, 1,2, 3,3) √2	Двухкоординатно-усеченный 5-куб (гигрант). (Двухкоординатный 5-ортоплекс).	122	840	2160	2400	960		. rr {4,3,3}	-	. {4} × {3}	-	. rr {3,3,3}
34	(0,1,2,3,4) √2	Ранкоусеченный 5-ортоплекс (гиппит).	162	1440	4160	4800	1920		tr{3,3,4}	{} × t {3,4}	. {6} × {4}	-	. t0,1,2,3 {3,3,3}
35	( 1,1, 1,1,1)	5-куб (отложено).	10	40	80	80	32	. {3,3,3}	. {4,3,3}	-	-	-	-
36	(1, 1,1,1,1). + (0,0,0,0,1) √2	стерилизованный 5-кубический (скудный). (стерилизованный 5 -ортоплекс).	242	800	1040	640	160	. Tetr.antiprm	. {4, 3,3}	. {4, 3} × {}	. {4} × {3}	. {} × {3,3}	. {3,3,3}
37	(1, 1,1,1,1). + (0,0,0,1,1) √2	Бегущий 5-кубик (диапазон).	202	1240	2160	1440	320		. t0,3 {4,3,3}	-	. {4 } × {3}	. {} × r {3,3}	. {3,3,3}
38	(1,1,1,1,1). + (0,0,0,1,2) √2	Стеритоусеченный 5 -ортоплекс (каппин).	242	1520	2880	2240	640		t0,3 {3,3,4}	{} × {4,3}	-	-	. t {3,3, 3}
39	(1,1,1,1, 1). + (0,0, 1,1,1) √2	Сквозной 5-куб (сирн).	122	680	1520	1280	320	. Призматический клин	. rr {4,3,3}	-	-	. {} × {3,3}	. r {3,3,3}
40	(1, 1,1,1,1). + (0,0,1,1,2) √2	Стерикантеллированный 5-куб (карнит). (Стерикантеллированный 5- ортоплекс).	242	2080	4720	3840	960		. рр {4,3,3}	. рр { 4,3} × {}	. {4} × {3}	. {} × rr {3,3}	. rr {3,3,3}
41	(1,1, 1,1,1). + (0, 0,1,2,2) √2	Ранцителлированный 5-куб (принт).	202	1240	2960	2880	960		. t0,1,3 {4,3,3}	-	. {4} × {3 }	. {} × t {3,3}	. 2t {3, 3,3}
42	(1,1, 1,1,1). + (0,0,1,2,3) √2	Стериканто-усеченный 5-ортоплекс (когарт).	242	2320	5920	5760	1920		. {} × rr {3, 4}	. t0, 1,3 {3, 3,4}	. {6} × {4}	. {} × t {3,3}	. tr {3, 3,3}
43	(1, 1,1, 1,1). + (0,1,1,1,1) √2	Усеченный 5-куб (tan).	42	200	400	400	160	. Tetrah.pyr	. t {4,3,3}	-	-	-	. {3,3,3}
44	(1,1, 1,1,1). + (0,1,1,1,2) √2	стерилизованное усеченное 5-куб (capt).	242	1600	2960	2240	640		. t {4,3, 3}	. t {4,3} × {}	. {8} × {3}	. {} × {3,3}	. t0,3 {3,3,3 }
45	(1,1,1,1,1). + (0,1,1,2,2) √2	Выполнить усеченный 5-куб (паттин).	202	1560	3760	3360	960		. t0,1,3 {4,3, 3}	{} × t {4,3}	. {6} × {8}	{} × t {3,3}	t0,1,3 {3,3, 3}]]
46	(1,1, 1,1,1). + (0,1,1,2,3) √2	​​Стериро-усеченный 5-куб (каптинт). (стерически усеченный 5-ортоплекс).	242	2160	5760	5760	1920		. t0, 1,3 {4,3,3}	. т {4, 3} × {}	. {8} × {6}	. {} × t {3,3}	. t0,1,3 {3,3,3}
47	(1,1,1,1,1). + (0,1,2, 2, 2) √2	Кантоусеченный 5-куб (гирн).	122	680	1520	1600	640		. tr {4,3,3}	-	-	. {} × {3,3}	. t {3,3,3}
48	(1,1, 1,1, 1). + (0,1,2,2,3) √2	Стерико-усеченный 5-куб (когрин).	242	2400	6000	5760	1920		. tr {4,3,3}	. tr {4,3} × {}	. {8} × {3}	. {} × t 0,2 {3,3}	. t0,1,3 {3,3, 3}
49	(1,1,1,1,1). + (0,1,2, 3,3) √2	Рунцикантитусеченный 5-куб (гиппин).	202	1560	4240	4800	1920		. t0,1,2,3 {4,3, 3}	-	. {8} × {3}	. {} × t {3,3}	. tr {3, 3,3}
50	(1,1, 1,1,1). + (0,1,2,3,4) √2	Усеченный 5-куб (гакнет). (5-ортоплекс без усечения).	242	2640	8160	9600	3840	. Irr. {3,3,3}	. tr {4,3} × {}	. tr {4,3} × {}	. {8} × {6}	. {} × tr {3, 3}	. t0,1,2,3 {3,3,3}

Семья D 5

Семья D5 имеет симметрию порядка 1920 (5! х 2).

В этом семействе 23 однородных многогранника Витоффа из 3x8-1 перестановок D 5диаграмма Кокстера с одним или одним кольцами. 15 (2x8-1) повторяются из семейства B 5, а 8 являются уникальными для этого семейства.

#	Диаграмма Кокстера. символ Шлефли символы. имена Джонсон и Бауэрс	Количество элементов					Вершина. рисунок	Фасеты по местоположению: [3]
		4	3	2	1	0		. [3,3,3]. (16)	. [3]. (10)	. [3,3] × []. (40)	. [] × [3] × []. (80)	. [3,3,3]. (16)
51	= . h {4,3,3,3}, 5-demicube. Hemipenteract (hin)	26	120	160	80	16	. t1{3,3,3}	{3,3,3}	t0(111)	-	-	-
52	= . div class="ht"{4,3,3,3}, кантик с 5 кубами. Усеченный полуобъектив (тонкий)	42	280	640	560	160
53	= . h3{4,3, 3,3}, рунский 5-куб. Малый ромбовидный гемипинтеракт (сирхин)	42	360	880	720	160
54	= . h4{4,3,3,3}, стерический 5-кубический. Малый призматический гемипинтеракт (сифин)	82	480	720	400	80
55	= . div class="ht",3 {4,3,3, 3}, рунический 5-куб. Отлично ромбовидный гемипентеракт (гирхин)	42	360	1040	1200	480
56	= . div class="ht",4 {4,3,3,3}, пространственный 5- куб. Призмато-усеченный гемипинтеракт (питин)	82	720	1840	1680	480
57	= . h3,4 {4,3,3,3}, стерильный 5-кубовый. Гомбинированный призматический полуинтеракт (пирхин)	82	560	1280	1120	320
58	= . div class="ht", 3,4 {4,3,3,3}, стерильный 5-кубический куб. Большой призматический полуобъектив (гипин)	82	720	2080	2400	960

Однородные призматические формы

Есть 5 конечных категорий однородных призматических семейств многогранников на основе непризматических однородных 4-многогранников :

A4× A 1

Это призматическое семейство Имеется е т 9 форм :

Семейство A1x A 4 имеет симметрию порядка 240 (2 * 5!).

#	Диаграмма Кокстера. и Шляфли. символы. Имя	Количество элементов
		Лицевые стороны	Ячейки	Грани	Ребра	Вершины
59	= {3,3,3} × {}. 5-элементная призма	7	20	30	25	10
60	= r {3,3,3} × {}.	12	50	90	70	20
61	= t {3,3,3} × {}.	12	50	100	100	40
62	= rr {3,3,3} × {}.	22	120	250	210	60
63	= t 0,3 {3,3,3} × {}.	32	130	200	140	40
64	= 2t {3,3,3} × {}.	12	60	140	150	60
65	= tr {3,3,3} × {}.	22	120	280	300	120
66	= t 0, 1,3 {3,3,3} × {}.	32	180	390	360	120
67	= t 0,1,2,3 {3,3,3} × {}.	32	210	540	600	240

B4× A 1

Это призматическое семейство имеет 16 форм. (Три являются общими с семейством [3,4,3] × [])

Семейство A1×B4 имеет симметрию порядка 768 (24!).

#	Диаграмма Кокстера. и Шляфли. символы. Имя	Количество элементов
		Лицевые стороны	Ячейки	Грани	Ребра	Вершины
[16]	= {4,3,3} × {}. Тессерактическая призма. (То же, что и 5-куб )	10	40	80	80	32
68	= r {4,3,3} × {}.	26	136	272	224	64
69	= t {4,3,3} × {}.	26	136	304	320	128
70	= rr {4, 3,3} × {}.	58	360	784	672	192
71	= t 0,3 {4,3, 3} × {}.	82	368	608	448	128
72	= 2t {4,3,3} × {}.	26	168	432	480	192
73	= tr {4,3,3} × {}.	58	360	880	960	384
74	= t 0,1,3 {4,3,3} × {}.	82	528	1216	1152	384
75	= t 0,1,2,3 {4,3,3} × {}.	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4} × {}.	18	64	88	56	16
77	= r {3,3,4} × {}.. (То же, что и призма с 24 ячейками )	26	144	288	216	48
78	= t {3,3,4} × {}.	26	144	312	288	96
79	= rr {3,3,4} × {}.. (То же, что и ректифицированная 24-элементная призма )	50	336	768	672	192
80	= tr {3,3,4} × {}.. (То же, что усеченная призма с 24 ячейками )	50	336	864	960	384
81	= t 0,1,3 {3,3,4} × {}.	82	528	1216	1152	384
82	= sr {3,3,4} × {}.	146	768	1392	960	192

F4× A 1

Это призматическое семейство имеет 10 форм.

Семейство A1x F 4 имеет симметрию порядка 2304 (2 * 1152). Три многогранника 85, 86 и 89 (зеленый фон) имеют двойную симметрию [[3,4,3], 2], порядок 4608. Последний, плоскодонная 24-элементная призма (синий фон) имеет [3,4,3, 2] симметрия, порядок 1152.

#	диаграмма Кокстера. и Шлефли. символы. Имя	Количество элементов
		Фасеты	Ячейки	Лица	Ребра	Вершины
[77]	= {3,4,3} × {}.	26	144	288	216	48
[79]	= r {3,4,3} × {}.	50	336	768	672	192
[80]	= t {3,4,3} × {}.	50	336	864	960	384
83	= rr {3,4,3} × {}.	146	1008	2304	2016	576
84	= t 0,3 {3,4,3} × {}.	242	1152	1920	1296	288
85	= 2t {3,4,3} × {}.	50	432	1248	1440	576
86	= tr {3,4,3} × {}.	146	1008	2592	2880	1152
87	= t 0,1,3 {3,4,3} × {}.	242	1584	3648	3456	1152
88	= t 0,1,2,3 {3,4,3} × {}.	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= s {3,4,3} × {}.	146	768	1392	960	192

H4× A 1

Это призматическое семейство имеет 15 форм :

Семейство A1x H 4 имеет симметрию порядка 28800 (2 * 14400).

#	Диаграмма Кокстера. и Шляфли. символы. Имя	Количество элементов
		Лицевые стороны	Ячейки	Грани	Ребра	Вершины
89	= {5,3,3} × {}.	122	960	2640	3000	1200
90	= r {5,3,3} × {}.	722	4560	9840	8400	2400
91	= t {5,3,3} × {}.	722	4560	11040	12000	4800
92	= rr {5,3,3} × {}.	1922	12960	29040	25200	7200
93	= t 0,3 {5,3,3} × {}.	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t {5,3,3} × {}.	722	5760	15840	18000	7200
95	= tr {5,3,3} × {}.	1922	12960	32640	36000	14400
96	= t 0,1,3 {5,3,3} × {}.	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t 0,1,2,3 {5,3,3} × {}.	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5} × {}.	602	2400	3120	1560	240
99	= r {3,3,5} × {}.	722	5040	10800	7920	1440
100	= t {3,3,5} × {}.	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr {3,3,5} × {}.	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr {3,3,5} × {}.	1442	11520	31680	36000	14400
103	= t 0,1,3 {3,3,5} × {}.	2642	18720	44880	43200	14400

Большая антипризматическая призма

Большая антипризменная призма - единственная известная выпуклая неуитхоффовская униформа 5 -полигон. Он имеет 200 вершин, 1100 ребер, 1940 граней (40 пятиугольников, 500 квадратов, 1400 треугольников), 1360 ячеек (600 тетраэдров, 40 пятиугольных антипризм, 700 треугольных призм, 20 пятиугольных призм ) и 322 гиперячейки (2 большие антипризмы , 20 пятиугольные антипризмы призмы и 300 тетраэдрические призмы ).

#	Имя	Количество элементов
		Грани	Ячейки	Лица	Ребра	Вершины
104	. Gappip	322	1360	1940	1100	200

Построение отражающих 5-мерных однородных многогранников выполняется с помощью процесса конструирования Wythoff и представляется с помощью диаграммы Кокстера, где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы обведены кружком, чтобы обозначить, какие зеркала активны. Сгенерированный полный набор однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Равномерные 5-многогранники названы в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. У некоторых семейств есть два обычных конструктора, поэтому их можно назвать двумя способами.

Вот основные операторы, доступные для построения и именования однородных 5-многогранников.

Последняя операция, пренебрежение и, в более общем смысле, чередование - это операция, которая может создавать неотражающие формы. Они нарисованы «полыми кольцами» в узлах.

Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.

Операция	Расширенный. символ Шлефли		диаграмма Кокстера	Описание
Родитель	t0{p, q, r, s}	{p, q, r, s}		Любой правильный 5-многогранник
Ректифицированный	t1{p,q,r,s}	r {p, q, r, s}		Края полностью обрезаны до отдельных точек. 5-многогранник теперь имеет комбинированные грани родительского и двойственного.
Birectified	t2{p,q,r,s}	2r {p, q, r, s}		Биректификация сокращает лица до точек, ячейки - до их duals.
Trirectified	t3{p,q,r,s}	3r {p, q, r, s}		Триректификация сокращает ячейки до точек. (Двойное исправление)
Квадриректификация	t4{p,q,r,s}	4r {p, q, r, s}		Квадриректификация превращает 4-грани в точки. (Двойной)
Урезанный	t0,1{p,q,r,s}	t {p, q, r, s}		Каждый оригинал vertex is cut off, with a new face filling the разрыв. У усечения есть степень свободы, которая имеет одно решение, которое создает единый усеченный 5-многогранник. 5-многогранник имеет свои исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного..
Cantellated	t0,2 {p, q, r, s}	rr { p, q, r, s}		В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани..
Runcinated	t0,3 {p, q, r, s}			Runcination уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях.
Стерифицированный	t0,4{p,q,r,s}	2r2r {p, q, r, s}		Стерилизация уменьшает фасеты и создает новые фасеты (гиперячейки) в вершинах и ребрах в зазорах. (То же, что и операция расширения для 5-многогранников.)
Омноусеченный	t0,1,2,3,4 {p, q, r, s}			Все четыре применяются операторы, усечение, кантелляция, ранцинирование и стерилизация.
Половина	h {2p, 3, q, r}			Чередование, то же самое, что
Cantic	div class="ht"{2p, 3, q, r}			То же как
Runcic	h3{2p, 3, q, r}			То же, что и
Runcicantic	div class="ht",3 {2p, 3, q, r}			То же, что и
Стерический	h4{2p, 3, q, r}			То же, что
Рунцистерический	h3,4 {2p, 3, q, r}			То же, что
Stericantic	div class="ht",4 {2p, 3, q, r}			То же, что и
Steriruncicantic	div class="ht",3,4 {2p, 3, q, r}			То же, что и
Snub	s {p, 2q, r, s}			Альтернативное усечение
Snub rectified	sr {p, q, 2r, s}			Чередование усеченного исправления
	ht0,1,2,3 {p, q, r, s}			Чередование циклического усечения
Полное курносое	ht0,1,2,3,4 {p, q, r, s}			Чередование всестороннего усечения

Соответствия диаграмм Кокстера между семействами и более высокая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду одинаковые одинаковые зеркала. Черные узлы не активны в корреспонденции.

Существует пять фундаментальных аффинных групп Кокстера и 13 призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в евклидовом 4-пространстве.

Фундаментальные группы

#	Группа Кокстера			Диаграмма Кокстера	Формы
1	$A\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{4\}\}$	[3pting	[(3, 3,3,3)]		7
2	$C\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{4\}\}$	[4,3,3,4]			19
3	$B\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{4\}\}$	[4,3,3 impression	[4,3,3,4,1]	=	23 (8 новых)
4	$D\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{4\}\}$	[3 visible	[1,4,3,3,4,1]	=	9 (0 новых)
5	$F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$	[3,4,3,3]			31 (21 новых)

Есть три правильных сот евклидова 4-мерного пространства:

• тессерактические соты с символами {4,3,3,4}, = . В этом семействе 19 однородных сот.
• 24-ячеечные соты с символами {3,4,3,3}, . В этом семействе 31 отражающие однородные соты и одна чередующаяся форма.
  • Усеченные 24-ячеечные соты с символами t {3,4,3,3},
  • Курносые 24-ячеечные соты, с символами s {3,4,3,3}, и , состоящие из четырех элементов курносый 24-ячеечный, один 16-ячеечный и пять 5-ячеечных в каждой вершине.
• 16-ячеечный сот, с символами {3, 3,4,3},

Другие семейства, образующие однородные соты:

• Есть 23 формы с уникальными кольцами, 8 новых в семействе 16-ячеечных сот. С символами h {4,3,4} он геометрически идентичен 16-ячеечной соте, =
• Есть 7 уникальных кольцевых форм из $A\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{4\}\}$, все новое семейство, в том числе:
  • 4-симплексные соты
  • Усеченные 4-симплексные соты
  • Усеченные 4-симплексные соты
• В $D\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{4\}\}$: [3] семейство, два новых, включая четверть тессератические соты, = , и усеченные битами тессерактические соты, = .

не -Wythoffian однородные мозаики в четырехмерном пространстве также существуют за счет удлинения (вставки слоев) и вращения (вращения слоев) этих отражающих форм.

Призматические группы

#	Группа Кокстера		Диаграмма Кокстера
1	$C\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{3\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[4,3,4,2, ∞]
2	$B\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{3\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[4,3,2, ∞]
3	$A\; ~\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{3\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[3,2, ∞]
4	$C\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{2\; \}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[4, 4,2, ∞, 2, ∞]
5	$H\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\; \}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞]
6	$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\; \}\}$	[3,2, ∞, 2, ∞]
7	$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$×$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$x$I\; ~\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
8	$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$x$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[3,2,3]
9	$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$В\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[3,2,4,4]
10	$A\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[3,2,6,3]
11	$B\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$В\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[4,4,2,4,4]
12	$В\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{B\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[4,4,2,6, 3]
13	$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$×$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$	[6, 3,2,6,3 ]

Компактные правильные мозаики гиперболического 4-мерного пространства

В пространстве H существует пять видов выпуклых регулярных сот типа и четыре звездчатых сот:

Имя соты	Schläfli. Символ. {p, q, r, s}	Диаграмма Кокстера	Фасет. тип. {p, q, r}	Ячейка. тип. {p, q}	Грань. тип. {p}	Грань. рисунок. {s}	Край. рисунок. {r, s}	Vertex. figure. {q, r, s}	Двойной
5-элементный порядок 5	{3,3,3,5}		{3,3,3}	{3, 3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Заказ-3, 120 ячеек	{5,3,3,3}		{5,3,3}	{5, 3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Тессерактика порядка 5	{4,3,3,5}		{4, 3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3, 3,4}
Заказ-4, 120 ячеек	{5,3,3,4}		{5,3, 3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3, 3,5}
З аказ-5, 120 ячеек	{5,3,3,5}		{5,3, 3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3, 3,5}	Самодвойственный

В пространстве H четыре обычные звезды-соты:

Имя соты	Schläfli. Символ. {p, q, r, s}	Кокс диаграмма этера	Facet. тип. {p, q, r}	Ячейка. тип. {p, q}	Лицо. тип. {p}	Грань. фигура. {s}	Край. фигура. {r, s}	Вершина. фигура. {q, r, s}	Двойной
Малый звездчатый 120-элементный порядок 3	{5 / 2,5,3,3}		{5/2, 5,3}	{5 / 2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3, 5,5 / 2}
Заказ-5/2, 600 ячеек	{3,3,5,5 / 2}		{3,3,5}	{3, 3}	{3}	{5/2}	{5, 5/2}	{3,5,5 / 2 }	{5 / 2,5,3,3}
Икосаэдр порядка 5, 120 ячеек	{3,5,5 / 2,5}		{3,5,5 / 2}	{3,5}	{3}	{5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2,5,3}
Большой 120-элементный заказ-3	{5,5 / 2,5,3}		{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2, 5,3}	{3,5, 5 / 2,5}

Регулярные и однородные гиперболические соты

Имеется 5 компактных гиперболических групп Кокстера ранга 5, каждую из порождает однородные соты в гиперболическом 4-м изображении как перестановки колец диаграмм Кокстера. Также 9 паракомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 5, каждая из которых существует порождает однородные соты в 4-пространства как перестановки колец диаграмм Кокстера. Паракомпактные группы образуют соты с бесконечными фасетами или фигурами вершин.

Компактные гиперболические группы

$AF\; ^\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{AF\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [(3,3,3,3,4)]:

$DH\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{DH\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [5,3, 3]:

$H\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{H\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,3,3,5]: . $BH\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{BH\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3,3,5]: . $K\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{K\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [5,3,3,5]:

Паракомпактные гиперболические группы

$P\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{P\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,3]: $BP\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{BP\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3]: . $FR\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{FR\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [(3,3,4,3,4)]: . $DP\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{DP\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3]:

$N\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{N\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4, / 3 \, 3,4]: . $O\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{O\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,4,3]: . $S\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{S\; \}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4,3]: . $M\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{M\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [4, 3]:

$R\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{R\}\}\; \_\; \{4\}\}$= [3,4,3, 4]:

• Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Макмиллан, 1900 (3 правильных и один полуправильный 4-многогранник)
• А. Boole Stott : геометрическое выведение полуправильного числа из регулярных многогранников и заполненных пространств, Верханделинген длины ширины Koninklijke Academy van Wetenschappen Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910
• H.S.M. Кокстер :
  • Х.С.М. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973 (стр. 297 Фундаментальные области для неприводимых групп, порожденных отражениями, сферическими и евклидовыми)
  • H.S.M. Кокстер, Красота геометрии: Двенадцать эссе (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы IV, стр. 213)
• Калейдоскопы: Избранные сочинения H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивич Вайс, Публикация Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Бумага 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (стр. 287 5D Евклидовы группы, стр. 298 Четырехмерные соты)
  • (Документ 24) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• N.W. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966
• Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражений и группы Кокстера, Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990) (стр. 141, 6.9 Список гиперболических групп Кокстера, рис. 2) [2]

• Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (polytera)».

v t Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерах 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5 ячеек	16 ячеек • Tesseract	Demitesseract	24 ячейки	120 ячеек • 600 ячеек
5 симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-демикуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многоугольников вершины и соединения

v t Основные выпуклые обычные и однородные соты в размерах 2 -9
$A\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{A\}\}\; \_\; \{n\; -1\}\}$	$C\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\}\}\; \_\; \{n\; -1\}\}$	$B\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{B\}\}\; \_\; \{n\; -1\}\}$	$D\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{D\}\}\; \_\; \{n\; -1\}\}$	$G\; ~\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{2\}\}$/ $F\; ~\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{F\}\}\; \_\; \{4\}\}$/ $E\; ~\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{n-1\}\}$
{3}	δ3	hδ3	qδ3	Гексагональный
{3}	δ4	hδ4	qδ4
{3}	δ5	hδ5	qδ5	24-элементный сотовый
{3}	δ6	hδ6	qδ6
{3}	δ7	hδ7	qδ7	222
{3}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
{3}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
{3}	δ10	hδ10	qδ10
{3}	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k21