Правильный многоугольник

редактировать
Равносторонний и равносторонний многоугольник
Набор выпуклых правильных n-угольников

Правильный многоугольник 3 annotated.svg Правильный многоугольник 4 annotated.svg Правильный многоугольник 5 annotated.svg Правильный многоугольник 6 annotated.svg . Правильный многоугольник 7 annotated.svg Правильный многоугольник 8 annotated.svg Обычное многоугольник 9 annotated.svg Правильный многоугольник 10 annotated.svg . Правильный многоугольник 11 annotated.svg Правильный многоугольник 12 annotated.svg Правильный многоугольник 13 с аннотациями. svg Правильный многоугольник 14 annotated.svg . Правильный многоугольник 15 annotated.svg Правильный многоугольник 16 annotated.svg Правильный многоугольник 17 annotated.svg Правильный многоугольник 18 annotated.svg . Правильный многоугольник 19 annotated.svg R примерный многоугольник 20 annotated.svg . Правильные многоугольники

Ребра и вершины n
символ Шлефли {n}
Диаграмма Кокстера – Дынкина CDel node 1.png CDel n.png CDel node.png
Группа симметрии Dn, порядок 2n
Двойной многоугольник Самодвойственный
Площадь. (с длиной стороны, s)A = 1 4 ns 2 детская кроватка ⁡ (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle A = {\ tfrac { 1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}
Внутренний угол (n - 2) × 180 ∘ n {\ displaystyle (n-2) \ times {\ frac {180 ^ { \ circ}} {n}}}{\ displaystyle (n-2) \ times {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}}
Сумма внутренних углов(n - 2) × 180 ∘ {\ displaystyle \ left (n-2 \ right) \ times 180 ^ {\ circ}}{\ displaystyle \ left (n-2 \ right) \ times 180 ^ {\ circ} }
Диаметр вписанного кругаd IC = s кроватка (π n) {\ displaystyle d _ {\ text {IC}} = s \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle d _ {\ text {IC}} = s \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}
Диаметр описанной окружностиd OC = s csc ⁡ (π n) {\ displaystyle d _ {\ text {OC}} = s \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) }{\ displaystyle d_ {\ text {OC}} = s \ csc \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}
СвойстваВыпуклый, циклический, равносторонний, isogo nal, изотоксальный

В евклидовой геометрии правильный многоугольник - это многоугольник, то есть равноугольный ( все углы равны по размеру) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми или star. В пределах последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к окружности, если фиксирован периметр или область или обычный апейрогон (фактически, прямая линия ), если длина кромки фиксирована.

Содержание

  • 1 Общие свойства
    • 1.1 Симметрия
  • 2 Правильные выпуклые многоугольники
    • 2.1 Углы
    • 2.2 Диагонали
    • 2.3 Точки на плоскости
      • 2.3.1 Внутренние точки
    • 2.4 Окружной радиус
    • 2.5 Рассечения
    • 2.6 Площадь
  • 3 Конструируемый многоугольник
  • 4 Правильные косые многоугольники
  • 5 Правильные звездчатые многоугольники
  • 6 Двойственность правильных многоугольников
  • 7 Правильные многоугольники как грани многогранники
  • 8 См. также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
  • 11 Внешние ссылки

Общие свойства

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли

Эти Свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, будь то выпуклые или звездчатые.

Правильный n-сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n.

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности (описанной окружности ); то есть они являются конциклическими точками. То есть, правильный многоугольник - это циклический многоугольник.

Вместе со свойством равной длины сторон это означает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную окружность или вписанную окружность, которая касается каждой сторона в середине. Таким образом, правильный многоугольник - это касательный многоугольник.

Правильный n-сторонний многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетное простое число множителей n различны простые числа Ферма. См. конструктивный многоугольник.

Симметрия

Группа симметрии n-стороннего правильного многоугольника - это группа диэдра Dn(порядка 2n): D 2, D3, D4,... Он состоит из поворотов в C n вместе с симметрией отражения в n осях, которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина - через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник - это тот, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, которые имеют одинаковое количество сторон, также похожи.

n-сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается его символом Шлефли {n}. Для n < 3, we have two вырожденных случаев:

Monogon {1}
Degenerate in обычного пространства. (Большинство авторитетов не рассматривают моногон как истинный многоугольник, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не соответствует структуре какого-либо абстрактного многоугольника.)
Дигон {2 }; "сегмент двойной линии"
Вырождение в обычном пространстве. (Некоторые авторитетные источники не рассматривают двуугольник как истинный многоугольник из-за этого.)

В определенных контекстах все Рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях обычно опускают префикс "правильный". Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, а грани будут описаны просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д. и т. д.

Углы

Для правильного выпуклого n-угольника каждый внутренний угол имеет размер:

(1-2 n) × 180 {\ displaystyle \ left (1- {\ frac {2} {n}} \ right) \ times 180 \, \, \,}{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {2} {n}} \ right) \ times 180 \, \, \,} градусов или эквивалентно 180 (n - 2) n {\ displaystyle {\ frac { 180 (n-2)} {n}}}{\ displaystyle {\ frac {180 (n-2)} {n}}} градусов;
(n - 2) π n {\ displaystyle {\ frac {(n-2) \ pi} {n}}}{\ displaystyle {\ frac {(n-2) \ pi} {n}}} радианы; или
(n - 2) 2 n {\ displaystyle {\ frac {(n-2)} {2n}}}{\ displaystyle {\ frac {(n-2) } {2n}}} полный виток,

и каждый внешний угол (т. Е. дополнительный к внутреннему углу) имеет размер 360 n {\ displaystyle {\ tfrac {360} {n}}}{\ tfrac {360} {n}} градусов, с сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радианам или одному полному обороту.

Поскольку количество сторон n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон (мириагон ) внутренний угол составляет 179,964 °. По мере увеличения количества сторон внутренний угол может приближаться к 180 °, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180 °, поскольку окружность фактически превратилась бы в прямую линию. По этой причине круг - это не многоугольник с бесконечным числом сторон.

Диагонали

Для n>2 количество диагоналей равно 1 2 n (n - 3) {\ displaystyle {\ tfrac {1} { 2}} n (n-3)}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2 }} n (n-3)} ; то есть 0, 2, 5, 9,..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника,.... Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24,... частей OEIS : A007678.

Для правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояние от данной вершины до всех остальных вершин (включая смежные вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n.

Точки на плоскости

Для правильного простого n-угольника с описанным радиусом R и расстояниями d i от произвольной точки на плоскости до вершин, имеем

∑ i = 1 ndi 4 n + 3 R 4 = (∑ i = 1 ndi 2 n + R 2) 2. {\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} {n}} + 3R ^ {4} = \ left ({\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}} {n}} + R ^ {2} \ right) ^ {2}.}{\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} {n}} + 3R ^ {4} = \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i}) ^ {2}} {n}} + R ^ {2} \ right) ^ {2}.}

Для больших степеней расстояний di {\ displaystyle d_ {i}}d_ {i} от произвольной точки на плоскости до вершин правильного n {\ displaystyle n}n -угольника, если

S n ( 2 м) знак равно 1 N ∑ я = 1 ndi 2 м {\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}{\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}} ,

, затем

S n (2 m) = (S n (2)) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ (m 2 k) (2 kk) R 2 К (S N (2) - R 2) К (S N (2)) м - 2 К {\ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} (S_ {n} ^ {(2)} - R ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}}{\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} (S_ {n} ^ {(2)} - R ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m-2k}} ,

и

S n (2 m) = (S n (2)) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k (m 2 k) (2 kk) (S n (4) - (S n (2)) 2) К (S N (2)) м - 2 К {\ Displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} (S_ {n} ^ {(4)} - (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2) }) ^ {m-2k}}{\ displaystyle S_ {n} ^ {(2m)} = (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k} } (S_ {n} ^ {(4)} - (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {2}) ^ {k} (S_ {n} ^ {(2)}) ^ {m- 2k}} ,

где m {\ displaystyle m}m - целое положительное число меньше n {\ displaystyle n}n .

Если L {\ displaystyle L}L - расстояние от произвольной точки на плоскости до центроида правильного n {\ displaystyle n}n -угольника с радиусом описанной окружности . R {\ displaystyle R}R , тогда

∑ i = 1 ndi 2 m = n ((R 2 + L 2) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ (m 2 k) ( 2 kk) R 2 К L 2 К (R 2 + L 2) м - 2 к) {\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m} = n ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} L ^ {2k} (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m-2k})}{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m} = n ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ lfloor {\ frac {m} {2}} \ rfloor} {\ binom {m} {2k}} {\ binom {2k} {k}} R ^ {2k} L ^ {2k} (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {m-2k})} ,

где m { \ displaystyle m}m = 1,2,…, n {\ displaystyle n}n -1.

Внутренние точки

Для правильного n-угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон в n раз больше апофемы (апофема равна расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3.

Круговой радиус

Правильный пятиугольник (n = 5) со стороной s, описанный радиус R и апофема a Графики стороны, с; апофема, a и площадь, A из правильных многоугольников из n сторон и радиус описанной окружности 1, с базой, b прямоугольника с той же площадью - зеленая линия показывает случай n = 6

радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одного из вершины связаны с длиной стороны s или апофемой a соотношением

R = s 2 sin ⁡ (π n) = a cos ⁡ (π n) {\ displaystyle R = {\ frac {s} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {a} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}}) \ right)}}}{\ di splaystyle R = {\ frac {s} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {a} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}}}

Для конструируемых многоугольников, существуют алгебраические выражения для этих отношений; см. Бицентрический многоугольник # Правильные многоугольники.

Сумма перпендикуляров от вершин правильного n-угольника к любой прямой, касательной к описанной окружности, равна n-кратному радиусу описанной окружности.

Сумма квадратов расстояний от число вершин правильного n-угольника до любой точки на его описанной окружности равно 2nR, где R - радиус описанной окружности.

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n-угольника до любой точки на описанная окружность равна 2nR - ns / 4, где s - длина стороны, а R - радиус описанной окружности.

Если di {\ displaystyle d_ {i}}d_ {i} - расстояния от вершин обычный n {\ displaystyle n}n -угольник в любую точку описанной окружности, тогда

3 (∑ i = 1 ndi 2) 2 = 2 n ∑ i = 1 ndi 4 { \ Displaystyle 3 (\ сумма _ {я = 1} ^ {п} d_ {я} ^ {2}) ^ {2} = 2n \ сумма _ {я = 1} ^ {п} d_ {я} ^ {4 }}{\ displaystyle 3 (\ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 2n \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}} .

Расслоения

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2-метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на (n 2) {\ displaystyle {\ tbinom {n} {2}}}{\ tbinom {n} {2} } или m (m-1) / 2 параллелограмма. Эти мозаики содержатся в виде подмножеств вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m-кубов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших полигонов.

Пример разреза для выбранных четных правильных многоугольников
2 м6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50
Изображение6-угольное ромбическое рассечение.svg 8-угольное ромбическое рассечение.svg Sun decagon.svg Ромбическое сечение с 12 углами.svg 14-угольник-рассечение-звезда.svg ромбическое рассечение с 16 углами.svg 18-угольник-рассечение-звезда.svg 20-угольное ромбическое рассечение.svg 24 -gon ромбическое рассечение.svg 30-угольник-рассечение-звезда.svg 40-угольное ромбическое рассечение.svg 50-угольников-рассечение-звезда.svg
Ромбы3610152128364566105190300

Площадь

Площадь A выпуклого правильного n-стороннего многоугольника, имеющего сторону s, радиус описанной окружности R, апофему a и периметр p, равна задано

A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 кроватка ⁡ (π n) = na 2 tan ⁡ (π n) = 1 2 n R 2 sin ⁡ (2 π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac { \ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} nR ^ {2 } \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac { \ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} nR ^ {2 } \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица : (Обратите внимание, что, поскольку детская кроватка ⁡ x → 1 / x {\ displaystyle \ cot x \ rightarrow 1 / x}{\ displaystyle \ cot x \ rightarro вес 1 / x} as x → 0 {\ displaystyle x \ rightarrow 0}x \ rightarrow 0 , область, когда s = 1 { \ displaystyle s = 1}s = 1 стремится к n 2/4 π {\ displaystyle n ^ {2} / 4 \ pi}{\ displaystyle n ^ {2} / 4 \ pi} as n {\ displaystyle n}n становится больше.)

Число. сторонПлощадь при стороне s = 1Площадь при окружном радиусе R = 1Площадь, когда апофема a = 1
ТочнаяПриближеннаяТочнаяПриближеннаяКак (приблизительная). доля от. Площадь вписанной окружностиТочнаяПриближеннаяКак (приблизительно). кратная. площади вписанной окружности
nn 4 кроватка ⁡ (π n) { \ Displaystyle {\ tfrac {n} {4}} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle {\ tfrac {n} {4}} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)} n 2 грех ⁡ (2 π n) {\ displaystyle {\ tfrac {n} {2}} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle {\ tfrac {n} {2} } \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)} n 2 π sin ⁡ (2 π n) {\ displaystyle {\ tfrac {n} {2 \ pi}} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle {\ tfrac {n} {2 \ pi}} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi } {n}} \ right)} n tan ⁡ (π n) {\ displaystyle n \ tan \ left ({\ tfrac { \ pi} {n}} \ right)}{\ displaystyle n \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)} n π tan ⁡ (π n) {\ displaystyle {\ tfrac {n} {\ pi}} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n }} \ right)}{\ displaystyle {\ tfrac {n} {\ pi}} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
3 3 4 {\ displaysty ле {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}}}{\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}}} 0,4330127023 3 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {4}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3) }}} {4}}} 1.2990381050.41349667143 3 {\ displaystyle 3 {\ sqrt {3}}}{\ displaystyle 3 {\ sqrt {3}}} 5.1961524241.653986686
4 11.00000000022.0000000000,636619772244,0000000001,273239544
5 1 4 25 + 10 5 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} }{\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}} 1,7204774015 4 1 2 (5 + 5) {\ displaystyle {\ tfrac {5} {4}} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left (5+ { \ sqrt {5}} \ right)}}}{\ displaystyle {\ tfrac {5} {4}} {\ sqrt {{\ tfra c {1} {2}} \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right)}}} 2.3776412910,75682672885 5–2 5 {\ displaystyle 5 {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}} }}{\ displaystyle 5 {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}} 3.6327126401.156328347
6 3 3 2 {\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}} 2.5980762113 3 2 {\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}}{\ displaystyle {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}} 2.5980762110.82699334282 3 {\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}}{\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}}} 3.4641016161.102657791
7 3.6339124442.7364101890.87102641573.3710223331.073029735
8 2 + 2 2 {\ displayst yle 2 + 2 {\ sqrt {2}}}{\ displaystyle 2 + 2 {\ sqrt {2}}} 4.8284271252 2 {\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}}{\ displaystyle 2 {\ sqrt {2}}} 2.8284271250.90031631608 (2 - 1) {\ displaystyle 8 \ left ({\ sqrt {2}} - 1 \ right)}{\ displaystyle 8 \ left ({\ sqrt {2}} - 1 \ right)} 3.3137085001.054786175
9 6.1818241942.8925442440.92072542903,2757321091,042697914
10 5 2 5 + 2 5 {\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}{\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}} 7.6942088435 2 1 2 (5–5) {\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}}}{\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}} {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2}} \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}}} 2.9389262620.93548928402 25–10 5 {\ displaystyle 2 {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}}}}{\ displaystyle 2 {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}}} 3.2491969631.034251515
11 9.3656399072.9735244960.94650224403.2298914231.028106371
12 6 + 3 3 + 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}{ \ displaystyle 6 + 3 {\ sqrt {3}}} 11.1961524233.0000000000.954929658612 (2–3) {\ displaystyle 12 \ left (2 - {\ sqrt {3}} \ right)}{\ displaystyle 12 \ left (2- {\ sqrt {3}} \ right)} 3.2153903091.023490523
13 13.185768333.0207006170.96151886943,2 042122201.019932427
14 15.334501943.0371861750.96676638593.1954086421.017130161 <616<>17.642362988 <71023>223.050 723>3,1883484261.014882824
16 20.109357974 2–2 {\ displaystyle 4 {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}}{\ displaystyle 4 {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}} 3.0614674600.97449535843.1825978781.013052368
17 22.735491903.0705541630.97738774563.1778507521.011541311207681>25 0,97981553613,1738856531,010279181
19 28.465189433.0846449580,98187298543.1705392381.0015713984 131>0.98363164303.1676888061.008306663
100 795.51289883.1395259770.99934215653.142626605 <1.0007329111>1.0007111 1000 79577.209753.1415719830.99999342003.1416029891.000003290
10,000 7957746.8933.1415924480.99999993453.1415927571.000000033
1,000,000 795774715453.1415926541.0000000003.1415926541.000000000
Сравнение размеров правильные многоугольники с одинаковой длиной ребра, от трех до шестидесяти сторон. Размер неограниченно увеличивается по мере приближения числа сторон к бесконечности.

Из всех n-угольников с заданным периметром тот, у которого наибольшая площадь, является правильным.

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные n-угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n-угольники можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность регулярного 17-угольника в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Арифметические. Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие для построения правильных многоугольников:

Правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени двойки и любого числа. различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простое число Ферма - это простое число в форме 2 (2 n) + 1. {\ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {n})} + 1.}2 ^ {{(2 ^ {n})}} + 1. ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо, но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля .

. Эквивалентно, правильный n-угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом, то есть может быть записано в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные наклонные многоугольники

Куб многоугольника Петри sideview.png . Куб содержит наклонный правильный шестиугольник, который выглядит как 6 красных ребер, зигзагообразных между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.Antiprism17.jpg . Зигзагообразные боковые края n- антипризмы представляют собой правильный наклонный 2n-угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Правильный косой многоугольник в 3-м пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемые как боковые грани однородной антипризмы. Все края и внутренние углы равны.

Petrie polygons.png . Платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем случае правильные косые многоугольники могут быть определены в n-пространстве. Примеры включают в себя многоугольники Петри, многоугольные пути ребер, которые делят регулярный многогранник на две половины и выглядят как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогоны.

Правильные звездчатые многоугольники

Правильные звездчатые многоугольники
2 < 2q < p, gcd (p, q) = 1
Правильный многоугольник 5-2.svg . {5 / 2} Правильный многоугольник звезды 7-2.svg . {7/2} Правильный многоугольник 7-3.svg . {7/3}...
символ Шлефли {p / q}
Вершины и Ребра p
Плотность q
Диаграмма Кокстера CDel node 1.png CDel p.png CDel rat. png CDel dq.png CDel node.png
Группа симметрии Двугранный (Dp)
Двойной многоугольник Самодвойственный
Внутренний угол. (градусов )180 (p - 2 q) p { \ displaystyle {\ frac {180 (p-2q)} {p}}}{\ displaystyle {\ frac {180 (p-2q)} {p}}}

Невыпуклый правильный многоугольник - это правильный звездообразный многоугольник. Наиболее распространенный пример - пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n-стороннего звездообразного многоугольника символ Шлефли изменен для обозначения плотности или «звездности» m многоугольника как {n / m}. Если, например, m равно 2, то соединяется каждая вторая точка. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

(невырожденные) правильные звезды с числом сторон до 12:

m и n должны быть coprime, иначе число будет вырожденным.

Вырожденные правильные звезды с числом сторон до 12:

  • Тетрагон - {4/2}
  • Шестиугольники - {6/2}, {6/3}
  • Октагоны - {8/2}, {8/4}
  • Эннеагон - {9/3}
  • Декагоны - {10/2}, {10/4} и { 10/5}
  • Додекагоны - {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}
Две интерпретации {6/2}
Грюнбаум. {6/2} или 2 {3}Коксетер. 2 {3} или {6} [2 {3}] {6}
Дважды намотанный hexagon.png Правильная фигура в виде звезды 2 (3,1).svg
Шестигранник с двойной обмоткойГексаграмма как соединение. двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения разнятся относительно природы вырожденной фигуры. Например, {6/2} можно рассматривать двумя способами:

  • На протяжении большей части 20-го века (см., Например, Coxeter (1948)), мы обычно принимали / 2 как указать соединение каждой вершины выпуклого {6} с его ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников, или гексаграмма. Кокстер поясняет это правильное соединение с помощью обозначения { kp} [k {p}] {kp} для соединения {p / k}, поэтому гексаграмма представлена ​​как {6} [2 {3}] {6}. Более компактно Коксетер также записывает 2 {n / 2}, например 2 {3} для гексаграммы, как составную, как чередования правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем множителе, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации..
  • Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), считают это неверным. Они используют / 2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник с двойной обмоткой, у которого две вершины накладываются друг на друга в каждой угловой точке и два ребра вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников, но также более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создал свои звездные многоугольники - взяв один отрезок провода и согнув его в последовательные точки под одним углом, пока фигура не замкнется.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны к конгруэнтности, а для нечетного n они самодвойственны тождеству.

Кроме того, правильные звездные фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также самодвойственны.

Правильные многоугольники как грани многогранников

A равномерный многогранник имеет правильные многоугольники как грани, так что для каждых двух вершин существует изометрия, отображающая один в другой (точно так же, как есть для правильного многоугольника).

A квазирегулярный многогранник - это однородный многогранник, имеющий всего два вида граней, чередующихся вокруг каждой вершины.

A правильный многогранник - это однородный многогранник, имеющий только одну грань.

Остающиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона.

Многогранник с правильными треугольниками в качестве граней называется дельтаэдром..

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Coxeter, HSM (1948). «Правильные многогранники». Метуэн и Ко Цитировать журнал требует | journal =() CS1 maint: ref = harv (link )
  • Grünbaum, B.; Являются ли ваши многогранники так же, как мои многогранники ?, Дискретная и вычислительная геометрия: сборник Гудмана-Поллака, Эд. Аронов и др., Спрингер (2003), стр. 461–488.
  • Пуансо, Л. ; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.

Внешние ссылки

  • v
  • t
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в измерениях 2–10
An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Треугольник Квадрат p-угольник Шестиугольник Пентагон
Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
5-элементный 16-элементныйТессеракт Демитессеракт 24-элементный 120-элементный600 ячеек
5-симплекс 5-ортоплекс5-куб 5-полукуб
6-симплекс 6-ортоплекс6-кубик 6-полукуб 122221
7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукуб 132231321
8-симплекс 8-ортоплекс8-куб 8-полукуб 142241421
9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукуб
10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
n-симплекс n-ортоплекс • n- куб n-демикуб 1k22k1k21 n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковПравильный многогранникСписок правильных многогранников и соединений
Последняя правка сделана 2021-06-03 11:57:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте