Войти
| 120-ячеечная | |
|---|---|
 диаграмма Шлегеля. (вершины и ребра) | |
| Тип | Выпуклый правильный 4-многогранник |
| символ Шлефли | {5,3,3} |
| диаграмма Кокстера |     |
| Ячейки | 120 {5,3}  |
| Грани | 720 {5}  |
| Ребра | 1200 |
| Вершины | 600 |
| Вершинная фигура |  . тетраэдр |
| многоугольник Петри | 30-угольник |
| группа Кокстера | H4, [3,3,5] |
| Двойной | 600-элементный |
| Свойства | выпуклый, изогональный, изотоксальный, изоэдрический |
| Унифицированный индекс | 32 |
Сеть В геометрии 120-элементный - это выпуклый правильный 4-многогранник с символом Шлефли {5,3,3}. Его также называют C 120, додекаплекс (сокращение от «додекаэдрический комплекс»), гипердодекаэдр, полидодекаэдр, гекатоникосахорон, додекаконтахорон и гекатоникосаэдроид .
Граница 120-ячейки состоит из 120 додекаэдрических ячеек с 4 пересечениями в каждой вершине. Его можно рассматривать как 4-мерный аналог правильного додекаэдра. Подобно тому, как додекаэдр может быть построен как модель с 12 пятиугольниками, по 3 вокруг каждой вершины, додекаэдр может быть построен из 120 додекаэдров, по 3 вокруг каждого ребра.
120-ячейка Дэвиса, представленная Davis (1985), представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие, полученное путем отождествления противоположных граней. 120-элементной ячейки, универсальное покрытие которой дает правильную соту {5,3,3,5} 4-мерного гиперболического пространства.
Эта конфигурация Матрица представляет собой 120 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всех 120 ячейках. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
Вот конфигурация, расширенная элементами k-граней и k-цифрами. Количество диагональных элементов - это отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.
| H4 | | k-face | fk | f0 | f1 | f2 | f3 | k-fig | Примечания |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A3 |   | () | f0 | 600 | 4 | 6 | 4 | {3,3} | H4/A3= 14400/24 = 600 |
| A1A2 | | {} | f1 | 2 | 720 | 3 | 3 | {3} | H4/A2A1= 14400/6/2 = 1200 |
| H2A1 | | {5} | f2 | 5 | 5 | 1200 | 2 | {} | H4/H2A1= 14400/10/2 = 720 |
| H3 | | {5, 3} | f3 | 20 | 30 | 12 | 120 | () | H4/H3= 14400/120 = 120 |
600 вершин 120-ячеек с длиной ребра 2 / φ = 3 − √5 и радиус от центра до вершины √8 = 2 √2 включают все перестановки из:
и все четные перестановки из
где φ (также называемое τ) - золотое сечение, 1 + √5 / 2.
Учитывая матрицу смежности вершин, представляющую его многогранный граф, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее отрицанием координат в Евклидово расстояние на расстоянии 4√2 (его диаметр описанной окружности), и существует 24 различных пути, соединяющих их по краям многогранника. От каждой вершины по 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от 2 до 3φ с кратностью С 4 по 4, с кратностью 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.
.
120-элементная ячейка состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для целей визуализации удобно, что у додекаэдра есть противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 24-ячейкой ). Можно сложить додекаэдры лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 10 ячеек. Начиная с этой первоначальной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: слоистую стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец.
Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северным полюсом». Двенадцать меридианов большого круга (длиной в четыре ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь в пятой ячейке «южного полюса». Этот скелет составляет 50 из 120 ячеек (2 + 4 × 12).
Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячейку в 9 широтных слоях со ссылками на земную 2-сферную топографию в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной двумерной сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой двумерной сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра с меридианами (как описано выше), проходящими через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «промежуточные» в следующей таблице, не попадают на большие круги меридиана.
| Уровень № | Количество ячеек | Описание | Colatitude | Область |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 ячейка | Северный полюс | 0 ° | Северное полушарие |
| 2 | 12 ячеек | Первый слой меридиональных ячеек / "Полярный круг " | 36 ° | |
| 3 | 20 ячеек | Немеридиональный / интерстициальный | 60 ° | |
| 4 | 12 клеток | Второй слой меридиональных клеток / "Tropic of Cancer " | 72 ° | |
| 5 | 30 клеток | Немеридиональный / промежуточный | 90 ° | Экватор |
| 6 | 12 ячеек | Третий слой меридиональных ячеек / "Тропик Козерога " | 108 ° | Южное полушарие |
| 7 | 20 ячеек | Немеридиональный / промежуточный | 120 ° | |
| 8 | 12 ячеек | Четвертый слой меридиональных ячеек / "Южный полярный круг " | 144 ° | |
| 9 | 1 ячейка | Южный полюс | 180 ° | |
| Всего | 120 ячеек | |||
Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены по краям полюсной ячейки.
Два переплетающихся кольца из 120 ячеек. 
Два ортогональных кольца в проекции с центром в ячейке 120-ячеечный контур может быть разделен на 12 непересекающихся 10-ячеечных больших кругов кольца, образующие дискретное / квантованное расслоение Хопфа. Начиная с одного кольца из 10 ячеек, можно разместить рядом с ним еще одно кольцо, которое закручивается по спирали вокруг исходного кольца на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких 10-ячеечных колец могут быть размещены рядом с исходным 10-ячеечным кольцом. Хотя внешние кольца "закручиваются" вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле они не имеют спирального кручения. Все они эквивалентны. Спираль является результатом кривизны 3-х сфер. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют полноторие с шестью кольцами и 60 ячейками. Можно продолжить добавление колец из 10 ячеек, смежных с предыдущими, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с указанным выше, из оставшихся 60 ячеек, который сцепляется с первым. 120-ячейка, как и 3-сфера, представляет собой объединение этих двух (Клиффорд ) торов. Если центральное кольцо первого тора является большим меридианным кругом, как определено выше, центральное кольцо второго тора является экваториальным большим кругом, центром которого является меридиональный круг. Также обратите внимание, что спиралевидная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть левосторонней или правосторонней. Это просто вопрос разделения ячеек в оболочке по-другому, то есть выбора другого набора непересекающихся больших кругов.
Есть еще один интересный путь большого круга, который попеременно проходит через противоположные вершины ячейки, а затем вдоль ребра. Этот путь состоит из 6 ячеек и 6 ребер. Оба указанных выше пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке. Путь из 10 ячеек лицом к лицу выше отображается на путь из 10 вершин, проходящий исключительно вдоль ребер в 600-ячейке, образуя десятиугольник. Путь чередующихся ячеек / ребер выше отображается на путь, состоящий из 12 тетраэдров, попеременно встречающихся лицом к лицу, а затем от вершины к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600-ячейке. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров, встречающихся лицом к лицу в курносой 24-ячейке (или икосаэдрических пирамидах в 600-ячейке).
Ортогональные проекции 120-ячеек могут быть выполнены в 2D, путем определения двух ортонормированных базисных векторов для определенного направления обзора. 30-угольная проекция была сделана в 1963 г. компанией.
Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса.
| H4 | - | F4 |
|---|---|---|
 . [30] |  . [20] |  . [12] |
| H3 | A2/ B 3 / D 4 | A3/ B 2 |
 . [10] |  . [6 ] |  . [4] |
Трехмерные ортогональные проекции также могут быть сделаны с тремя ортонормированными базисными векторами и отображаться как трехмерная модель, а затем проецироваться определенная перспектива в 3D для двухмерного изображения.
 . Изометрическая 3D-проекция |  Воспроизвести мультимедиа. Анимированное вращение 4D |
В этих проекциях используется перспективная проекция с определенного вида точку в четырех измерениях и проецирует модель как трехмерную тень. Следовательно, лица и клетки, которые выглядят крупнее, просто ближе к точке обзора 4D. Диаграммы Шлегеля используют перспективу, чтобы показать четырехмерные фигуры, выбирая точку над определенной ячейкой, таким образом делая ячейку оболочкой 3D-модели, а другие ячейки меньше видимых внутри нее. Стереографическая проекция использует тот же подход, но показана с изогнутыми краями, представляющими многогранник мозаикой 3-сферы.
Сравнение перспективных проекций из 3D в 2D показано аналогично.
| Проекция | Додекаэдр | Додекаплекс |
|---|---|---|
| Диаграмма Шлегеля |  . 12 граней пятиугольника на плоскости |  . 120 додекаэдрических ячеек в 3-м пространстве |
| Стереографическая проекция |  |  . С прозрачными гранями |
| Перспективная проекция | |
|---|---|
 | Перспективная проекция в первую ячейку на расстоянии 5-кратного расстояния от центра до вершины с применением следующих улучшений:
|
 | Перспективная проекция с первой вершиной на расстоянии в 5 раз больше от центра до вершины, со следующими улучшениями:
|
 | Трехмерная проекция 120-ячеек, выполняющих простое вращение. |
 | Трехмерная проекция 120- ячейка, выполняющая простое вращение (изнутри). |
| Анимированное вращение 4D | |
120-элементный многогранник - это один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией [3,3,5]:
| H4семейные многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 120-клеточный | выпрямленный. 120-клеточный | усеченный. 120-клеточный | скошенный. 120-клеточный | рутинный. 120-клеточный | отрезанный. 120 ячеек | runcitruncated. 120-cell | omnitruncated. 120-cell | ||||
| | | | | | | | ||||
| {5,3,3} | r {5,3,3} | t {5,3,3} | rr {5,3,3} | t0,3{5,3,3} | tr {5,3,3} | t0,1,3{5,3,3} | t0,1,2,3{5,3 | cantitruncated. 600-cell | runcitruncated. 600-cell | omnitruncated. 600-cell | |
| | | | | | | | ||||
| {3,3,5} | r {3,3, 5} | t {3,3,5} | rr {3,3,5} | 2t {3,3,5} | tr {3,3,5} | t0,1,3{3,3,5} | t0,1,2,3{3,3, 5} | ||||
Аналогично трем правильные 4-многогранники : 5-ячейка {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} евклидова 4-мерного пространства и шестиугольные мозаичные соты гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдр фигуру вершины.
| {p, 3,3} многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | S | H | |||||||||
| Форма | Конечная | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||||
| Имя | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3 } | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞, 3,3} | ||||
| Изображение |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| Ячейки. {p, 3} |  . {3,3} |  . {4,3} |  . {5,3} |  . {6,3} |  . {7,3} |  . {8,3 } |  . {∞, 3} | ||||
Эти соты являются частью последовательности 4-многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:
| {5,3, p} многогранники | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пробел | S | H | |||||
| Форма | Конечная | Компактная | Паракомпакт | Некомпактная | |||
| Имя | {5,3,3} | {5,3,4} | {5,3,5} | {5,3,6} | {5,3,7} | {5,3,8} | ... {5,3, ∞} |
| Изображение |  |  |  |  |  |  |  |
| Vertex. рисунок |  . {3,3} |  . {3,4} |  . {3,5} |  . {3,6} |  . {3,7} |  . {3,8} |  . {3, ∞} |
| 1 =()| H4семейные многогранники | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 120-элементный | выпрямленный. 120-элементный | усеченный. 120-элементный | канеллированный. 120-элементный | ранцинированный. 120-элементный | усеченный. 120-элементный | runcitruncated. 120-cell | omnitruncated. 120-cell | ||||
| | | | | | | | ||||
| {5,3,3} | r {5, 3,3} | t {5,3,3} | rr {5,3,3} | t0,3{5,3, 3} | tr {5,3,3} | t0,1,3{5,3,3} | t0,1,2,3 {5,3,3} | ||||
 |  |  |  |  |  |  |  | ||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| 600 ячеек | исправленный. 600 ячеек | усеченный. 600 ячеек | скошенный. 600 ячеек | усеченный бит. 600-ячеечная | усеченная. 600-ячеечная | runcitruncated. 600-ячеечная | полностью усеченная. 600-ячеечная | ||||
| | | | | | | | ||||
| {3,3,5} | r {3,3,5} | t {3,3,5} | rr {3,3,5} | 2t {3,3, 5} | tr {3,3,5} | t0,1,3{3,3,5} | t0,1,2,3 {3,3,5} | ||||
| ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | ||||||||
| Треугольник | Квадрат | p-угольник | Шестиугольник | Пентагон | ||||||||
| Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | |||||||||
| 5 ячеек | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24 ячейки | 120 ячеек • 600 ячеек | ||||||||
| 5 симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб | 5-полукуб | ||||||||||
| 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб | 6-полукуб | 122 • 221 | |||||||||
| 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукуб | 132 • 231 • 321 | |||||||||
| 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукуб | 142 • 241 • 421 | |||||||||
| 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукуб | ||||||||||
| 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | ||||||||||
| n-симплекс | n-ортоплекс • n- куб | n-полукуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-пятиугольный многогранник | ||||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||
