120-ячеечная - 120-cell

редактировать
120-ячеечная
Каркас Шлегеля 120-cell.png диаграмма Шлегеля. (вершины и ребра)
ТипВыпуклый правильный 4-многогранник
символ Шлефли {5,3,3}
диаграмма Кокстера узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png
Ячейки 120 {5,3} Dodecahedron.png
Грани 720 {5} Обычный pentagon.svg
Ребра 1200
Вершины 600
Вершинная фигура 120-элементный verf.png . тетраэдр
многоугольник Петри 30-угольник
группа Кокстера H4, [3,3,5]
Двойной 600-элементный
Свойствавыпуклый, изогональный, изотоксальный, изоэдрический
Унифицированный индекс 32
Сеть

В геометрии 120-элементный - это выпуклый правильный 4-многогранник с символом Шлефли {5,3,3}. Его также называют C 120, додекаплекс (сокращение от «додекаэдрический комплекс»), гипердодекаэдр, полидодекаэдр, гекатоникосахорон, додекаконтахорон и гекатоникосаэдроид .

Граница 120-ячейки состоит из 120 додекаэдрических ячеек с 4 пересечениями в каждой вершине. Его можно рассматривать как 4-мерный аналог правильного додекаэдра. Подобно тому, как додекаэдр может быть построен как модель с 12 пятиугольниками, по 3 вокруг каждой вершины, додекаэдр может быть построен из 120 додекаэдров, по 3 вокруг каждого ребра.

120-ячейка Дэвиса, представленная Davis (1985), представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие, полученное путем отождествления противоположных граней. 120-элементной ячейки, универсальное покрытие которой дает правильную соту {5,3,3,5} 4-мерного гиперболического пространства.

Содержание

  • 1 Элементы
    • 1.1 Как конфигурация
  • 2 Декартовы координаты
  • 3 Визуализация
    • 3.1 Многослойная стереографическая проекция
    • 3.2 Переплетенные кольца
    • 3.3 Другие конструкции большого круга
  • 4 Проекции
    • 4.1 Ортогональные проекции
    • 4.2 Перспективные проекции
  • 5 Связанные многогранники и соты
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Элементы

В качестве конфигурации

Эта конфигурация Матрица представляет собой 120 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всех 120 ячейках. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

[600 4 6 4 2 1200 3 3 5 5 720 2 20 30 12 120] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 600 4 6 4 \\ 2 1200 3 3 \\ 5 5 720 2 \\ 20 30 12 120 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 600 4 6 4 \\ 2 1200 3 3 3 \\ 5 5 720 2 \\ 20 30 12 120 \ конец {матрица}} \ конец {bmatrix}} }

Вот конфигурация, расширенная элементами k-граней и k-цифрами. Количество диагональных элементов - это отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

H4узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png k-face fkf0f1f2f3k-fig Примечания
A3CDel node x.png CDel 2.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png ()f0600464{3,3} H4/A3= 14400/24 ​​= 600
A1A2узел CDel 1.png CDel 2.png CDel node x.png CDel 2.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png {}f1272033{3} H4/A2A1= 14400/6/2 = 1200
H2A1узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 2.png CDel node x.png CDel 2.png CDel node.png {5} f25512002{}H4/H2A1= 14400/10/2 = 720
H3узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 2.png CDel node x.png {5, 3} f3203012120()H4/H3= 14400/120 = 120

Декартовы координаты

600 вершин 120-ячеек с длиной ребра 2 / φ = 3 − √5 и радиус от центра до вершины √8 = 2 √2 включают все перестановки из:

(0, 0, ± 2, ± 2)
(± 1, ± 1, ± 1, ± √5)
(± φ, ± φ, ± φ, ± φ)
(± φ, ± φ, ± φ, ± φ)

и все четные перестановки из

(0, ± φ, ± 1, ± φ)
(0, ± φ, ± φ, ± √5)
(± φ, ± 1, ± φ, ± 2)

где φ (также называемое τ) - золотое сечение, 1 + √5 / 2.

Учитывая матрицу смежности вершин, представляющую его многогранный граф, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее отрицанием координат в Евклидово расстояние на расстоянии 4√2 (его диаметр описанной окружности), и существует 24 различных пути, соединяющих их по краям многогранника. От каждой вершины по 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от 2 до 3φ с кратностью С 4 по 4, с кратностью 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.

.

Визуализация

120-элементная ячейка состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для целей визуализации удобно, что у додекаэдра есть противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 24-ячейкой ). Можно сложить додекаэдры лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 10 ячеек. Начиная с этой первоначальной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: слоистую стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец.

Многослойная стереографическая проекция

Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северным полюсом». Двенадцать меридианов большого круга (длиной в четыре ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь в пятой ячейке «южного полюса». Этот скелет составляет 50 из 120 ячеек (2 + 4 × 12).

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячейку в 9 широтных слоях со ссылками на земную 2-сферную топографию в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной двумерной сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой двумерной сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра с меридианами (как описано выше), проходящими через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «промежуточные» в следующей таблице, не попадают на большие круги меридиана.

Уровень №Количество ячеекОписаниеColatitudeОбласть
11 ячейкаСеверный полюс0 °Северное полушарие
212 ячеекПервый слой меридиональных ячеек / "Полярный круг "36 °
320 ячеекНемеридиональный / интерстициальный60 °
412 клетокВторой слой меридиональных клеток / "Tropic of Cancer "72 °
530 клетокНемеридиональный / промежуточный90 °Экватор
612 ячеекТретий слой меридиональных ячеек / "Тропик Козерога "108 °Южное полушарие
720 ячеекНемеридиональный / промежуточный120 °
812 ячеекЧетвертый слой меридиональных ячеек / "Южный полярный круг "144 °
91 ячейкаЮжный полюс180 °
Всего120 ячеек

Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены по краям полюсной ячейки.

Переплетающиеся кольца

Два переплетающихся кольца из 120 ячеек. Два ортогональных кольца в проекции с центром в ячейке

120-ячеечный контур может быть разделен на 12 непересекающихся 10-ячеечных больших кругов кольца, образующие дискретное / квантованное расслоение Хопфа. Начиная с одного кольца из 10 ячеек, можно разместить рядом с ним еще одно кольцо, которое закручивается по спирали вокруг исходного кольца на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких 10-ячеечных колец могут быть размещены рядом с исходным 10-ячеечным кольцом. Хотя внешние кольца "закручиваются" вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле они не имеют спирального кручения. Все они эквивалентны. Спираль является результатом кривизны 3-х сфер. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют полноторие с шестью кольцами и 60 ячейками. Можно продолжить добавление колец из 10 ячеек, смежных с предыдущими, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с указанным выше, из оставшихся 60 ячеек, который сцепляется с первым. 120-ячейка, как и 3-сфера, представляет собой объединение этих двух (Клиффорд ) торов. Если центральное кольцо первого тора является большим меридианным кругом, как определено выше, центральное кольцо второго тора является экваториальным большим кругом, центром которого является меридиональный круг. Также обратите внимание, что спиралевидная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть левосторонней или правосторонней. Это просто вопрос разделения ячеек в оболочке по-другому, то есть выбора другого набора непересекающихся больших кругов.

Другие конструкции большого круга

Есть еще один интересный путь большого круга, который попеременно проходит через противоположные вершины ячейки, а затем вдоль ребра. Этот путь состоит из 6 ячеек и 6 ребер. Оба указанных выше пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке. Путь из 10 ячеек лицом к лицу выше отображается на путь из 10 вершин, проходящий исключительно вдоль ребер в 600-ячейке, образуя десятиугольник. Путь чередующихся ячеек / ребер выше отображается на путь, состоящий из 12 тетраэдров, попеременно встречающихся лицом к лицу, а затем от вершины к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600-ячейке. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров, встречающихся лицом к лицу в курносой 24-ячейке (или икосаэдрических пирамидах в 600-ячейке).

Проекции

Ортогональные проекции

Ортогональные проекции 120-ячеек могут быть выполнены в 2D, путем определения двух ортонормированных базисных векторов для определенного направления обзора. 30-угольная проекция была сделана в 1963 г. компанией.

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса.

Ортографические проекции автора Самолеты Кокстера
H4-F4
120-ячеечный граф H4.svg . [30]120-элементный t0 p20. svg . [20]120-элементный t0 F4.svg . [12]
H3A2/ B 3 / D 4A3/ B 2
120-элементный t0 H3.svg . [10]120-cell t0 A2.svg . [6 ]120-элементный t0 A3.svg . [4]

Трехмерные ортогональные проекции также могут быть сделаны с тремя ортонормированными базисными векторами и отображаться как трехмерная модель, а затем проецироваться определенная перспектива в 3D для двухмерного изображения.

Ортографические 3D-проекции
120Cell 3D.png . Изометрическая 3D-проекцияФайл: Cell120.ogv Воспроизвести мультимедиа. Анимированное вращение 4D

Перспективные проекции

В этих проекциях используется перспективная проекция с определенного вида точку в четырех измерениях и проецирует модель как трехмерную тень. Следовательно, лица и клетки, которые выглядят крупнее, просто ближе к точке обзора 4D. Диаграммы Шлегеля используют перспективу, чтобы показать четырехмерные фигуры, выбирая точку над определенной ячейкой, таким образом делая ячейку оболочкой 3D-модели, а другие ячейки меньше видимых внутри нее. Стереографическая проекция использует тот же подход, но показана с изогнутыми краями, представляющими многогранник мозаикой 3-сферы.

Сравнение перспективных проекций из 3D в 2D показано аналогично.

Сравнение с правильным додекаэдром
ПроекцияДодекаэдр Додекаплекс
Диаграмма Шлегеля Додекаэдр - диаграмма Шлегеля.png . 12 граней пятиугольника на плоскостиКаркас Шлегеля 120-cell.png . 120 додекаэдрических ячеек в 3-м пространстве
Стереографическая проекция Dodecahedron stereographic projection.png Стереографический многогранник Faces.png . С прозрачными гранями
Перспективная проекция
120-элементная перспектива-cell-first-02.png Перспективная проекция в первую ячейку на расстоянии 5-кратного расстояния от центра до вершины с применением следующих улучшений:
  • Ближайший додекаэдр к четырехмерной точке обзора отображается желтым цветом
  • 12 додекаэдров, непосредственно примыкающих к нему, отображаются голубым цветом;
  • Остальные додекаэдры отображаются зеленым цветом;
  • Ячейки, обращенные в сторону от точки обзора 4D (те, которые лежат на «дальней стороне» из 120 ячеек) отбракованы, чтобы минимизировать беспорядок на окончательном изображении.
120-элементная перспектива-вершина-первый-02.png Перспективная проекция с первой вершиной на расстоянии в 5 раз больше от центра до вершины, со следующими улучшениями:
  • Показаны четыре ячейки, окружающие ближайшую вершину в 4 цвета
  • Ближайшая вершина показана белым (центр изображения, где встречаются 4 ячейки)
  • Оставшиеся клетки показаны прозрачным зеленым
  • Клетки, обращенные от точки обзора 4D, отбракованы для ясности
120-cell.gif Трехмерная проекция 120-ячеек, выполняющих простое вращение.
120-cell-inner.gif Трехмерная проекция 120- ячейка, выполняющая простое вращение (изнутри).
Анимированное вращение 4D

Связанные многогранники и соты

120-элементный многогранник - это один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией [3,3,5]:

H4семейные многогранники
120-клеточный выпрямленный. 120-клеточный усеченный. 120-клеточный скошенный. 120-клеточный рутинный. 120-клеточный отрезанный. 120 ячеек runcitruncated. 120-cell omnitruncated. 120-cell
узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png
{5,3,3}r {5,3,3}t {5,3,3}rr {5,3,3}t0,3{5,3,3}tr {5,3,3}t0,1,3{5,3,3}t0,1,2,3{5,3 cantitruncated. 600-cell runcitruncated. 600-cell omnitruncated. 600-cell
CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png
{3,3,5}r {3,3, 5}t {3,3,5}rr {3,3,5}2t {3,3,5}tr {3,3,5}t0,1,3{3,3,5}t0,1,2,3{3,3, 5}

Аналогично трем правильные 4-многогранники : 5-ячейка {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} евклидова 4-мерного пространства и шестиугольные мозаичные соты гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдр фигуру вершины.

Эти соты являются частью последовательности 4-многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3, p} многогранники
ПробелSH
ФормаКонечнаяКомпактнаяПаракомпактНекомпактная
Имя{5,3,3} {5,3,4} {5,3,5} {5,3,6} {5,3,7} {5,3,8} ... {5,3, ∞}
ИзображениеКаркас Шлегеля 120-cell.png H3 534 CC center.png H3 535 CC center.png H3 536 CC center.png Гиперболические соты 5-3-7 poincare.png Гиперболический сотовый 5-3-8 poincare.png Гиперболические соты 5-3-i poincare.png
Vertex. рисунокTetrahedron.png . {3,3} Октаэдр. png . {3,4} Icosahedron.png . {3,5} Равномерная мозаика 63-t2.svg . {3,6} Треугольный мозаичный лист Order-7.svg . {3,7} H2-8-3-primal.svg . {3,8} Тайлинг H2 23i-4.png . {3, ∞}

См. Также

Примечания

Ссылки

  • H. С. М. Коксетер, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  • Калейдоскопы: избранные сочинения H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивич Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471- 01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • J.H. Конвей и M.J.T. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники, Материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
  • Дэвис, Майкл У. (1985), «Гиперболическое 4-многообразие», Слушания Американского математического общества, 93(2): 325–328, doi : 10.2307 / 2044771, ISSN 0002-9939, JSTOR 2044771, MR 0770546
  • NW Джонсон : Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, 2004 г., докторская диссертация [2]

Внешние ссылки

H4семейные многогранники
120-элементный выпрямленный. 120-элементный усеченный. 120-элементный канеллированный. 120-элементный ранцинированный. 120-элементный усеченный. 120-элементный runcitruncated. 120-cell omnitruncated. 120-cell
узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png
{5,3,3}r {5, 3,3}t {5,3,3}rr {5,3,3}t0,3{5,3, 3}tr {5,3,3}t0,1,3{5,3,3}t0,1,2,3 {5,3,3}
120-элементный t0 H3.svg 120-элементный t1 H3.svg 120-элементный t01 H3.svg 120-элементный t02 H3.png 120-элементный t03 H3.png 120-элементный t012 H3.png 120-элементный t013 H3.png 120-ячеечный t0123 H3.png
600-ячеечный t0 H3.svg 600-ячеечный t1 H3.svg 600-ячеечный t01 H3.svg 600-ячеечный t02 H3.svg 120-ячеечный t12 H3.png 120-элементные t123 H3.png 120-элементный t023 H3.png
600 ячеек исправленный. 600 ячеек усеченный. 600 ячеек скошенный. 600 ячеек усеченный бит. 600-ячеечная усеченная. 600-ячеечная runcitruncated. 600-ячеечная полностью усеченная. 600-ячеечная
CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel node.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png узел CDel 1.png CDel 5.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png CDel 3.png узел CDel 1.png
{3,3,5}r {3,3,5}t {3,3,5}rr {3,3,5}2t {3,3, 5}tr {3,3,5}t0,1,3{3,3,5}t0,1,2,3 {3,3,5}
  • v
  • t
Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в измерениях 2–10
An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Треугольник Квадрат p-угольник Шестиугольник Пентагон
Тетраэдр ОктаэдрКуб Демикуб ДодекаэдрИкосаэдр
5 ячеек 16 ячеекТессеракт Demitesseract 24 ячейки 120 ячеек600 ячеек
5 симплекс 5-ортоплекс5-куб 5-полукуб
6-симплекс 6-ортоплекс6-куб 6-полукуб 122221
7-симплекс 7-ортоплекс7-куб 7-полукуб 132231321
8-симплекс 8-ортоплекс8-куб 8-полукуб 142241421
9-симплекс 9-ортоплекс9-куб 9-полукуб
10-симплекс 10-ортоплекс10-куб 10-полукуб
n-симплекс n-ортоплекс • n- куб n-полукуб 1k22k1k21 n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранниковПравильный многогранникСписок правильных многогранников и соединений
Последняя правка сделана 2021-07-15 05:04:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте