В геометрии символ Шлефли представляет собой обозначение формы {p, q, r,...}, которое определяет правильные многогранники и мозаики.
Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика 19 века Людвига Шлефли, который обобщил евклидову геометрию на более чем три измерения и открыл все их выпуклые правильные многогранники, в том числе шесть, встречающиеся в четырех измерениях.
Символ Шлефли - это рекурсивное описание, начиная с {p} для p-стороннего правильного многоугольника, который является выпуклым. Например, {3} - это равносторонний треугольник, {4} - это квадрат, {5} выпуклый правильный пятиугольник и так далее.
Правильные звездообразные многоугольники не являются выпуклыми, а их символы Шлефли {/ q } содержат неприводимые дроби /q, где p - количество вершин, а q - их число поворота. Эквивалентно, {/ q } создается из вершин {p}, соединенных через каждые q. Например, {⁄ 2 } - это пентаграмма ; {⁄ 1 } - это пятиугольник.
A правильный многогранник, который имеет q правильных p-сторонних многоугольников вокруг каждой вершины. представлен {p, q}. Например, куб имеет 3 квадрата вокруг каждой вершины и представлен как {4,3}.
Правильный 4-мерный многогранник с r {p, q} правильными многогранными ячейками вокруг каждого края представлен как {p, q, r}. Например, тессеракт , {4,3,3}, имеет 3 куба, {4,3} по краю.
В общем, правильный многогранник {p, q, r,..., y, z} имеет z {p, q, r,..., y} грани вокруг каждой вершины, где вершина - это вершина в многограннике, ребро в 4-многограннике, грань в 5 -полигранник, ячейка в 6-многограннике и (n-3) -граница в n-многограннике.
Правильный многогранник имеет правильную фигуру вершины . Вершинная фигура правильного многогранника {p, q, r,..., y, z} - это {q, r,..., y, z}.
Правильные многогранники могут иметь элементы звездообразного многоугольника, такие как пентаграмма, с символом {⁄ 2 }, представленным вершинами пятиугольник, но соединены попеременно.
Символ Шлефли может представлять конечный выпуклый многогранник, бесконечную мозаику евклидова пространства или бесконечную мозаику гиперболического пробел, в зависимости от углового дефекта конструкции. Дефект с положительным углом позволяет фигуре вершины сворачиваться в более высокое измерение и возвращается в себя как многогранник. Дефект с нулевым углом разбивает пространство мозаикой того же размера, что и фасеты. Дефект с отрицательным углом не может существовать в обычном пространстве, но может быть построен в гиперболическом пространстве.
Обычно фасет или фигура вершины считается конечным многогранником, но иногда сама может рассматриваться как тесселяция.
Правильный многогранник также имеет двойственный многогранник, представленный элементами символа Шлефли в обратном порядке. Автодуальный регулярный многогранник будет иметь симметричный символ Шлефли.
Помимо описания евклидовых многогранников, символы Шлефли могут использоваться для описания сферических многогранников или сферических сот.
Работы Шлефли при его жизни были почти неизвестны, и его система обозначений для описания многогранников была переоткрыта независимо несколькими другими авторами. В частности, Торольд Госсет заново открыл символ Шлефли, который он написал как | p | q | г |... | z | вместо скобок и запятых, как это делал Шлефли.
Форма Госсета имеет большую симметрию, поэтому количество измерений равно количеству вертикальных полос, а символ точно включает подсимволы для фигуры фасета и вершины. Госсет считает | p как оператор, который можно применить к | q |... | z | создать многогранник с p-угольными гранями, фигура вершины которого равна | q |... | z |,
символы Шлефли тесно связаны с (конечными) группами симметрии симметрии, которые точно соответствуют конечные группы Кокстера и задаются теми же индексами, но квадратными скобками вместо [p, q, r,...]. Такие группы часто называют правильными многогранниками, которые они порождают. Например, [3,3] - это группа Кокстера для отражающей тетраэдрической симметрии, [3,4] - это отражательная октаэдрическая симметрия, а [3,5] - отражающая икосаэдральная симметрия.
Символ Шлефли (выпуклого) правильного многоугольника с p ребрами это {p}. Например, правильный пятиугольник представлен {5}.
Для (невыпуклых) звездообразных многоугольников используется конструктивное обозначение {⁄ q }, где p - количество вершин, а q - 1 - число вершин, пропущенных при рисовании каждого ребра звезды. Например, {⁄ 2 } представляет пентаграмму.
Символ Шлефли правильного многогранника равен { p, q}, если его грани являются p-угольниками, и каждая вершина окружена q гранями (фигура вершины является q-угольником).
Например, {5,3} - это правильный додекаэдр. Он имеет пятиугольные (5 ребер) грани и по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины.
См. 5 выпуклых Платоновых тел, 4 невыпуклых многогранника Кеплера-Пуансо.
Топологически правильную двумерную мозаику можно рассматривать как подобен (3-мерному) многограннику, но такой, что угловой дефект равен нулю. Таким образом, символы Шлефли могут также быть определены для регулярных мозаик евклидова или гиперболического пространства аналогично многогранникам. Аналогия верна и для более высоких измерений.
Например, шестиугольная мозаика представлена {6,3}.
Символ Шлефли правильного 4-многогранника имеет форму {p, q, r}. Его (двумерные) грани - правильные p-угольники ({p}), клетки - правильные многогранники типа {p, q}, фигуры вершин - правильные многогранники типа {q, r}, а фигуры ребер - правильные r-угольники (тип {r}).
См. Шесть выпуклых правильных и 10 правильных звездных 4-многогранников.
Например, 120-элементный представлен как {5,3, 3}. Он состоит из додекаэдра ячеек {5,3} и имеет по 3 ячейки по каждому краю.
Существует одна регулярная мозаика евклидова 3-пространства: кубические соты с символом Шлефли {4,3,4}, состоящие из кубических ячеек и 4 кубов по каждому краю..
Есть также 4 обычных компактных гиперболических мозаики, включая {5,3,4}, гиперболические маленькие додекаэдрические соты, которые заполняют пространство ячейками додекаэдра.
Для многомерных регулярных многогранников символ Шлефли рекурсивно определяется как {p 1, p 2,..., p n - 1 }, если фасеты имеют символ Шлефли {p 1,p2,..., p n - 2 } и фигуры вершин имеют символ Шлефли {p 2,p3,..., p n - 1 }.
Вершинная фигура фасетки многогранника и фасет вершинной фигуры одного и того же многогранника одинаковы: {p 2,p3,..., p n - 2 }.
Есть только 3 правильных многогранника в 5 измерениях и выше: симплекс, {3,3,3,..., 3}; кросс-многогранник, {3,3,..., 3,4}; и гиперкуб, {4,3,3,..., 3}. Не существует невыпуклых правильных многогранников выше четырех измерений.
Если многогранник размерности n ≥ 2 имеет символ Шлефли {p 1,p2,..., p n - 1 }, то его dual имеет символ Шлефли {p n - 1,..., p 2,p1}.
Если последовательность палиндромная, т. Е. Одинаковая вперед и назад, многогранник самодвойственный. Каждый двумерный правильный многогранник (многоугольник) самодвойственен.
Равномерные призматические многогранники могут быть определены и названы как декартово произведение (с оператором "×") регулярных многогранников меньшей размерности.
Призматические двойники или бипирамиды могут быть представлены как составные символы, но с оператором сложения «+».
Пирамидальные многогранники, содержащие вершины, смещенные ортогонально, могут быть представлены с помощью оператора соединения "∨". Каждая пара вершин между соединенными фигурами соединена ребрами.
В 2D равнобедренный треугольник может быть представлен как () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].
В 3D:
В 4D:
При смешивании операторов порядок операций от высшего к низшему ×, +, ∨.
Осевые многогранники, содержащие вершины на параллельных смещенных гиперплоскостях, могут быть представлены символом || оператор. Однородная призма - это {n} || {n}, а антипризма {n} || r {n}.
Усеченный правильный многоугольник удваивается по сторонам. Правильный многоугольник с четными сторонами можно разделить пополам. Измененный четный правильный 2n-угольник образует соединение звезды, 2 {n}.
Форма | символ Шлефли | Симметрия | Диаграмма Кокстера | Пример, {6} | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Обычная | {p} | [p] | Шестиугольник | ||||
Усеченный | t {p} = {2p} | [[p]] = [2p] | = | Усеченный шестиугольник. (Додекагон) | = | ||
Изменен и. Holosnubbed | a {2p} = β {p} | [2p] | = | Измененный шестиугольник. (Гексаграмма) | = | ||
Половина и. Сглаженный | h {2p} = s {p} = {p} | [1,2p] = [p] | = = | Половина шестиугольника. (Треугольник) | = = |
Коксетер расширил использование символа Шлефли до квазирегулярных многогранников, добавив к символу вертикальное измерение. Это была отправная точка к более общей диаграмме Кокстера. Норман Джонсон упростил обозначение вертикальных символов с префиксом r. T-нотация является наиболее общей и напрямую соответствует кольцам диаграммы Кокстера. Символы имеют соответствующее чередование , заменяющее кольца отверстиями на диаграмме Кокстера и префикс h, обозначающий половину, конструкция ограничена требованием, что соседние ветви должны иметь четный порядок, и сокращает порядок симметрии вдвое. Связанный оператор, a для измененного, показан с двумя вложенными отверстиями, представляет собой составные многогранники с обеими чередующимися половинами, сохраняющими исходную полную симметрию. Курсор - это половина формы усечения, а голоскуб - это обе половины попеременного усечения.
Форма | символы Шлефли | Симметрия | Диаграмма Кокстера | Пример, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Обычная | {p, q} | t0{p, q} | [p, q]. или. [(p, q, 2)] | Куб | |||||
Усеченный | t {p, q } | t0,1 {p, q} | Усеченный куб | ||||||
Bitruncation. (Усеченное двойное) | 2t {p, q} | t1,2 {p, q} | Усеченный октаэдр | ||||||
Выпрямленный. (Квазирегулярный ) | r {p, q} | t1{p, q} | Кубооктаэдр | ||||||
Биректификация. (Обычное двойственное) | 2r {p, q} | t2{p, q } | Октаэдр | ||||||
Cantellated. (Ректифицированный ректифицированный ) | rr {p, q } | t0,2 {p, q} | Ромбокубооктаэдр | ||||||
Cantitruncate d. (усеченное выпрямленное) | tr {p, q} | t0,1,2 {p, q} | Усеченный кубооктаэдр |
Чередования имеют половину симметрии групп Кокстера и представлены незаполненными кольцами. Возможны два варианта выбора половины вершин, но символ не указывает, какая именно. Формы четверти показаны здесь со знаком + внутри полого кольца, что означает, что они представляют собой два независимых чередования.
Форма | символы Шлефли | Симметрия | Диаграмма Кокстера | Пример, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Чередование (половинное) регулярное | h{2p,q} | ht0{2p,q} | [1,2p, q] | = | Demicube. (Tetrahedron ) | ||||
Snub regular | s{p,2q} | ht0,1{p,2q} | [p, 2q] | ||||||
Плоский сдвоенный обычный | s{q,2p} | ht1,2{2p,q} | [ 2p, q] | Плоский октаэдр. (Икосаэдр ) | |||||
Переменный выпрямленный. (p и q четные) | hr{p,q} | ht1{p,q} | [p, 1, q] | ||||||
Чередование выпрямленного ректификата. ( p и q четны) | hrr {p, q} | ht0,2 {p, q} | [(p, q, 2)] | ||||||
Разделенный на четыре части. (p и q четные) | q{p,q} | ht0ht2{p,q} | [1, p, q, 1] | ||||||
Snub rectified. Snub quasiregular | sr {p, q} | ht0,1,2 {p, q} | [p, q] | Курносый кубооктаэдр. (Курносый куб) |
Измененные и голонубчатые формы обладают полной симметрией группы Кокстера и представлены двойными незаполненными кольцами, но могут быть представлены как соединения.
Форма | символы Шлефли | Симметрия | Диаграмма Кокстера | Пример, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Измененная регулярная | a{p,q} | at0{p,q} | [p, q] | = ∪ | Звездчатый октаэдр | ||||
Двойной правильный Голоснуб | ß {q, p} | ß {q, p} | at0,1 {q, p} | [p, q] | Соединение двух икосаэдров |
Форма | символ Шлефли | диаграмма Кокстера | Пример, {4,3,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Обычный | {p, q, r} | t0{p, q, r} | Тессеракт | |||||
Усеченный | t {p, q, r} | t0,1 {p, q, r} | Усеченный тессеракт | |||||
Исправленный | r {p, q, r} | t1{p, q, r} | Исправленный тессеракт | = | ||||
Усеченный бит | 2t {p, q, r} | t1, 2 {p, q, r} | Bitruncated tesseract | |||||
Birectified. (Rectified dual) | 2r {p, q, r} = r {r, q, p} | t2{p, q, r} | Исправленный 16-элементный | = | ||||
Tritruncated. (Усеченный двойственный) | 3t {p, q, r} = t {r, q, p} | t2,3 {p, q, r} | Обрезанный тессеракт | |||||
Trirectified. (Dual) | 3r {p, q, r} = {r, q, p } | t3{p, q, r} = {r, q, p} | 16-элементный | |||||
Cantellated | rr {p, q, r} | t0,2 {p, q, r} | Кантеллированный тессеракт | = | ||||
усеченный | tr {p, q, r} | t0,1,2 {p, q, r} | Cantit runcated tesseract | = | ||||
Runcinated. (Expanded ) | e3{p, q, r} | t0,3 {p, q, r} | Запущенный тессеракт | |||||
Runcitruncated | t0,1,3 {p, q, r} | Выполнить усеченный тессеракт | ||||||
Усеченный тессеракт | t0,1,2,3 {p, q, r} | Усеченный тессеракт |
Форма | символ Шлефли | диаграмма Кокстера | Пример, {4,3,3} | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Чередования | |||||||||
Половина. p четный | h {p, q, r} | ht0{p, q, r} | 16 -cell | ||||||
Четверть. p и r четное | q {p, q, r} | ht0ht3{p, q, r} | |||||||
Snub. q even | s {p, q, r} | ht0,1 {p, q, r} | Snub 24-элементный | ||||||
Snub исправленный. r даже | sr {p, q, r} | ht0,1,2 {p, q, r} | Курносый 24-элементный | = | |||||
Чередующаяся дуопризма | s {p} s {q} | ht0,1,2,3 {p, 2, q} | Большая дуоантипризма |
Форма | Расширенный символ Шлефли | Диаграмма Кокстера | Примеры | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Квазирегулярная | {p, q} | t0{p, q} | 16-элементный | |||||
Усеченный | t {p, q} | t0,1 {p, q} | Усеченный 16-элементный | |||||
Исправленный | r {p, q} | t1{p, q} | 24 ячейки | |||||
Cantellated | rr {p, q} | t0,2,3 {p, q} | Кантеллированный, 16 ячеек | |||||
Cantitruncated | tr {p, q} | t0,1,2, 3 {p, q} | C усеченный из 16 ячеек | |||||
Snub rectified | sr {p, q} | ht0,1,2,3 {p, q} | Snub 24-cell | |||||
Quasiregular | {r, / q \, p} | t0{r, / q \, p} | ||||||
Усеченный | t {r, / q \, p} | t0,1 {r, / q \, p} | ||||||
Исправлено | r {r, / q \, p} | t1{r, / q \, p} | ||||||
Cantellated | rr {r, / q \, p} | t0,2,3 {r, / q \, p} | ||||||
Cantitruncated | tr {r, / q \, p} | t0,1,2,3 {r, / q \, p} | ||||||
Курносый, исправленный | sr {p, / q, \ r} | ht0, 1,2,3 {p, / q \, r} |
Обычная
Полурегулярный
Правильные многогранники.