Войти
Многоугольник Петри додекаэдра представляет собой скошенный десятиугольник. Если смотреть со стороны оси симметрии 5-го порядка, оно выглядит как правильный десятиугольник. Каждая пара последовательных сторон принадлежит одному пятиугольнику (но никакая тройка не принадлежит). В геометрии, многоугольник Петри для правильного многогранника n измерений - это наклонный многоугольник, в котором каждая (n - 1) последовательных сторон (но не n) принадлежит одному из фасетов . многоугольник Петри из правильного многоугольника сам является правильным многоугольником; правильный многогранник - это наклонный многоугольник, такой, что каждые две последовательные стороны (но не три) принадлежат одной из граней. Полигоны Петри названы в честь математика Джона Флиндерса Петри.
Для каждого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, так что один многоугольник Петри становится правильным многоугольником с остальной частью проекции внутри него. Рассматриваемая плоскость является плоскостью Кокстера из группы симметрии многоугольника, а количество сторон h равно число Кокстера у Группа Кокстера. Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для визуализации симметричной структуры многомерных регулярных многогранников.
Многоугольники Петри могут быть определены в более общем виде для любого встроенного графа. Они образуют грани другого вложения того же графа, обычно на другой поверхности, называемой двойственной Петри.
Джон Флиндерс Петри (1907–1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри. Он родился в 1907 году и, будучи школьником, показал замечательные математические способности. В периоды интенсивной концентрации он мог отвечать на вопросы о сложных четырехмерных объектах, визуализируя их.
Он первым отметил важность правильных косых многоугольников, которые появляются на поверхности правильных многогранников и высших многогранников. В 1937 году Кокстер объяснил, как они с Петри начали расширять классическую тему правильных многогранников:
В 1938 году Петри сотрудничал с Кокстером, Патриком дю Val и HT Flather для создания Пятьдесят девять икосаэдров для публикации. Понимая геометрические возможности наклонных многоугольников, используемых Петри, Кокстер назвал их в честь своего друга, когда он написал Правильные многогранники.
Идея многоугольников Петри была позже расширена до полуправильных многогранников.
Два тетраэдра с квадратами Петри 
Куб и октаэдр с шестиугольниками Петри 
Додекаэдр и икосаэдр с декагонами Петри Правильные двойники, {p, q} и {q, p} содержатся внутри одного и того же спроецированного многоугольника Петри. На изображениях двойных соединений справа можно увидеть, что их многоугольники Петри имеют прямоугольные пересечения в точках, где края касаются общей средней сферы.
| Квадрат | Шестиугольник | Десятиугольник | ||
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |
| тетраэдр {3,3} | куб {4,3} | октаэдр {3,4 } | додекаэдр {5,3} | икосаэдр {3,5} |
   |  | |  | |
| центрированный по краю | центрированный по вершине | центрированный по граню | с центрированием по лицу | с центром по вершине |
| V:(4,0) | V:(6,2) | V: (6, 0) | V: (10,10,0) | V: (10,2) |
Многоугольники Петри являются внешними по отношению к этим ортогональным проекциям.. Концентрические кольца вершин подсчитываются, начиная снаружи, работая внутрь с обозначением: V: (a, b,...), заканчивая нулем, если центральных вершин нет.. Количество сторон для {p, q} равно 24 / (10 − p − q) - 2. | ||||
gD и sD с шестиугольниками Петри 
gI и gsD с декаграммами Петри Петри многоугольники многогранников Кеплера – Пуансо - это шестиугольники {6} и декаграммы {10/3}.
| Шестигранник | Декаграмма | ||
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| gD {5,5 / 2} | sD {5,5 / 2} | gI {3,5 / 2 } | gsD {5 / 2,3} |
 | | | |
Бесконечные правильные косые многоугольники (апейрогон ) также могут быть определены как многоугольники Петри правильных мозаик с углами 90, 120 и 60 градусов их квадратной, шестиугольной и треугольной граней соответственно.
Бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри правильных гиперболических мозаик, например треугольная мозаика порядка 7, {3,7}:
Многоугольник Петри тессеракта является восьмиугольником. Каждая тройка последовательных сторон принадлежит одной из восьми кубических ячеек. Многоугольник Петри для правильной полихоры {p, q, r} также может быть определен.
 . {3,3,3}. . 5-ячейка. 5-ячеечная. V: (5,0) |  . {3,3,4}. . 16-ячеечная. 8 сторон. V: (8,0) |  . {4,3,3}. . tesseract. 8 сторон. V: (8,8, 0) |
 . {3,4,3}. . 24-ячейка. 12 сторон. V: (12,6,6,0) |  . {5,3,3}. . 120-ячейка. 30 сторон. V: ((30,60), 60,30,60,0) |  . {3,3,5}. . 600-ячейка. 30 сторон. V: (30,30,30,30,0) |
Многоугольные проекции Петри полезны для визуализация многогранников размерности четыре и выше.
A гиперкуб измерения n имеет многоугольник Петри размером 2n, который также является числом его фасетов.. Таким образом, каждый из (n− 1) -кубы, образующие его поверхность, имеют n - 1 сторону многоугольника Петри среди своих ребер.
| Гиперкубы | ||
|---|---|---|
Дигон Петри 1-кубов выглядит идентично 1-кубу. Но у 1-куба одно ребро, а у двуугольника - два.. Квадрат Петри 2-куба идентичен 2-кубу.. Каждая пара последовательных сторон петри 3-куба шестиугольник принадлежит одной из его шести квадратных граней.. Каждая тройка последовательных сторон восьмиугольника Петри 4-куба принадлежит одной из его восьми ячеек куба. . На изображениях показано, как многоугольник Петри для измерения n + 1 может быть построен из многоугольника для измерения n:
(Для n = 1 первая и вторая половина являются двумя различными, но совпадающими ребрами двуугольника.) . Стороны каждого многоугольника Петри принадлежат следующим измерениям:. (1, 1), ( 1, 2, 1, 2), (1, 2, 3, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4) и т. Д.. Таким образом, любые n последовательных стороны относятся к разным размерам. | ||
| Квадрат | Куб | Тессеракт |
 |  |  |
 |  |  |
В этой таблице представлены проекции многоугольника Петри трех правильных семейств (симплекс, гиперкуб, ортоплекс ) и исключительная группа Ли En, которая порождает полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.
| Таблица семейств неприводимых многогранников | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Семейство. n | n-симплекс | n-гиперкуб | n-ортоплекс | n-полукуб | 1k2 | 2k1 | k21 | пятиугольный многогранник | ||||||||
| Группа | An | Bn |
|
| Hn | |||||||||||
| 2 |  . |  . |  .  . p-угольник. (пример: p = 7 ) |  .  . Шестиугольник |  . . Пентагон | |||||||||||
| 3 |  . . Тетраэдр |  . . Куб |  . . Октаэдр |  .    . Тетраэдр |  . . Додекаэдр |  . . Икосаэдр | ||||||||||
| 4 |  . . 5-элементный |  . |  . . 16-элементный |  .  |  . . 24-элементный |  . . 120-элементный |  . . 600-элементный | |||||||||
| 5 |  . . 5-симплексный |  . . 5-кубовый |  . . 5-ортоплексный |  . . 5-полукуб | ||||||||||||
| 6 |  . . 6-симплекс |  . . 6-куб |  . . 6-ортоплекс |  . . 6-полукуб |  .  . 122 |  . . 221 | ||||||||||
| 7 |  . . 7-симплекс |  . . 7-куб |  . . 7-ортоплекс |  . . 7-полукуб |  . . 132 |  . . 231 |  . . 321 | |||||||||
| 8 |  . . 8-симплекс |  . . 8-куб |  . . 8-ортоплекс |  . . 8-полукуб |  . . 142 |  . . 241 |  . . 421 | |||||||||
| 9 |  . . 9-симплекс |  . . 9-куб |  . . 9-ортоплекс |  . . 9-полукуб | ||||||||||||
| 10 |  . . 10-симплекс |  . . 10-куб |  . . 10-ортоплекс |  . . 10-полукуб | ||||||||||||
.
Сеть 
Ортогональная 
Петри 
Шлегель 
Вершинная фигура
| ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | ||||||||
| Треугольник | Квадрат | p-угольник | Шестиугольник | Пентагон | ||||||||
| Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | |||||||||
| 5-элементный | 16-элементный • Тессеракт | Демитессеракт | 24 ячейки | 120 ячеек • 600 ячеек | ||||||||
| 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб | 5-полукуб | ||||||||||
| 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб | 6-полукуб | 122 • 221 | |||||||||
| 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-кубик | 7-полукуб | 132 • 231 • 321 | |||||||||
| 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукуб | 142 • 241 • 421 | |||||||||
| 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукуб | ||||||||||
| 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | ||||||||||
| n-симплекс | n-ортоплекс • n- куб | n-демикуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-пятиугольный многогранник | ||||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с многоугольниками Петри. |
