Пятьдесят девять икосаэдров

звездчатая диаграмма для икосаэдра с центральным треугольником, отмеченным для исходного икосаэдра

Пятьдесят девять икосаэдров - это книга, написанная и проиллюстрированная Х. С. М. Кокстер, П. Дю Валь, Х. Т. Флатер и Дж. Ф. Петри. Он перечисляет определенные звёздчатые правильного выпуклого или платонового икосаэдра в соответствии с набором правил, предложенных Дж. К. П. Миллер.

Впервые опубликовано Университетом Торонто в 1938 году, второе издание было переиздано Springer-Verlag в 1982 году. Третье издание Тарквина 1999 года включало новые справочные материалы и фотографии К. и Д. Креннелл.

• 1 Вклад авторов
  • 1.1 Правила Миллера
  • 1.2 Коксетер
  • 1.3 Дю Вал
  • 1.4 Флатер
  • 1.5 Петри
  • 1.6 Креннеллы
• 2 Список пятьдесят девять икосаэдров
  • 2.1 Примечания к списку
  • 2.2 Таблица пятидесяти девяти икосаэдров
• 3 См. также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Правила Миллера

Хотя Миллер не участвовал в написании книги напрямую, он был близким коллегой Кокстера и Петри. Его вклад увековечен в его своде правил для определения того, какие звездчатые формы должны считаться «должным образом значимыми и отличными»:

(i) грани должны лежать в двадцати плоскостях, а именно, ограничивающих плоскостях правильного икосаэдра.

(ii) Все части, составляющие грани, должны быть одинаковыми в каждой плоскости, хотя они могут быть совершенно разъединены.

(iii) Части, входящие в любую одну плоскость, должны иметь тригональную симметрию, без отражения или с отражением. Это обеспечивает икосаэдрическую симметрию для всего твердого тела.

(iv) Все части, входящие в любую плоскость, должны быть «доступны» в готовом твердом теле (т.е. они должны находиться «снаружи». В некоторых случаях нам должны потребоваться модели огромного размера, чтобы видеть все снаружи. В модели обычного размера, некоторые части "снаружи" могли исследовать только ползающее насекомое).

(v) Мы исключаем из рассмотрения случаи, когда части могут быть разделены на два набора, каждый из которых дает твердое тело с такой же симметрией, как и вся фигура. Но мы разрешаем комбинацию энантиоморфной пары, не имеющей общей части (что на самом деле встречается только в одном случае).

Правила (i) - (iii) являются требованиями симметрии для плоскостей лица. Правило (iv) исключает заглубленные отверстия, чтобы две звездочки не выглядели внешне одинаковыми. Правило (v) предотвращает любое разъединенное соединение более простых звездчатых элементов.

Кокстер

Кокстер был главной движущей силой этой работы. Он провел первоначальный анализ, основанный на правилах Миллера, применив ряд методов, таких как комбинаторика и абстрактная теория графов, использование которых в геометрическом контексте было тогда новым.

Он заметил, что звездчатая диаграмма состоит из множества отрезков прямых. Затем он разработал процедуры для манипулирования комбинациями соседних областей плоскости, чтобы формально перечислить комбинации, разрешенные в соответствии с правилами Миллера.

Его график, приведенный здесь, показывает взаимосвязь различных лиц, обозначенных на звездчатой ​​диаграмме (см. Ниже). Греческие символы представляют собой наборы возможных альтернатив:

λ может быть 3 или 4

μ может быть 7 или 8

ν может быть 11 или 12

Du Val

Дю Валь разработал символическое обозначение для обозначения наборов конгруэнтных ячеек, основываясь на наблюдении, что они лежат в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра. На основании этого он проверил все возможные комбинации на соответствие правилам Миллера, подтвердив результат более аналитического подхода Кокстера.

Флэзер

Вклад Флэзера был косвенным: он сделал карточные модели всех 59. Когда он впервые встретил Кокстера, он уже сделал много звёздчатых фигур, включая некоторые «не-Миллеровские» образцы. Затем он завершил серию из пятидесяти девяти, которые хранятся в математической библиотеке Кембриджского университета, Англия. В библиотеке также есть несколько моделей, не относящихся к Миллеру, но неизвестно, были ли они созданы Флэтером или более поздними учениками Миллера.

Петри

Джон Флиндерс Петри был на протяжении всей жизни другом Кокстера и обладал замечательной способностью визуализировать четырехмерную геометрию. Он и Кокстер вместе работали над множеством математических задач. Его непосредственным вкладом в создание пятидесяти девяти икосаэдров был изысканный набор трехмерных рисунков, которые обеспечивают большую часть очарования опубликованной работы.

Креннеллы

Для третьего издания Кейт и Дэвид Креннеллы сбросили текст и перерисовали диаграммы. Они также добавили справочный раздел, содержащий таблицы, диаграммы и фотографии некоторых моделей из Кембриджа (которые в то время считались принадлежащими Флэзеру). Исправления к этому изданию были опубликованы в Интернете.

Звездчатая диаграмма с пронумерованными наборами граней Ячеечная диаграмма с нотацией Дюваля для ячеек

До Кокстера только Брюкнер и Уиллер зарегистрировали какие-либо значительные наборы звездчатых образов, хотя некоторые из них, такие как большой икосаэдр, были известны гораздо дольше. После публикации «59» Веннингер опубликовал инструкции по изготовлению моделей некоторых из них; Схема нумерации, используемая в его книге, получила широкое распространение, хотя он записал только несколько звездочек.

Примечания к списку

Индексные номера принадлежат Креннеллам, если не указано иное:

Креннеллы

• В индексной нумерации, добавленной Креннеллами к Третьему изданию, первые 32 образуют (индексы 1-32) являются отражающими моделями, а последние 27 (индексы 33-59) являются хиральными с перечисленными только правыми формами. Это соответствует порядку, в котором звездочки изображены в книге.

Ячейки

• В обозначениях Дюваля каждая оболочка выделена жирным шрифтом, идущим наружу, как a, b, c,..., h, где а - исходный икосаэдр. Некоторые оболочки подразделяются на ячейки двух типов, например, e включает в себя e1и e2. Набор f1дополнительно подразделяется на правую и левую формы, соответственно, f 1 (простой шрифт) и f 1 (курсив). Если в звездчатой ​​форме все ячейки присутствуют внутри внешней оболочки, внешняя оболочка пишется с заглавной буквы, а внутренняя опускается, например, a+ b+ c+ e1записывается как Ce1.

Faces

• Все звездчатые формы могут быть указаны звездчатым шрифтом диаграмма. На схеме, показанной здесь, пронумерованные цвета указывают области звездчатой ​​диаграммы, которые должны встречаться вместе как набор, если должна поддерживаться полная симметрия икосаэдра. На схеме 13 таких наборов. Некоторые из них подразделяются на хиральные пары (не показаны), что позволяет использовать звездообразные формы с вращательной, но не рефлексивной симметрией. В таблице лица, которые видны снизу, обозначены апострофом, например, 3'.

Wenninger

• Индексные номера и пронумерованные имена были произвольно присвоены издателем Веннингера в соответствии с их появлением в его книге Модели многогранников и не имеют отношение к любой математической последовательности. Лишь некоторые из его моделей были икосаэдрами. Его имена даны в сокращенной форме, с опущенным словом «... икосаэдра».

Уиллер

• Уиллер нашел свои фигуры или «формы» икосаэдра, выбрав отрезки линии из звездчатой ​​диаграммы. Он тщательно отличил это от классического процесса звёздчатости Кеплера. Coxeter et al. проигнорировал это различие и назвал их звездчатыми.

Брюкнер

• Макс Брюкнер сделал и сфотографировал модели многих многогранников, лишь некоторые из которых были икосаэдрами. Таф. является аббревиатурой от Tafel, на немецком языке табличка.

Примечания

• No. 8 иногда называют ехиднаэдром из-за воображаемого сходства с колючим муравьедом или ехидной. Это использование не зависит от описания Кеплером его правильных звездных многогранников как его ехидн.

Таблица из пятидесяти девяти икосаэдров

Некоторые изображения иллюстрируют зеркальный икосаэдр с ячейкой f 1, а не с ячейкой f 1.

Креннелл	Ячейки	Лица	Веннингер	Уиллер	Брюкнер	Примечания	Диаграмма лица	3D
1	A	0	04. Икосаэдр	1		Платонический икосаэдр
2	B	1	26. Икосаэдр Триаки	2	Таф. VIII, Рис. 2	Первая звездчатая форма икосаэдра,. малый триамбический икосаэдр,. или триакизикосаэдр
3	C	2	23. Соединение пяти октаэдров	3	Taf. IX, рис. 6.	Обычное соединение пяти октаэдров
4	D	3 4	99	4	Taf. IX, Рис. 17
5	E	5 6 7	99	99
6	F	8 9 10	27. Вторая звездчатая форма	19		Вторая звездчатость икосаэдра
7	G	11 12	41. Большой икосаэдр	11	Taf. XI, рис. 24	Большой икосаэдр
8	H	13	42. Конечная звездчатая форма	12		Окончательная звездчатость икосаэдра или ехиднаэдра
9	e1	3 '5	37. Двенадцатая звездчатая форма	99
10	f1	5' 6 ' 9 10	99	99
11	g1	10 '12	29. Четвертая звездчатая форма	21
12	e1f1	3' 6 '9 10	99	99
13	e1f1g1	3' 6 '9 12	99	20
14	f1g1	5 '6' 9 12	99	99
15	e2	4 '6 7	99	99
16	f2	7' 8	99	22
17	g2	8 '9'11	99	99
18	e2f2	4' 6 8	99	99
19	e2f2g2	4 '6 9' 11	99	99
20	f2g2	7 '9' 11	30. Пятая звездчатая форма	99
21	De1	4 5	32. Седьмая звездчатая форма	10
22	Ef1	7 9 10	25. Соединение десяти тетраэдров	8	Taf. IX, рис. 3	Обычное соединение десяти тетраэдров
23	Fg1	8 9 12	31. Шестая звездчатая форма	17	Taf. X, рис. 3
24	De1f1	4 6 '9 10	99	99
25	De1f1g1	4 6' 9 12	99	99
26	Ef1g1	7 9 12	28. Третья звездчатость	9	Taf. VIII, рис. 26	Додекаэдр с выемкой
27	De2	3 6 7	99	5
28	Ef2	5 6 8	99	18	Taf.IX, рис.20
29	Fg2	10 11	33. Восьмая звездчатая форма	14
30	De2f2	3 6 8	34. Девятая звездчатая форма	13		Срединный триамбический икосаэдр or. Большой триамбический икосаэдр
31	De2f2g2	3 6 9 '11	99	99
32	Ef2g2	5 6 9 '11	99	99
33	f1	5' 6 '9 10	35. Десятая звездчатая форма	99		Десятая звездчатая форма икосаэдра
34	e1f1	3'5 6' 9 10	36. Одиннадцатая звездчатая форма	99
35	De1f1	45 6 футов 9 10	99	99
36	f1g1	5 футов 6 футов 9 10 футов 12	99	99
37	e1f1g1	3'5 6 футов 9 10 футов 12	39. Четырнадцатая звездчатая	99
38	De1f1g1	45 6 '9 10' 12	99	99
39	f1g2	5 '6' 8 '9' 10 11	99	99
40	e1f1g2	3'5 6 '8' 9 '10 11	99	99
41	De1f1g2	45 6 '8' 9 '10 11	99	99
42	f1f2g2	5' 6 '7' 9 '10 11	99	99
43	e1f1f2g2	3'5 6' 7 '9' 10 11	99	99
44	De1f1f2g2	45 6 '7' 9 '10 11	99	99
45	e2f1	4'5' 6 7 9 10	40. Пятнадцатая звездчатая форма	99
46	De2f1	35 '6 7 9 10	99	99
47	Ef1	5 6 7 9 10	24. Соединение пяти тетраэдров	7. (6: левша)	Таф. IX, рис. 11	Обычный Соединение пяти тетраэдров (правостороннее)
48	e2f1g1	4'5 '6 7 9 10' 12	99	99
49	De2f1g1	35 '6 7 9 10' 12	99	99
50	Ef1g1	5 6 7 9 10 '12	99	99
51	e2f1f2	4'5' 6 8 9 10	38. Тринадцатое звездчатое образование	99
52	De2f1f2	35 '6 8 9 10	99	99
53	Ef1f2	5 6 8 9 10	99	15. ( 16: левша)
54	e2f1f2g1	4'5 '6 8 9 10' 12	99	99
55	De2f1f2g1	35 '6 8 9 10' 12	99	99
56	Ef1f2g1	5 6 8 9 10 '12	99	99
57	e2f1f2g2	4'5' 6 9 '10 11	99	99
58	De2f1f2g2	35' 6 9 '10 11	99	99
59	Ef1f2g2	5 6 9 '10 11	99	99

• Список моделей многогранников Веннингера - Книга Веннингера Модели многогранников включали 21 из этих звёздчатых форм.
• Тела с симметрией икосаэдра

• Брюкнер, Макс (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Лейпциг: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. (на немецком языке)

WorldCat Английский язык: Многоугольники и многогранники: теория и история. Фотографии моделей: Tafel VIII (Plate VIII) и др. Высокое разрешение. сканы.

• H. С. М. Коксетер, Патрик дю Валь, H.T. Флатер, Дж. Ф. Петри (1938) Пятьдесят девять Икосаэдров, Университет Торонто исследования, математическая серия 6: 1–26.
  • Третье издание (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3 MR 676126
• Веннингер, Магнус Дж. ( 1983) Модели многогранников; Cambridge University Press, издание в мягкой обложке (2003). ISBN 978-0-521-09859-5.
• А. Х. Уиллер (1924) «Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников», Труды Международного конгресса математиков, Торонто, Vol. 1, pp 701–708.

• Пример звёздчатой ​​формы икосаэдра
• Пятьдесят девять звёздчатых звёзд правильного икосаэдра
• Вайсштейн, Эрик У. "Пятьдесят девять звёздчатых звёзд икосаэдра «. MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик У. «Ехиднаэдр». MathWorld.
• Звездчатые формы икосаэдра
• Джордж Харт, 59 Звездчатые формы икосаэдра - файлы VRML 3D.