Малый звездчатый додекаэдр

редактировать

Малый звездчатый додекаэдр

Тип	Многогранник Кеплера – Пуансо
Звездчатый стержень	регулярный додекаэдр
Элементы	F = 12, E = 30. V = 12 (χ = -6)
Грани по сторонам	12 5
символ Шлефли	{ ⁄ 2, 5}
Конфигурация лица	V (5) / 2
Символ Витхоффа	5 \| 2 ⁄ 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Ih, H 3, [5,3], (* 532)
Ссылки	U 34, C 43, W 20
Свойства	Обычная невыпуклый
. (⁄ 2). (Вершинная фигура )	. Большой додекаэдр. (двойной многогранник )

Трехмерная модель малого звездчатого додекаэдра

В геометрии, малый звездчатый додекаэдр - это многогранник Кеплера-Пуансо, названный Артуром Кэли и имеющий символ Шлефли {⁄ 2, 5}. Это один из четырех невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 пентаграмм граней, с пятью пентаграммами, пересекающимися в каждой вершине.

Он имеет то же расположение вершин , что и выпуклый правильный икосаэдр. Он также имеет то же самое расположение ребер с большим икосаэдром, с которой он образует вырожденную однородную составную фигуру.

Это секунда из четырех звёздчатых звёзд додекаэдра.

Малый звёздчатый додекаэдр может быть построен аналогично пентаграмме., его двумерный аналог, посредством продолжения ребер (1-граней) многогранника ядра до точки, в которой они пересекаются.

Содержание

1 Топология
2 Изображения
3 В арте
4 Связанные многогранники
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Топология

Если пентаграмматические грани рассматриваются как 5 треугольных граней, они имеют ту же топологию поверхности, что и пентакис-додекаэдр, но с гораздо более высоким равнобедренные треугольные грани с высотой пятиугольных пирамид, отрегулированной так, чтобы пять треугольников в пентаграмме стали копланарными. Критический угол составляет атан (2) над гранью додекаэдра.

Если мы рассматриваем его как имеющий 12 пентаграмм в виде граней, причем эти пентаграммы встречаются на 30 ребрах и 12 вершинах, мы можем вычислить его род, используя формулу Эйлера

V - E + F = 2–2 g {\ displaystyle V-E + F = 2-2g}

{\ displaystyle V-E + F = 2-2g}

и заключаем, что маленький звездчатый додекаэдр имеет род 4. Это наблюдение, сделанное Луи Пуансо, было поначалу сбивало с толку, но Феликс Кляйн показал в 1877 году, что небольшой звездчатый додекаэдр можно рассматривать как разветвленное покрытие сферы Римана с помощью римановой поверхности. рода 4, с точками ветвления в центре каждой пентаграммы. Фактически эта риманова поверхность, называемая кривой Бринга, имеет наибольшее количество симметрий среди всех римановых поверхностей рода 4: симметрическая группа $S 5 {\ displaystyle S_ {5}}$ $S_ {5}$ действует как автоморфизм

Изображения

Прозрачная модель	Модели ручной работы
. (см. также: анимированные )
Сферическая мозаика	Звёздчатая	Сеть
. Этот многогранник также представляет собой сферическую мозаику с плотностью 3. (Одна сферическая пентаграмма, обведенная синим, залитая желтым цветом)	. Ее также можно построить как первая из трех звёздчатых элементов додекаэдра, обозначенная как модель Веннингера [W20].	× 12. Маленькие звездчатые додекаэдры могут быть построены из бумаги или картона, соединив вместе 12 пятиугольных равнобедренных пирамид таким же образом, как пятиугольники в правильном додекаэдре. С непрозрачным материалом это визуально представляет внешнюю часть каждой пентаграммической грани.

В искусстве

Напольная мозаика Па. olo Uccello, 1430

Маленький звездчатый додекаэдр можно увидеть на полу мозаики в Базилике Сан-Марко, Венеция от Паоло Уччелло около 1430 г. Такая же форма занимает центральное место в двух литографиях М. К. Эшер : Контраст (Порядок и Хаос) (1950) и Гравитация (1952).

Связанные многогранники

Анимированная последовательность усечения из {⁄ 2, 5} - {5, ⁄ 2}

Его выпуклая оболочка представляет собой правильный выпуклый икосаэдр. Он также имеет общие края с большим икосаэдром ; соединение с обоими - большой сложный икосододекаэдр.

Есть четыре связанных однородных многогранника, построенных как степени усечения. Дуал - это большой додекаэдр. додекадодекаэдр - это выпрямление, в котором ребра усекаются до точек.

усеченный малый звездчатый додекаэдр может считаться вырожденным однородным многогранником, поскольку ребра и вершины совпадают, но он включен для полноты картины. Визуально он выглядит как правильный додекаэдр на поверхности, но имеет 24 грани в перекрывающихся парах. Шипы обрезаются до тех пор, пока не достигнут плоскости пентаграммы под ними. 24 грани представляют собой 12 пятиугольников от усеченных вершин и 12 декагонов, принимающих форму пятиугольников с двойной намоткой, перекрывающих первые 12 пятиугольников. Последние грани образованы путем усечения исходных пентаграмм. Когда {⁄ d } -угольник усекается, он становится {⁄ d } -угольником. Например, усеченный пятиугольник {⁄ 1 } становится десятиугольником {⁄ 1 }, поэтому усечение пентаграммы {⁄ 2 } становится двойным -скрученный пятиугольник {⁄ 2 } (общий множитель между 10 и 2 означает, что мы дважды посещаем каждую вершину, чтобы завершить многоугольник).