Додекаэдр Пентакиса

редактировать

Додекаэдр Пентакиса
. (Щелкните здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Каталонское твердое тело
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	kD
Тип лица	V5.6.6 . равнобедренный треугольник
Лица	60
Ребра	90
Вершины	32
Вершины по типу	20 {6} +12 {5}
Группа симметрии	Ih, H 3, [5,3 ], (* 532)
Группа вращения	I, [5,3], (532)
Двугранный угол	156 ° 43′07 ″. arccos (−80 + 9√5 / 109)
Свойства	выпуклый, гранно-транзитивный
. Усеченный икосаэдр. (двойной многогранник )	. Сеть

3d модель додекаэдра пентакиса

In геометрия, пентакис додекаэдр или кисдодекаэдр - это многогранник, созданный путем присоединения пятиугольной пирамиды к каждой грани правильного додекаэдра ; то есть это Kleetope додекаэдра. Эта интерпретация выражена в его названии. Фактически существует несколько топологически эквивалентных, но геометрически различных видов пентакис-додекаэдра, в зависимости от высоты пятиугольных пирамид. К ним относятся:

Обычный каталонский додекаэдр пентакис, выпуклый гексеконтаэдр с шестьюдесятью равнобедренными треугольными гранями, показанными на рисунке сбоку. Это каталонское твердое тело, двойственное к усеченному икосаэдру, архимедову твердому телу. Критическая высота каждой из пирамид над гранями исходного единичного додекаэдра составляет

h = 65 + 22 5 19 5 ≈ 0,2515 {\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {65 + 22 {\ sqrt {5 }}}} {19 {\ sqrt {5}}}} \ приблизительно 0,2515}

{\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {65 + 22 {\ sqrt {5}} }} {19 {\ sqrt {5}}}} \ приблизительно 0,2515}

При этом размере двугранный угол между всеми соседними треугольными гранями равен значению в таблице выше. Более плоские пирамиды имеют более высокие двугранные внутри пирамид, а более высокие пирамиды имеют более высокие межпирамидные двугранные.

По мере увеличения высоты пятиугольных пирамид в определенной точке смежные пары треугольных граней сливаются, чтобы стать ромбами, и форма становится ромбической. ромбический триаконтаэдр.

При дальнейшем увеличении высоты форма становится невыпуклой. В частности, версия додекаэдра пентакис, имеющая шестьдесят равносторонних треугольных граней, или версия дельтаэдра, имеющая шестьдесят равносторонних треугольных граней, как показано на соседнем рисунке, является слегка невыпуклой из-за более высоких пирамид (обратите внимание, например, на отрицательный (двугранный угол в верхнем левом углу рисунка).

Другие более невыпуклые геометрические варианты включают:

малый звездчатый додекаэдр (с очень высокими пирамидами).
большой додекаэдр пентакис (с очень высокими пирамидами)
Третья звездочка Веннингера икосаэдра (с перевернутыми пирамидами).

Если прикрепить пентаграммические пирамиды к выкопанному додекаэдру получается большой икосаэдр.

Если оставить центр додекаэдр, получится сеть додекаэдрической пирамиды.

Содержание

1 Декартовы координаты
2 Химия
3 Биология
4 Ортогональные проекции
5 Связанные многогранники
6 Культурные ссылки
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Декартовы координаты

Пусть $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ будет золотым сечением. 12 точек, заданных формулой $(0, ± 1, ± ϕ) {\ displaystyle (0, \ pm 1, \ pm \ phi)}$ ${\ displaystyle (0, \ pm 1, \ pm \ phi)}$ , и циклические перестановки этих координат являются вершинами правильный икосаэдр. Его двойственный правильный додекаэдр, ребра которого пересекаются с ребрами икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин точки $(± 1, ± 1, ± 1) {\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$ $(\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)$ вместе с точками $(± ϕ, ± 1 / ϕ, 0) {\ displaystyle (\ pm \ phi, \ pm 1 / \ phi, 0)}$ ${\ displaystyle (\ pm \ phi, \ pm 1 / \ phi, 0)}$ и циклические перестановки этих координат. Умножение всех координат икосахаэдра на коэффициент $(3 ϕ + 12) / 19 ≈ 0,887 057 998 22 {\ displaystyle (3 \ phi +12) / 19 \ приблизительно 0,887 \, 057 \, 998 \, 22 }$ ${\ displaystyle (3 \ phi +12) / 19 \ приблизительно 0,887 \, 057 \, 998 \, 22}$ дает икосаэдр немного меньшего размера. 12 вершин этого икосаэдра вместе с вершинами додекаэдра являются вершинами додекаэдра пентакис с центром в начале координат. Длина его длинных краев равна $2 / ϕ {\ displaystyle 2 / \ phi}$ ${\ displaystyle 2 / \ phi}$ . Его грани представляют собой острые равнобедренные треугольники с одним углом $arccos ⁡ ((- 8 + 9 ϕ) / 18) ≈ 68,618 720 931 19 ∘ {\ displaystyle \ arccos ((- 8 + 9 \ phi) / 18) \ приблизительно 68.618 \, 720 \, 931 \, 19 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ arccos ((- 8 + 9 \ phi) / 18) \ приблизительно 68.618 \, 720 \, 931 \, 19 ^ {\ circ}}$ и два из $arccos ⁡ ((5 - ϕ) / 6) ≈ 55.690 639 534 41 ∘ {\ displaystyle \ arccos ((5- \ phi) / 6) \ приблизительно 55.690 \, 639 \, 534 \, 41 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ arccos ((5- \ phi) / 6) \ приблизительно 55.690 \, 639 \, 534 \, 41 ^ {\ circ}}$ . Отношение длин длинных и коротких краев этих треугольников равно $(5 - ϕ) / 3 ≈ 1,127 322 003 75 {\ displaystyle (5- \ phi) / 3 \ приблизительно 1,127 \, 322 \, 003 \, 75}$ ${\ displaystyle (5- \ phi) / 3 \ приблизительно 1.127 \, 322 \, 003 \, 75}$ .

Химия

. Додекаэдр пентакиса в модели бакминстерфуллерена : каждый сегмент поверхности представляет собой атом углерода . Эквивалентно усеченный икосаэдр - это модель бакминстерфуллерена, в которой каждая вершина представляет атом углерода.

Биология

Додекаэдр пентакис также является моделью некоторых икосаэдрически симметричных вирусов, таких как аденоассоциированный вирус. У них есть 60 связанных с симметрией капсидных белков, которые в совокупности образуют 60 симметричных граней додекаэдра пентакиса.

Ортогональные проекции

Додекаэдр пентакис имеет три положения симметрии, два на вершинах и одно на грани:

Ортогональные проекции
Проективная. симметрия	[2]	[6]	[10]
Изображение
Двойное. изображение

Родственные многогранники

Сферический додекаэдр пентакис

Семейство однородные икосаэдрические многогранники
Симметрия : [5,3], (* 532)							[5,3], (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5, 3}	sr {5,3}
Двойник к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3. 3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

* мутация симметрии n32 усеченных плиток: n.6.6 [ v ]
Sym.. * n42. [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Parac.	Некомпактный гиперболический
Sym.. * n42. [n, 3]	* 232. [2,3]	* 332. [3,3]	* 432. [4, 3]	* 532. [5,3]	* 632. [6,3]	* 732. [7,3 ]	* 832. [8,3]...	* ∞32. [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Усеченные. цифры
Конфигурация	2.6.6	3.6.6	4.6. 6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis. цифры
Конфиг.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Культурные ссылки

Структура Spaceship Earth в Walt Disney World Epcot является производным от додекаэдра пентакиса.
Модель художественной мастерской в кампусе, разработанная Джеффри Линдси, на самом деле представляла собой полусферический додекаэдр пентакис https://books.google.com/books?id=JD8EAAAAMBAJpg=PA92dq=jeffrey+lind say hl = en ei = oF88Tv25F7OisQLGwbwt sa = X oi = book_result ct = result redir_esc = y # v = onepage q = jeffrey% 20lindsay f = false
Форма «Хрустального купола», используемого в популярном игровом телешоу <33222>The Crystal. был основан на додекаэдре пентакис.
В Doctor Atomic первая атомная бомба, взорванная в Нью-Мексико, имела форму додекаэдра пентакиса. [1 ]
В Де Блоб 2 в тюремном зоопарке купола состоят из частей додекаэдра Пентакиса. Эти купола также появляются всякий раз, когда игрок трансформируется на куполе на уровне Hypno Ray.
Некоторые геодомы, в которых играют люди, - это додекаэдры Пентакиса.

Ссылки

Роберт Уильямс (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Селларс, Питер (2005). «Докторское атомное либретто». Boosey Hawkes. Мы окружаем плутониевое ядро из тридцати двух точек, расположенных на равных расстояниях по его поверхности, тридцать две точки - это центры двадцати треугольных граней икосаэдра, переплетенных с двенадцатью пятиугольными гранями додекаэдра.
Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208.(Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, стр. 18, пентакисдодекаэдр)
Симметрии Things 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] ) в MathWorld.
Додекаэдр Пентакиса - Модель интерактивного многогранника