Войти
| Усеченный икосаэдр | |
|---|---|
 . (Щелкните здесь для вращения модели) | |
| Тип | Архимедово твердое тело. Однородный многогранник |
| Элементы | F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2) |
| Грани по сторонам | 12 {5} +20 {6} |
| Обозначение Конвея | tI |
| символы Шлефли | t {3,5} |
| t0,1 {3,5} | |
| символ Wythoff | 2 5 | 3 |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Группа симметрии | Ih, H 3, [5,3], (* 532), порядок 120 |
| Группа вращения | I, [5,3 ], (532), порядок 60 |
| Двугранный угол | 6-6: 138,189685 °. 6-5: 142,62 ° |
| Ссылки | U 25, C 27, W 9 |
| Свойства | Полурегулярный выпуклый |
 . Цветные грани |  . 5.6.6. (Вершинная фигура ) |
 . Додекаэдр Пентакиса. (двойной многогранник ) |  . Сеть |
3D-модель усеченного икосаэдра В геометрии, усеченный икосаэдр является архимедовым телом, одним из 13 выпуклых изогональных непризматических тел, 32 граней которых - два или более типа правильных многоугольников.
Он имеет 12 правильных пятиугольных граней, 20 правильных шестиугольных граней, 60 вершин и 90 ребер.
Это многогранник Гольдберга GPV(1,1) или {5 +, 3} 1,1, содержащий пятиугольные и шестиугольные грани.
Эта геометрия ассоциируется с футбольными мячами (футбольными мячами), обычно с рисунком из белых шестиугольников и черного цвета. ntagons. Геодезические купола, такие как те, чья архитектура Бакминстер Фуллер был пионером, часто основаны на этой структуре. Это также соответствует геометрии молекулы фуллерена C60 («бакибола»).
Используется в переходной ячейке гиперболической тесселяции, заполняющей пространство, додекаэдрической соте с усеченным битом 5.
Икосаэдр Этот многогранник может быть построен из икосаэдр с 12 вершинами усеченными (обрезанными), так что по одной трети каждого ребра обрезано с каждого из концов. Это создает 12 новых граней пятиугольника, а исходные 20 граней треугольника остаются правильными шестиугольниками. Таким образом, длина ребер составляет одну треть от длины исходных ребер.
В Геометрия и Теория графов существует несколько стандартных характеристики многогранника.
декартовы координаты для вершин усеченного икосаэдра с центром в начале координат все четные перестановки из:
где φ = 1 + √ 5/2 - это золотая середина. Радиус описанной окружности равен √9φ + 10 ≈ 4,956, а длина ребер равна 2.
Усеченный икосаэдр имеет пять специальных ортогональных проекций, центрированных по центру, на вершине., на двух типах граней и двух типах граней: шестиугольной и пятиугольной. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера A 2 и H 2.
| , центрированные по | вершине | Edge. 5- 6 | Грань. 6-6 | Грань. Шестиугольник | Грань. Пятиугольник |
|---|---|---|---|---|---|
| Сплошной |  |  |  | ||
| Каркас |  |  |  |  |  |
| Проекция. симметрия | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Двойная |  |  |  |  |  |
Усеченный икосаэдр также может быть представлен в виде сферической мозаики и спроецирован на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция конформна, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проектируются как дуги окружности на плоскость.
 |  . пятиугольник центрированный |  . шестиугольник центрированный |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | |
|---|---|---|
Взаимно ортогональные золотые прямоугольники, нарисованные в исходном икосаэдре (до обрезки) Если длина ребра усеченного икосаэдра равна a, радиус описанной сферы (той, которая касается усеченного икосаэдра во всех вершинах):
, где φ - золотое сечение.
Этот результат легко получить, используя один из трех ортогональных золотых прямоугольников, нарисованных в исходном икосаэдре (перед обрезкой), в качестве отправной точки для наших размышлений. Угол между сегментами, соединяющими центр, и вершинами, соединенными общим ребром (рассчитанный на основе этой конструкции), составляет примерно 23,281446 °.
Площадь A и объем V усеченного икосаэдра с длиной ребра a равны:
С единичными краями площадь поверхности (округленная) 21 для пятиугольника и 52 для шестиугольника, вместе 73 (см. области правильных многоугольников ).
Усеченный икосаэдр легко демонстрирует характеристику Эйлера :
Мячи, используемые в ассоциативном футболе и командный гандбол, пожалуй, самый известный пример сферического многогранника, аналога усеченного икосаэдра, встречающегося в повседневной жизни. Мяч состоит из правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, но он более сферический из-за давления воздуха внутри и эластичности шара. Этот тип мяча был представлен на чемпионате мира 1970 (начиная с 2006 этот знаковый дизайн был заменен альтернативными рисунками ).
Геодезические купола обычно основаны на треугольных гранях этой геометрии с примерами структур, обнаруженных по всему миру, популяризированных Бакминстером Фуллером.
Вариант икосаэдра был использован в качестве основы сотовых колес ( изготовлены из поликарбоната), используемого Pontiac Motor Division в период с 1971 по 1976 год на его Trans Am и Grand Prix.
. Эта форма также была конфигурацией линз используется для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как в гаджете, так и в Fat Man атомных бомбах.
Усеченный икосаэдр также может быть описан как модель Бакминстерфуллерен (фуллерен) (C 60), или «бакиболл», молекула - аллотроп элементарного углерода, обнаруженный в 1985 году. Диаметр футбольного мяча и молекулы фуллерена имеют размер 22 см и около 0,71 нм, соответственно, следовательно, соотношение размеров составляет ≈31000000: 1.
В культуре народных ремесел большие шары можно сделать, используя узор икосаэдра и пластиковые, пенополистирольные или бумажные стаканчики.
Усеченный икосаэдр (слева) в сравнении с футбольным мячом.
Усеченный икосаэдр обтекатель на метеостанции
Усеченный икосаэдр, изготовленный из алюминия 6061-T6
Деревянный усеченный икосаэдр, рисунок Джорджа У. Харта.
| Семейство однородных икосаэдров многогранники | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия : [5,3], (* 532) | [5,3], (532) | ||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |
| | | | | | |  |
| {5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3 } | sr {5,3} |
| Двойные к однородным многогранникам | |||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3. 3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
* мутация симметрии n32 усеченных плиток: n.6.6 [
| ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sym.. * n42. [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактный | Парац. | Некомпактный гиперболический | |||||||
| * 232. [2,3] | * 332. [3,3] | * 432. [4, 3] | * 532. [5,3] | * 632. [6,3] | * 732. [7,3 ] | * 832. [8,3]... | * ∞32. [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
| Усеченные. цифры |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |
| Конфигурация | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6. 6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
| n-kis. цифры |  |  |  |  |  |  |  |  | ||||
| Конфиг. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 | |
Эти однородные звездчатые многогранники и одна икосаэдрическая звездчатая структура имеют неоднородные усеченные икосаэдры выпуклые оболочки :
| Однородные звездные многогранники с усеченными выпуклыми оболочками икосаэдров | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
| Усеченный граф икосаэдра | |
|---|---|
 6-кратная симметрия диаграмма Шлегеля | |
| Вершины | 60 |
| Ребра | 90 |
| Автоморфизмы | 120 |
| Хроматическое число | 3 |
| Свойства | Кубический, Гамильтониан, регулярный, нуль-симметричный |
| Таблица графиков и параметров | |
В математическое поле теории графов , усеченный граф икосаэдра - это граф вершин и ребер усеченного икосаэдра, одного из архимедов твердые тела. Он имеет 60 вершин и 90 ребер и является кубическим архимедовым графом.
 . 5-кратная симметрия |  . 5-кратная диаграмма Шлегеля |
Изображение усеченного икосаэдра Пьеро делла Франческа из его книги De quinque corporibus regularibus Усеченный икосаэдр был известен Архимеду, который классифицировал 13 Архимедовы тела в утерянном произведении. Все, что мы знаем о его работе над этими формами, исходит от Паппа Александрийского, который просто перечисляет количество граней для каждой: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников в случае усеченного икосаэдра. Первое известное изображение и полное описание усеченного икосаэдра произошло от повторного открытия Пьеро делла Франческа в его книге XV века De quinque corporibus regularibus, которая включала пять архимедовых тел. (пять усечений правильных многогранников). Такая же форма была изображена Леонардо да Винчи в его иллюстрациях к плагиату Луки Пачоли книги делла Франческа в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер опускал эту форму. от других архимедовых тел, перечисленных в его книге 1525 года о многогранниках Underweysung der Messung, его описание было найдено в его посмертных статьях, опубликованных в 1538 году. Иоганн Кеплер позже заново открыл полный список 13 архимедовых тел, включая усеченный икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года Harmonices Mundi.
 | Найдите усеченный икосаэдр в Викисловаре, бесплатном словаре. |
. Неоднородные. усеченные икосаэдры. 2 5 | 3
. 
. 
. 
. 
. 
. Неоднородный. усеченный икосаэдр. 2 5 | 3
. 
. 
. 
. Неоднородный. усеченный икосаэдр. 2 5 | 3
. 