Усеченный икосододекаэдр

Усеченный икосододекаэдр
. (Щелкните здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело. Равномерный многогранник
Элементы	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Лица по сторонам	30 {4} +20 {6} +12 {10}
Обозначение Конвея	bD или taD
символы Шлефли	tr {5,3} или $t\; \{5\; 3\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 5\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\}$
	t0,1,2 {5, 3}
символ Wythoff	2 3 5 |
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Ih, H 3, [5,3], (* 532), порядок 120
Группа вращения	I, [5,3], (532), порядок 60
Двугранный угол	6-10: 142,62 °. 4-10: 148,28 °. 4-6: 159,095 °
Ссылки	U 28, C 31, W 16
Свойства	Полуправильный выпуклый зоноэдр
. Цветные грани	. 4.6.10. (Вершинная фигура )
. Триаконтаэдр Дисдякиса. (двугранный многогранник )	. Сеть

В геометрии, усеченный икосододекаэдр является архимедовым телом, одним из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел, построенных двумя или более типами правильного многоугольника граней.

Он имеет 62 грани: 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников У него больше всего ребер и вершин среди всех Платоновых и Архимедовых тел, хотя у курносый додекаэдр больше граней. Из всех вершинно-транзитивных многогранников он занимает наибольший процент (89,80%) от объема тела. сфера, в которой это я описанный, очень узко превосходящий курносый додекаэдр (89,63%) и малый ромбикосододекаэдр (89,23%), и менее узко превосходящий усеченный икосаэдр (86,74%); он также имеет наибольший объем (206,8 кубических единиц), когда длина его ребра равна 1. Из всех вершинно-транзитивных многогранников, не являющихся призмами или антипризмами, он имеет наибольшую сумму углов (90 + 120 + 144 = 354 градуса). в каждой вершине; только призма или антипризма с более чем 60 сторонами будет иметь большую сумму. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию (эквивалентно 180 ° вращательной симметрии), усеченный икосододекаэдр представляет собой зоноэдр.

• 1 Имена
• 2 Площадь и объем
• 3 Декартовы координаты
• 4 Рассечение
• 5 Ортогональные проекции
• 6 Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля
• 7 Геометрические вариации
• 8 Усеченный икосододекаэдрический граф
• 9 Связанные многогранники и мозаики
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Название усеченный икосододекаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, вводит в заблуждение. Фактическое усечение из икосододекаэдра имеет прямоугольников вместо квадратов. Этот неоднородный многогранник топологически эквивалентен архимедову твердому телу. Альтернативные взаимозаменяемые имена: Усеченный икосододекаэдр (Иоганн Кеплер ) Ромбитусеченный икосододекаэдр (Магнус Веннингер ) Большой ромбоикосододекаэдр (Роберт Питер Вильямс ) Омноусеченный додекаэдр или икосаэдр (Норман Джонсон )

Икосододекаэдр и его усечение

Название большой ромбикосододекаэдр указывает на связь с (маленьким) ромбоикосододекаэдром (сравните раздел Dissection).. Существует невыпуклый однородный многогранник с аналогичным названием, невыпуклый большой ромбикосододекаэдр.

Поверхность площадь A и объем V усеченного икосододекаэдра с длиной ребра a равны:

$A\; =\; 30\; (1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 2\; 5)\; a\; 2\; \approx \; 174,292\; 0303\; a\; 2.\; V\; =\; (95\; +\; 50\; 5)\; a\; 3\; \approx \; 206.803\; 399\; a\; 3.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; 30\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; 174.292\; \backslash ,\; 0303a\; ^\; \{2\}.\; \backslash \backslash \; V\; =\; \backslash \; left\; (95\; +\; 50\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\; \}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; приблизительно\; 206.803\; \backslash ,\; 399a\; ^\; \{3\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Если набор из всех 13 архимедовых тел был построен со всеми ребрами равной длины, усеченный икосододекаэдр будет самым большим.

Декартовы координаты для вершин усеченного икосододекаэдра с длиной ребра 2φ - 2 с центром в начале координат, все четные перестановки из:

(± 1 / φ, ± 1 / φ, ± (3 + φ)),

(± 2 / φ, ± φ, ± (1 + 2φ)),

( ± 1 / φ, ± φ, ± (−1 + 3φ)),

(± (2φ - 1), ± 2, ± (2 + φ)) и

(± φ, ± 3, ± 2φ),

где φ = 1 + √5 / 2 - золотое сечение .

Усеченный икосододекаэдр - это выпуклая оболочка ромбикосододекаэдра с кубоидами над его 30 квадратами, отношение высоты которых к основанию составляет φ. Остальную часть его пространства можно разделить на неоднородные купола, а именно 12 между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами и 20 между внутренними треугольниками и внешними шестиугольниками.

Альтернативное рассечение также имеет ромбикосидодекаэдрическое ядро. Он имеет 12 пятиугольных ротондов между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами. Оставшаяся часть представляет собой тороидальный многогранник.

изображения сечения
На этих изображениях показаны ромбикосододекаэдр (фиолетовый) и усеченный икосододекаэдр (зеленый). Если длина их ребер равна 1, расстояние между соответствующими квадратами равно φ. Тороидальный многогранник, оставшийся после вырезания ядра и двенадцати ротондов

Усеченный икосододекаэдр имеет семь специальных ортогональных проекции с центром в вершине, на трех типах ребер и трех типах граней: квадратные, шестиугольные и десятиугольные. Последние две соответствуют плоскостям Кокстера A 2 и H 2.

Ортогональные проекции

с центром по	вершине	Edge. 4- 6	Кромка. 4-10	Кромка. 6-10	Грань. квадрат	Грань. шестиугольник	Грань. десятиугольник
Сплошной
Каркас
Проективная. симметрия	[2 ]	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойное изображение.

Усеченный икосододекаэдр также может быть представлен в виде сферической мозаики и спроецирован на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция конформна, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проектируются как дуги окружности на плоскость.

Диаграммы Шлегеля аналогичны, с перспективной проекцией и прямыми краями.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Десятиугольник с центром	Шестиугольник с центром	Квадрат с центром

Внутри Икосаэдрическая симметрия существует неограниченное количество геометрических вариаций усеченного икосододекаэдра с изогональными гранями. усеченный додекаэдр, ромбикосододекаэдр и усеченный икосаэдр как вырожденные предельные случаи.

Усеченный икосододекаэдрический граф
5-кратная симметрия
Вершины	120
Ребра	180
Радиус	15
Диаметр	15
Обхват	4
Автоморфизмы	120 (A 5 × 2)
Хроматическое число	2
Свойства	Кубический, Гамильтониан, правильный, нуль-симметричный
Таблица графиков и параметров

В математическом поле теории графов усеченный икосододекаэдрический граф (или большой ромбикосододекаэдр ) - это граф вершин и ребер усеченного икосододекаэдра, одного из архимедовых тел. Он имеет 120 вершин и 180 ребер и представляет собой нуль-симметричный и кубический граф Архимеда.

диаграмму Шлегеля графы

. 3-кратная симметрия

. 2-кратная симметрия

икосаэдр Боути и додекаэдр содержат две трапециевидные грани вместо квадрата.

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3], (* 532)							[5,3], (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5, 3}
Двойные к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных паттернов с вершинной фигурой (4.6.2p) и диаграммой Кокстера-Дынкина . Для p < 6, the members of the sequence are усеченные многогранники (зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p>6 они являются мозаиками гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия.

* n32 мутации симметрии всесторонне усеченных мозаик: 4.6.2n [ v ]
Sym.. * n32. [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Парако.	Некомпактный гиперболический
	* 232. [2,3]	* 332. [3,3]	* 432. [4, 3]	* 532. [5,3]	* 632. [6,3]	* 732. [7,3 ]	* 832. [8,3]	* ∞32. [∞, 3]	. [12i, 3]	. [9i, 3]	. [6i, 3]	. [3i, 3]
Рисунки
Конфигурация	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойные
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4. 6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

• Веннингер, Магнус (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493
• Кромвель, П. (1997). Многогранники. Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела. ISBN 0-521-55432-2.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
• Cromwell, P.; Многогранники, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Эрик В. Вайсштейн, Большой ромбикосододекаэдр (архимедово твердое тело ) в MathWorld.
• Клицинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x5x - сетка».

• Вайсштейн, Эрик У. «Большой ромбоикосододекаэдр». MathWorld.
• * Вайсштейн, Эрик У. «Большой ромбикосододекаэдрический граф». MathWorld.
• Редактируемая печатная сеть усеченного икосододекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников