Ромбикосододекаэдр

редактировать
Ромбикосододекаэдр
Ромбоикосододекаэдр.jpg (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам 20 {3} +30 {4} +12 {5}
Обозначение Конвея eD или aaD
Символы Шлефли rr {5,3} или р { 5 3 } {\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}
т 0,2 {5,3}
Символ Wythoff 3 5 | 2
Диаграмма Кокстера CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Группа симметрии I h, H 3, [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения I, [5,3] +, (532), порядок 60
Двугранный угол 3-4: 159 ° 05′41 ″ (159,09 °) 4-5: 148 ° 16′57 ″ (148,28 °)
использованная литература U 27, C 30, W 14
Характеристики Полурегулярно выпуклый
Многогранник малые ромбы 12-20 max.png Цветные лица Многогранник ромбик малый 12-20 vertfig.svg 3.4.5.4 ( фигура вершины )
Многогранник small rhombi 12-20 dual max.png Дельтоидальный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник ) Многогранник ромбик малый 12-20 net.svg Сеть

В геометрии, то ромбоикосододекаэдр, является архимедовой твердым веществом, один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых частиц, построенных из двух или более типов правильных многоугольника граней.

У него 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Имена
  • 2 Размеры
  • 3 Геометрические отношения
  • 4 декартовы координаты
  • 5 Ортогональные проекции
  • 6 Сферическая черепица
  • 7 Родственные многогранники
    • 7.1 Мутации симметрии
    • 7.2 твердые тела Джонсона
    • 7.3 Расположение вершин
  • 8 Ромбикосододекаэдрический граф
  • 9 См. Также
  • 10 заметок
  • 11 Источники
  • 12 Внешние ссылки

Имена

Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбикосододекаэдром, сокращенно от усеченного икосододекаэдрического ромба, причем икосододекаэдрический ромб был его именем для ромбического триаконтаэдра. Существуют различные усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбикосододекаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойного икосододекаэдра (справа), которое является ядром двойного соединения..

Его также можно назвать расширенным или наклонным додекаэдром или икосаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике.

Габаритные размеры

Для ромбикосододекаэдра с длиной ребра a его площадь поверхности и объем равны:

А знак равно ( 30 + 5 3 + 3 25 + 10 5 ) а 2 59,305 982 844 9 а 2 V знак равно 60 + 29 5 3 а 3 41,615 323 782 5 а 3 {\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = \ left (30 + 5 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \ right) a ^ {2} amp;amp; \ приблизительно 59,305 \, 982 \, 844 \, 9a ^ {2} \\ V amp; = {\ frac {60 + 29 {\ sqrt {5}}} {3}} a ^ {3} amp;amp; \ приблизительно 41,615 \, 323 \, 782 \, 5a ^ {3} \ end {align}}}

Геометрические отношения

Если развернуть в икосаэдр, перемещая лицо от происхождения нужного количества, не изменяя ориентацию или размер граней, и сделать то же самое с его двойным додекаэдром и исправляют квадратные отверстия в результате вы получите ромбоикосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, что и икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как додекаэдр, с квадратом на каждом краю каждого из них.

В качестве альтернативы, если вы расширяете каждый из пяти кубов, перемещая грани от начала координат на нужную величину и вращая каждый из пяти на 72 ° вокруг, чтобы они были равноудалены друг от друга, без изменения ориентации или размера граней, и исправляете пятиугольные и треугольные отверстия, в результате получается ромбикосододекаэдр. Следовательно, в нем столько же квадратов, сколько в пяти кубиках.

Две групп граней bilunabirotunda, что двуугольники (каждая луночка с участием двух треугольников, смежных с противоположными сторонами одного квадрата), могут быть приведена в соответствие с конгруэнтным пластырем граней на ромбоикосододекаэдре. Если две двунабиротонды выровнены таким образом на противоположных сторонах ромбикосододекаэдра, то между двунабиротондами в самом центре ромбикосододекаэдра может быть помещен куб.

Ромбикосододекаэдр разделяет расположение вершин с маленьким звездчатым усеченным додекаэдром и с однородными соединениями шести или двенадцати пентаграммических призм.

В наборах Zometool для изготовления геодезических куполов и других многогранников в качестве соединителей используются шарики с прорезями. Шары представляют собой «расширенные» ромбикосододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано таким образом, чтобы получившиеся прямоугольники были прямоугольниками золотистого цвета.

Двенадцать из 92 твердых частиц Джонсона являются производными от ромбоикосододекаэдра, четыре из них путем поворота одного или более пятиугольной cupolae : в вращаться, parabigyrate, metabigyrate, и trigyrate ромбоикосододекаэдр. Еще восемь можно построить, удалив до трех куполов, иногда также вращая один или несколько других куполов.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин ромбикосододекаэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат являются четными перестановками :

(± 1, ± 1, ± φ 3),
(± φ 2, ± φ, ± 2 φ),
(± (2+ φ), 0, ± φ 2),

где φ  = 1 + √ 5/2это золотое сечение. Следовательно, описанный радиус этого ромбикосододекаэдра равен общему расстоянию между этими точками от начала координат, а именно √ φ 6 +2 = √ 8φ + 7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R необходимо уменьшить вдвое, что дает

R =√ 8 φ +7/2 знак равно √ 11 + 4 √ 5/2 ≈ 2,233.

Ортогональные проекции

Ортогональные проекции в геометрии (1543) Августина Хиршфогеля

Ромбоикосододекаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций, по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольники, квадраты и пятиугольники. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А 2 и Н 2.

Ортогональные проекции
В центре Вершина Край 3-4 Край 5-4 Лицо Квадрат Лицо Треугольник Лицо Пентагона
Твердый Многогранник маленькие ромбы 12-20 из синего max.png Многогранник маленькие ромбы 12-20 из желтого max.png Многогранник маленькие ромбы 12-20 из красного макс.png
Каркас Додекаэдр t02 v.png Додекаэдр t02 e34.png Додекаэдр t02 e45.png Додекаэдр t02 f4.png Додекаэдр t02 A2.png Додекаэдр t02 H3.png
Проективная симметрия [2] [2] [2] [2] [6] [10]
Двойное изображение Двойной додекаэдр t02 v.png Двойной додекаэдр t02 e34.png Двойной додекаэдр t02 e45.png Двойной додекаэдр t02 f4.png Двойной додекаэдр t02 A2.png Двойной додекаэдр t02 H3.png

Сферическая черепица

Ромбикосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию. Эта проекция является конформной, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Равномерная черепица 532-t02.png Стереографическая проекция ромбикосододекаэдра pentagon'.png В центре Пентагона Стереографическая проекция ромбикосододекаэдра треугольник.png Треугольник по центру Стереографическая проекция ромбикосододекаэдра square.png По центру квадрата
Ортографическая проекция Стереографические проекции

Связанные многогранники

Расширение либо из додекаэдра или икосаэдра создает ромбоикосододекаэдр. Вариант с золотыми прямоугольниками используется в качестве вершинного элемента конструктора Zometool.
Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3], (* 532) [5,3] +, (532)
Равномерный многогранник-53-t0.svg Однородный многогранник-53-t01.svg Однородный многогранник-53-t1.svg Однородный многогранник-53-t12.svg Равномерный многогранник-53-t2.svg Однородный многогранник-53-t02.png Однородный многогранник-53-t012.png Однородный многогранник-53-s012.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel 5.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png
{5,3} т {5,3} г {5,3} т {3,5} {3,5} рр {5,3} tr {5,3} ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
Икосаэдр.jpg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Додекаэдр.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Пентагональный гексеконтаэдрccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Мутации симметрии

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4), которая продолжается как мозаики гиперболической плоскости. Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n32) отражательной симметрией.

* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4
Симметрия * n 32 [n, 3] Сферический Евклид. Компактная гиперболия. Paracomp.
* 232 [2,3] * 332 [3,3] * 432 [4,3] * 532 [5,3] * 632 [6,3] * 732 [7,3] * 832 [8,3]... * ∞32 [∞, 3]
Фигура Сферическая треугольная призма.png Равномерная черепица 332-t02.png Равномерная черепица 432-t02.png Равномерная черепица 532-t02.png Однородный многогранник-63-t02.png Ромбитригептагональная плитка.svg H2-8-3-cantellated.svg H2 мозаика 23i-5.png
Конфиг. 3.4.2.4 3.4.3.4 3.4.4.4 3.4.5.4 3.4.6.4 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4

Твердые тела Джонсона

Есть 13 связанных тел Джонсона, 5 - по убыванию и 8 - включая вращения:

Уменьшено
J5 Пятиугольный купол.png 76 Уменьшенный ромбикосододекаэдр.png 80 Парабидоусиленный ромбоикосододекаэдр.png 81 год Метабидоуменьшенный ромбикосододекаэдр.png 83 Треугольник ромбикосододекаэдр.png
Гирированный и / или уменьшенный
72 Гират ромбикосододекаэдр.png 73 Парабигират ромбикосододекаэдр.png 74 Метабигиратный ромбикосододекаэдр.png 75 Тригиратный ромбикосододекаэдр.png
77 Парагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр.png 78 Метагират уменьшенный ромбикосододекаэдр.png 79 Бигират уменьшенный ромбикосододекаэдр.png 82 Гират двумерный ромбикосододекаэдр.png

Расположение вершин

Ромбоикосододекаэдр акции его вершина расположение с тремя невынуклыми равномерными многогранниками : малые звездчатый усеченным додекаэдром, то небольшое dodecicosidodecahedron (имеющий треугольные и пятиугольные грани общее,), а также небольшие rhombidodecahedron (имеющих квадратные лица объединяют).

Он также разделяет его расположение вершин с однородными соединениями из шести или двенадцати pentagrammic призм.

Маленький ромбоикосододекаэдр.png Ромбикосододекаэдр Малый додецикозододекаэдр.png Малый додецикосододекаэдр Маленький ромбидодекаэдр.png Малый ромбидодекаэдр
Малый звездчатый усеченный додекаэдр.png Малый звездчатый усеченный додекаэдр UC36-6 pentagrammic prisms.png Соединение шести пентаграммических призм UC37-12 pentagrammic prisms.png Соединение двенадцати пентаграммических призм

Ромбикосододекаэдрический граф

Ромбикосододекаэдрический граф
Ромбикосододекаэдрический граф.png Диаграмма Шлегеля в центре Пентагона
Вершины 60
Края 120
Автоморфизмы 120
Характеристики Граф четвертого порядка, гамильтониан, регулярный
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов, A rhombicosidodecahedral график является графиком вершин и ребер из ромбоикосододекаэдра, один из Архимеда твердых веществ. Он имеет 60 вершин и 120 ребер и является архимедовым графом квартики.

Диаграмма Шлегеля с квадратом в центре

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. ISBN Dover Publications, Inc.   0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
  • Кромвель, П. (1997). Многогранники. Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела. ISBN   0-521-55432-2.
  • Теория Большого Взрыва серии 8 Эпизод 2 - Младший профессор Решение: особенности этого твердого вещества в ответ на викторину экспромтом науки основные четыре символа есть в квартире Леонард и Шелдона, а также показан в Чак Лорри «s Косметическое Card # 461 на конец этого эпизода.

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-29 07:28:31
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте