Ромбикосододекаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
Элементы | F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 20 {3} +30 {4} +12 {5} |
Обозначение Конвея | eD или aaD |
Символы Шлефли | rr {5,3} или |
т 0,2 {5,3} | |
Символ Wythoff | 3 5 | 2 |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | I h, H 3, [5,3], (* 532), заказ 120 |
Группа вращения | I, [5,3] +, (532), порядок 60 |
Двугранный угол | 3-4: 159 ° 05′41 ″ (159,09 °) 4-5: 148 ° 16′57 ″ (148,28 °) |
использованная литература | U 27, C 30, W 14 |
Характеристики | Полурегулярно выпуклый |
Цветные лица | 3.4.5.4 ( фигура вершины ) |
Дельтоидальный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник ) | Сеть |
В геометрии, то ромбоикосододекаэдр, является архимедовой твердым веществом, один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых частиц, построенных из двух или более типов правильных многоугольника граней.
У него 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер.
Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбикосододекаэдром, сокращенно от усеченного икосододекаэдрического ромба, причем икосододекаэдрический ромб был его именем для ромбического триаконтаэдра. Существуют различные усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбикосододекаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойного икосододекаэдра (справа), которое является ядром двойного соединения..
Его также можно назвать расширенным или наклонным додекаэдром или икосаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике.
Для ромбикосододекаэдра с длиной ребра a его площадь поверхности и объем равны:
Если развернуть в икосаэдр, перемещая лицо от происхождения нужного количества, не изменяя ориентацию или размер граней, и сделать то же самое с его двойным додекаэдром и исправляют квадратные отверстия в результате вы получите ромбоикосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, что и икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как додекаэдр, с квадратом на каждом краю каждого из них.
В качестве альтернативы, если вы расширяете каждый из пяти кубов, перемещая грани от начала координат на нужную величину и вращая каждый из пяти на 72 ° вокруг, чтобы они были равноудалены друг от друга, без изменения ориентации или размера граней, и исправляете пятиугольные и треугольные отверстия, в результате получается ромбикосододекаэдр. Следовательно, в нем столько же квадратов, сколько в пяти кубиках.
Две групп граней bilunabirotunda, что двуугольники (каждая луночка с участием двух треугольников, смежных с противоположными сторонами одного квадрата), могут быть приведена в соответствие с конгруэнтным пластырем граней на ромбоикосододекаэдре. Если две двунабиротонды выровнены таким образом на противоположных сторонах ромбикосододекаэдра, то между двунабиротондами в самом центре ромбикосододекаэдра может быть помещен куб.
Ромбикосододекаэдр разделяет расположение вершин с маленьким звездчатым усеченным додекаэдром и с однородными соединениями шести или двенадцати пентаграммических призм.
В наборах Zometool для изготовления геодезических куполов и других многогранников в качестве соединителей используются шарики с прорезями. Шары представляют собой «расширенные» ромбикосододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано таким образом, чтобы получившиеся прямоугольники были прямоугольниками золотистого цвета.
Двенадцать из 92 твердых частиц Джонсона являются производными от ромбоикосододекаэдра, четыре из них путем поворота одного или более пятиугольной cupolae : в вращаться, parabigyrate, metabigyrate, и trigyrate ромбоикосододекаэдр. Еще восемь можно построить, удалив до трех куполов, иногда также вращая один или несколько других куполов.
Декартовы координаты вершин ромбикосододекаэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат являются четными перестановками :
где φ = 1 + √ 5/2это золотое сечение. Следовательно, описанный радиус этого ромбикосододекаэдра равен общему расстоянию между этими точками от начала координат, а именно √ φ 6 +2 = √ 8φ + 7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R необходимо уменьшить вдвое, что дает
Ромбоикосододекаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций, по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольники, квадраты и пятиугольники. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А 2 и Н 2.
В центре | Вершина | Край 3-4 | Край 5-4 | Лицо Квадрат | Лицо Треугольник | Лицо Пентагона |
---|---|---|---|---|---|---|
Твердый | ||||||
Каркас | ||||||
Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
Двойное изображение |
Ромбикосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию. Эта проекция является конформной, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
В центре Пентагона | Треугольник по центру | По центру квадрата | |
Ортографическая проекция | Стереографические проекции |
---|
Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [5,3], (* 532) | [5,3] +, (532) | ||||||
{5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
Двойники к однородным многогранникам | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4), которая продолжается как мозаики гиперболической плоскости. Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n32) отражательной симметрией.
* n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперболия. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3]... | * ∞32 [∞, 3] | |
Фигура | ||||||||
Конфиг. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Есть 13 связанных тел Джонсона, 5 - по убыванию и 8 - включая вращения:
J5 | 76 | 80 | 81 год | 83 |
72 | 73 | 74 | 75 |
77 | 78 | 79 | 82 |
Ромбоикосододекаэдр акции его вершина расположение с тремя невынуклыми равномерными многогранниками : малые звездчатый усеченным додекаэдром, то небольшое dodecicosidodecahedron (имеющий треугольные и пятиугольные грани общее,), а также небольшие rhombidodecahedron (имеющих квадратные лица объединяют).
Он также разделяет его расположение вершин с однородными соединениями из шести или двенадцати pentagrammic призм.
Ромбикосододекаэдр | Малый додецикосододекаэдр | Малый ромбидодекаэдр |
Малый звездчатый усеченный додекаэдр | Соединение шести пентаграммических призм | Соединение двенадцати пентаграммических призм |
Ромбикосододекаэдрический граф | |
---|---|
Диаграмма Шлегеля в центре Пентагона | |
Вершины | 60 |
Края | 120 |
Автоморфизмы | 120 |
Характеристики | Граф четвертого порядка, гамильтониан, регулярный |
Таблица графиков и параметров |
В математической области теории графов, A rhombicosidodecahedral график является графиком вершин и ребер из ромбоикосододекаэдра, один из Архимеда твердых веществ. Он имеет 60 вершин и 120 ребер и является архимедовым графом квартики.
Диаграмма Шлегеля с квадратом в центре