Дельтаэдр

Самый большой строго выпуклый дельтаэдр - правильный икосаэдр Это усеченный тетраэдр с шестиугольниками, разделенными на треугольники. Эта фигура является не строго выпуклым дельтаэдром, поскольку копланарные грани не допускаются в определении.

В геометрии дельтаэдр (множественное число дельтаэдры) - это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Название взято из греческого верхнего регистра дельта (Δ), имеющего форму равностороннего треугольника. Дельтаэдров бесконечно много, но из них только восемь выпуклые, имеющие 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней. Количество граней, ребер и вершин указано ниже для каждого из восьми выпуклых дельтаэдров.

• 1 Восемь выпуклых дельтаэдров
• 2 Нестрого выпуклые случаи
• 3 Невыпуклые формы
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Всего восемь строго выпуклых дельтаэдров: три - правильные многогранники, а пять - тела Джонсона.

Правильные дельтаэдры
Изображение	Имя	Грани	Ребра	Вершины	Конфигурации вершин	Группа симметрии
	тетраэдр	4	6	4	4 × 3	Td, [3,3]
	октаэдр	8	12	6	6 × 3	Oh, [4,3]
	икосаэдр	20	30	12	12 × 3	Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Изображение	Имя	Лица	Ребра	Вершины	Конфигурации вершин	Группа симметрии
	треугольная бипирамида	6	9	5	2 × 3. 3 × 3	D3h, [3,2]
	пятиугольная бипирамида	10	15	7	5 × 3. 2 × 3	D5h, [5,2]
	курносый дифеноид	12	18	8	4 × 3. 4 × 3	D2d, [2,2]
	трехгранная треугольная призма	14	21	9	3 × 3. 6 × 3	D3h, [3,2]
	гиродлинный квадрат бипирамида	16	24	10	2 × 3. 8 × 3	D4d, [4,2]

В шестигранном дельтаэдре некоторые вершины имеют степень 3 и некоторую степень 4. В 10-, 12-, 14- и 16-гранные дельтаэдры, некоторые вершины имеют степень 4 и некоторую степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат к классу тел Джонсона : выпуклые многогранники с правильными многоугольниками для граней..

Дельтаэдры сохраняют свою форму, даже если ребра могут свободно вращаться вокруг своих вершин, так что углы между ребрами являются плавными. Не все многогранники обладают этим свойством: например, если вы ослабите некоторые углы куба , куб можно деформировать в неправильный квадрат призму.

Нет 18- граненый выпуклый дельтаэдр. Однако икосаэдр со сжатием ребер дает пример октадекаэдра, который можно сделать выпуклым с 18 неправильными треугольными гранями или сделать из равносторонних треугольников, которые включают два компланарных набора из трех треугольников..

Существует бесконечно много случаев с копланарными треугольниками, что позволяет использовать сечения бесконечных треугольных мозаик. Если наборы копланарных треугольников считаются одной гранью, можно подсчитать меньший набор граней, ребер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть объединены в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольники. Каждая грань должна быть выпуклым многоугольником, таким как , , , , , , и ,...

Некоторые более мелкие примеры включают:

Копланарные дельтаэдры

Изображение	Имя	Грани	Ребра	Вершины	Конфигурации вершин	Группа симметрии
	Расширенный октаэдр. Увеличение. 1 tet + 1 oct	10	15	7	1 × 3. 3 × 3. 3 × 3. 0 × 3	C3v, [3]
		4 . 3	12
	Тригональный трапецоэдр. Увеличение. 2 тец + 1 окт.	12	18	8	2 × 3. 0 × 3. 6 × 3. 0 × 3	C3v, [3]
		6	12
	Увеличение. 2 тец + 1 окт.	12	18	8	2 × 3. 1 × 3. 4 × 3. 1 × 3	C2v, [2]
		2 . 2 . 2	11	7
	Треугольная усеченная вершина. Увеличение. 3 tets + 1 окт.	14	21	9	3 × 3. 0 × 3. 3 × 3. 3 × 3	C3v, [3]
		1 . 3 . 1	9	6
	Удлиненный октаэдр. Увеличение. 2 тета + 2 окта	16	24	10	0 × 3. 4 × 3. 4 × 3. 2 × 3	D2h, [2,2]
		4 . 4	12	6
	Тетраэдр. Аугментация. 4 тета + 1 окт	16	24	10	4 × 3. 0 × 3. 0 × 3. 6 × 3	Td, [3,3]
		4	6	4
	Увеличение. 3 tets + 2 окт	18	27	11	1 × 3. 2 × 3. 5 × 3. 3 × 3	D2h, [2,2]
		2 . 1 . 2 . 2	14	9
	Икосаэдр со сжатыми ребрами	18	27	11	0 × 3. 2 × 3. 8 × 3. 1 × 3	C2v, [2]
		12 . 2	22	10
	Треугольное двустворчатое дерево. Увеличение. 6 тец + 2 окта	20	30	12	0 × 3. 3 × 3. 6 × 3. 3 × 3	D3h, [3,2]
		2 . 6	15	9
	треугольный купол. Увеличение. 4 тца + 3 окта	22	33	13	0 × 3. 3 × 3. 6 × 3. 4 × 3	C3v, [3]
		3 . 3 . 1 . 1	15	9
	Треугольная бипирамида. Увеличение. 8 тетов + 2 окта	24	36	14	2 × 3. 3 × 3. 0 × 3. 9 × 3	D3h, [ 3]
		6	9	5
	Шестиугольная антипризма	24	36	14	0 × 3. 0 × 3. 12 × 3. 2 × 3	D6d, [12,2 ]
		12 . 2	24	12
	Усеченный тетраэдр. Увеличение. 6 тетов + 4 окта	28	42	16	0 × 3. 0 × 3. 12 × 3. 4 × 3	Td, [3,3]
		4 . 4	18	12
	Кубооктаэдр Тетракиса. Октаэдр. Увеличение. 8 тетов + 6 октов	32	48	18	0 × 3. 12 × 3. 0 × 3. 6 × 3	Oh, [4,3]
		8	12	6

Существует бесконечное количество невыпуклых форм.

Некоторые примеры пересекающихся граней дельтаэдров:

• Большой икосаэдр - твердое тело Кеплера-Пуансо с 20 пересекающимися треугольниками

  

Другие невыпуклые дельтаэдры могут быть сгенерированы добавлением равносторонние пирамиды к граням всех 5 правильных многогранников:

73>24 треугольника

триакис тетраэдр	тетракис шестигранник	триакис октаэдр. (стелла октаэдр )	пентакис додекаэдр	триакис икосаэдр
12 треугольников	60 треугольников

Другие расширения тетраэдра включают:

Примеры: расширенные тетраэдры

8 треугольников	10 треугольников	12 треугольников

Также добавлением перевернутых пирамид к граням:

• Додекаэдр с выемкой

. Додекаэдр с выемкой	. A тороидальный дельтаэдр
60 треугольников	48 треугольников

• Симплициальный многогранник - многогранники со всеми симплексными фасетами

• Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für Mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 46 : 135–142.
• Канди, Х. Мартин (декабрь 1952 г.), «Deltahedra», Mathematical Gazette, 36: 263–266.
• Канди, Х. Мартин ; Rollett, A. (1989), «3.11. Deltahedra», Mathematical Models (3-е изд.), Stradbroke, England: Tarquin Pub., Стр. 142–144.
• Гарднер, Мартин (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American, New York: WH Freeman, pp. 40, 53 и 58-60 У Cite есть пустой неизвестный параметр: | 1 =().
• Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход, Калифорния: Калифорнийский университет Press, Беркли, ISBN 0-520-03056-7 стр. 35–36

• Вайсштейн, Эрик У., «Дельтаэдр», MathWorld
• Восемь выпуклых дельтаэдров
• Дельтаэдр
• Дельтаэдр