Войти
A Правильный многогранник - это многогранник, группа симметрии которого транзитивно действует на его флаги. Правильный многогранник является высокосимметричным, состоящим из транзитивных по ребрам, транзитивных по вершинам и транзитивных по граням. В классическом контексте используется много различных эквивалентных определений; распространенным является то, что грани представляют собой конгруэнтные правильные многоугольники, которые собираются одинаковым образом вокруг каждой вершины.
. Правильный многогранник идентифицируется по его Шлефли символ формы {n, m}, где n - количество сторон каждой грани, а m - количество граней, пересекающихся в каждой вершине. Имеется 5 конечных выпуклых правильных многогранников (Платоновы тела ) и четыре правильных звездных многогранника (многогранники Кеплера – Пуансо ), составляющих в целом девять правильных многогранников.. Кроме того, есть пять правильных соединений правильных многогранников.
Есть пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела, четыре правильных звездчатых многогранника, многогранники Кеплера – Пуансо и пять правильных соединений правильных многогранников:
 |  |  |  |  |
| Тетраэдр {3, 3} | Куб {4, 3} | Октаэдр {3, 4} | Додекаэдр {5, 3} | Икосаэдр {3, 5} |
| χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 | χ = 2 |
 |  |  |  |
| Малый звездчатый додекаэдр. {5/2, 5} | Большой додекаэдр. {5, 5/2} | Большой звездчатый додекаэдр. {5/2, 3} | Большой икосаэдр. {3, 5/2} |
| χ = −6 | χ = −6 | χ = 2 | χ = 2 |
 |  |  |  |  |
| Два тетраэдра. 2 {3, 3} | Пять тетраэдров. 5 {3, 3} | Десять тетраэдров. 10 {3, 3} | Пять кубов. 5 {4, 3} | Пять октаэдров. 5 {3, 4} |
| χ = 4 | χ = 10 |
Свойство наличия аналогичная организация Элемент граней вокруг каждой вершины может быть заменен любым из следующих эквивалентных условий в определении:
У правильного многогранника есть все три связанных сферы (у других многогранников нет хотя бы одного вида), имеющих общий центр:
Правильные многогранники симметричный всех многогранников. Они находятся всего в трех группах симметрии, которые названы в честь Платоновых тел:
Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией также будут иметь тетраэдрическую симметрию.
Пять Платоновых тел имеют Эйлерову характеристику, равную 2. Это просто отражает то, что поверхность является топологической двумерной сферой, и это также верно, например, любого многогранника, звездообразного относительно некоторой внутренней точки.
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от местоположения точки (это расширение Вивиани. теорема.) Однако обратное неверно, даже для тетраэдров.
В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.
Правильные многогранники демонстрируют эту двойственность следующим образом:
Символ Шлефли в двойственности - это просто оригинал, записанный в обратном порядке, например, двойственное для {5, 3} - это {3, 5}.
Камни, вырезанные по форме, напоминающей группы сфер или шишек, были найдены в Шотландии, и им может быть около 4000 лет.. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрии пяти Платоновых тел, но и некоторые из отношений дуальности между ними (то есть, центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в зале Джона Эванса Эшмоловского музея в Оксфордском университете. Почему были созданы эти предметы и как их создатели черпали вдохновение для них, остается загадкой. Есть сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от повторной интерпретации дуального икосаэдра, додекаэдра.
Также возможно, что этруски предшествовали грекам в их знании по крайней мере некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие около Падуи (в Северной Италии ) в конце 19 века из додекаэдра, сделанного из мыльного камня, возраст которого превышает 2500 лет (Lindemann, 1987).
Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах происходят из классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Теэтет (афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Van der Waerden, 1954), (Евклид, книга XIII). Х.С.М. Коксетер (Coxeter, 1948, раздел 1.9) приписывает Платону (400 г. до н.э.) создание их моделей и упоминает, что один из более ранних пифагорейцев, Тимей Локри, использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой вселенной, как она тогда воспринималась - это соответствие записано в диалоге Платона Тимей. Ссылка Евклида на Платона привела к их обычному описанию как платоновых тел.
Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:
Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку хотя все грани правильные, квадратное основание не совпадает с треугольными сторонами) или форма, образованная соединением двух тетраэдров вместе (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонними треугольниками, то есть, конгруэнтные и правильные, одни вершины имеют 3 треугольника, а другие 4).
Эта концепция правильного многогранника оставалась неизменной почти 2000 лет.
Правильные звездные многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник), также были известны древним грекам - использовалась пентаграмма пифагорейцами в качестве своего тайного знака, но они не использовали их для построения многогранников. Лишь в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать как грани правильных звездных многогранников. Некоторые из этих звездных многогранников могли быть открыты другими до времени Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если убрать ограничение, что правильные многогранники выпуклые. Двести лет спустя Луи Пуансо также разрешил звездные вершинные фигуры (обходы вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездных многогранника наряду с повторным открытием Кеплера. Эти четыре - единственные правильные звездчатые многогранники, получившие название многогранников Кеплера – Пуансо. Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации «Пуансо», Кэли дал им их современные английские названия: (Кеплера) малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, и ( Пуансо) большой икосаэдр и большой додекаэдр.
Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатой . Обратный процесс звездчатости называется фасетированием (или фасетированием). Каждая звездчатость одного многогранника двойственна, или обратна некоторой грани двойного многогранника. Правильные звездные многогранники также можно получить, ограняя платоновы тела. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кэли дал им имя.
Таким образом, к концу XIX века правильных многогранников было девять - пять выпуклых и четыре звездных.
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.
Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов. Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов (Smith, 1982, p212), которых 48. Среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра, но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра, который визуально практически неотличим от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы из квазикристаллических материалов, которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.
Более недавнее открытие относится к серии новых типов молекула углерода, известная как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C 60, наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, некоторые из более крупных разновидностей (например, C 240, C 480 и C 960) предположительно принимают форму слегка закругленных икосаэдров, несколько нанометров в поперечнике.
Circogonia icosahedra, разновидность Radiolaria.Многогранники также встречаются в биологии. В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов Radiolaria, некоторые из которых скелеты имеют форму различных правильных многогранников (Haeckel, 1904). Примеры включают Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra; формы этих существ обозначены их именами. Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, HIV заключен в правильный икосаэдр.
В древности пифагорейцы считали, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планет. В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, составленные Тихо Браге, и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, найдя соответствие между размерами многогранников и размеры орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования явились открытия Кеплера твердых тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет, для которых он теперь известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (не считая Земли), что точно соответствовало количеству Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с того времени Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.
Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) составлял крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была составлена из смеси этих многогранников, причем каждая субстанция имела разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона покажет, что эта идея находится в правильном направлении, хотя не имеет прямого отношения к правильным твердым телам.
В ХХ веке последовала череда обобщений идеи правильного многогранника, что привело к появлению нескольких новых классов.
В первые десятилетия Коксетер и Петри допускали "седловые" вершины с чередующимися гребнями и впадинами, что позволило им построить три бесконечные складчатые поверхности, которые они назвали правильным перекосом многогранники. Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, с {l, m}, подразумевающим вершинную фигуру, с m правильными l-угольниками вокруг вершины. N определяет n-угольные дыры. Их фигуры вершин - это правильные косые многоугольники, вершины зигзагообразно расположены между двумя плоскостями.
| Бесконечные правильные скошенные многогранники в 3-м пространстве (частично нарисованы) | ||
|---|---|---|
 . {4,6 | 4} |  . {6,4 | 4} |  . {6,6 | 3} |
Конечные правильные косые многогранники существуют в четырехмерном пространстве. Эти конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве можно рассматривать как подмножество граней однородных 4-многогранников. У них плоские грани правильного многоугольника, но правильные косые многоугольники фигуры вершин.
Два двойных решения связаны с 5-элементным, двумя двойственными решения связаны с 24-ячейкой, и бесконечный набор самодуальных дуопризм порождает правильные косые многогранники как {4, 4 | n}. В бесконечном пределе они приближаются к дуоцилиндру и выглядят как тор в своих стереографических проекциях в 3-мерном пространстве.
| Ортогональные плоскости Кокстера проекции | Стереографическая проекция | |||
|---|---|---|---|---|
| A4 | F4 | |||
 |  |  |  |  |
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} | {4, 4 | n} |
| 30 {4} граней. 60 ребер. 20 вершин | 20 {6} граней. 60 ребер. 30 вершин | 288 {4} граней. 576 ребер. 144 вершины | 144 {8} граней. 576 ребер. 288 вершины | n {4} граней. 2n ребер. n вершин |
Исследования неевклидова (гиперболический и эллиптический ) и другие пространства, такие как сложные пространства, открытые в предыдущем столетии, привели к открытию новых многогранников, таких как сложные многогранники, которые могли принимать только правильную геометрическую форму в этих пространствах.
шестиугольные мозаичные соты, {6,3,3}, имеют шестиугольные мозаики, {6,3}, грани с вершинами на ориосфере. Один из таких аспектов показан на этой модели диска Пуанкаре.В H гиперболическом пространстве, паракомпактные обычные соты имеют евклидовы мозаики фасеты и фигуры с вершинами, которые действуют как конечные многогранники. Такие плитки имеют угловой дефект , который можно закрыть, изгибая в ту или иную сторону. Если тайлинг правильно масштабирован, он закроется как асимптический предел в единственной идеальной точке. Эти евклидовы мозаики вписаны в орисферу так же, как многогранники вписаны в сферу (которая содержит нулевые идеальные точки). Последовательность расширяется, когда гиперболические мозаики сами используются как фасеты некомпактных гиперболических мозаик, как в семиугольных мозаичных сотах {7,3,3}; они вписаны в эквидистантную поверхность (2- гиперцикл ), которая имеет две идеальные точки.
Другая группа правильных многогранников состоит из мозаик реальной проективной плоскости. К ним относятся полукуб, полуоктаэдр, полудодекаэдр и гемиикосаэдр. Они (глобально) являются проективными многогранниками и являются проективными аналогами Платоновых тел. Тетраэдр не имеет проективного аналога, так как у него нет пар параллельных граней, которые можно идентифицировать, как у других четырех Платоновых тел.
 . Полукуб. {4,3} |  . Гемиоктаэдр. {3,4} |  . Гемидодекаэдр. {3,5 } |  . Гемиикосаэдр. {5,3} |
Они встречаются как двойные пары так же, как и исходные Платоновы тела. Все их характеристики Эйлера равны 1.
К настоящему времени многогранники прочно понимались как трехмерные примеры более общих многогранников в любом количестве измерений. Во второй половине века появились абстрактные алгебраические идеи, такие как Многогранная комбинаторика, кульминацией которых стала идея абстрактного многогранника как частично упорядоченного множества ( посеть) элементов. Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы можно отобразить в обычном пространстве или реализовать в виде геометрических фигур. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильную или точную реализацию, а другие нет. Флаг - это связанный набор элементов каждого измерения - для многогранника, который является телом, гранью, ребром грани, вершиной ребра и пустым многогранником. Абстрактный многогранник называется правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, т. Е. Что любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.
Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые невозможно точно реализовать, были идентифицированы Х. С. М. Коксетер в своей книге Правильные многогранники (1977) и снова в своей статье «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2» (1987). Все пять имеют симметрию C 2×S5, но могут быть реализованы только с половиной симметрии, то есть C 2×A5или икосаэдрической симметрией. Все они топологически эквивалентны тороидам. Их построение путем размещения n граней вокруг каждой вершины может повторяться бесконечно долго как мозаики гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.
| Многогранник |  . Средний ромбический триаконтаэдр |  . Додекадодекаэдр |  . Средний триамбический икосаэдр |  . Дитригональный додекадодекаэдр |  . Додекаэдр с выемкой |
|---|---|---|---|---|---|
| Тип | Двойной {5,4} 5,4} 6 | Двойное из {5,6} 4 | {5,6} 4 | {6,6} 6 | |
| (v, e, f) | (24,60, 30) | (30,60,24) | (24,60,20) | (20,60,24) | (20, 60,20) |
| Вершинная фигура | {5}, {5/2}.   | (5.5 / 2).  | {5}, {5/2}. | (5.5 / 3).  |  |
| Лица | 30 ромбов.  | 12 пятиугольников. 12 пентаграмм. | 20 шестиугольников. | 12 пятиугольников. 12 пентаграмм. | 20 гексаграмм.  |
| Мозаика |  . { 4, 5} |  . {5, 4} |  . {6, 5} |  . {5, 6} |  . {6, 6} |
| χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
Двойственный Петри правильного многогранника - это правильная карта, вершины и ребра которой соответствуют вершинам и ребрам исходного многогранника, а грани представляют собой набор косых многоугольников Петри.
| Имя | Петриал тетраэдр. | Петриальный куб | Петриальный октаэдр | Петриальный додекаэдр | Петриальный икосаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Символ | {3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} |
| (v, e, f), χ | (4,6,3), χ = 1 | (8,12,4), χ = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
| Грани | 3 скошенных квадрата.  | 4 наклонных шестиугольника | 6 наклонных десятиугольников | ||
 |  |  |  | ||
| Изображение |  |  |  |  |  |
| Анимация |  |  |  |  |  |
| Связанные. цифры |  . {4,3} 3= {4,3} / 2 = {4,3} (2,0) |  . {6,3} 3 = {6,3} (2,0) |  . {6,4 } 3 = {6,4} (4,0) | {10,3} 5 | {10,5} 3 |
обычные девять правильных многогранников также могут быть представлены как сферические мозаики (мозаики сферы ):
 . тетраэдр. {3,3} |  . Cube. { 4,3} |  . Октаэдр. {3,4} |  . Додекаэдр. {5,3} |  . Икосаэдр. {3,5} |
 . Малый звездчатый додекаэдр. {5 / 2,5} |  . Большой додекаэдр. {5,5 / 2} |  . Большой звездчатый додекаэдр. {5 / 2,3} |  . Большой икосаэдр. {3,5 / 2} |
Для правильного многогранника, у которого символ Шлефли равен {m, n}, количество многоугольных граней можно найти по формуле:
Платоновы тела, известные в древности, являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели как минимум три стороны.
При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение может быть ослаблено, так как двуугольники (2-угольники) могут быть представлены как сферические лунки, имеющие ненулевые область. Допуск m = 2 допускает новый бесконечный класс правильных многогранников, которыми являются осоэдры. На сферической поверхности правильный многогранник {2, n} представлен в виде n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами 2π / n. Все эти лунки имеют две общие вершины.
Правильный диэдр, {n, 2} (2-гранник) в трехмерном евклидовом пространстве можно считать вырожденная призма, состоящая из двух (плоских) n-сторонних многоугольников, соединенных «спина к спине», так что получившийся объект не имеет глубины, аналогично как можно построить двуугольник из двух отрезков отрезков. Однако, как сферическое мозаичное покрытие , диэдр может существовать как невырожденная форма с двумя n-сторонними гранями, покрывающими сферу, каждая из которых представляет собой полусферу , и вершинами вокруг большой круг. Это нормально, если вершины расположены на одинаковом расстоянии.
 . Дигональный диэдр. {2,2} |  . Тригональный диэдр. {3,2} |  . Квадрат диэдр. {4,2} |  . Пятиугольный диэдр. {5,2} |  . Шестиугольный диэдр. {6,2} | ... | {n, 2} |
| . Бигональный осоэдр. {2,2} |  . Тригональный осоэдр. {2,3} |  . Квадратный осоэдр. {2,4} |  . Пятиугольный осоэдр. {2, 5} |  . Шестиугольный осоэдр. {2,6} | ... | {2, n} |
Осоэдр {2, n} двойственен диэдру {n, 2}. Обратите внимание, что когда n = 2, мы получаем многогранник {2,2}, который одновременно является осоэдром и диэдром. Все они имеют эйлерову характеристику 2.
