Войти
Граница треугольника Рело - это кривая постоянной ширины, основанная на равностороннем треугольнике. Все точки на стороне равноудалены от противоположной вершины. Рел треугольник [ʁœlo] представляет собой изогнутый треугольник с постоянной шириной, самыми простыми и наиболее известными кривой постоянная ширинами, кроме окружности. Он образован пересечением трех круглых дисков, центр каждого из которых находится на границе двух других. Постоянная ширина означает, что расстояние между каждыми двумя параллельными опорными линиями одинаково, независимо от их ориентации. Поскольку все его диаметры одинаковы, треугольник Рело является одним из ответов на вопрос: «Кроме круга, какой формы можно сделать крышку люка, чтобы она не провалилась через отверстие?»
Треугольники Рело также называются сферическими треугольниками, но этот термин более правильно относится к треугольникам на изогнутой поверхности сферы. Они названы в честь Франца Рёло, немецкого инженера 19-го века, который первым начал изучение машин для преобразования одного типа движения в другой и использовал треугольники Рело в своих конструкциях. Однако эти формы были известны и до его времени, например, дизайнерам готических церковных окон, Леонардо да Винчи, который использовал их для проекции карты, и Леонарду Эйлеру в его исследовании форм постоянной ширины. Другие применения треугольника Рело включают придание формы медиаторам, гайкам пожарного гидранта, карандашам и сверлам для сверления квадратных отверстий со скругленными кромками, а также в графическом дизайне в форме некоторых знаков и корпоративных логотипов.
Среди форм постоянной ширины с заданной шириной треугольник Рело имеет минимальную площадь и самый острый (наименьший) возможный угол (120 °) в углах. По нескольким численным показателям он дальше всего от центрально-симметричной. Он обеспечивает самую большую форму постоянной ширины, избегая точек целочисленной решетки, и тесно связан с формой четырехугольника, максимизируя отношение периметра к диаметру. Он может совершать полное вращение внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех сторон квадрата, и имеет минимально возможную площадь форм с этим свойством. Однако, хотя он покрывает большую часть квадрата в этом процессе вращения, он не может покрыть небольшую часть площади квадрата около его углов. Из-за этого свойства вращения внутри квадрата треугольник Рело также иногда называют ротором Рело.
Треугольник Рело - первый из последовательности многоугольников Рело, границы которых представляют собой кривые постоянной ширины, образованные из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. Некоторые из этих кривых использовались как формы монет. Треугольник Рело можно также обобщить в трех измерениях несколькими способами: тетраэдр Рело (пересечение четырех шаров, центры которых лежат на правильном тетраэдре ) не имеет постоянной ширины, но может быть изменен путем округления его краев, чтобы сформировать тетраэдр Мейснера., что делает. В качестве альтернативы поверхность вращения треугольника Рело также имеет постоянную ширину.
Чтобы построить треугольник Рело Треугольник Рело может быть построен либо непосредственно из трех окружностей, либо путем округления сторон равностороннего треугольника.
Построение трех кругов может быть выполнено только с помощью циркуля, даже без использования линейки. По теореме Мора – Маскерони то же самое в более общем случае верно для любой конструкции циркуля и линейки, но конструкция для треугольника Рило особенно проста. Первый шаг - отметить две произвольные точки на плоскости (которые в конечном итоге станут вершинами треугольника) и с помощью циркуля начертить круг с центром в одной из отмеченных точек через другую отмеченную точку. Затем рисуется второй круг того же радиуса с центром в другой отмеченной точке и проходящий через первую отмеченную точку. Наконец, рисуется третий круг, опять же того же радиуса, с центром в одной из двух точек пересечения двух предыдущих кругов, проходящий через обе отмеченные точки. Центральная область в получившемся расположении трех окружностей будет треугольником Рело.
В качестве альтернативы, треугольник Рело может быть построен из равностороннего треугольника T, нарисовав три дуги окружностей, каждая с центром в одной вершине T и соединив две другие вершины. Или, что то же самое, она может быть сконструирована как пересечение трех дисков с центром в вершинах Т, с радиусом, равным длине боковой части Т.
Параллельные опорные линии треугольника Рело. Самым основным свойством треугольника Рело является то, что он имеет постоянную ширину, что означает, что для каждой пары параллельных опорных линий (двух линий с одинаковым наклоном, которые касаются формы, но не пересекают ее) две линии имеют одинаковое евклидово расстояние от друг друга, независимо от ориентации этих линий. В любой паре параллельных опорных линий одна из двух обязательно будет касаться треугольника в одной из его вершин. Другая опорная линия может касаться треугольника в любой точке противоположной дуги, и их расстояние (ширина треугольника Рело) равно радиусу этой дуги.
Первым математиком, который обнаружил существование кривых постоянной ширины и заметил, что треугольник Рело имеет постоянную ширину, возможно, был Леонард Эйлер. В статье, которую он представил в 1771 году и опубликовал в 1781 году под названием De curvis triangularibus, Эйлер изучал криволинейные треугольники, а также кривые постоянной ширины, которые он назвал орбиформными.
По многим параметрам треугольник Рело - одна из самых крайних кривых постоянной ширины.
По теореме Бляшке – Лебега треугольник Рело имеет наименьшую возможную площадь любой кривой заданной постоянной ширины. Эта область
где s - постоянная ширина. Один из методов вывода этой формулы площади состоит в том, чтобы разделить треугольник Рело на внутренний равносторонний треугольник и три криволинейные области между этим внутренним треугольником и дугами, образующими треугольник Рело, а затем сложить площади этих четырех наборов. С другой стороны, кривая постоянной ширины с максимально возможной площадью представляет собой круглый диск с площадью.
Углы, образованные каждой парой дуг в углах треугольника Рело, равны 120 °. Это самый острый угол в любой вершине любой кривой постоянной ширины. Кроме того, среди кривых постоянной ширины треугольник Рело имеет как самый большой, так и самый маленький вписанные равносторонние треугольники. Самый большой равносторонний треугольник, вписанный в треугольник Рело, - это тот, который соединяет его три угла, а самый маленький - тот, который соединяет три середины его сторон. Подмножество треугольника Рело, состоящее из точек, принадлежащих трем или более диаметрам, является внутренней частью большего из этих двух треугольников; она имеет большую площадь, чем набор точек трех диаметров любой другой кривой постоянной ширины.
Центрально-симметричные формы внутри и снаружи треугольника Рело, используемые для измерения его асимметрии. Хотя треугольник Рело обладает шестикратной двугранной симметрией, такой же, как и равносторонний треугольник, у него нет центральной симметрии. Треугольник Рело - это наименее симметричная кривая постоянной ширины в соответствии с двумя различными мерами центральной асимметрии, мерой Ковнера-Безиковича (отношение площади к наибольшей центрально-симметричной форме, заключенной в кривую) и мерой Эстермана (отношение площади к наименьшая центрально-симметричная форма, охватывающая кривую). Для треугольника Рело две центрально-симметричные формы, определяющие меры асимметрии, являются гексагональными, хотя внутренняя имеет изогнутые стороны. Треугольник Рело имеет диаметры, которые делят его площадь более неравномерно, чем любая другая кривая постоянной ширины. То есть максимальное соотношение площадей по обе стороны от диаметра, еще одна мера асимметрии, больше для треугольника Рело, чем для других кривых постоянной ширины.
Среди всех форм постоянной ширины, исключающих все точки целочисленной решетки, наибольшая ширина имеет треугольник Рило. У него одна из осей симметрии параллельна осям координат на полуцелой прямой. Его ширина, приблизительно 1,545, является корнем полинома шестой степени с целыми коэффициентами.
Так же, как круг может быть окружен шестью совпадающими кругами, которые соприкасаются с ним, можно также расположить семь конгруэнтных треугольников Рело так, чтобы все они соприкасались с центральным треугольником Рело того же размера. Это максимально возможное число для любой кривой постоянной ширины.
Equidiagonal змея, которая максимизирует отношение периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рело Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение периметра к его диаметру, - это равнодиагональный змей, который можно вписать в треугольник Рело.
По теореме Барбье все кривые одинаковой постоянной ширины, включая треугольник Рело, имеют равные периметры. В частности, этот периметр равен периметру круга той же ширины, что и.
Радиусы наибольшей вписанной окружности треугольника Рело шириной s и описанной окружности того же треугольника равны
соответственно; сумма этих радиусов равна ширине треугольника Рело. В более общем смысле, для каждой кривой постоянной ширины наибольший вписанный круг и наименьший описанный круг являются концентрическими, а их радиусы суммируются с постоянной шириной кривой.
Нерешенная задача по математике:Насколько плотно треугольники Рело могут быть упакованы в плоскости?
(больше нерешенных задач по математике)Оптимальная плотность упаковки треугольника Рело на плоскости остается недоказанной, но предполагается, что она равна
которая представляет собой плотность одной возможной двойной упаковки решетки для этих форм. Наилучшая проверенная верхняя граница плотности упаковки составляет приблизительно 0,947275. Также было высказано предположение, но не доказано, что треугольники Рело имеют самую высокую плотность упаковки из всех кривых постоянной ширины.
Вращение треугольника Рело внутри квадрата с отображением кривой, очерченной центром треугольника. Любая кривая постоянной ширины может образовывать ротор внутри квадрата, форму, которая может совершать полное вращение, оставаясь внутри квадрата и всегда касаясь всех четырех сторон квадрата. Однако треугольник Рело - это ротор с минимально возможной площадью. Когда он вращается, его ось не остается неподвижной в одной точке, а вместо этого следует кривой, образованной частями четырех эллипсов. Из-за углов в 120 ° вращающийся треугольник Рело не может достигать некоторых точек рядом с более острыми углами в вершинах квадрата, а скорее покрывает форму со слегка закругленными углами, также образованную эллиптическими дугами.
Один из четырех эллипсов, за которым следует центр вращающегося треугольника Рело в квадрате. 
Эллипс, отделяющий один из углов (нижний левый) квадрата от области, охватываемой вращающимся треугольником Рело. В любой момент во время этого поворота два угла треугольника Рело касаются двух соседних сторон квадрата, а третий угол треугольника очерчивает кривую около противоположной вершины квадрата. Форма, очерченная вращающимся треугольником Рело, покрывает примерно 98,77% площади квадрата.
Первоначальная мотивация Рило к изучению треугольника Рело была в качестве контрпримера, показывающего, что трех одноточечных контактов может быть недостаточно, чтобы зафиксировать плоский объект в одной позиции. Существование треугольников Рело и других кривых постоянной ширины показывает, что измерения диаметра сами по себе не могут подтвердить, что объект имеет круглое поперечное сечение.
В связи с вписанной квадратной задачей, Эгглстон (1958) наблюдал, что треугольник Рело представляет собой пример постоянной шириной формы, в которой нет правильного многоугольник с более чем четырех сторон не может быть вписан, кроме правильного шестиугольника, и он описал небольшой модификация этой формы, которая сохраняет ее постоянную ширину, но также предотвращает вписывание в нее правильных шестиугольников. Он обобщил этот результат на три измерения, используя цилиндр той же формы, что и его поперечное сечение.
Некоторые типы машин имеют форму треугольника Рело, основанного на его способности вращаться внутри квадрата.
Watts Brothers Tool Works квадрата Сверло имеет форму треугольника Рел, модифицированную с углублениями для образования режущих поверхностей. При установке в специальный патрон, который позволяет долоту не иметь фиксированного центра вращения, она может просверлить отверстие почти квадратной формы. Хотя они были запатентованы Генри Уоттсом в 1914 году, подобные сверла, изобретенные другими, использовались и раньше. Другие многоугольники Рило используются для сверления пятиугольных, шестиугольных и восьмиугольных отверстий.
Робот- пылесос RULO от Panasonic имеет форму, основанную на треугольнике Рело, чтобы облегчить уборку пыли в углах комнаты.
Сравнение цилиндрического ролика и ролика с треугольником Рело Другой класс приложений треугольника Рело - это цилиндрические объекты с поперечным сечением треугольника Рело. Несколько карандашей производятся именно этой формы, а не более традиционных круглых или шестиугольных гильз. Их обычно рекламируют как более удобные или способствующие правильному захвату, а также за то, что они с меньшей вероятностью скатываются со стола (поскольку центр тяжести перемещается вверх и вниз больше, чем катящийся шестиугольник).
Треугольник Рело (вместе со всеми остальными кривыми постоянной ширины ) может катиться, но из него получается плохое колесо, потому что он не катится вокруг фиксированного центра вращения. Объект на роликах, имеющих поперечное сечение треугольника Рело, будет катиться плавно и ровно, но ось, прикрепленная к колесам треугольника Рело, будет подпрыгивать вверх и вниз три раза за один оборот. Эта концепция была использована в научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона под названием «Трехугольное колесо». Велосипед с плавающими осями и рамой, поддерживаемой ободом колеса в форме треугольника Рело, был построен и продемонстрирован в 2009 году китайским изобретателем Гуан Байхуа, которого вдохновили карандаши такой же формы.
Механизм продвижения пленки на основе треугольника Рело в 8-мм кинопроекторе Советский Луч-2 Другой класс приложений треугольника Рело включает его использование как часть механической связи, которая может преобразовывать вращение вокруг фиксированной оси в возвратно-поступательное движение. Эти механизмы изучал Франц Рёло. При содействии компании Gustav Voigt, Reuleaux построил около 800 моделей механизмов, некоторые из которых включали треугольник Reuleaux. Рило использовал эти модели в своих новаторских научных исследованиях их движения. Хотя большинство моделей Рело-Фойгта было утеряно, 219 из них были собраны в Корнельском университете, в том числе девять основаны на треугольнике Рело. Однако использование треугольников Рело в конструкции механизмов предшествовало работе Рело; например, некоторые паровые машины еще с 1830 года имели кулачок в форме треугольника Рело.
Одно применение этого принципа возникает в кинопроекторе. В этом приложении необходимо продвигать пленку рывками, пошагово, при этом каждый кадр пленки останавливается на долю секунды перед объективом проектора, а затем гораздо быстрее пленка перемещается к следующему. Рамка. Это можно сделать с помощью механизма, в котором вращение треугольника Рело внутри квадрата используется для создания модели движения для исполнительного механизма, который быстро подтягивает пленку к каждому новому кадру, а затем приостанавливает движение пленки во время проецирования кадра.
Ротор двигателя Ванкеля имеет форму криволинейного треугольника, который часто приводится в качестве примера треугольника Рело. Однако его изогнутые стороны несколько более плоские, чем у треугольника Рело, и поэтому он не имеет постоянной ширины.
Окно в форме треугольника Рело церкви Богоматери, Брюгге в Бельгии В готической архитектуре, начиная с конца 13 века или начала 14 века, треугольник Рело стал одной из нескольких криволинейных форм, часто используемых для окон, оконных узоров и других архитектурных украшений. Например, в английской готической архитектуре эта форма ассоциировалась с декорированным периодом как в геометрическом стиле 1250–1290 годов, так и в криволинейном стиле 1290–1350 годов. Он также появляется в некоторых окнах Миланского собора. В этом контексте форму чаще называют сферическим треугольником, но более обычное математическое значение сферического треугольника - это треугольник на поверхности сферы (форма, также обычно используемая в архитектуре как подвеска ). При использовании в готической церковной архитектуре, треугольная форма треугольника Рело может рассматриваться и как символ Троицы, и как «акт противостояния форме круга».
Треугольник Рело также использовался в других стилях архитектуры. Например, Леонардо да Винчи набросал эту форму как план укрепления. Современные здания, которые были Заявленные использовать треугольник Рело фасонные планировка включает MIT Кресдж Auditorium, в Kölntriangle, в Donauturm, в Торре - де - Collserola, и Mercedes-Benz Museum. Однако во многих случаях это просто скругленные треугольники с другой геометрией, чем треугольник Рело.
Еще одним ранним применением треугольника Рело, карты мира да Винчи примерно 1514 года, была карта мира, на которой сферическая поверхность Земли была разделена на восемь октантов, каждый из которых был сплюснут в форме треугольника Рело.
Карта мира Леонардо да Винчи в восьми квадрантах треугольника Рело Подобные карты, также основанные на треугольнике Рело, были опубликованы Оронсом Фине в 1551 году и Джоном Ди в 1580 году.
Рел треугольник в форме медиаторы Во многих медиаторах используется треугольник Рило, поскольку его форма сочетает в себе острый острие, обеспечивающее сильную артикуляцию, с широким наконечником для получения теплого тембра. Поскольку все три точки формы пригодны для использования, ее легче ориентировать, и она изнашивается менее быстро по сравнению с киркой с одним наконечником.
Незаконное использование пожарного гидранта, Филадельфия, 1996 г., и более нового гидранта Филадельфии с гайкой в форме треугольника Рило для предотвращения такого использования. Треугольник Рело был использован в качестве формы поперечного сечения гайки клапана пожарного крана. Постоянная ширина этой формы затрудняет открытие пожарного гидранта стандартными гаечными ключами с параллельными губками; взамен нужен гаечный ключ особой формы. Это свойство позволяет открывать пожарные гидранты пожарным (у которых есть специальный гаечный ключ), но не другим людям, пытающимся использовать гидрант в качестве источника воды для других целей.
Субмиллиметровая массив, с семью из восьми антенн расположена на приближенном Рело треугольнике Согласно предложению Кето (1997), антенны Субмиллиметровой антенной решетки, радиоволновой астрономической обсерватории на Мауна-Кеа на Гавайях, расположены на четырех вложенных треугольниках Рело. Размещение антенн на кривой постоянной ширины позволяет обсерватории иметь одинаковое пространственное разрешение во всех направлениях и обеспечивает круговой луч наблюдения. Как наиболее асимметричная кривая постоянной ширины, треугольник Рело приводит к наиболее равномерному покрытию плоскости для преобразования Фурье сигнала от массива. Антенны можно перемещать из одного треугольника Рело в другой для различных наблюдений в соответствии с желаемым угловым разрешением каждого наблюдения. Точное размещение антенн на этих треугольниках Рело было оптимизировано с помощью нейронной сети. В некоторых местах построенная обсерватория отклоняется от предпочтительной формы треугольника Рело, потому что эта форма была невозможна на данном участке.
Форма щита, используемая для многих знаков и корпоративных логотипов, представляет собой закругленные треугольники. Однако лишь некоторые из них являются треугольниками Рело.
В корпоративном логотипе Petrofina (Fina), бельгийской нефтяной компании с основными операциями в Европе, Северной Америке и Африке, использовался треугольник Рило с названием Fina с 1950 года до слияния Petrofina с Total SA в 2000 году. Еще один корпоративный логотип в рамке Reuleaux. треугольник, юго-указывая компас из Баварии Brewery, была частью макияжа по дизайну компании Total идентичности, которая выиграла SAN 2010 Рекламодатель год награды. Треугольник Рило также используется в логотипе Горной школы Колорадо.
В Соединенных Штатах, Национальные Трассы системы и система маршрутов США велосипедов обе оценки маршрутов с Рели треугольники на разметке.
Треугольник Рело как центральный пузырек в математической модели плоского четырехпузырькового кластера мыльных пузырей Согласно законам Плато, дуги окружности в двумерных скоплениях мыльных пузырей пересекаются под углами 120 °, тем же углом, что и в углах треугольника Рело. На основании этого факта можно построить кластеры, в которых часть пузырьков принимает форму треугольника Рело.
Форма была впервые выделена в форме кристалла в 2014 году в виде дисков треугольника Рело. Диски из основного нитрата висмута в форме треугольника Рело образовывались в результате гидролиза и осаждения нитрата висмута в системе этанол – вода в присутствии 2,3-бис (2-пиридил) пиразина.
Треугольные кривые постоянной ширины с гладкими, а не острыми углами могут быть получены как геометрическое место точек на фиксированном расстоянии от треугольника Рело. Другие обобщения треугольника Рело включают поверхности в трех измерениях, кривые постоянной ширины с более чем тремя сторонами и множества Янмути, которые предоставляют крайние примеры неравенства между шириной, диаметром и внутренним радиусом.
Четыре шара пересекаются, образуя тетраэдр Рело. Пересечение четырех шаров радиуса s с центрами в вершинах правильного тетраэдра со стороной s называется тетраэдром Рело, но его поверхность не является поверхностью постоянной ширины. Однако его можно превратить в поверхность постоянной ширины, называемую тетраэдром Мейснера, путем замены трех его краевых дуг изогнутыми поверхностями, поверхностями вращения дуги окружности. В качестве альтернативы, поверхность вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии образует поверхность постоянной ширины с минимальным объемом среди всех известных поверхностей вращения данной постоянной ширины.
Полигоны Рило 
Ботсвана 2 пула- реуло семиугольная монета Треугольник Рело может быть обобщен на правильные или неправильные многоугольники с нечетным числом сторон, в результате чего получается многоугольник Рело, кривая постоянной ширины, образованная из дуг окружности постоянного радиуса. Постоянная ширина этих форм позволяет использовать их в качестве монет в монетных автоматах. Хотя монеты этого типа в общем обращении обычно имеют более трех сторон, треугольник Рело использовался для памятной монеты с Бермудских островов.
Подобные методы можно использовать для заключения произвольного простого многоугольника в кривую постоянной ширины, ширина которой равна диаметру данного многоугольника. Результирующая форма состоит из дуг окружности (самое большее количество сторон многоугольника), может быть построена алгоритмически за линейное время и может быть нарисована с помощью циркуля и линейки. Хотя все многоугольники Рело имеют нечетное количество сторон дуги окружности, можно построить фигуры постоянной ширины с четным количеством сторон дуги окружности различных радиусов.
Множества Янмоути определяются как выпуклые оболочки равностороннего треугольника вместе с тремя дугами окружности, центрированными в вершинах треугольника и охватывающими тот же угол, что и треугольник, с равными радиусами, которые не более чем равны длине стороны треугольника. Таким образом, когда радиус достаточно мал, эти множества вырождаются в сам равносторонний треугольник, но когда радиус настолько велик, насколько это возможно, они равны соответствующему треугольнику Рело. Каждая форма с шириной w, диаметром d и inradius r (радиус наибольшего возможного круга, содержащегося в форме) подчиняется неравенству
и это неравенство становится равенством для множеств Янмоути, показывая, что его нельзя улучшить.
Трикетра переплетены в узел трилистник В классическом представлении диаграммы Венна из трех наборов в виде трех перекрывающихся кругов центральная область (представляющая элементы, принадлежащие всем трем наборам) принимает форму треугольника Рело. Те же три круга образуют один из стандартных рисунков колец Борромео, три взаимосвязанных кольца, которые, однако, не могут быть реализованы как геометрические круги. Части тех же кругов используются для образования трикетры, фигуры из трех перекрывающихся полукругов (каждый из которых образует символ vesica piscis ), в центре которого снова находится треугольник Рело; Точно так же, как три окружности диаграммы Венна могут быть переплетены, образуя кольца Борромео, три дуги окружностей трикетра могут быть переплетены, образуя узел-трилистник.
Родственники треугольника Рело возникают в проблеме поиска минимальной формы периметра, которая охватывает фиксированную площадь и включает три заданные точки на плоскости. Для широкого диапазона выбора параметра площади оптимальным решением этой проблемы будет изогнутый треугольник, три стороны которого представляют собой дуги окружности с одинаковыми радиусами. В частности, когда три точки равноудалены друг от друга, а площадь равна площади треугольника Рело, треугольник Рело является оптимальным ограждением.
Круглые треугольники - это треугольники с ребрами дуги окружности, включая треугольник Рело, а также другие формы. Дельтоида другого типа криволинейного треугольника, но тот, в котором кривые замене каждой стороны равностороннего треугольника являются вогнутыми, а не выпуклым. Он не состоит из дуг окружности, но может быть образован путем перекатывания одного круга внутри другого, радиус которого в три раза превышает радиус. Другие плоские формы с тремя изогнутыми сторонами включают арбелос, который образован из трех полукругов с коллинеарными концами, и треугольник Безье.
Треугольник рёл также может быть интерпретирован как конформное изображение в виде сферического треугольника с углами по 120 °. Этот сферический треугольник является одним из треугольников Шварца (с параметрами 3/2, 3/2, 3/2), треугольников, ограниченных дугами большого круга на поверхности сферы, которые могут покрывать сферу путем отражения.
