Двумерное пространство

Эта статья о двумерном евклидовом пространстве. Для общей теории 2D-объектов см Поверхность (математика). Двумерная декартова система координат

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Двумерный пространство (также известное как 2D пространство, 2-пространство, или би-мерное пространство) является геометрической установкой, в которой два значение ( так называемые параметры ) необходимо для определения положения элемента (т.е. точки ). Набор пар действительных чисел с соответствующей структурой часто служит каноническим примером двумерного евклидова пространства. Для обобщения концепции см. Измерение. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Двумерное пространство можно рассматривать как проекцию физической вселенной на плоскость. Обычно это евклидово пространство, а два измерения называются длиной и шириной.

• 1 История
• 2 В геометрии
  • 2.1 Системы координат
  • 2.2 Многогранники
    • 2.2.1 Выпуклый
    • 2.2.2 Вырожденный (сферический)
    • 2.2.3 Невыпуклый
  • 2.3 Круг
  • 2.4 Другие формы
• 3 В линейной алгебре
  • 3.1 Точечное произведение, угол и длина
• 4 В исчислении
  • 4.1 Градиент
  • 4.2 Линейные интегралы и двойные интегралы
  • 4.3 Основная теорема о линейных интегралах
  • 4.4 Теорема Грина
• 5 В топологии
• 6 В теории графов
• 7 См. Также
• 8 ссылки

Книги с I по IV и VI «Элементов Евклида» посвящены двухмерной геометрии, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей, параллелизм, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже самолет был описан в так называемом декартовой системе координат, в системе координат, которая определяет, каждую точку однозначно в плоскости с помощью пары численных координат, которые являются подписанными расстояниями от точки до двух фиксированных перпендикулярно направленных линий, измеренных в такая же единица длины. Каждая опорная линия называется координатной осью или просто осью системы, а точка, где они встречаются, является ее началом, обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также могут быть определены как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо Пьера де Ферма, хотя Ферма также работал в трех измерениях и не опубликовал открытие. Оба автора использовали одну ось в своих исследованиях и измеряли переменную длину относительно этой оси. Концепция использования пары топоров была введена позже, после того, как в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками была переведена на латынь « Геометрия» Декарта. Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта.

Позже плоскость представляли собой поле, в котором любые две точки можно было умножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как комплексная плоскость. Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, потому что она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые были описаны датско-норвежским землеустроителем и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). Арганда диаграмма часто используется для построения позиций полюсов и нулей в виде функции в комплексной плоскости.

Основная статья: Самолет (геометрия) Смотрите также: евклидова геометрия

Системы координат

Дополнительная информация: Система координат "Координаты самолета" перенаправляются сюда. Не следует путать с Координатной плоскостью.

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку в двумерном пространстве с помощью двух координат. Даны две перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в начале координат. Обычно они обозначаются буквами x и y. Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число дает расстояние этой точки от начала координат, измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию до этой оси. точка от другой оси.

Другой широко используемой системой координат является полярная система координат, которая определяет точку с точки зрения ее расстояния от начала координат и ее угла относительно направленного вправо опорного луча.

• 

  Декартова система координат

• 

  Полярная система координат

Многогранники

Основная статья: Многоугольник

В двух измерениях многогранников бесконечно много: многоугольники. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет собой правильный p -угольник.

Имя	Треугольник ( 2-симплекс )	Квадрат ( 2-ортоплекс ) ( 2-куб )	Пентагон	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Изображение
Имя	Нонагон	Декагон	Hendecagon	Додекагон	Трехугольник	Тетрадекагон
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Изображение
Имя	Пятиугольник	Шестиугольник	Гептадекагон	Восьмиугольник	Enneadecagon	Икосагон	... н-угольник
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ n }
Изображение

Вырожденный (сферический)

Правильный моногон (или шестиугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками и невырожденно существовать в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера, 2-тор или прямоугольный круговой цилиндр.

Имя	Моногон	Дигон
Schläfli	{1}	{2}
Изображение

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n / m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем случае для любого натурального числа n существуют n-точечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m таких, что m lt; n / 2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( п - т)}) и м и п являются взаимно простыми.

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	... н-аграммы
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ н / м }
Изображение

Круг

Основная статья: Круг

Гиперсфера в 2 -х измерениях является круг, который иногда называют 1-сферу ( S ¹), потому что это одномерное многообразие. В евклидовой плоскости он имеет длину 2π r, а его внутренняя площадь равна

${\ Displaystyle А = \ пи г ^ {2}}$

где радиус. ${\ displaystyle r}$

Другие формы

Основная статья: Список двумерных геометрических фигур

Существует множество других изогнутых форм в двух измерениях, в том числе конические сечения : эллипс, парабола и гипербола.

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства - это линейная алгебра, где идея независимости имеет решающее значение. Самолет имеет два измерения, потому что длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость двумерна, потому что каждая точка на плоскости может быть описана линейной комбинацией двух независимых векторов.

Точечное произведение, угол и длина

Основная статья: Точечный продукт

Скалярное произведение двух векторов A = [ A 1, A 2 ] и B = [ B 1, B 2 ] определяется как:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A_ {1} B_ {1} + A_ {2} B_ {2}}$

Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина - это его длина, а его направление - это направление, указанное стрелкой. Величина вектора A обозначается. С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой ${\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ |}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ | \ mathbf {A} \ | \, \ | \ mathbf {B} \ | \ cos \ theta,}$

где θ представляет собой угол между A и B.

Скалярное произведение вектора A само по себе есть

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} = \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2},}$

который дает

${\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}}},}$

формула евклидовой длины вектора.

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент задается формулой

${\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ mathbf {i} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ mathbf {j}}$

Линейные интегралы и двойные интегралы

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ² → R линейный интеграл вдоль кусочно гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\ Displaystyle \ int \ limits _ {C} е \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) | \ mathbf {r} '(t) | \, dt.}$

где r: [a, b] → C - произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a) и r ( b) задают концы кривой C и. ${\ displaystyle a lt;b}$

Для поля вектора F  : U ⊆ R ² → R ², линия интегральной вдоль кусочно - гладкой кривой С ⊂ U, в направлении г, определяется как

${\ displaystyle \ int \ limits _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} ( \ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt.}$

где представляет собой скалярное произведение и т: [а, Ь] → C является биективен параметризация кривой C таким образом, что г () и г ( б) дают конечные точки С.

Двойной интеграл относится к интегралу в пределах области D в R ² в виде функции и обычно записывается в виде: ${\ displaystyle f (x, y),}$

${\ displaystyle \ iint \ limits _ {D} f (x, y) \, dx \, dy.}$

Основная теорема линейных интегралов

Основная статья: Основная теорема о линейных интегралах

Основная теорема линейных интегралов говорит о том, что криволинейный интеграл через градиент поля может быть оценена путем оценки исходной скалярного поля на концах кривой.

Пусть. потом ${\ Displaystyle \ varphi: U \ substeq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma [\ mathbf {p}, \, \ mathbf {q }]} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r}.}$

Теорема Грина

Основная статья: теорема Грина

Пусть С будет положительно ориентированным, кусочно - гладким, простой замкнутой кривой в плоскости, и пусть D будет областью, ограниченная С. Если L и M - функции от ( x, y), определенные на открытой области, содержащей D, и имеют там непрерывные частные производные, то

${\ Displaystyle \ oint _ {C} (L \, dx + M \, dy) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ частичное L} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy}$

где путь интегрирования по C идет против часовой стрелки.

В топологии плоскость характеризуется как единственное стягиваемое двумерное многообразие.

Его размерность характеризуется тем, что удаление точки с плоскости оставляет пространство связным, но не односвязным.

В теории графов, плоский граф является графом, который может быть встроен в плоскости, то есть, он может быть нарисован на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются только на их концах. Другими словами, его можно нарисовать таким образом, чтобы никакие грани не пересекались. Такой рисунок называется плоским графом или планарным вложением графа. Плоский граф может быть определен как плоский граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и от каждого ребра до плоской кривой на этой плоскости, так что крайние точки каждой кривой - это точки, отображаемые с ее конца. узлы, и все кривые не пересекаются, кроме их крайних точек.

• Функция изображения

1. ^ «Аналитическая геометрия». Британская энциклопедия (Encyclopdia Britannica Online ed.). 2008 г.
2. Перейти ↑ Burton 2011, p. 374ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBurton2011 ( помощь )
3. ^ Мемуар Вессель был представлен датской академии в 1797 году; Статья Аргана была опубликована в 1806 году (Whittaker amp; Watson, 1927, стр. 9).
4. ^ С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Наброски Шаума) (4-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN   978-0-07-154352-1.
5. ^ MR Spiegel; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очертания Шаума) (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN   978-0-07-161545-7.
6. ^ Математические методы для физики и инженерии, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-86153-3
7. ^ Векторный анализ (2-е издание), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 2009, ISBN   978-0-07-161545-7
8. ^ Трюдо, Ричард Дж. (1993). Введение в теорию графов (исправленное, расширенное переиздание. Ред.). Нью-Йорк: Dover Pub. п. 64. ISBN   978-0-486-67870-2. Проверено 8 августа 2012 года. Таким образом, планарный граф, нарисованный на плоской поверхности, либо не имеет пересечений ребер, либо может быть перерисован без них.