Dodecagon

Многоугольник с 12 ребрами

Правильный двенадцатигранник
Правильный двенадцатигранник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	12
символ Шлефли	{12}, t {6}, tt {3}
диаграмма Кокстера	.
группа симметрии	двугранный (D12), порядок 2 × 12
Внутренний угол (градусов )	150 °
Двойной многоугольник	Собственный
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрии двенадцатигранник или 12-угольник - это любой двенадцатигранный многоугольник.

Содержание

• 1 Правильный двенадцатигранник
  • 1.1 Площадь
  • 1.2 Периметр
• 2 Конструкция двенадцатигранника
• 3 Рассечение
• 4 Симметрия
• 5 Возникновение
  • 5.1 Мозаика
• 6 Наклонный двенадцатигранник
  • 6.1 Многоугольники Петри
• 7 Связанные рисунки
• 8 Примеры использования
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Внешние ссылки

Правильный двенадцатигранник

A правильный двенадцатигранник - это фигура со сторонами одинаковой длины и одинаковыми внутренними углами. размер. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 12-го порядка. Правильный двенадцатигранник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник, t {6}, или дважды усеченный треугольник, tt {3}. Внутренний угол в каждой вершине правильного двенадцатиугольника составляет 150 °.

Площадь

Площадь правильного двенадцатиугольника с длиной стороны a определяется как:

$A\; =\; 3\; cot\; \; (\pi \; 12)\; a\; 2\; =\; 3\; (\; 2\; +\; 3)\; a\; 2\; \simeq \; 11.19615242\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; A\; =\; 3\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{2\}\; =\; 3\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; simeq\; 11.19615242\; \backslash ,\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

И с точки зрения апофемы r (см. Также начертанный рисунок ), площадь равна:

$A\; =\; 12\; tan\; \; (\pi \; 12)\; r\; 2\; =\; 12\; (2-3)\; r\; 2\; \simeq \; 3,2153903\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; 12\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; \backslash \; right)\; r\; ^\; \{2\}\; =\; 12\; \backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; simeq\; 3.2153903\; \backslash ,\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В терминах радиуса описанной окружности R, площадь равна:

$A\; Знак\; равно\; 6\; грех\; \; (\pi \; 6)\; R\; 2\; =\; 3\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 6\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right)\; R\; ^\; \{2\}\; =\; 3R\; ^\; \{2\}\; \}$

Размах S двенадцатиугольника - это расстояние между двумя параллельными сторонами, равное удвоенному апофему. Простая формула для вычисления площади (с заданной длиной стороны и размахом):

$A\; =\; 3\; a\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 3aS\}$

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

$S\; =\; a\; (1\; +\; 2\; соз\; \; 30\; \circ \; +\; 2\; соз\; \; 60\; \circ )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; a\; (1\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{30\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\})\}$

Периметр

периметр правильного двенадцатиугольника по радиусу описанной окружности равен:

$p\; =\; 24\; R\; tan\; \; (\pi \; 12)\; =\; 12\; R\; 2\; -\; 3\; \simeq \; 6.21165708246\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; p\; =\; 24R\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 12R\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; simeq\; 6.21165708246\; \backslash ,\; R\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Периметр в терминах апофемы:

$p\; =\; 24\; r\; tan\; \; (\pi \; 12)\; =\; 24\; r\; (2-3)\; \simeq \; 6.43078061835\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; =\; 24r\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 24r\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; simeq\; 6.43078061835\; \backslash ,\; r\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Этот коэффициент вдвое больше коэффициента, найденного в уравнении апофемы для площади.

Конструкция двенадцатиугольника

Поскольку 12 = 2 × 3, правильный двенадцатигранник может быть построен с использованием построения циркуля и линейки :

Построение правильного двенадцатиугольника по заданной описанной окружности Построение правильного двенадцатиугольника. с заданной длиной стороны, анимация. (Конструкция очень похожа на конструкцию восьмиугольника с заданной длиной стороны.)

Рассечение

12-кубом	Рассечение 60 ромбов

Изотоксальный додекагон

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2m-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на m (m-1) / 2 параллелограммов. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, у которых Если все параллелограммы являются ромбами. Для правильного двенадцатиугольника m = 6, его можно разделить на 15: 3 квадрата, 6 широких ромбов 30 ° и 6 узких ромбов 15 °. Это разложение основано на многоугольнике Петри проекция 6-куба с 15 гранями из 240. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая 12-кратное вращение и хиральное формы в отражении.

Разделение на 15 ромбов

. 6-куб

Один из способов использования математических манипулятивных блоков паттернов - это создание ряда различных додекаг онс. Они связаны с ромбическим рассечением, с 3 ромбами 60 °, объединенными в шестиугольники, полушестиугольными трапециями или разделенными на 2 равносторонних треугольника.

Другие разрезы

Обычные		блоки шаблона

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника, показанные с помощью цветов на краях и вершинах. Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра, и g для симметрии вращения. a1 означает отсутствие симметрии. Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные додекагоны.

Правильный двенадцатигранник имеет симметрию Dih 12, порядок 24. Существует 15 различных подгрупп двугранных и циклических симметрий. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.

Пример додекагонов по симметрии
. r24
. d12	. g12	. p12		. i8
. d6	. g6	. p6		. d4	. g4	. p4
. g3				. d2	. g2	. p2
. a1

Возникновение

Мозаика

Правильный двенадцатиугольник может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

Вот 3 примера периодических плоских мозаик, которые используют регулярные додекагоны, определяемые их конфигурацией вершин :

1 -униформа		2-униформа
. 3.12.12	. 4.6.12	. 3.12.12; 3.4.3.12

Наклонный двенадцатиугольник

Правильный наклонный двенадцатиугольник, видимый как зигзагообразные ребра шестиугольной антипризмы.

A косой двенадцатиугольник, представляет собой наклонный многоугольник с 12 вершинами и ребра, но не существующие в одной плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатиугольника обычно не определяется. Косой зигзагообразный двенадцатигранник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

A правильный косой двенадцатигранник - это вершинно-транзитивный с равной длиной ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых гранях шестиугольной антипризмы с тем же D 5d, [2,10] симметрия, порядок 20. додекаграмма антипризма, s {2,24 / 5} и додекаграмма скрещенная антипризма, s {2,24 / 7} также имеют правильные косые додекагоны.

Многоугольники Петри

Правильный двенадцатигранник - это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, рассматриваемый как ортогональные проекции в плоскости Кокстера. Примеры в четырех измерениях: 24-ячеечная, курносая 24-ячеечная, 6-6 дуопризма, 6-6 дуопирамида. В 6 измерениях 6-куб, 6-ортоплекс, 221, 122. Это также многоугольник Петри для большой 120-ячеечной и большой звездчатой ​​120-ячеечной.

Регулярных косых додекагонов в более высоких измерениях
E6		F4		2G2(4D)
. 221	. 122	. 24-ячеечной	. Курносая 24-элементная	. 6-6 дуопирамида	. 6-6 дуопризма
A11	D7		B6
. 11-симплекс	. (411)	. 141	. 6-ортоплекс	. 6-куб

Связанные рисунки

A додекаграмма 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один правильный звездообразный многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} сокращается до 2 {6} как два шестиугольника, и {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадрата, {12/4} уменьшается до 4 {3} в виде четырех треугольников, а {12/6} уменьшается до 6 {2} в виде шести вырожденных дигонов.

Звезды и соединения
n	1	2	3	4	5	6
Форма	Многоугольник	Составные			Звездообразный многоугольник	Составной
Изображение	. {12/1} = {12}	. {12/2} или 2 {6}	. {12/3} или 3 {4}	. {12/4} или 4 {3}	. {12/5}	. {12/6} или 6 { 2}

Более глубокие усечения правильного двенадцатиугольника и додекаграммы могут создавать изогональные (вершинно-транзитивные ) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равным расстоянием между вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник - это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}.

Переходные по вершине усечения шестиугольника
Квазирегулярный	Изогональный		Квазирегулярный
. t {6} = {12}			. t {6/5} = {12/5}

Используемые примеры

В блоке заглавные буквы, буквы E, H и X (и I шрифтом slab serif ) имеют двенадцатигранный контур. крест является двенадцатигранником, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet.

Церковь Вера-Крус в Сеговии

Правильный двенадцатиугольник занимает видное место во многих зданиях. Torre del Oro - это двенадцатигранная военная сторожевая башня в Севилье, на юге Испании, построенная династией Альмохадов. Церковь Вера-Крус в начале XIII века в Сеговии, Испания, имеет форму двенадцатиугольника. Другой пример - Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло, Италия, построенные в I веке до н.э., с двумя двенадцатигранными башнями, названными «Башнями Проперция».

Британский трехпенсовый реверс 1942 года

Обычные двенадцатигранные монеты включают:

• британский трехпенсовый бит с 1937 по 1971 год, когда он перестал быть законным платежным средством.
• Британский один Монета фунта, введена в обращение в 2017 г.
• австралийская монета 50 центов
• 50 центов Фиджи
• 50 сенити Тонга, с 1974 г.
• Соломоновы острова 50 центов
• хорватские 25 кун
• румынский 5000 лей, 2001–2005 гг.
• канадский пенни, 1982–1996 гг.
• южновьетнамский 20 ng, 1968–1975
• замбийский 50 нгве, 1969 –1992
• Малави, 50 тамбала, 1986–1995
• Мексиканские 20 сентаво, 1992-2009 гг.

На Филиппинах, на местных карнавалах (периахан), колеса обозрения обычно с 12 сиденьями или гондолами

См. также

• Додекагональное число
• Додекаэдр - правильный многогранник с 12 пятиугольными гранями.
• Додекаграмма

Примечания

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Додекагон». MathWorld.
• Плитка и теорема Кюршака
• Определение и свойства двенадцатиугольника С интерактивной анимацией
• Обычный двенадцатиугольник в классе с использованием шаблонных блоков