Войти
В математике Диофантова геометрия - это изучение точек алгебраических разновидностей с координатами в целых числах, рациональных числах и их обобщениях. Эти обобщения обычно представляют собой поля, которые не являются алгебраически замкнутыми, например числовые поля, конечные поля, функциональные поля и p-адические поля (но не действительные числа, которые используются в реальной алгебраической геометрии ). Это подраздел арифметической геометрии и один из подходов к теории диофантовых уравнений, формулирующий вопросы о таких уравнениях в терминах алгебраической геометрии.
Единый уравнение определяет гиперповерхность, а совместные диофантовы уравнения порождают общее алгебраическое многообразие V над K; типичный вопрос касается природы множества V (K) точек на V с координатами в K, и с помощью функций высоты можно задать количественные вопросы о «размере» этих решений., а также качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то существует ли их бесконечное количество. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородных уравнений и однородных координат является фундаментальным по тем же причинам, по которым проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии.. Поэтому в первую очередь следует учитывать рациональные числовые решения; но интегральные решения (т.е. точки решетки ) можно рассматривать так же, как аффинное многообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, которое имеет дополнительные точки на бесконечности.
Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется теоремой Фалтингса (гипотеза LJ Mordell ), утверждающей, что алгебраическая кривая C рода g>1 над рациональными числами имеет только конечное число рациональных точек. Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, относящаяся к случаю g = 0. Теория состоит как из теорем, так и из многих гипотез и открытых вопросов.
Серж Ланг опубликован вышла книга «Диофантова геометрия в этой области» в 1962 году. Традиционно материал по диофантовым уравнениям располагался по степени и количеству переменных, как в «Диофантовых уравнениях» Морделла (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях f = 0 над рациональным полем, приписываемых C. Ф. Гаусс, что ненулевые решения в целых числах (даже примитивные точки решетки) существуют, если есть ненулевые рациональные решения, и отмечает предупреждение L. Э. Диксон, посвященный параметрическим решениям. Результат Гильберта – Гурвица 1890 года, сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 (конические сечения ), встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла. Теорема Зигеля о целых точках встречается в главе 28. Теорема Морделла о конечном порождении группы рациональных точек на эллиптической кривой содержится в главе 16, и целые точки на кривой Морделла в главе 26.
Во враждебном рецензировании книги Лэнга Морделл написал
. В последнее время с помощью средств были разработаны новые мощные геометрические идеи и методы. из которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, а некоторые из них нелегко доказать иначе. Кроме того, существовала тенденция облекать старые результаты, их расширения и доказательства на новый геометрический язык. Однако иногда все последствия результатов лучше всего описать в геометрической обстановке. Лэнг очень много думает об этих аспектах в этой книге и, кажется, не упускает возможности для геометрического представления. Это объясняет его титул «Диофантова геометрия».
Он отмечает, что содержание книги в основном является версиями теоремы Морделла – Вейля, теоремы Туэ – Зигеля – Рота, Теорема Зигеля с рассмотрением теоремы Гильберта о неприводимости и приложений (в стиле Зигеля). Оставляя в стороне вопросы общности и совершенно другой стиль, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Ланг использовал абелевы многообразия и предложил доказательство теоремы Сигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «имеет очень продвинутый персонаж »(с. 263).
Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Лэнга была достаточно широко принята, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой». Более крупная область, иногда называемая арифметикой абелевых разновидностей, теперь включает диофантову геометрию вместе с теорией поля классов, комплексным умножением, локальными дзета-функциями и L-функции. Пол Войта писал:
