Войти
Часть «Табл. Геометрия ». (Таблица геометрии) из 1728 Cyclopaedia.Geometry (из древнегреческого : γεωμετρία; geo- «земля», -метрон « измерение ») возникла как область знаний о пространственных отношениях. Геометрия была одной из двух областей досовременной математики, другим - изучением чисел (арифметика ).
Классическая геометрия была сосредоточена в конструкциях циркуля и линейки. Революцию в геометрии произвел Евклид, который ввел математическую строгость и аксиоматический метод, который используется до сих пор. Его книга Элементы широко считается влиятельным учебником всех времен и была известна всем образованным людям на Западе до середины 20 века.
В нашем времени геометрические концепции были обобщены до высокого уровня абстракции и сложности и подверглись методам исчисления и абстрактной алгебры, так что многие современные отрасли науки ли можно узнать как потомков ранней геометрии. (См. Области математики и Алгебраическая геометрия.)
Можно проследить самые ранние зарегистрированные начала геометрии древним народам, открывшим тупые треугольники в древней долине Инда (см. Хараппанская математика ) и древняя Вавилонская (см. Вавилонская математика ) примерно с 3000 г. до н.э. Ранняя геометрия представляет собой набор эмпирических открытых принципов, стандартов, представлений и пространств, которые были разработаны для некоторых практических возможностей в использовании геодезии, строительства, астрономии и разные поделки. Среди них были некоторые удивительно сложные принципы, и современные математику можно вывести из них без использования исчисления и алгебры. Например, и египтяне, и вавилоняне знали о версиих теоремы Пифагора примерно за 1500 лет до Пифагора и индийцев Сульба Сутры около 800 г. до н.э. содержали первые утверждение теоремы; у египтян была правильная формула размера усеченного конуса квадратной пирамиды;
Древние египтяне знали, что они могут определить площадь круга следующим образом:
В задаче 30 папируса Ахмеса эти методы используются для вычисления площади круга в соответствии с правилами, согласно соответствующей площади равного квадрату 8/9 диаметра круга. Это предполагает, что π равно 4 × (8/9) (или 3,160493...) с ошибкой более 0,63 процента. Это значение было немного менее точным, чем расчеты вавилонян (25/8 = 3,125, в пределах 0,53 процента), но не превышалось до тех пор, пока Архимед не приблизился к 211875 / 67441 = 3.14163, ошибка которого составляла чуть более 1 из 10 000.
Ахмес знал современное 22/7 как приближение к π и использовал его для разделения хеката, хекат х 22 / х х 7/22 = хекат; однако Ахмес продолжал использовать традиционное значение 256/81 для вычислений своего объема в гекате, найденного в цилиндре.
Задача 48 с использованием квадрата со стороны 9. Этот квадрат был разрезан на сетку 3x3. Из диагонали угловых квадратов получился неправильный восьмиугольник площадью 63 единицы. Это дало второе значение для π, равное 3,111...
Две задачи вместе указывают диапазон значений для π от 3,11 до 3,16.
Задача 14 в Московском математическом папирусе дает единственный древний пример нахождения объема усеченной пирамиды, описывающий правильную формулу:
где a и b - длина основания и верхней усеченной пирамиды, а h - высота.
Вавилоняне могли знать общие правила измерения площадей и измерений. Они измерили длину окружности как три диаметра и площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если π оценивается как 3. Объем цилиндра принимается равным размером основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды был неправильно принят как произведение высоты и половины суммы оснований. Теорема Пифагора была также известна вавилонянам. Кроме того, было недавнее открытие, в котором использовалась табличка № 3 и 1/8. Вавилоняне также известны вавилонской милей, которая была мерой расстояния, равной примерно семи милям сегодня. В итоге это измерения расстояний было преобразовано во время-милю, используемое для измерения движения Солнца, следовательно, представляющее время. Недавно были сделаны открытия, показывающие, что открыли астрономическую геометрию на 1400 лет раньше европейцев.
Ригведа рукопись в Деванагари.Индийская В ведический период была традиция геометрии, выражавшаяся в основном в строительстве сложных алтарей. Ранние индийские тексты (1-е тысячелетие до нашей эры) на эту тему включают Сатапатха Брахмана и Шулба Сутры.
Согласно (Хаяси 2005, стр. 363), Шульба Сутры содержат «самое раннее из сохранившихся словесных теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже выражено древним вавилонянам».
Диагональная веревка (akṣṇayā-rajju) продолговатого (прямоугольника) дает и то, что и фланг (pārśvamāni), и горизонтальный (tiryamānī)
Они содержат списки пифагорейских троек., которые являются частными случаями диофантовых соотношений. Они также утверждают (как мы знаем задним числом, близким) о квадрате круга и «обводе квадрата»
Баудхаяна Сульба Сутра, самая известная и самая старая из Сутр Сульба (датируемая 8 или 7 веком до нашей эры), содержит примеры простых троек Пифагора, таких как: 
Согласно математику С.Г. Дэни, вавилонская клинопись Плимптон 322 написана ок. 1850 г. до н.э. »Содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большой помощью, в том числе (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, в частности, указывает на то, что в 1850 году до нашей эры было сложным пониманием этой темы. «Эти таблички предшествуют периодульбасутры на несколько столетий, во время контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание было бы и в Индии». Дани продолжает:
«Первая цель Сульвасутр заключалась в описании конструкций алтарей и геометрических связанных с ними предметов пифагорейских троек», даже если он был хорошо понят, все еще мог не фигурировать в Сульвасутрах. Встреча троек в сульвасутрах сравнима с математикой, которую можно встретить во время передачи данных по данной теме, и не будет напрямую соответствовать общим знаниям по этой теме в то время. к сожалению, других современных источников найти не удалось, возможно, никогда не удастся разрешить этот вопрос удовлетворительным образом ».
Всего было составлено три сутры Сульбы. Остальные две, Манава Сульба Сутра, составленная Манавой (эт. 750-650 гг. До н.э.), и Сутра Апастамба Сульба, составленная Апастамбой ( ок. 600 г.) До н.э.), содержал результаты, аналогичные Баудхаяна Сульба Сутре.
Для древних Греческих математиков геометрия была жемчужиной их наук, достижения полноты и совершенства методологии, которых не достигла никакая другая отрасль их знаний. Они расширили диапазон геометрии до многих новых видов фигур, кривых, поверхностей и твердых тел; они изменили его методологию с методом проб и ошибок на логический вывод; они признали, что геометрия изучает "вечные формы", или абстракции, физические объекты которых являются лишь приближением; и они развили идею «аксиоматического метода», который используется до сих пор.
Теорема Пифагора : a + b = c Фалес (635-543 гг. До н.э.) из Милета (ныне на юго-западе Турции), был первым, кому приписывают дедукцию по математике. Существуют пять геометрических предложений, для которых созданы первые образцы доказательства, его доказательства не сохранились. Пифагор (582-496 до н.э.) Ионии, а затем Италии, колонизированной греками, возможно, был учеником Фалеса и путешествовал в Вавилон и Египет. Теорема, носящая его имя, возможно, не была его открытием, но он, вероятно, был одним из первых, кто дал ее дедуктивное доказательство. Он собрал вокруг себя группу студентов, чтобы изучать математику, музыку и философию, и вместе они открыли для себя большую часть того, что школьники изучают сегодня на курсах геометрии. Вдобавок они сделали глубокое открытие несоизмеримых и иррациональных чисел.
Платон (427–347 до н.э.) был философом, высоко ценимым греками. «Пусть сюда входит никто, не знающий геометрии», которую он написал над входом в свою знаменитую школу. Однако эта история считается неправдой. Хотя он сам не был математиком, его взгляды на математику оказали большое влияние. Таким образом, математики согласились с его утверждением в геометрии, что в геометрии не должны никакие никакие инструменты, кроме циркуля и линейки - и никогда не должны быть романые инструменты, такие как маркированная линейка или транспортир, потому что это были рабочие инструменты, не достойные ученый. Это изречение привело к глубокому изучению конструкций изучая линейки, а также к трем классическим конструкционным проблемам: как использовать эти инструменты, чтобы разрезать угол, построить куб, вдвое превышающий объем заданного куба и построить квадрат, равный по площади заданному кругу. Доказательства невозможности этих построений, наконец достигаются в 19 веке, приводят к важным принципам, касимся глубокой структуры системы действительных чисел. Аристотель (384-322 до н.э.), величайший ученик Платона, написал трактат о методах рассуждения, используемые в дедуктивных доказательствах (см. Логика ), который не был улучшен до 19 века.
Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.
Женщина преподает геометрию. Иллюстрация в начале средневекового перевода Евклида Элементы, (ок. 1310) Евклид (ок. 325-265 до н.э.), Александрии, вероятно студент Академии, основанной Платоном, написал трактат в 13 книгах (главах) под названием Элементы геометрии, в которой он представил геометрию в идеальной аксиоматической форме, которая пришла к известна как евклидова геометрия. Трактат не является сборником всего, что эллинистические математики знали в то время о геометрии; Сам Евклид написал еще восемь продвинутых книг по геометрии. Мы знаем из других источников, что Евклид не был первым учебником элементарной геометрии, но он был настолько лучше, что другие вышли из употребления и были потеряны. Он был доставлен в университет в Александрии Птолемеем I, царем Египта.
Элементы начинаются с определенных терминов, фундаментальных геометрических принципов (называемых аксиомами или постулатами) и количественных принципов (называемых общими понятиями), из которых можно было логически вывести всю остальную геометрию. Ниже приведены его пять аксиом, несколько перефразированных, чтобы облегчить чтение по-английски.
Концепции, которые теперь понимаются как алгебра, были геометрически выражены Евклидом, метод, называемый греческой геометрической алгеброй.
Архимед (287-212 до н.э.), из Сиракуз, Сицилия, когда она была греческим городом-государством, часто считается величайшим из греческих математиков, а иногда даже упоминается как один из трех великих больше всех времен (наряду с Исааком Ньютоном и Карлом Фридрихом Гауссом ), его все равно вспоминали бы как великого физика., инженера и изобретателя. ожие на системы координат аналитической геометрии и предельный процесс интегрального исчисления. Единственным средством которого не хватит для создания этих полей, была эффективная алгебраическая нотация, в которой он выражал свои концепции.
Геометрия была связана с божественным международным сообществом средневековых ученых. компас в этой рукописи 13-го века символом Божьего деяния Творения.После Архимеда эллинистическая математика начала приходить в упадок. Впереди было еще несколько второстепенных звезд, но золотой век геометрии закончился. Прокл (410-485), автор комментария к первой книге Евклида, был одним из последних игроков в эллинистической геометрии. Он был знающим геометром, но, что более важно, превосходным комментатором предшествовавших ему работ. Многие из этих работ не сохранились до наших дней и известны нам только благодаря его комментариям. Римская республика и империя, которые преуспели и поглотили греческие города-государства, дали прекрасных инженеров, но не выдающихся математиков.
Большая Александрийская библиотека позже была сожжена. Среди историков растет консенсус в отношении того, что Александрийская библиотека, вероятно, пострадала от нескольких разрушительных событий, но что разрушение языческих храмов Александрии в конце 4-го века было вероятно самым серьезным и окончательным. Доказательства этого разрушения наиболее окончательными и надежными. Вторжение Цезаря примерно могло привести к потере 40 000-70 000 свитков на складе, прилегающем к порту (как утверждает Лучано Канфора, скорее всего, это были копии, произведенные Библиотекой, предназначенные для экспорта), но это так. Маловероятно, что это повлияло на Библиотеку или Музей, учитывая, что это есть достаточно свидетельств того, что они существовали позже.
Гражданские войны, сокращение инвестиций в обслуживание и приобретение новых свитков и общее снижение интереса к нерелигиозным занятиям, вероятно, способствовали сокращению объема материала, доступного в Библиотеке, особенно в 4 веке. Серапеум, несомненно, был разрушен Феофилом в 391 году, и музей и библиотека, возможно, стали жертвами той же кампании.
В рукописи Бахшали есть несколько геометрических задач (в том числе проблемы об объемах нерегулярных твердых тел). В рукописи Бахшали «используется десятичная система значений с точкой для нуля». Арьябхата Арьябхатия (499) включает вычисление площадей и измерений.
Брахмагупта написал свой астрономический труд Брахма Сфуна Сиддханта в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на две части: «основные операции» (включая кубни, дроби, соотношение и пропорции, бартер) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловку древесины и укладку зерна). В последнем разделе он изложил свою знаменитую теорему о диагоналях циклического четырехугольника :
Теорема Брахмагупты: Если у циклического четырехугольника диагонали перпендикулярны друг другу, то перпендикулярная линия, проведенная от точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит пополам противоположную сторону.
Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников (т. Е. треугольники с рациональными сторонами и рациональными площадями).
Формула Брахмагупты: Площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a, b, c, d, соответственно, определяется как
где s, полупериметр, учитывая по:
Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: треугольник с рациональными сторонами 
для некоторых рациональных чисел 
Девять глав по математике, впервые составлено в 179 году нашей эры, с добавленными комментариями в 3 веке Лю Хуэй.
Хайдао Суаньцзин, Лю Хуэй, 3 век. Первая окончательная работа (или, по крайней мере, самая старая из существующих) по геометрии в Китае был Мо Цзин, моистский канон раннего философа Мози (470–390 до н.э.). Он был составлен через годы после его смерти его последователями около 330 г. до н. Э. Хотя Мо Цзин - самая старая из существующих книг по геометрии в Китае, существует вероятность, что существовали даже более старые письменные материалы. Однако из-за печально известного сожжения книг в ходе политического маневра правителя династии Цинь правителя Цинь Шихуана (годы правления 221-210 до н.э.), множество письменная литература, созданная до его времени, подвергалась чистке. Кроме того, Мо Цзин представляет геометрические концепции в математике, которые, возможно, слишком продвинуты, чтобы не иметь предыдущей геометрической основы или математического фона для работы.
Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшой объем информации по математике. Он предоставил «атомарное» определение геометрической точки, заявив, что линия разделена на части, а часть, у которой нет оставшихся частей (т.е. неможет быть на более мелкие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является разделом.. Подобно первому и третьему определению Евклида и Платону «начало строки», Мо Цзин утверждал, что «точка может стоять в конце (строки) или вначале, как подношение головы при родах. (Что касается его невидимости), ничего подобного нет ». Подобно атомистам из Демокрита, Мо Цзин утверждал, что точка является наименьшей единицей и не может быть разрезана пополам, поскольку «ничто» не может быть разделено пополам. В одном и том же месте приведены данные для сравнения длин и параллелей, а также принципы пространства и ограниченного пространства. В нем также описан тот факт, что плоскости без качества толщины нельзя складывать в стопку, поскольку они не могут касаться друг друга. По книге были даны определения окружности, диаметра и радиуса, а также определение объема.
Династия Хань (202 г. до н.э. - 220 г. н.э.) в Китае засвидетельствовал новый расцвет математики. Одним из старейших китайских математических текстов, представляющих геометрическую прогрессию, был Суан шу 186 г. до н.э., в эпоху регистрации Хань. Математик, изобретатель и астроном Чжан Хэн (78–139 гг. Н.э.) использовал геометрические формулы для решения математических задач. Хотя приблизительные оценки для pi (π ) были даны в Чжоу Ли (составленном во 2 веке до н.э.), именно Чжан Хэн был первым, кто предпринял согласованные усилия для создания более точной формулы для пи. Чжан Хэн аппроксимировал число Пи как 730/232 (или приблизительно 3,1466), используя другую формулу числа Пи для определения сферического объема, используя этот квадратный корень из 10 (или приблизительно 3,162). Цзу Чунчжи (429-500 гг. Н.э.) улучшил точность приближения числа Пи до значений от 3,1415926 до 3,1415927, с ⁄113 (密 率, Milü, подробно приближение) и ⁄7 (约 率, Yuelü, грубое приближение), являющееся другим заметным приближением. По сравнению с более поздними работами формула для числа Пи, французским математиком Франциском Виета (1540–1603), оказалась на полпути между приближениями Зу.
Девять глав по математическому искусству, название которых впервые появилось в 179 году нашей эры на бронзовой надписи, были отредактированы и прокомментированы в III веке математик Лю Хуэй из Королевства Цао Вэй. В этой книге вошло множество задач, связанных с применением геометрии, таких как определение площадей поверхности для квадратов и кругов, твердых тел в различных трехмерных формах, также использовалось теоремы Пифагора. Книга представила иллюстрированное доказательство теоремы Пифагора, письменный письменный диалог между более ранним герцогом Чжоу и Шан Гао о свойствах прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора, а также относился к астрономическому гномон, круг и квадрат, а также измерения высот и расстояний. Редактор Лю Хуэй указал пи как 3,141014, используя 192-сторонний многоугольник , а затем вычислил число пи как 3,14159, используя 3072-сторонний многоугольник. Это было более точно, чем современник Лю Хуэя Ван Фань, математик и астроном из Восточного Ву, представил пи как 3,1555, используя ⁄ 45. Лю Хуэй также писал о математической геодезии для расчета дистанционных измерений глубины, высоты, ширины и площади поверхности. Что касается твердой геометрии, он метилнил, что клин с прямоугольным основанием и наклонными сторонами может быть разбит на пирамиду и четырехгранный клин. Он также сказал, что клин с основанием трапеции и двумя наклонными сторонами можно сделать так, чтобы образовались два четырехгранных клина, разделенных пирамидой. Лю Хуэй описал принцип Кавальери по объему, а также Кроме метода исключения Гаусса. В девяти главах следующие геометрические формулы которые были известны времени правления бывшей династии Хань (202 г. н.э. - 9 г. н.э.).
Площади для
|
|
Объемы для
|
|
|
Продолжая геометрическое наследие древнего Китая, появилось много более поздних фигур, включая знаменитого астронома и математика Шэнь Куо (1031-1095 CE), Ян Хуэй (1238-1298) w Он открыл Треугольник Паскаля, Сюй Гуанци (1562-1633) и многие другие.
Страница из Аль-Джабр ва-аль-Мукабила К началу 9 века «Золотой век ислама » процветал, основание Дома мудрости в Багдаде, ставшее отдельной традицией науки в средневековом исламском мире, построенной не только на эллинистической, но и на Индийские источники.
Хотя исламские математики наиболее известны своими работами по алгебре, теории чисел и системам счисления, они также внесли значительный вклад в геометрию., тригонометрия и математическая астрономия, и были ответственны за развитие алгебраической геометрии.
Аль-Махани (родился в 820 г.) задумал идею сокращения геометрических задач, например, дублирование куба в задачах по алгебре. Аль-Караджи (родился в 953 г.) полностью освободил алгебру от геометрических операций и заменил их операциями арифметического, лежат в основе современной алгебры.
Табит ибн Курра (известный как Фивит на латыни ) (родился в 836 году) внес вклад в ряд математики, где он важная роль в подготовке пути к таким важным математическим открытиям. как расширение понятия числа на (положительные ) действительные числа, интегральное исчисление, теоремы в сферической тригонометрии, аналитическая геометрия и неевклидова геометрия. В астрономии Табит был одним из первых реформаторов системы Птолемея, а в механике он был основателем статики. Важным геометрическим аспектом работы Табита была его книга о композиций. В этой книге Табит имеет дело с арифметическими операциями, применяемыми к отношениям геометрических величин. Греки имели дело с геометрическими величинами, но не думали о них так же, как о числах, к которым можно было применить обычные правила арифметики. Введя арифметические операции с величинами, которые ранее считались геометрическими и нечисловыми, Табит положил начало тенденциям, которые в конечном итоге привели к конечным положениям.
В некоторых отношениях Табит критически относится к идеям Платона и Аристотеля, особенно в отношении движения. Казалось бы, здесь его идеи, основанные на признании использования аргументов относительно движения в его геометрических аргументах. Другим важным вкладом Табита в геометрию было его обобщение теоремы Пифагора, он распространил с специальных прямоугольных треугольников на все треугольники в целом, вместе с общим доказатель.
Ибрагим ибн Финанс ибн Сабит (родился в 908 г.), который представил метод интеграции более общим, чем метод Архимеда, и аль-Кухи (родился в 940 г.) были ведущими фигурами в возрождении и продолжении греческой высшей геометрии в исламском мире. Эти математики, и в частности Ибн аль-Хайтам, изучали оптику и исследовали оптические свойства зеркал, сделанных из конических сечений.
Астрономия, хронометраж и география другие мотивы для геометрических и тригонометрических исследований. Например, Ибрагим ибн Синан и его дед Сабит ибн Курра оба изучали кривые, необходимые для солнечных часов. Абу'л-Вафа и Абу Наср Мансур оба применили сферическую геометрию к астрономии.
В статье 2007 года в журнале Наука было высказано предположение, что плитки гирих обладают высказыванием, используя самоподобному фракталу квазикристаллическому плитки, такие как плитки Пенроуза.
Гравюра Альбрехта Дюрера с изображением Машалла с титульного листа De scientia motus orbis (латинская версия сюра грав, 1504 г.). Как и во многих средневековых иллюстрациях, компас здесь является символом религии, а также науки, в отношении Бога как архитектора творения передача греческих классиков средневековая Европа через арабскую литературу 9-10 веков «Золотой век ислама » начался в 10 веке и завершился латинскими переводами 12 века. Копия книги Птолемея Альмагест была возвращена на Сицилию Генрихом Аристиппом (ум. 1162) в подарка Императора королю Вильгельм I (годы правления 1154 –1166). Анонимный студент из Салерно поехал на Сицилию и перевел Альмагест, а также несколько работ Евклида с греческого на латынь. Хотя сицилийцы обычно переводили прямо с греческого, когда греческие тексты не были доступны, они переводили с арабского. Евгений Палермский (ум. 1202) перевел Оптику Птолемея на латынь, опираясь на свои знания всех трех языков в этой задаче. Были заново изучены строгие дедуктивные методы геометрии, найденные в «Элементах геометрии» Евклида, продолжалось дальнейшее развитие геометрии в стилях Евклида (евклидова геометрия ) и Хайяма (алгебраическая геометрия ). в результате появилось множество новых теорем и концепций, многие из которых очень глубокие и элегантные.
Прогресс в трактовке перспективы был достигнут в искусстве эпохи Возрождения 14-15 веков, что превзошло все, что было достигнуто в древности. В архитектуре эпохи Возрождения из Quattrocento были исследованы концепции архитектурного порядка и сформулированы правила. Ярким примером является Базилика Сан-Лоренцо в Флоренции, созданная Филиппо Брунеллески (1377–1446).
В ок. 1413 Филиппо Брунеллески продемонстрировал геометрический метод перспективы, используемый сегодня художниками, нарисовав контуры различных флорентийских зданий на зеркале. Вскоре после этого почти все художники во Флоренции и Италии использовали геометрическую перспективу в своих картинах, особенно Мазолино да Паникале и Донателло. Мелоццо да Форли впервые применил технику восходящего ракурса (в Риме Лорето, Форли и др.) И прославился этим. Перспектива была не только способом показать глубину, но и новым методом составления картины. Картины стали изображать одну единую сцену, а не комбинацию нескольких.
Как показывает быстрое распространение точных перспективных картин во Флоренции, Брунеллески, вероятно, понял (с помощью своего друга, математика Тосканелли ), но не опубликовал математику, лежащую в основе перспективы. Десятилетия спустя его друг Леон Баттиста Альберти написал De pictura (1435/1436), трактат о правильных методах показа расстояния в живописи, основанный на евклидовой геометрии. Альберти также обучался оптике в Падуанской школе и под влиянием Бьяджо Пелакани да Парма, изучавшего оптику Альхазена.
Пьеро делла Франческа подробно остановился на Делла Питтура в своей De Prospectiva Pingendi в 1470-х годах. Альберти ограничился фигурами на плоскости земли и дал общую основу для перспективы. Делла Франческа конкретизировала это, явно покрывая твердые тела в любой области картинной плоскости. Делла Франческа также начала широко распространенную практику использования иллюстраций для объяснения математических концепций, что сделало его трактат более понятным, чем трактат Альберти. Делла Франческа была первой, кто точно нарисовал Платоновы тела, как они выглядят в перспективе.
Перспектива какое-то время оставалась владением Флоренции. Ян ван Эйк, среди прочих, не смог создать последовательную структуру для сходящихся линий на картинах, как в лондонском Портрет Арнольфини, потому что он тогда не знал о теоретическом прорыве. происходящие в Италии. Однако он достиг очень тонких эффектов, манипулируя масштабом в своих интерьерах. Постепенно, отчасти благодаря движению академий искусств, итальянские техники стали частью обучения художников по всей Европе, а позже и в других частях мира. Кульминация этих традиций эпохи Возрождения находит свое окончательное воплощение в исследованиях архитектора, геометра и оптика Жирара Дезарга по перспективе, оптике и проективной геометрии.
Витрувианский человек работы Леонардо да Винчи (ок. 1490) изображает человека в двух наложенных друг на друга положениях, с руками и ногами врозь и вписанных в круг и квадрат.. Рисунок основан на соотношении идеальных человеческих пропорций с геометрией, описанных древнеримским архитектором Витрувием в Книге III его трактата De Architectura.
Рассуждение о методе автора Рене Декарт В начале 17 века в геометрии произошли два важных развития. Первым и наиболее важным было создание аналитической геометрии или геометрии с координатами и уравнениями Рене Декартом (1596–1650) и Пьером. де Ферма (1601–1665). Это было необходимым предшественником исчисления и точной количественной науки физики. Вторым геометрическим развитием этого периода было систематическое изучение проективной геометрии Жираром Дезаргом (1591–1661). Проективная геометрия - это изучение геометрии без измерения,
