Полупериметр

В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметр. Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дается отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s.

• 1 Треугольники
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Формулы, вызывающие полупериметр
• 2 Четырехугольники
• 3 Правильные многоугольники
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, касающейся вневписанной окружности, равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника с длинами сторон a, b и c равна

$s\; =\; a\; +\; b\; +\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; b\; +\; c\}\; \{2\}\}.\}$

Свойства

В любом треугольнике, любой вершине и точке, где противоположная вневписанная окружность касается треугольника, разделяющего периметр треугольника на две равные длины, таким образом создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ', B' и C 'такие, как показано на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA', BB 'и CC', показаны красным на рисунке диаграмму) известны как разделители и

$s\; =\; |\; A\; B\; |\; +\; |\; A\; \prime \; B\; |\; =\; |\; A\; B\; |\; +\; |\; A\; B\; \prime \; |\; =\; |\; A\; C\; |\; +\; |\; A\; \prime \; C\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; |\; AB\; |\; +\; |\; A\text{'}B\; |\; =\; |\; AB\; |\; +\; |\; AB\; \text{'}|\; =\; |\; AC\; |\; +\; |\; A\text{'}C\; |\}$

$=\; |\; A\; C\; |\; +\; |\; A\; C\; \prime \; |\; =\; |\; B\; C\; |\; +\; |\; B\; \prime \; C\; |\; =\; |\; B\; C\; |\; +\; |\; B\; C\; \prime \; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; |\; AC\; |\; +\; |\; AC\; \text{'}|\; =\; |\; BC\; |\; +\; |\; B\text{'}C\; |\; =\; |\; BC\; |\; +\; |\; BC\text{'}\; |.\}$

Три разделителя совпадают в Точка Нагеля треугольника.

A разделитель треугольника - это отрезок прямой, делящий пополам периметр треугольника и имеющий одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой нож, как и любой разделитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три кливера совпадают в центре круга Шпикера, который является вписанной окружностью среднего треугольника ; центр Шпикера - это центр масс всех точек на краях треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит площадь пополам.

Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника.

Согласно неравенству треугольника длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, использующие полупериметр

Площадь A любого треугольника является произведением его внутреннего радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:

$A\; =\; rs.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; rs.\}$

Площадь треугольника также можно рассчитать по его полупериметру и длинам сторон a, b, c с использованием формулы Герона :

$A\; =\; s\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; б)\; (з\; -\; в).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; \backslash \; left\; (sa\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (sb\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (sc\; \backslash \; right)\}\}.\}$

радиус описанной окружности R треугольника можно также рассчитать по полупериметру и длинам сторон:

$R\; =\; abc\; 4\; s\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c).\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{abc\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; (sa)\; (sb)\; (sc)\}\}\}\}.\}$

Эта формула может быть получена из закона синусов.

Внутренний радиус равен

$r\; =\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(sa)\; (sb)\; (sc)\}\; \{s\}\}\}.\}$

Закон котангенсов дает котангенсы полууглов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и внутреннего радиуса.

Длина внутренней биссектрисы угла, противоположной стороне длины a, составляет

$t\; a\; =\; 2\; b\; c\; s\; (s\; -\; a)\; b\; +\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{bcs\; (sa)\}\}\}\; \{b\; +\; c\}\}.\}$

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанная окружность на гипотенузе равна полупериметру. Полупериметр - это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна $(s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s-a)\; (s-b)\}$, где a и b - ноги.

Формула полупериметра четырехугольника с длинами сторон a, b, c и d:

$s\; =\; a\; +\; b\; +\; c\; +\; d\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; b\; +\; c\; +\; d\}\; \{2\}\}.\}$

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам, которые имеют вписанной окружности и в которой (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметра:

$K\; =\; rs.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; rs.\}$

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади циклического четырехугольника имеет форму, аналогичную формуле Герона для площади треугольника:

$К\; =\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; (s\; -\; d).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (sa\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (sb\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (sc\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (sd\; \backslash \; right)\}\}.\}$

Формула Бретшнайдера обобщает это ко всем выпуклым четырехугольникам:

$K\; =\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; (s\; -\; d)\; -\; abcd\; \cdot \; cos\; 2\; \; (\alpha \; +\; \gamma \; 2),\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(sa)\; (sb)\; (sc)\; (sd)\; -abcd\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\},\}$

, в котором $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash ,\}$и $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash ,\}$являются двумя противоположными углы.

Четыре стороны двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени, параметризованных полупериметром, внутренним радиусом и радиусом описанной окружности.

Площадь выпуклого правильного многоугольника является произведением его полупериметра и его апофемы.

• Weisstein, Эрик У. "Полупериметр". MathWorld.